Penaksiran Mean Stratum pada Sampling Acak Stratifikasi dengan Menggunakan Metode Empirical Bayes

(1)

Penaksiran Mean Stratum pada Sampling Acak Stratifikasi dengan Menggunakan Metode Empirical Bayes

Sisca Agnessia

Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 [email protected]

Abstrak

Dalam Penelitian ini akan dicari taksiran mean stratum pada sampling acak stratifikasi. Pada sampling acak stratifikasi, seringkali hanya tersedia beberapa pengamatan pada masing-masing strata. Kecilnya ukuran sampel akan menyebabkan penaksir langsung dari mean stratum menjadi kurang tepat. Metode alternatif yang dapat digunakan untuk menaksir mean dari stratum adalah dengan menggunakan metode Empirical Bayes. Metode Empirical Bayes digunakan untuk mencari taksiran mean stratum pada sampling acak stratifikasi dengan cara menggabungkan informasi awal atau informasi yang telah tersedia sebelumnya tentang parameter yang akan ditaksir dengan informasi dari data sampel. Informasi awal disebut juga informasi prior. Penggabungan dari informasi prior dan informasi dari data akan menghasilkan informasi posterior. Dalam metode Empirical Bayes, informasi prior tidak tersedia sehingga informasi prior diestimasi dari data

.

Kata kunci : mean stratum, Empirical Bayes, informasi prior, informasi posterior.

Abstract

In this research will find the estimated stratum mean in stratified random sampling. In the stratified random sampling, often only available a few observations in each strata. The small sample size would cause a direct estimator of the mean stratum becomes less precise. Alternative methods that can be used to estimate the mean of the stratum is to use the Empirical Bayes method. Empirical Bayes methods used to find the estimated mean stratum in stratified random sampling by combining the initial information or information that has been available previously on the parameters to be estimated with information from the data sample. Preliminary information also known as prior information. The incorporation of prior information and information from the data will result in posterior information. In the Empirical Bayes method, prior information is not available so the information estimated from prior data.

Keywords : stratum mean, Empirical Bayes, prior information, posterior information.

1. PENDAHULUAN

Dalam melakukan penelitian diperlukan data- data yang mendukung penelitian tersebut. Terdapat dua pilihan yang umum digunakan untuk mengumpulkan data. Pertama, penelitian dilakukan dengan mengumpulkan dan memeriksa setiap unit dalam populasi. Namun, seringkali tidak mungkin untuk meneliti setiap unit dalam populasi. Hal ini dikarenakan keterbatasan waktu, biaya, dan kendala- kendala lainnya. Dalam keadaan seperti ini dapat dilakukan cara lain untuk mengumpulkan data yaitu dengan melakukan pengambilan sampel. Dengan melakukan pengambilan sampel dapat diteliti karakteristik atau ciri dari populasi.

Populasi merupakan keseluruhan elemen-elemen yang merupakan objek penelitian dimana penelitian akan dilakukan. Berdasarkan ukurannya, populasi dapat dibagi menjadi dua macam, yaitu populasi terbatas (finite population) dan populasi tidak terbatas (infinite population). Populasi terbatas adalah kumpulan dari jumlah terhingga objek atau elemen yang jumlahnya dapat dihitung dan diketahui dengan pasti. Sedangkan, pada populasi tidak terbatas jumlah

elemennya sangat besar dan tidak dapat diketahui dengan pasti.

Sampel merupakan bagian dari populasi yang dipilih dengan metode tertentu, yang digunakan sebagai informasi untuk menggambarkan sifat atau ciri yang dimiliki populasi. Ada berbagai macam metode yang dapat digunakan dalam pengambilan sampel. Salah satunya adalah dengan teknik sampling acak stratifikasi (stratified random sampling).

Sampling acak stratifikasi merupakan teknik pengambilan sampel yang digunakan pada populasi yang heterogen. Dalam sampling acak stratifikasi, populasi yang heterogen dikelompokkan ke dalam beberapa subpopulasi yang homogen yang disebut stratum, kemudian diambil sampel secara acak dari masing-masing stratum untuk diteliti.

