SIFAT MODUL INJEKTIF-MURNI DALAM HUBUNGANNYA DENGAN MODUL KOMPAK SECARA PERSAMAAN.

(1)

-{d1? r

:,1-;*

..' ;

\

l

SEMTNAR NASTONAT

ATIABAR

2A12

t

"Kontribusi Aliabar

dan

pengajarannya

dalam

Riset

Sains

dan

teknologi,,

Sabtu, 14

April

ZOLT

Diselenggarakan oleh:

Program Studi Matematika

furusan Matematika

Fakultas

_Sains_dan

Matematika

_UNDIP

PENERBIT

DAFI

PERCETAKAN

UPT UNDIP PRESS

SEMARANG

ISBN :

978-G02-097-ZB8-6

PROSIDING

t

L.

'*

. _:,;

(2)

-l

l

DAJ'TAR

ISI

flalerngn

Judul...-..

....--:..."....-.

..

i

Kata

Pengaitr...

ii

Susunan Acare

Seminsr..,

iv

DaftarIsi...

...-...:...

vi

Amir Kamal Amir,

Sifut

ldeal Prima

Terkait dengan Notasi Order

Kiri

dan

Arie Yulianti,

Ari

Suparwanto, Keterkendalia* Sistem Diskret

Linear

Time-Dewi

Ismiarti,

I

Made

Sulandra,

Hery

Susaato, Menyelesaikan Masalah

Keunggotaan

Modul

dan

Menenrukan Kombina,gi

Linier

Menggunakan Basis

Dian

A.

Yuwaningsih,

Indah E. Wijayanti-

Beberapa

Sifat

Ring Bersih

N-Kuat...---

)^/.

Didi

Febrian.

Sri

Wahyuni.

Baberapa

Si,fat

Modut

Tersuplenten Radikat

Lemah...-.

..

42

Dzikrullah

Akbar,

Sri

Wahyuni,

Beberapa

Sifat Modul

Weak

O-Suplemented.

54

Fadhilah

Hanifah,

Suryadi,

Penggunaan Galois

Field

(28) Pada Algoritma

Rijndael dalam Pengamanan Data

Citra

Digital...-...

65

Farida Widiawati, Suryoto,

d-Aljabar...

75

Gregoria

Ariyanti,

Ari

Suparwanto,

Budi

Sorodjo, Aljabar Maks

Plus

Tersimetris dan Sistem Kesetimbangan

Linier...

82

Kartika

Sari,

Indah

E.

\{ijayanti,

Sfcrr

Modul Injekttf

dalam Hubung,arurya

dengan Modul Kompak Secsra

Persamoon...

.i...-..

96

Maulia

Atfiyanih, Suryadi,

Penggunaan Operasi

Aljabar pada

Algoritma

M.V.

Any

Herawati,

Eksistensi Basis VeWor Eigen dalam Ruang

Euclid-...,..,...

113

Nikken P. Puspita, Modul Ata; Struktur

Enfivining

122

vl

(3)

SIFAT MODUL INJEKTIF-MT]ITM

DALAM

HUBUNGANI{YA

DENGAII MODUL

KOMPAK

SECARA

PdNSAUAI,N

Mahasiswa program

rr,o,",

ffirfl;fr"J^i*^

universitas Gajah Mada

I u rusan

*.,*.1iL?il',Xi

Y"*lKll

G aj ah &(ada

Abstrak DiberiL:an ring _{dengan elsrnen satuan}_R_{suatu R-modul kanan}

M dikatakan injeklif_

mumi apabila untuk setiap _{R-modul kanan}_A_dan_B_dengan;

;#;i

murni dalam B- setiap

homomorfismaf. A'->M _{dapar diperruas menjadi}

homomrrfism;f;;;;

sedangkan suatu R_

modul kanan M dikatakan kompai.secara prrio.oo, apabila untui setiap sistem persamaan rinear

di M _{vang mempunvai penveresaian}_u"rti"sg"_di

ilI;I!;ilfi'i'"$ny"r"ruian

grobar di M. syamt perru dan cukup suatu submodul A-riurni_ dala; R_mJ"i't""":r'e adarah setiap sistem persamaan _{berhingga di}_{A lang}_{mempunyai penyelesaian.dl}

"-r.r*

;;'unyai

peny"resaian di A.

