UJI HIPOTESIS. SV Analisis Data

❖

Uji Hipotesis untuk Rataan 1 Populasi

❖

Uji Hipotesis untuk Rataan 2 Populasi

❖

Uji Hipotesis untuk Variansi 1 Populasi

❖

Uji Hipotesis untuk Variansi 2 Populasi

1

UJI HIPOTESIS

SV Analisis Data

2

PENGERTIAN UJI HIPOTESIS

1. Hipotesis nol (H₀) ; pernyataan yang mengandung tanda kesamaan (=, ≤ , atau ≥)

2. Hipotesis tandingan (H₁) ; tandingan hipotesis H₀, mengandung tanda  , >, atau <.

▪ Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai satu populasi atau

lebih yang perlu diuji kebenarannya.

▪ Dalam statistika, hipotesis yang akan diuji dibedakan menjadi:

SV Analisis Data

3

GALAT (ERROR)

H

₀

benar H

₀

salah

H₀ ditolak P(menolak H₀ | H₀ benar)

= galat tipe I = α keputusan benar

H₀ tidak

ditolak keputusan benar

P(tidak menolak H₀ | H₀ salah)

= galat tipe II = β

yang dimanfaatkan dalam pokok

bahasan ini

SV Analisis Data

4

SKEMA UJI HIPOTESIS

Hipotesis Statistik

H₀

H₁

•Hipotesis yang ingin diuji

•Memuat suatu kesamaan (=, ≤ atau ≥)

•Dapat berupa

- hasil penelitian sebelumnya - informasi dari buku atau - hasil percobaan orang lain

•Hipotesis yang ingin dibuktikan

•Disebut juga hipotesis alternatif

•Memuat suatu perbedaan (≠, > atau <)

Keputusan

H₀ ditolak H₀ tidak ditolak

H₁ benar

Kesimpulan Kesimpulan

Tidak cukup bukti untuk menolak H₀

Kesalahan

Tipe I

Menolak H₀padahal H₀benar

P(tipe I) = α

= tingkat signifikansi

Tipe II

Menerima H₀padahal H₀salah

P(tipe I) = β

???

mungkin terjadi

SV Analisis Data

STATISTIK UJI & TITIK KRITIS

 Statistik uji digunakan untuk menguji hipotesis statistik yang telah dirumuskan. Notasinya berpadanan dengan jenis

distribusi yang digunakan.

 Titik kritis membatasi daerah penolakan dan penerimaan H₀. Diperoleh dari tabel statistik yang bersangkutan.

 H₀ ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis.

5

1 - 

daerah kritis = /2

titik kritis

daerah penerimaan H₀

titik kritis

0

titik kritis 1 - 

daerah penerimaan H₀

daerah kritis daerah

kritis = /2

diperoleh dari tabel statistik SV Analisis Data

Uji Rataan Satu Populasi

6

1. H ₀ :  =  ₀ vs H ₁ :    ₀

2. H ₀ :  =  ₀ vs H ₁ :  >  ₀

3. H ₀ :  =  ₀ vs H ₁ :  <  ₀



₀

adalah suatu konstanta yang diketahui

uji dua arah

uji satu arah

SV Analisis Data

Statistik Uji untuk Rataan Satu Populasi

1.

Kasus σ

²

diketahui

7

0

/

= X −

Z n





0

/

= X −

T s n



2. Kasus σ

²

tidak diketahui

~ N(0,1)

~ t

_(n-1)

Tabel Z (normal baku)

Tabel t

SV Analisis Data

Daerah Kritis Uji Rataan Satu Populasi

8

σ² diketahui σ² tidak diketahui

Statistik uji : Z T

H₀ :  = ₀ vs H₁ :   ₀ Z < - Z_α/2 atau Z > Z_α/2 T < - T_α/2 atau T > T_α/2

H₀ :  = ₀ vs H₁ :  > ₀ Z > Z_α T > T_α

H₀ :  ₌ _{0 vs H1 :}  _< ₀ Z < - Z_α T < - T_α

titik kritis dengan derajat kebebasan n - 1

SV Analisis Data

Uji Rataan Dua Populasi

9

1. H

₀

: 

₁

- 

₂

= 

₀

vs H

₁

: 

₁

- 

₂

 

₀

2. H

₀

: 

₁

- 

₂

= 

₀

vs H

₁

: 

₁

- 

₂

> 

₀

3. H

₀

: 

₁

- 

₂

= 

₀

vs H

₁

: 