Secara umum, tujuan dari pengambilan sampel adalah untuk menaksir parameter populasi. Salah satu parameter yang ditaksir melalui sampel adalah mean populasi. Pada sampling acak stratifikasi, mean dari stratum dapat ditaksir. Pada sampling acak stratifikasi, seringkali hanya tersedia beberapa pengamatan pada masing-masing strata. Kecilnya ukuran sampel akan menyebabkan penaksir langsung

(2)

dari mean stratum menjadi kurang tepat dikarenakan standard error dari penaksir mean stratum yang besar.

Metode alternatif yang dapat digunakan untuk menaksir mean dari stratum adalah dengan menggunakan metode Empirical Bayes. Metode Bayes merupakan metode yang menggabungkan informasi awal atau informasi yang telah tersedia sebelumnya tentang parameter yang akan ditaksir dengan informasi dari data sampel. Informasi awal atau informasi yang telah tersedia sebelumnya disebut juga informasi prior. Informasi prior diperoleh dari distribusi tentang parameter tersebut, yaitu melalui pdf prior. Pada metode Empirical Bayes, parameter dari distribusi prior tidak diketahui. Karena parameter distribusi prior tidak diketahui, maka parameter tersebut harus diestimasi. Pada metode Empirical Bayes, parameter tersebut diestimasi dari data.

Pada penelitian ini akan dibahas mengenai penaksiran mean stratum pada sampling acak stratifikasi dengan menggunakan metode Empirical Bayes.

2. METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang terkait dengan penelitian. Berikut ini akan dijabarkan teori yang digunakan dalam penelitian ini.

Metode Bayes merupakan metode yang menggabungkan informasi awal atau informasi yang telah tersedia sebelumnya tentang parameter yang akan ditaksir dengan informasi dari data sampel.

Informasi awal atau informasi yang telah tersedia sebelumnya disebut juga informasi prior. Informasi prior diperoleh dari distribusi tentang parameter tersebut, yaitu melalui pdf prior. Penggabungan dari informasi prior dan informasi dari data akan menghasilkan informasi posterior. Dari informasi posterior akan diperoleh taksiran dari parameter yang diinginkan.

Berikut ini akan digambarkan pendekatan Bayesian untuk masalah penaksiran. Misalkan suatu variabel random X yang memiliki distribusi yang bergantung pada θ, dimana θ adalah elemen dari suatu himpunan Ω. Sebagai contoh, jika θ adalah mean dari distribusi normal dengan variansi diketahui, maka Ω adalah garis bilangan riil. Sebelumnya didefinisikan bahwa θ suatu konstanta meskipun nilainya tidak diketahui. Sekarang diperkenalkan suatu variabel random Θ yang memiliki distribusi probabilitas di himpunan Ω. Misalkan x merupakan nilai yang mungkin dari variabel random X dan θ merupakan nilai yang mungkin untuk variabel random Θ.

Didefinisikan bahwa pdf dari Θ adalah h(θ) dan h(θ)

= 0 saat θ bukan elemen dari Ω. Selanjutnya didefinisikan pdf bersyarat X diberikan Θ = θ yaitu f(x| θ).

Misalkan X₁, X₂,…Xn adalah sampel random

distribusi bersyarat X diberikan Θ = θ, dengan demikian dapat dituliskan pdf bersama bersyarat X₁, X₂,…Xn diberikan Θ = θ sebagai berikut:

𝑓 𝑥1, … , 𝑥𝑛 𝜃 = 𝑓 𝑥₁ 𝜃 𝑓 𝑥₂ 𝜃 … 𝑓(𝑥_𝑛|𝜃) (2.1) persamaan (2.1) sering disebut juga sebagai fungsi likelihood.