Hal ini mbngindikasikan _aaalia_{hubungan untrru moaut}

injeklf-"murni _i-)n_{moaut kompak secara}

ffi:ff#;^i:I]*f"Tl'i}1,'

ditunjukkan _run*u

*"Jui

;j;k;;;,*i

ekuirzren

;;;;;;

Kata Kunci: injektif-murni _,kompak secara persomlan

1.

PENDAHULUAN

Ring R _{yang digunakan dalam seluruh}_isi_turisan

ini

adalah ring dengan

elemen satuan- _{Ring bilangan bulat dan}_ring_{bilangan rasional}

secara

berturut-turut dinotasikan dengan

z

dan _Q.Himpunan semua _bilangan_asli_dinotasikan

dengaa

N'

Modul

_{yang digunakan}_adalah_R-modui

kanan,

kecual

apabila

di,yatakan selain

itu.

_{Barisan eksak yang digunakan}_adarah

barisan eksak R_

modul

kanan-

Apabila

A

dan

B

sebarang R-modul _kanan,_maka

A <

_R

dimaksudkan sebagai

A

_{submodul dari}_B,_sedangkan_A

<-

B sebagai _{notasi dari}

A

sutrrnodul _{rnumi dari}

B.

_Notasi

_flodimakuakan fungsi _{_f yangdomainnya}

dibatasi hanya untuk himpunan A.

Stenstr.m (19?5) _{menyatakan bahwa}

M'

dikatakan submodur murni

dalam R-modul

M

apabila barisan eksak

0

-->M,_>M_>M/M,_+0

_murni,

sedangkan _{barisan eksak}

R-modul

₀

--> _{M,_>}

I{

__>

M'_)

0

dikatakan murni

apabila monomorfisma

M'-> M marai.

_Monornorfis

ma

f :

M,-+

_Mdikatakan

murni

apabila

untuk

setiap R-modur

kid

N

_,

/g1p:M,gN+MgN

tetap

(4)

monomorfisme. Istilah monomorfisma

mumi

ini

_pertama

kali

_dikenalkan_oleh

cohn pada tahun _{1959. Selanjutnya, berdasarkan}_{hasil penelitiau yang dilakukan}

oleh Marpnda pada tahun 1960 _{diperoleh bahwa modul}

L

_sedemikian_sehingga

Homq(- _,L) mempertahankan keeksakan suahr barisan eksak murni disebut modul

injektif-murni.

Berikut merupakan teori sistem persamaan _{linear dalam}

modul.

_Apabila

diberikan suatu

elemen (mi)i"u

e

Mr

dan suafu

mafrks

_{berhingga kolom}

(r,i),.,,1., dengan

r,

e R, maka dapat dibentuk sistem persamaan

Zx,',

=

*,

U

eJ)

dengan

x,vattabel

,

sedang)<an

I

dan J himpunan indeks yang pada umumnya

tidak berhingga-

_{Masing-masing eremen daram}

]uf

_{yang memenuhi}_system

persamaan (1) disebut penyelesaian (gtobal) sistem persamaan dalam

M.

Matriks

berhingga kolom adaiah matriks _{yang elemen setiap}_{kolomnya hampir}_semuanya

bemilai nol.

Suahr R-modui

M

dikatakan kompak secctra persdtmactn

apabila

_untuk

setiap sistem persamaan

(l)

_{yang mempunyai}_penyeiesaian_berhingga

di

M juga

mempunyai penyelesaian

global

di M.

