Materi Pemrograman Linier

Linear Programming

(Pemrograman Linier)

Program Studi Statistika

Dual Problem



Inverse dari LP (Primal)



Bukan lagi masalah optimal bagi peubah

keputusan



Masalah optimal bagi sumber daya



Untuk mempelajari efek

perubahan-perubahan koefisien dan ketersediaan

sumber daya pada hasil optimal



Seolah-olah sumber daya mempunyai ‘harga’

dan menjadi aset: konsep “

shadow price”



Bagaimana memanfaatkan aset tersebut

dengan optimal

Menentukan Dual Problem dari

suatu LP (Primal)



LP semula dinamakan Primal Problem



Jika Primal kasus max

→ Dual kasus min

 



Jika Primal kasus min

→ Dual kasus max

 



Dibedakan dari tipe permasalahan

◦

Masalah max yang normal: semua peubah non

negatif dan semua kendala

≤

Secara Umum



Primal

◦

Normal

Max

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

) ,..., 1 ( , 0 ... . . . ... ... . . ... max 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 2 2 1 1 n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s x c x c x c z j m n mn m m n n n n n n                    Dual:

◦ Normal min

◦ Invers dari

Primal

◦ Dengan setiap

peubah

mewakili setiap

kendala 0,( 1,..., )

Dalam bentuk Tabel Primal vs

Dual

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Primal: max z

(x

₁

≥0) (x

₂

≥0)

…

(x

_n

≥0)

 

x

₁

x

₂

…

x

_n

a

₁₁

a

₁₂

…

a

_1n

≤b1

a

₂₁

a

₂₂

…

a

_2n

≤b2

…

 

 

…

…

a

_m1

a

_m2

…

a

_mn

≤b

_m

y

₁

y

₂

…

y

_m

Dual: min w

 

(y

₁

≥0)

(y

₂

≥0)

…

(y

_m

≥0)

 

≥c

1

≥c

2

…

≥c

n

 

Kendala dual ke-j

bersesuaian

dengan peubah

primal ke-j

Peubah dual ke-i

bersesuaian

Contoh LP Dakota sebagai Primal

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

0

,

,

carpentry)

(jam

8

5

.

0

5

.

1

2

finishing)

(jam

20

5

.

1

2

4

kayu)

(bahan

48

6

8

.

.

20

30

60

max

3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1



























x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

t

s

x

x

x

z

x

₁

: jumlah

bangku

Konsep Dual untuk Masalah

Dakota

Seolah-olah Dakota akan menjual seluruh sumber daya

(aset) nya, kepada pihak lain.

Peubah dari dual adalah harga dari setiap sumber daya ◦Kayu dengan harga y1

◦Jam finishing dengan harga y2

◦Jam carpentry dengan harga y3

Fungsi obyektif adalah minimum total biaya yang harus

dikeluarkan oleh pihak pembeli aset

◦Total persediaan kayu 48 unit (dengan harga y1)

◦Total persediaan jam finishing 20 jam (dengan harga y2)

◦Total persediaan jam carpentry 8 jam (dengan harga y3)

3 2

1

20

8

48

Konsep Dual untuk Masalah

Dakota



Kendala pada Dual: ‘konsep opportunity cost’,



Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan

bangku lebih besar daripada harga bangku



Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan

meja lebih besar daripada harga meja



Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan

kursi lebih besar daripada harga kursi

0

,

,

carpentry)

(jam

8

5

.

0

5

.

1

2

finishing)

(jam

20

5

.

1

2

4

kayu)

(bahan

48

6

8

.

.

20

30

60

max

3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1



























x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

t

s

x

x

x

z

Produk Nilai Jual Aset

Yang dipakai untuk produksi Harga produk Bangku Meja Kursi 3 2

1

4

2

8

y



y



y

Harga setiap aset/sumber daya adalah

y

_i

,

i=1,

2, 3

x

₁

: jumlah

bangku

x

₂

: jumlah meja

x

₃

: jumlah kursi

60

3 2

1

2

1

.