Pdf bersama bersyarat X1, X2,…Xn diberikan Θ

= θ dapat dinyatakan sebagai berikut

𝑓 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 𝜃 = 𝑔(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, 𝜃)

𝑕(𝜃)

Sehingga, dari persamaan di atas diperoleh pdf bersama dari X₁, X₂, … , Xn dan Θ adalah

𝑔 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛, 𝜃 = 𝑓 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 𝜃 ∙ 𝑕(𝜃) 𝑔(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, 𝜃) = 𝑓 𝑥1 𝜃 … 𝑓 𝑥_𝑛 𝜃 𝑕(𝜃) (2.2) jika Θ variabel random kontinu, maka joint marginal pdf dari X₁, X₂,…Xn adalah:

𝑔₁ 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑔(𝑥_−∞^∞ 1, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛, 𝜃)𝑑𝜃 (2.3) Sedangkan pdf bersyarat dari Θ diberikan X₁ = x₁, …, X_n = x_nadalah :

𝑘 𝜃 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 =𝑔 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛, 𝜃 𝑔1 𝑥₁, 𝑥2, … , 𝑥𝑛

=𝑓 𝑥1 𝜃 𝑓 𝑥₂ 𝜃 … 𝑓 𝑥_𝑛 𝜃 𝑕(𝜃) 𝑔1 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛

(2.4) Hubungan persamaan (2.4) diatas merupakan bentuk dari formula Bayes.

Seringkali statistikawan menulis formula Bayes 𝑘 𝜃 𝑥₁, … , 𝑥_𝑛 proporsional ke 𝑔(𝑥₁, … , 𝑥_𝑛, 𝜃), sehingga :

𝑘 𝜃 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∝ 𝑓 𝑥1 𝜃 … 𝑓 𝑥𝑛 𝜃 𝑕(𝜃) (2.5) dimana h(θ) disebut pdf prior dari Θ dan pdf bersyarat k(θ |x) merupakan pdf posterior dari θ. Statistikawan sering menyatakan formula bayes seperti persamaan (2.5) dikarenakan bagian penyebut dari persamaan (2.4), yaitu 𝑔 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , merupakan fungsi yang tidak bergantung pada θ, sehingga dapat dihilangkan.

Maka formula Bayes 𝑘 𝜃 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 dapat dinyatakan proporsional ke 𝑔(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛, 𝜃) seperti pada persamaan (2.5).

Metode Empirical Bayes merupakan suatu metode inferensi statistik dimana informasi prior diestimasi dari data. Berger (1985) menjelaskan bahwa prosedur Empirical Bayes adalah dimana diketahui hubungan antara koordinat vektor parameter, katakan 𝛉 = (𝜃₁, … , 𝜃_𝐿)^𝑇, dan untuk mengetahui bentuk distribusi dari parameter- parameter tersebut dapat digunakan informasi dari data.

Pada parametric Empirical Bayes, parameter yang ditaksir diasumsikan memiliki distribusi prior dari kelas parametrik, dimana hyperparameter (parameter dari distribusi prior) tidak diketahui.

Karena parameter distribusi prior tidak diketahui, maka parameter tersebut harus diestimasi. Pada metode Empirical Bayes parameter distribusi prior tersebut akan diestimasi dari data, yaitu dari distribusi marginal dari data. Untuk mendapatkan taksiran dari parameter distribusi prior tersebut biasanya dapat

(3)

digunakan metode maximum likelihood atau metode momen dari distribusi marginal data.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Misalkan populasi distratifikasi dalam L stratum masing-masing berukuran N₁, N₂,... , N_L. Misalkan y_ji menyatakan karakteristik yang diamati yang berkaitan dengan unit ke-i dalam stratum ke-j (i = 1, ... , N_j ; j = 1, ... , L). Sampel berukuran n_j diambil pada stratum ke-j, dan tanpa mengurangi keumuman misalkan nilai sampel dinyatakan oleh 𝑦𝑗1, … , 𝑦𝑗 𝑛_𝑗 (j = 1, ... , L).