Sistem

persamaan

(1)

dikatakan

mempunyai penyelesaian berhingga apabila

untuk

setiap himpunan bagian

berhingga.

F

c.

J

terdapat

b,

e

Msedemikian _sehingga_untuk

7e

F,

_berraku

lb'r'

=

m''

Petunjuk pertama adanya hubungan a*tara teori sistem persamaan daram

rnodul

dengan

modul injektif-murni

diawali

oreh

Fieldhouse

(1973)

yang

menemukan syarat perlu dan syamt cukup suatu submodul _{murni. Hai}_ini_menjadi

dasar bagi Dauns (1994) untuk menuiukkan _{adanya hubungan antara modul}

injektif-murni dan modul kompak secara persamaan.

Penelitian ini merupakan studi awal berupa _{studi literatur unluk penelitian}

Iebih

laryut.

Berikut merupakan _{tiqiauan pustaka dari penelitian}

ini.

_Motivasi

munculnya pengertian

modul

_{injektif-murni}_{sampai dengan syarat}

perlu

dan

cukup

suatu submod*l

mumi

seperti disebutkan

di

atas

diperoleh dalam

(5)

Zimmermann-Huisgen(2000). Hubungan barisan eksak sprit dan barisan eksak

murni _{disebutkan daram Zimmermann}

ea}q-

sedangkan _definisi_{dan sifat}

barisan eksak _{sprit diperoreh dai-}_Hazewinker

(200a).

seranjutnya, _pembukrian

syarat

perlu dan

""kd

submodul

mumi

diperoreh

dari

stenstnim(1975),

sedangkan _sifat_ekuivalensi_antara

modul injektif-murni danmodur _{kompak secara}

persamaan _diberikan_{oleh Dauns}_(lgg4).

Daram peneritian

ini

_{dibahas hubungan bansan eksak}

terpisah

barisan eksak murni, hubungan penjumlah _rangsung_dengan_submcdur

syarat _{pertu dan cukup suatu submodul murni, serla ekuivalensi}

modul

murni dengan _{modul kompak}_secara_persamqan.

deagan

murni,

injelcif-2.

SUBMODUL

MURNI

Telebih dahulu dibahas hubungan barisan eksak murni dengan barisan

eksak terpisah, serta hubrrngan penjumlah rangsung _{dengan submodur murni.}

selanjutnya, dibahas syarat perlu dan cukup suatu submodul _murni.

Berikut ini diberikan definisi dan sifat barisan _{eksak terpisah.}

Definisi 2.1L21 Bnrisqn eksak pendek R-modul

O_+M_L+M_€__+M,_)O

dikatakan split _{apabira terdapat homomorfisn'te}_cx:

M

_-+

M,

dan

B:

M,,->

M

sedemikian _{sehingga ao}

f

:lnndan

_go

g:1u,.

Kenyataannyq apabila salah satu dan

a .*u p

_{demikian ada,}_maka

yang lainnya juga ada. Hal ini seperti dinyatakan _{daram teorema}_berikut.

Teorema _{2-2 I2l}_{Apabila diberikan}_bqrisctn_eksak

R-modur

g----17r7'-\

M

--E--+

M"----)0

e)

maka _{pernyataan-pernyataan berikut}_ekuivqlen

:

a.

Bmisqn eksak

e)

terpisah.

b.

Terdapat homomotfisma

u;

M

__+

M,

_sedemibian

sehingga ao

J.=1r,.

c.

Terdapat homomorfisma

p

:

M'

)

_Mseclemikian _{sehingga g}_o

{J =1u,.

d-

M

=: M,@M,,

Berdasarkan _definisi_serta_sifat_{barisan eksak terpisah}

dan barisan eksak

murni diperoleh Lemma 2. 1.3 berikut

(6)

t

? I

Lemrna _{2.3 [6]}Setiap barisan eluak terpisah adalah merupakan barisan eksak

murni.

Bukti

Diberikapbarisan eksak R-modul (2) terpisah. Diambil sebarang N R-modul kiri.