5

6

y



y



y

30

3 2

1 1.5y 0.5y

y   20

Dalam bentuk Tabel Primal vs

Dual Dakota Problem

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Primal: max z

(x

₁

≥0

)

(x

₂

≥0

)

(x

₃

≥0

)

 

x

₁

x

₂

x

₃

8

6

1

≤48

4

2

1.5 ≤20

2

1.5

0.5

≤8

y

₁

y

₂

y

_m

Dual: min

w

 

(y

₁

≥0

)

(y

₂

≥0

)

(y

₃

≥0

)

 

≥60 ≥30 ≥20

 

Contoh Primal Pada Diet Problem

10

4

4

2

2

x

₁



x

₂



x

₃



x

₄



8

5

4

2

x

₁



x

₂



x

₃



x

₄



0

,

,

,

_{2 3 4}

1

x

x

x



x

4 3

2

1

20

30

80

50

min

z



x



x



x



x

500

500

150

200

400

x

₁



x

₂



x

₃



x

₄



6

2

3

x

₁



x

₂



(Calorie constraint) (Chocolate constraint)

(Sugar constraint)

Konsep Dual untuk Diet Problem

Pada primal, peubah adalah jumlah makanan yang harus

dibeli

◦Memenuhi kebutuhan nutrisi ◦Dengan biaya minimum

Pada dual, kita seolah-olah menjadi kolektor nutrisi: ◦Kalori, coklat, gula dan lemak

◦Sejumlah kebutuhan yang harus dipenuhi pada Primal

Nutrisi tersebut adalah aset yang kita jual

◦Keputusan: berapa harga per nutrisi agar keuntungan maksimum

Kendala dari sudut pandang calon pembeli:

◦Harga nutrisi sesuai komposisinya jika dibuat makanan harus lebih murah daripada harga makanan masing-masing

10 4

4 2

2x₁  x₂  x₃  x₄ 

8 5

4

2x₁  x₂  x₃  x₄ 

0 ,

,

, _{2 3 4}

1 x x x 

x

4 3

2

1

20

30

80

50

min

z



x



x



x



x

500 500

150 200

400x₁ x₂  x₃  x₄ 

6 2

3x₁ x₂ 

(Calorie constraint) (Chocolate constraint)

(Sugar constraint)

(Fat constraint) s.t.

x₁: jumlah Brownie

x₂: jumlah Ice Cream

x₃: jumlah Soda

x₄: jumlah Cheesecake

y₁: harga per unit kalori

y₂: harga per unit coklat

y₃: harga per unit gula

y₄: harga per unit lemak

Makanan Nilai Jual

Nutrisi

Harga makanan

Brownie Ice cream Soda

Cheesecake

4 3

2

1 3 2 2

400y  y  y  x ₅₀

4 3

2

1 2 2 4

200y  y  y  x ₂₀

4 3 1 4

150y  y  x ₃₀

4 3

1 4 5

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

50 2

2 3

400y₁  y₂  y₃  y₄ 

20 4

2 2

200y₁  y₂  y₃  y₄ 

30 4

150y₁  y₃  y₄ 

80 5

4

500y₁  y₃  y₄ 

Kendala dari sudut

pandang pembeli koleksi nutrisi kita

Tujuan penjualan

nutrisi?

Pendapatan maksimum:

- Jumlah/persediaan setiap nutrisi kali

harga setiap unit nutrisi

4 3

2

1

6

10

8

500

Dalam bentuk Tabel Dual vs

Primal Diet Problem

Primal: min z

(x

₁

≥0

)

(x

₂

≥0

)

(x

₃

≥0

)

(x

₄

≥0

)

 

X

₁

x

₂

x

₃

x

₄

400 200 150 500 ≥500

3

2

0

0

≥6

2

2

4

4

≥10

2

4

1

5

≥8

y

₁

y

₂

y

_m

Dual: max

w

 

(y

₁

≥0)

(y

₂

≥0)

(y

₃

≥0)

 

≤50 ≤20 ≤30 ≤80 

4 3

2

1 6 10 8

500

maxw  y  y  y  y

50 2

2 3

400y₁  y₂  y₃  y₄ 

20 4

2 2

200y₁  y₂  y₃  y₄ 

30 4

150y₁  y₃  y₄ 

80 5

4

500y₁ y₃  y₄ 

s.t.

0 ,

,

, _{2 3 4}

1 y y y 

Teorema Dual (

Weak

Duality

)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

) ,..., 1 ( , 0 ... . . . ... ... . . ... max 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 2 2 1 1 n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s x c x c x c z j m n mn m m n n n n n n                   ) ,..., 1 ( , 0 ... . . . ... ... . . ... min 2 2 1 1 2 2 2 22 1 12 1 1 2 21 1 11 2 2 1 1 m i y c y a y a y a c y a y a y a c y a y a y a t s y b y b y b w i n m mn n n m m m m m m                  



























n

x

x

x

...