Misalkan 𝐲_𝑗 = (𝑦_𝑗1, … , 𝑦_{𝑗 𝑛}_𝑗) dan 𝑦 _𝑗 =

1

𝑛_𝑗 𝑦𝑗𝑖 𝑛_𝑗

𝑖=1 . Permasalahannya adalah bagaimana menaksir mean populasi untuk stratum ke-j, yaitu μ_j, dimana 𝜇𝑗 =_𝑁¹

𝑗 𝑦𝑗𝑖

𝑁_𝑗 𝑖=1 .

Untuk menaksir μ_j, diasumsikan sebagai berikut:

(i) yji mutually independent. Untuk unit yang masuk ke dalam stratum ke-j, 𝑦𝑗1, … , 𝑦𝑗 𝑁_𝑗 berdistribusi normal dengan mean θ_j dan variansi σ².

(ii) θ1, ... , θ_L ~ iid N (m, τ²).

Mean populasi untuk stratum ke-j, yaitu μ_j dapat dinyatakan oleh

𝜇_𝑗 = 1

𝑁_𝑗 𝑦_𝑗𝑖

𝑛_𝑗

𝑖=1

+ 𝑦_𝑗𝑖

𝑁_𝑗

𝑖=𝑛_𝑗+1

dimana i = n_j+1, ... , N_j merupakan unit yang tidak tersampel. Dengan menggunakan prinsip yang sama seperti pada sampling acak sederhana maka μj

diestimasi oleh 𝐸 𝜇𝑗|𝐲𝑗 = 1

𝑁𝑗 𝑛𝑗𝑦 𝑗+ 𝑁𝑗− 𝑛𝑗 𝐸 𝜃𝑗 𝐲𝑗 Nilai 𝐸 𝜃_𝑗 𝐲_𝑗 merupakan nilai ekspektasi bersyarat θj

diberikan y_j, dimana ini merupakan nilai mean dari distribusi bersyarat θj diberikan y_j , atau nilai mean dari distribusi posterior dari θj. Oleh karena itu, sebelumnya akan dicari terlebih dahulu mean dari distribusi posterior dari θj.

Dengan menggunakan formula Bayes pada persamaan (2.5), dapat diperoleh pdf posterior dari θ_j sebagai berikut

𝑝 𝜃𝑗|𝐲𝑗 ∝ 𝑓 𝐲𝑗|𝜃𝑗 𝑝 𝜃𝑗

∝ 1 2𝜋𝜎²

𝑛2

𝑒⁻^2𝜎¹² ^{𝑛 𝑗}^𝑖=1^𝑦^𝑗𝑖^−𝜃^𝑗 ² 1 2𝜋𝜏²𝑒⁻

𝜃_𝑗−𝑚 ² 2𝜏²

∝ exp −_2𝜎¹₂ 𝑦𝑗𝑖 − 𝜃𝑗 2 𝑛_𝑗

𝑖=1 . exp −^𝜃^𝑗_2𝜏^−𝑚₂ ²

∝ exp −¹₂ 𝜃_𝑗² _𝜎^𝑛^𝑗₂+_𝜏¹₂ − 2𝜃_𝑗 ^𝑛_𝜎^𝑗^𝑦₂^𝑗+_𝜏^𝑚₂ +

𝑦_𝑗𝑖² 𝑛 𝑗𝑖=1

𝜎² +^𝑚_𝜏₂² (3.1)

Misalkan a, b, dan c merupakan koefisien dari polinomial kuadrat dari θ_j pada persamaan terakhir, dimana

𝑎 = 𝑛𝑗

𝜎²+ 1 𝜏² 𝑏 =𝑛_𝑗𝑦 _𝑗

𝜎² +𝑚 𝜏² 𝑐 = 𝑛_𝑗 𝑦𝑗𝑖2

𝑖=1

𝜎² +𝑚² 𝜏²

maka persamaan (3.1) dapat ditulis sebagai 𝑝 𝜃𝑗|𝐲𝑗 = exp −1

2 𝑎𝜃_𝑗²− 2𝑏𝜃𝑗+ 𝑐 = exp −𝑎

2 𝜃𝑗2−2𝑏 𝑎 𝜃𝑗 +𝑐

𝑎

Dengan menggunakan teknik melengkapkan kuadrat, maka persamaan (3.1) dapat ditulis sebagai