Karsoa barisan eksak

(2)

tyrpisah, maka berdasarkan Teorema

2.2,

terdapat

homomorfisrta d, :

M

-+

M'

sedemikian sehingga a _"

f

₌

ir,.

Akibatnya

diper-oleh pemetaan cr 81N : M

@l/----+

rlf8i/

dan

(a

81") "0f

81rr) = (a _"

f)@1,

= 1r,

81r.

Hal ini berarti ,f

81,

monomorfis*u.

tr

Selanjutnya, pengertian submodul murni didefinisikan berkaitan dengan

pengertian barisan eksak murni.

Definisi

2.4

I41

Submodul

M'

dalam R-modul

M

dikatakon murni apabila

barisan elcsak A _->

M')

M

-+ M I

M'-+0

murni.

Karena setiap barisan eksak terpisah merupakan barisan eksak mumi,

nraka setiap penjunrlah langsung adalah mcrupakan submodul nrurni. Demikian

juga

setiap subruang dalam ruang vektor adalah merupakan submodul murni.

Sehingga submodul murni

trivial

dari suatu modul adalah

{0}

dan modul itu

sendiri.

Akan

tetapi

tidak

semua submodul

mumi

merupakan penjumlah

langsung, seperti diberikan dalam contoh berikut

ini-Contoh

2.5

Diberikan keluarga R-modul kanan

{M)iel},

maka

SM,

butu.,

penjumlah langsung

danflM,

,

akan tetapi @M,merupakan submodul murni

dan

nM,

,karenaur*t

rJriup R-modul

kiri

N,

pemetaan

iet,:(ov

,)*^

r-(il,ar,)e^,,,,

suatu monomorhsma.

Di samping itu, tidak semrul sutrmorlul merupakan submodul mumi.

Contoh 2.6

(7)

pendek Z-modul 0 _-+

Z-+ e

-+

_{Z /}

e

-->0 _tidakmurni.

Selanjutnya, diberikan syarat

perlu

dan cukup submodul

murni

yang

pertama kali disampaiftan oleh I--ieldhouse pada tahirn

lg73

LSl, yang juga telah

dibuktikan oleh Stenstro-

if

lzsl.

_{Untuk membuktikan sifat}_tersebut_diperlukan

lernma berikut.

Lemma 2.7 _l4lDiberikan diagram komutatif

M'

p'

,M /'

>Mr.____)o

{a' I {a II

{a,,

N'

't'

,l/

_-_z_+

iy'" ____J

₀

dengan barisan-barisan R-modul horizontal eksak dan d, suatu monomor/isma.

d," monomoifsma

jika

dan hanyajika Imr1,r-imd

=lmutrl.

Lemma 2.7 dapat dibuktikan dengan mudah dengan menggunakan definisi

keeksakan suatu barisan dan sifat komutatif diagram.

Teorema 2.8 _[4]submodul

M'

_{murni dolam R-modul kanan}

S

jit

"

dan hanya

jika

setiap sistem persomqan linear

\r,rr:

t,

(j

=1,2,3,...,n)

(1,

e M',untuk setiap

j,

ne

N,

(rr)matrtl<s berukuran k x n

punyai _{penyelesaian di}

Mjuga

_mempunyai_penyelesaion_{di M,.}

Bukti

(e)

Diambil sebarang R-modul

kiri

L.

Akan ditunjukkan M,@L--+M@L

monomorftsma. Berdasarkan sifat hasil kali _{tensor, maka dapat}

diasumsi-kan L mempunyai presentasi berhingga. Karena itu terdapat barisan eksak

Rk ---s--+ R,,

__+

Z _-____+ ₀

(4) (3)

ru e R) yang

mem-dengan cr merupakan representasi matriks (47) dengan aturan

(t _\

a:(r,)r-+lZrrr,l

j

= 1,2,...,n

\i=r )

Hasil kali tensor dengan M" dan M pada barisan (4) _{menghasilkan barisan}

eksak

(8)

M'@Rk '*o

> M'g_R"

----J

M,gL->a

i.tJ

, M&p.t

laa

,MgR"__>M@L-______+0

dengan dua panah vertikal pertama monomorfisma- Selanjutnya

berda-sarkan Lemma 2.6 diperoleh M'@L -+ M @

L

suatu monomorfisma.