2 1

x

y





y

1

y

2

...

y

m



Solusi

feasibel dari

primal:

Solusi

feasibel dari

dual:

y

x

untuk

untuk

w

z



Contoh

Weak Duality

pada

Dakota Problem

0

,

,

carpentry)

(jam

8

5

.

0

5

.

1

2

finishing)

(jam

20

5

.

1

2

4

kayu)

(bahan

48

6

8

.

.

20

30

60

max

3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1



























x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

t

s

x

x

x

z























1

1

1

x

Solusi

feasibel dari

primal.

 

1

30

 

1

20

 

1

110

60









z

Dengan nilai

z

:

Tidak ada solusi dual

feasibel dengan w<110 Semua solusi dual feasibel mempunyai w≥110

110



z

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

0

,

,

20

5

.

0

5

.

1

30

5

.

1

2

6

60

2

4

8

.

.

8

20

48

min

3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1



























y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

t

s

y

y

y

w

y





10

10

₀



Solusi

feasibel dari

Dual.

 

10

20

 

10

8

 

0

680

48









w

Dengan nilai

w

:

Semua solusi primal feasibel mempunyai z≤680

Tidak ada solusi primal feasibel dengan z>680

680



w

Teorema Dual (

Strong Duality

)



























n

x

x

x

...

2 1

x

y





y

1

y

2

...

y

m



Solusi

optimal dari

primal:

Solusi

optimal dari

dual:

Maka akan berlaku:

max

z



min

w

b

y

x

c



Jika

BV

adalah basis optimal bagi primal

maka solusi optimal dari dual adalah:

1





c

_BV

B

Solusi Dual Dakota Problem

berdasarkan Teorema Dual:

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  

 

  

 



  



5 . 1 5 . 0 0

4 2

0

8 2

1

1

B



0

20

60





BV

c

1 

c B

y _BV



s

₁

,

x

₃

,

x

₁



BV



Basis optimal bagi

primal



0

10

10





Solusi optimal bagi dual:

10

,

10

,

0

_{2 3}

1



y



y



y

 

0

20

 

10

8

 

10

280

48









w

Harga setiap aset/sumber daya adalah:

-Kayu (y₁) seharga $0

-Jam finishing (y₂) seharga $10

-Jam carpentry (y₃) seharga $10

Membaca Solusi Dual dari

Optimal Tableau

Solusi dual dapat diperoleh dari baris nol tableau optimal

(Primal)

Tergantung dari tipe permasalahan primal, max atau min Karena peubah dual mewakili kendala dual:

◦ Tergantung pula dari tanda pada kendala (≤, ≥, =)

Tanda pada kendala

Solusi Dual ke-i dari baris nol tableau optimal

≤ Koefisien s_i

≥ (-) Koefisien e_i

= Koefisien a_i - M

PRIMAL kasus

MAX

PRIMAL kasus

MIN

Tanda pada kendala

Solusi Dual dari baris nol tableau optimal

≤ Koefisien s_i

≥ (-) Koefisien e_i

Tableau Optimal Dakota’s

Problem

 Semua kendala pada Dakota’s Problem Primal adalah ≤

 Solusi dual (y_i, i=1, 2, 3), berhubungan dengan masing-masing kendala  Sehingga pada baris nol tableau optimal primal, solusi dual adalah

koefisien si, i=1, 2, 3

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Tablea

u 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV

Baris 0 1 0 5 0 0 10 10 280 z=280

Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24 s1=24

Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8

Baris 3



0

 

1

₀

1.25

10

10



0 0 -0.5 1.5 2 x1=2

3 2

1

y

y



y

min

w



max

z



280

Harga setiap aset/sumber daya adalah:

-Kayu (y₁) seharga $0

-Jam finishing (y₂) seharga $10

Tableau Optimal Diet’s

Problem

BV z=90 x3=1 e4=5 e1=4 32 x2=3 z x1 x2 x3 x4 e1 e2 e3 e4 a1 a2 a3 a4 rhs

1 -2,75 0 0 -50 0 -2,5 -7,5 0 02,5-M 7,5-M 7,5-M 90 Baris

1 0 -0,25 0 1 1 0 0,25 -0,25 0 0 -0,25 0,25 0 1 Baris

2 0 3,75 0 0 -4 0 -1,75 -0,25 1 0 1,75 0,25 -1 5 Baris

3 0 -1 0 0

-495,6 1

-126,2 -46,6 36,4 -1 126,2 46,6 -36,4 432 Baris

4 0 1,5 1 0 0 0 -0,5 0 0 0 0,5 0 0 3  Semua kendala pada Diet’s Problem Primal adalah ≥

 Solusi dual (y_i, i=1, 2, 3, 4), berhubungan dengan masing-masing kendala  Sehingga pada baris nol tableau optimal primal, solusi dual adalah (-)

koefisien ei, i=1, 2, 3, 4



y

₁

y

₂

y

₃

y

₄

 



0

2

.