𝑝 𝜃𝑗|𝐲𝑗 = exp −𝑎

2 𝜃𝑗2−2𝑏 𝑎 𝜃𝑗+𝑏²

𝑎²−𝑏² 𝑎²+𝑐

𝑎

∝exp −𝑎

2 𝜃_𝑗−𝑏 𝑎

2

Dapat dilihat bahwa distribusi posterior dari θ_j adalah normal dengan mean v dan variansi w, dimana

𝑣 =𝑛𝑗𝑦 𝑗𝜏²+ 𝑚𝜎² 𝑛_𝑗𝜏²+ 𝜎² dan

𝑤 = 𝜎²𝜏² 𝑛_𝑗𝜏²+ 𝜎² Misalkan ^𝜎²

𝜏² = 𝜆, maka 𝑣 =𝑛𝑗+ 𝜆 − 𝜆

𝑛𝑗+ 𝜆 𝑦 𝑗+ 𝜆 𝑛𝑗+ 𝜆𝑚 Misalkan _{𝜆 + 𝑛}^𝜆

𝑗 = 𝐵𝑗, maka 𝑣 = 1 − 𝐵𝑗 𝑦 𝑗+ 𝐵𝑗𝑚

Sehingga nilai mean dari distribusi posterior dari θj

adalah

𝐸 𝜃𝑗 𝐲𝑗 = 1 − 𝐵𝑗 𝑦 𝑗+ 𝐵𝑗𝑚

Dengan demikian penaksir Bayes dari μ_j diestimasi oleh

𝐸 𝜇_𝑗|𝐲_𝑗 = 1 𝑁_𝑗 𝑛_𝑗𝑦 _𝑗

+ 𝑁_𝑗− 𝑛_𝑗 1 − 𝐵_𝑗 𝑦 _𝑗+ 𝐵_𝑗𝑚 (3.2) Karena ada parameter-parameter dari penaksir yang tidak diketahui yaitu λ dan m, maka pada analisis Empirical Bayes, parameter λ dan m akan diestimasi dari data.

Pertama, akan dicari taksiran dari λ. Karena 𝜆 =^𝜎_𝜏₂², maka untuk menaksir λ akan dicari terlebih dahulu taksiran dari σ² dan τ². Sebelumnya didefinisikan mean square between (MSB) dan mean square within (MSW) sebagai berikut

(4)

𝑀𝑆𝐵 = 1

𝐿 − 1 𝑛_𝑗 𝑦 _𝑗− 𝑦 ²

𝐿

𝑗 =1

𝑀𝑆𝑊 = 𝑛_𝑇− 𝐿 ⁻¹ 𝑦_𝑗𝑖 − 𝑦 _𝑗 ²

𝑛_𝑗

𝑖=1 𝐿

𝑗 =1

dimana 𝑛_𝑇= ^𝐿_{𝑗 =1}𝑛_𝑗 dan 𝑦 = ^𝐿^{𝑗 =1}_𝑛^𝑛^𝑗^𝑦^𝑗

𝑇

Untuk menaksir σ² dan τ², akan digunakan Lemma 1 dari Ghosh dan Meeden (1997). Lemma 1 berikut memberikan dua moment pertama dari MSB dan MSW.

Lemma 1.

𝐸 𝑀𝑆𝑊 = 𝜎² 𝑉 𝑀𝑆𝑊 = 2𝜎⁴

𝑛_𝑇− 𝐿

𝐸 𝑀𝑆𝐵 = 𝜎²+_𝐿−1^𝑕𝜏² , dimana 𝑕 = 𝑛𝑇− ^𝐿^{𝑗 =1}_𝑛 ^𝑛^𝑗²

𝑇

𝑉 𝑀𝑆𝐵 = 2 𝐿 − 1 ² 𝐿 𝜎𝑗4

𝑗 =1 + 𝐿 𝑛𝑗𝜎𝑗2 𝑗 =1

2

𝑛²_𝑇

−2 ^𝐿_{𝑗 =1}𝑛_𝑗𝜎_𝑗⁴ 𝑛𝑇 dimana 𝜎_𝑗²= 𝜎²+ 𝜏²𝑛𝑗, (1≤ j ≤ L).