I

(+)

Diasumsikan sistem persamaan

(3)

mempunyai penyelesaian

di

M.

Karena

M'

submodul murni dari M, maka untuk setiap P.-modul

kiri

L, mq

nomorfisma

M'@L

i@t' >M &

l.

murni- Dibentuk matriks (47)V"ng

*g

nentukan homomorhsmad: "Rr

:+

R'.

Sekarang, diambil

L

= Rn

llmrr

,

maka barisan Rr

--L+ R'

-+

L

-->

0

eksak. Jika setiap modul barisan ini

dikali tensor secara berturut-turut derrgan dengan R-modul kanan

M'

dan

M

diperoleh diagram komutatif seperti pada pembuktian

di

atas. Karena

itu sistem persamaan (3) mempunyai penyelesaian di

M'.

I

Teorema 2.8 memberikan indikasi adanya hubungan antara teori sistem

persamaan linear dalam modul dan

teon

modul injektif-murni, seperti yang

dibahas dalam bab berikut.

3.

I\{odul

Injektif-Murni

dan Modul Kompak secsrs persumaan

Definisi modul injektif-mumi yang diberikan oieh Maranda pada tahun

1960 dalam Huisgen-zmmennam (20c0) seperti dinyatakan dalam pendahuluan

ekuivalen dengan definisi berikut.

Definisi 3.1 [3] R-modul

L

di]ratakan modul injeldif-murni apabila untuk setiap

R-modul

A

dan

B

dengan

A

submodul

murni

dctri

B,

setiap homomorfrsma

f

: A -+

L

dapat diperluas menjadi homomorfisa

f':

B --+

L.

Berdasarkan Definisi 3.1, diperoleh Lemma 3.2 berikut ini.

Lemma 3.2

[1]

Setictp modul injektif merupakan modul injeHf-murni.

Bukti

Diberikan R-modul

M injektif.

Misalkan

A

submodul murni dari R-modul B.

Diambil sebarang homomorfisma g : A --+

M.

Karena

M

rnjektrf maka terdapat

E

(9)

Dengan

demikian,

contoh

trivial

modur iniektif-murni adalah modul

injektif.

Konvers

dari

Lemma

3.2

tidak berlaku, sebagai _{contoh z-modul}Zn

dengan a e N-

{-I,0,I

_}merupakan modul injektifqlurni yang tidak

injeltif,

Berikut ini diberikan karakterisasi dari modul injektif-murni.

Teorema

3.3

Ul

Apabila diberikan R-modul

M,

mal{a pernyataan-pernyotaqn

beribut ekuivalen:

l)

L injektif-murni

2) L

penjumlah langsung dalam setiap modul

yong

memuatnya sebagai

submodul murni.

3)

sebarang sistem persamaan dolam

L

yang

merupunyai penyelesaian

berhingga di L juga mempunyai penyelesaion _{gtobat di L.}

Bukti

l).+2)

Diasumsikan

L

submodul

murni dari

suatu modul

M,

maka terdapat

monomorfisma murni

f

:L-+

M.

_{Karenal- injektif-murni,}

makapeme-taan identitas

7r:LlL

dapat diperluas menjadi

h:M

-+r,

sehtagga

hl,.

:1r.

Akibatnya

M

=

L@(l,o -h)M

.

I

2i->3)

Diberikan

Z*,r,

=ffij

€L(i

e../)sebarang sistem persamaan linear

yang mempunyai penyelesaian berhngga di

M

dengan

I

darr J himpunan

indeks

yang umunnya

tidak berhingga.

selanjutnya, didefinisikan

I

H

=<

L,x,(i

e

l)ll.x,r,

.\fr',4--r----

_{= m1(J}e _-I)>yang _{merupakan R=modul}_kanan.