5

7

.

5

0



Harga setiap aset nutrisi adalah:

-Kalori (y₁) seharga $0

-Coklat (y₂) seharga $2.5

-Gula (y₃) seharga $7.5

-Lemak (y₄) seharga $0

90

min

max

w



z



Konsep

Shadow Prices

(Harga

Bayangan)



Shadow Price

kendala ke-

i

suatu LP:

◦

Ukuran seberapa banyak perbaikan nilai

optimal

z

jika jumlah sumber daya

(koefisien rhs) bertambah satu unit



Dapat dianalisis dari konsep dual

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc



i



Δb

z

z

baru

max

lama

_i

harga

bayangan

kendala

ke

-max







i



Δb

z

z

baru

min

lama

_i

harga

bayangan

kendala

ke

Konsep Shadow Price dari

Dakota’s Problem



Nilai optimal keuntungan

280

max

z





Diperoleh pada ketersediaan:



48 unit kayu



20 jam finishing



8 jam carpentry

Dari dual:



Setiap unit kayu berharga $0



Setiap jam finishing berharga $10



Nilai optimal

z

dapat dinyatakan dalam peubah dual:

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

3 2

1

20

8

48

max

z



y



y



y

 

0

20

 

10

8

 

10

280

48











Harga bayangan finishing hour adalah:



Perbaikan (penambahan) nilai

z

ketika

persediaan finishing hour bertambah 1 jam

21

20

₁

2





b



b

3 2

1

21

8

48

'

max

z



y



y



y

3 2

1

20

8

48

max

z



y



y



y

Perbaikan z

sebesar y₂ =

$10: Shadow

Price

 

0

21

 

10

8

 

10

290



Solusi optimal peubah dual ke-

i adalah

shadow price dari kendala ke-

i masalah Primal

i

i

y

Δb

z

z

baru



max

lama



max

1



i

Δb

max

z

lama

-

max

z

baru



y

_i



Harga bayangan kayu adalah:



Perbaikan (penambahan) nilai

z

ketika

persediaan kayu bertambah 1 unit

0

$

1



y



Harga bayangan carpentry hour adalah:



Perbaikan (penambahan) nilai

z

ketika

persediaan carpentry hour bertambah 1

Konsep

Complementary

Slackness

Dengan logika:



Sumber daya yang habis terpakai (

s

_i

atau

e

_i

=0),

pasti sangat berharga



Penambahan satu unit dari sumber daya tsb akan

menaikkan nilai

z

(harga bayangan

y

i

>

0)



Sumber daya yang tidak habis terpakai (

s

_i

atau

e

_i

>0), dianggap tidak berharga (harga bayangan

y

i

=

0)

◦ Tidak perlu melakukan penambahan, tidak akan menaikkan nilai z

Teorema

Complementary

Slackness



x

akan primal optimal dan

y

akan dual

optimal jika dan hanya jika:























1

1

1

x





m

y

y

y

_{1 2}

...



y

Peubah

primal

Peubah

Dual

)

,...,

1

(

0

i

m

y

s

_{i i}





)

,...,

1

(

0

j

n

x

Dari Dakota’s Problem

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Kayu bersisa 24 unit

Finishing hour habis terpakai → penambahan akan  

meningkatkan nilai z dengan tambahan produksi 

Carpentry hour habis terpakai → penambahan akan  

meningkatkan nilai z dengan tambahan produksi

280

,

0

,

24

,

8

,

0

,

2

:

x

₁



x

₂



x

₃



s

₁



s

₂



s

₃



z



BFS

Perbaikan nilai z berdasarkan konsep shadow price

Tambahan kayu, $0

Tambahan finishing hour $10

Tambahan carpentry hour $10

s

_i

y

_i

)

,...,

1

(

0

i

m

y