Berdasarkan Lemma 1, 𝐸 𝑀𝑆𝑊 = 𝜎² dan 𝑉 𝑀𝑆𝑊 =_𝑛^2𝜎⁴

𝑇−𝐿. Dengan mengasumsikan inf𝑗 ≥1𝑛𝑗 ≥ 2 , diperoleh 𝑉 𝑀𝑆𝑊 ≥^2𝜎_𝐿⁴ dan lim𝐿→∞2𝜎⁴

𝐿 = 0 Sehingga V(MSW) → 0 ketika L →∞.

Karena MSW memiliki mean σ² dan variansi dengan limit adalah 0, maka plim MSW = σ² yang berarti MSW konvergen dalam probabilitas ke σ². Jadi MSW adalah penaksir yang tak bias dan konsisten untuk σ². Berdasarkan Lemma 1 𝐸 𝑀𝑆𝐵 = 𝜎²+^𝑕𝜏_𝐿−1² dan

𝑉 𝑀𝑆𝐵 = 2 𝐿 − 1 ² 𝐿 𝜎𝑗4

𝑗 =1 + ^𝐿_{𝑗 =1}𝑛_𝑗𝜎_𝑗² ² 𝑛_𝑇²

−2 ^𝐿_{𝑗 =1}𝑛_𝑗𝜎_𝑗⁴ 𝑛𝑇 Dengan asumsi sup_{𝑗 ≥1}𝑛_𝑗 = 𝐾 < ∞ maka

1. ^𝐿_{𝑗 =1}𝜎_𝑗⁴≤ 𝐿 𝜎²+ 𝐾𝜏² ² 2. ^𝑛^𝑗^𝜎^𝑗

2 𝐿𝑗 =1

2

𝑛_𝑇² ≤ 𝜎²+ 𝜏²𝐾 ² 3. ^𝑛^𝑗^𝜎^𝑗

4 𝐿𝑗 =1

𝑛_𝑇 ≤ 𝜎²+ 𝜏²𝐾 ² Selanjutnya

𝑉 𝑀𝑆𝐵 ≤2 𝜎²+ 𝜏²𝐾 ² 𝐿 − 1 Akan diperoleh

lim2 𝜎²+ 𝜏²𝐾 ²

= 0

Jadi, V(MSB) → 0 ketika L →∞.

Dengan demikian MSB konvergen dalam probabilitas ke 𝜎²+_𝐿−1^𝑕𝜏². Jadi, MSB adalah penaksir yang konsisten untuk 𝜎²+_𝐿−1^𝑕𝜏².

Diperoleh

𝜏²= 𝑀𝑆𝐵 − 𝑀𝑆𝑊 𝐿 − 1

𝑕

Karena nilai dari variansi selalu positif, maka penaksir untuk τ² adalah

max 0, 𝑀𝑆𝐵 − 𝑀𝑆𝑊 𝐿 − 1

𝑕

Kemudian akan dicari taksiran untuk λ^-1. 𝜆⁻¹= 𝜏²

𝜎²

= 𝑀𝑆𝐵 − 𝑀𝑆𝑊 (𝐿 − 1)𝑕⁻¹ 𝑀𝑆𝑊

= 𝑀𝑆𝐵

𝑀𝑆𝑊− 1 (𝐿 − 1)𝑕⁻¹ Jadi, penaksir untuk λ^-1 adalah

𝜆 ⁻¹= max 0, 𝑀𝑆𝐵

𝑀𝑆𝑊− 1 (𝐿 − 1)𝑕⁻¹ Setelah didapat penaksir untuk λ^-1, maka 𝐵𝑗 =_𝜆+𝑛^𝜆

𝑗 =_1+𝑛¹

𝑗𝜆⁻¹ diestimasi oleh 𝐵 𝑗 =_1+𝑛¹

𝑗𝜆 ⁻¹. Selanjutnya, akan dicari taksiran untuk m. Untuk menaksir m, akan digunakan metode maksimum likelihood dari pdf marginal dari data. Secara marginal, 𝐲𝑗 ~ 𝑁(𝑚𝟏𝑛_𝑗, 𝜎²𝐈𝑛_𝑗 + 𝜏²𝟏𝑛_𝑗𝟏𝑛′_𝑗).