Berdasarkan 2)terdapat

K

<

H

sedemikian sehingga

H=L@K.

Lebih

lanjut, diambil sebarang

x,e

H,

maka

x;=/i+2,

dengan

y,e

L

dan

z, e

K,

sehingga

Zt,rr:

rn, untuk semua

j

e J _,sebagairelasi dalam H

i€I

meniadi

ZO,

*2,)r,t

=m,

atau

Zr,r,

-mj

- -2",r, eL.

K ₌_{0}.

iel t€l iel

Dengan kata lain

ll,r,t

=

m,

urlttksemua

i

e J .

I

(10)

3)+1)

Diberikan barisan eksak murni

0-+

A -+ B -+ B I

A-+0

.

Diambil

seba-rang homomorfisma

g:

A

- r.

Dipilih elemen-elemen b, e.B

sedemiki-an'sehingga _{B =<}

Aw

{b,li € 1} >

.

Selanjutnya dikumpulkan semua relasi

antara 6, dengan

a

e A,

j

e

J

yang berbentuk

Zb,rr

=

a,.

Diperhatikan

bahwa

Z*

O,

:

g(a

j) ,

i

e

J.

merupakan

,,r,"i,

persamaan di

L.

Seka-rang diambil

F

c

-I sebarang himpunan bagian berhingga. Karena A <* B

maka

lD,(i:aj

dengan

7e

F

mengakibatkanterdapat

c,eA

sehing-ga

lc,r,

₌at

.

Apabila kedua ruas bentuk

ini

dikenakan g maka

diper-oleh

sistem pcrsamaan

Zx/u :

g(a

j)di

L

mempunyai penyeresaian

berhingga

di

L.

Berda.".;3)

terdapat penyelesain global

X,

-

m,,e

L,

yaitu berlakt

lm'

,r,

= g(a

i)

untuk semua

j

e

J

.

Dibentuk _{h(b,) =}ry, _,

i€t

dan

misalkan

hl.r=g.

Dcngan demikian

untuk

setiap

1b,",

-o,

diper<iteh

ln@,)rr=g(ai\

untuk semu

a jeJ.

Dengan

J"*,*ur.,

terdefinisi

,

hln=gdan

h:B

->

L

perluasan dari

g

Dengan kata rain L

injektif-murni.

I

Apabila digunakan Akibat 3.3 bagian 3 dalam menentukan suatu modul

injektif-murni, perlu ditinjau sistem persamaan untuk sebarang bilangan kardinal

yang cukup besar. Hal ini menga-ntarkan pada dehnisi berikut.

Definisi 3.4

[4]

untuk sebarang bilangan kardinal tak berhingga N, modul

M

dikatakan tl'-kompak sec{tra persdmsan apabila untuk setiap system persamaan

linear

8",r,

= ffi

j

€

M(j

e

J)

dengan

lyl.

X,

yang mempunyai persamaan

berhingga di

lul

terdapat penyelesaian global di

M.

R-modut M kompak secarq

persama.an apobila modul tersebut

f

-kctmpok _{secara persamaan untuk}_semua

(11)

Berdasarkan _{Definisi 3.4}_{danTeorema 3.3, diperoreh hasil} berikut.

Akitrat 3.5 [1]

Apabila diberikan

M

R-modur

dan

r1=[max(Rl,x

)]*,

_yaitu

bilangan kardinql succesor

dori lF(l+*o,

_maka_{pernyotaan-pernyataan berikur}

ekuivalen:

t)

M kompak secarlt persamaan.

2)

M

N'-kompak secara persamaan

3)

M injelaif-muni.

Bukti

Berdasarkan Definisi 3.4 jelas berlaku

l)

₌₊2). _{Berdasarkan Teorema}_3.3_berlaku

3) <+

l)-

Berikut

ini

akan dibuktikan

2)+3)

Diberikan

A

_{submodul mumi}_dari

R-modul'B.

Misalkan

g:A-+M

_{homomorfisma R-modur}

kanan.

_Dibentuk

himpunan

S

:

{(Vr},

yaitu himpunan semua pasangan

(V,/)

dengan

A

<

V

<

U:

V

<-

B,/: V+

M _{homomorfisma R-modul kanan,}

fln

:

_A_yang_dilengkapi

dengan sifat:-untuk setiap

v'vr,...,v,,

e V,bt,b2,...,bk

eB

_dan_{ro e}

R

_sedemikian

sehingga berlaku

k

\b,r,

=v,

,=l

mengakibatkan terdapat m _t,m _2,...,m- e M _{sedemikian sehingga}

k

Z*,rr:

f|i)

j

=1,2,...,n

i=l

Jelas S

*

A.

Selanjuhrya, didefinisikan relasi

(,,

sebagai berikut

(V,f)

<'(V',-f,)

€ s <+

y

cV'dan

f\n

₌

y

Berciasarkan Lemma Zorr,

s

mempunl,ai elemen _{maksimal, misalkan}_(rr*,

f*).

Lebih lanjut, semua sistem persamaan

di M

_{dikumpulkan sedemikian}_sehingga

himp,nan sistem persamaan _{tersebut mempunyai kardinalitas kurang}_dari

atau

sama dengan

lpl+ l{o:

x.

Karena

M

ir*'- kompak secara pdrsomaan, diperoreh

homomorfisma

-f*:B->Mdengan

f*ln=p.

_Karena

A

submodul murni

dalam B, maka R-modui M injeklif-murni,

I04

(12)

I

Berdasarkan Akibat 3.5, diperoleh modul injektif-murni ekuivalen dengan

modul kompak secara persqmaan:

,

4.

KESTMPULAN

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa melalui sifat submodul

murni dalam hubungannya dengan teori sistem persamailn dalam _{modul ,}

dipero-leh

bahwa

modul injektif-murni

elsivalen

dengan

modul

lcompak secarr

persamaaru.

5.

UCAPAN TERTMA

KAS{H

Atas terselesaikannya penelitian ini, saya ucapkan terima kasih kepada

1.Ibu Indah Emilia Wijayanti, selaku dosen pembimbing yang telah memberi

masukan-masukan serta memberi dorongan.

2. Ibu Sri Wahyuni yang juga telah memberi masukan-masukan.

Penelitian

ini

merupakan sebagian dari tesis peneliti pertama dan sebagian

dibiayai melalui dana Hibah Penelitian Jumsan Matematika FMIPA UGM Tahun

Aj aran 20 I I I 20 | 2 dengan nomor kontrak 29 I I 0 I . 1 .28 /PL.-O 6.02 I 20 \ 1 .

6.

DAF-TAR PUSTAKA

[]

Dauns, Johns. 1994. Modules and Rings. Cambridge University Press, New

York.

[2]

Hazewinkel,

dkk.

1994" Hazewinkel, Michiel, et a1., 2005, Algebras, Rings

and Modules, Volume 1, KluwerAcademic Publishers, New York.

[3]

Prest, Mike-

2008.

Pure-injective

Modules-diakses tanggal 16 Januari 2012 pukul 16.50.

Stenstr6m, Bo. 1975- Ring af _{Quolrenr. Springer}Verlag, New

York-Zimmermann-Huisgen, B-

2000.

Purigt, algebraic compactnes4 direct sum

decompositions, and representation type, in Infinite Length Modules, Trends

in Mathematics, Birkhausser Verlaag, 33 I -367.

[6]

Zimmermann,

W-

2004. Pure-injective Modules, H-subgroup and duality

diakses melaiui tanggal30 Maret 2012 pukui 19-45

141