Pdf bersama dari 𝐲₁, … , 𝐲_𝐿 diberikan oleh

𝑕 𝐲1, … , 𝐲𝐿

= 𝜎𝑗2 𝐿

𝑗 =1

𝜎² ^𝑛^𝑇^−𝐿exp −1

2 𝐲𝑗 𝐿

𝑗 =1

− 𝑚𝟏𝑛_𝑗 ′ 𝜎²𝐈𝑛_𝑗 + 𝜏²𝟏𝑛_𝑗𝟏𝑛′_𝑗 −1

𝐲𝑗− 𝑚𝟏𝑛_𝑗

∝ exp −1

2 𝐲_𝑗 − 𝑚𝟏_𝑛_𝑗 ^′𝜎⁻² 𝐈_𝑛_𝑗

𝐿

𝑗 =1

− 𝜏²𝟏_𝑛_𝑗𝟏_𝑛^′_𝑗

𝜎²+ 𝜏²𝑛_𝑗 𝐲_𝑗− 𝑚𝟏_𝑛_𝑗

= exp − 1

2𝜎² 𝑦_𝑗𝑖 − 𝑦 _𝑗 ²

𝑛_𝑗

𝑖=1 𝐿

𝑗 =1

−1

2 𝑛𝑗

𝜎²+ 𝜏²𝑛𝑗 𝐿

𝑗 =1

𝑦 𝑗− 𝑚 ²

(5)

ln 𝑕 𝐲₁, … , 𝐲_𝐿 = − 1

2𝜎² 𝑦_𝑗𝑖 − 𝑦 _𝑗 ²

𝑛_𝑗

𝑖=1 𝐿

𝑗 =1

−1

2 𝑛𝑗

𝑗 =1

𝑦 𝑗− 𝑚 ²

Kemudian dengan menggunakan metode maximum likelihood, maka akan dimaksimumkan fungsi loglikelihood diatas.

𝜕 ln 𝑕 𝐲1, … , 𝐲𝐿

𝜕𝑚 = 𝑛_𝑗

𝜎²+ 𝜏²𝑛_𝑗 𝑦 𝑗− 𝑚

𝐿

𝑗 =1

= 𝑛𝑗𝑦 𝑗

𝜎²+ 𝜏²𝑛_𝑗− 𝑛𝑗𝑚 𝜎²+ 𝜏²𝑛_𝑗

𝐿

𝑗 =1

= 0

𝑛𝑗𝑚 𝜎²+ 𝜏²𝑛𝑗 𝐿

𝑗 =1

= 𝑛𝑗𝑦 𝑗

𝑗 =1

Diperoleh

𝑚 = 𝐿 (1 − 𝐵𝑗)𝑦 𝑗 𝑗 =1

(1 − 𝐵𝑗)

𝐿𝑗 =1

Dengan mensubstitusi 𝑚 dan 𝐵 𝑗 untuk m dan Bj ke dalam persamaan (3.2), maka penaksir Empirical Bayes dari 𝜇𝑗 =_𝑁¹

𝑗 𝑦𝑗𝑖

𝑁_𝑗

𝑖=1 adalah 𝜇 _𝑗^𝐸𝐵 = 1

𝑁𝑗 𝑛_𝑗𝑦 _𝑗+ 𝑁_𝑗 − 𝑛_𝑗 1 − 𝐵 _𝑗 𝑦 _𝑗+ 𝐵 _𝑗𝑚 Selanjutnya akan dicari variansi dari 𝜇 _𝑗^𝐸𝐵. Berdasarkan Ghosh dan Meeden (1997), variansi dari 𝜇 _𝑗^𝐸𝐵 dapat dinyatakan sebagai berikut

𝑉 𝜇 _𝑗^𝐸𝐵 𝐲𝑗 = 1

𝑁_𝑗² 𝑁𝑗 − 𝑛𝑗 𝑉 𝐲𝑗 𝜃𝑗 + 𝑉 𝜃𝑗 𝐲𝑗 + 𝑁_𝑗− 𝑛_𝑗 𝑁_𝑗− 𝑛_𝑗− 1 𝑉 𝜃_𝑗 𝐲_𝑗

𝑉 𝜇 _𝑗^𝐸𝐵 𝐲𝑗 = 1

𝑁_𝑗² 𝑁𝑗− 𝑛𝑗 𝜎²+ 𝜎²𝜏² 𝑛𝑗𝜏²+ 𝜎² + 𝑁𝑗 − 𝑛𝑗 𝑁𝑗 − 𝑛𝑗

− 1 𝜎²𝜏² 𝑛𝑗𝜏²+ 𝜎² 𝑉 𝜇 𝑗𝐸𝐵 𝐲𝑗 = 1

𝑁𝑗 𝑁𝑗− 𝑛𝑗 𝐵𝑗(𝜏²+ 𝜎²/𝑁𝑗) Jadi, variansi dari 𝜇 𝑗𝐸𝐵 adalah

𝑉 𝜇 𝑗𝐸𝐵 𝐲𝑗 = 1

𝑁𝑗 𝑁𝑗 − 𝑛𝑗 𝐵𝑗(𝜏²+ 𝜎²/𝑁𝑗) Taksiran untuk 𝑉 𝜇_𝑗 𝐲_𝑗 adalah

𝑉 𝜇 _𝑗^𝐸𝐵 𝐲_𝑗 = 1

𝑁_𝑗 𝑁_𝑗 − 𝑛_𝑗 𝐵 _𝑗(𝜏 ²+ 𝜎 ²/𝑁_𝑗)

4. KESIMPULAN

Dari pembahasan tugas akhir ini dapat disimpulkan bahwa

a. Metode Empirical Bayes dapat digunakan untuk menaksir mean stratum pada sampling acak stratifikasi.

b. Metode Empirical Bayes merupakan metode yang menggabungkan informasi dari data dengan informasi prior tentang parameter yang akan ditaksir. Informasi prior diperoleh dari distribusi tentang parameter tersebut, yaitu melalui pdf prior. Pada metode Empirical Bayes, parameter dari distribusi prior tidak diketahui sehingga parameter tersebut harus diestimasi.

Pada metode Empirical Bayes, parameter tersebut diestimasi dari data.

c. Untuk menaksir informasi prior dapat digunakan metode maximum likelihood dari distribusi marginal data.

d. Taksiran dari parameter yang diinginkan dapat diperoleh dari informasi posterior, dimana informasi posterior merupakan penggabungan dari informasi prior dan informasi dari data.

DAFTAR ACUAN

[1] Casella, George. 1985. An Introduction to Empirical Bayes Data Analysis. Journal of the American Statistical Association, Vol. 39, No.2 [2] Delly, JJ, D.V Lindley. 1981. “ Bayes Empirical

Bayes”. Journal of the American Statistikal Association, Volume 76, Number 376, Theory and Methods Section, 833-841

[3] Ericson, W. A. 1969. “Subjective Bayesian Models in Sampling Finite Populations”. Journal of the Royal Statistical Society. Vol. 31, No. 2, 195-233

[4] Ghosh, M., dan Meeden, G. 1997. Bayesian Methods for Finite Population Sampling. New York: Chapman & Hall.

[5] Ghosh, M., dan Meeden, G. 1986. Empirical Bayes Estimation in Finite Population Sampling.

Journal of the American Statistical Association, 81, 1058-1062.

[6] Sarkar, S., dan Ghosh, M. 1998. Empirical Bayes Estimations of Local Area Means. The Indian Journal of Statistics, 60, Series B, Pt. 3, 464-487.