₁

- 

₂

< 

₀



₀

adalah suatu konstanta yang diketahui

uji dua arah

uji satu arah

SV Analisis Data

Statistik Uji untuk Rataan Dua Populasi

1. Kasus σ₁² dan σ₂² diketahui

10

2. Kasus σ₁² dan σ₂² tidak diketahui dan σ₁² ≠ σ₂²

(

^{1 2}

)

⁰

H 2 2

1 2

1 2

X X μ

Z = σ σ n n

− − +

(

^{1 2}

)

⁰

H 2 2

1 2

1 2

X X μ

T =

S S n n

− −

+

3. Kasus σ₁² dan σ₂² tidak diketahui dan σ₁² = σ₂²

(

^{1 2}

)

⁰

H

p

X X μ

T = 1 1

S n n

− −

+

dengan

2 2

2 1 1 2 2

p

1 2

(n 1)S (n 1)S

S = n n 2

− + −

+ −

SV Analisis Data

Daerah Kritis Uji Rataan Dua Populasi

11

σ₁², σ₂²

diketahui σ₁², σ₂² tidak diketahui

Statistik uji : Z T

σ₁² = σ₂² σ₁² ≠ σ₂²

Derajat Kebebasan n₁ + n₂ - 2

H₀ : ₁ - ₂ = ₀ vs

H₁ : ₁ - ₂  ₀ ^{Z < - Z}_{Z > Z}^α/2 _α/2 ^{atau T < - T}_{> T}^α/2 _α/2 ^{atau T T < - T}_{T > T}^α/2 _α/2 ^atau H₀ : ₁ - ₂ = ₀ vs

H₁ : ₁ - ₂ > ₀ ^{Z > Zα T > Tα T > Tα}

H₀ : ₁ - ₂ = ₀ vs

H₁ : ₁ - ₂ < ₀ ^{Z < - Zα T < - Tα T < - Tα}

2 2 2

1 2

1 2

2 2

2 2

1 2

1 1 2 2

S S

n n

v =

S S

1 1

(n 1) n (n 1) n

 

 + 

 

  +  

   

−   −  

SV Analisis Data

Uji untuk Rataan Berpasangan



Statistik uji menyerupai statistik untuk kasus satu populasi dengan variansi tidak diketahui.

12

0 ;

d /

D μ T = S n

−

1. H

₀

: 

_d

₌ 

₀

_{vs H}

₁

_: 

_d

 

₀

2. H

₀

: 

_d

₌ 

₀

_{vs H}

₁

_: 

_d

_> 

₀

3. H

₀

: 

_d

₌ 

₀

_{vs H}

₁

_: 

_d

_< 

₀

SV Analisis Data

Contoh 1

13

Berdasarkan 100 laporan kematian di AS yang diambil secara acak, diperoleh bahwa rata-rata usia saat meninggal adalah 71.8 tahun dengan simpangan baku 8.9 tahun. Hal ini memberikan

dugaan bahwa rata-rata usia meninggal di AS lebih dari 70 tahun.

a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan hipotesis statistik

b. Untuk tingkat signifikansi 5%, benarkah dugaan tersebut?

www.arlingtonnational.com

SV Analisis Data

Solusi

14

Diketahui : Ditanya:

a. Hipotesis statistik

b. Kesimpulan uji hipotesis Jawab:

Parameter yang akan diuji : μ a. Rumusan hipotesis:

H₀: μ = 70

H₁: μ > 70 (uji satu arah)

X = 71.8, s = 8.9,

0 70,

 = _{ = 0, 05}

SV Analisis Data

b. α = 5%=0.05, maka titik kritis t_0.05,(99) = 1.66 c. Menghitung statistik uji:

x 0 71,8 70

t 2, 02

s 8,9

n 100

−  −

= = =

d. Karena t > t_0.05,(99) , maka t berada pada daerah penolakan sehingga keputusannya H₀ ditolak.

Jadi dugaan tersebut benar bahwa rata-rata usia meninggal di AS lebih dari 70 tahun.

15

SV Analisis Data

Contoh 2

16

Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan karena gosokan dari dua bahan yang dilapisi.

Dua belas potong bahan 1 diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama.

Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan. Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5. Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari dua satuan?

Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.

sympatex.com

SV Analisis Data

Solusi

17

Misalkan: μ

₁

dan μ

₂

menyatakan rata-rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2.

Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel.

Diasumsikan variansi populasi kedua bahan adalah sama. Rumusan hipotesis yang diuji adalah:

a.

Pernyataan hipotesis:

H

₀

: μ

₁

- μ

₂

= 2

H

₁

: μ

₁

- μ

₂

> 2 (uji satu arah)

SV Analisis Data

18

b. Tingkat keberartian, α = 0.05 (hanya 1 arah) c. Menghitung statistik

1 1 1

2 2 2

x 85, s 4, n = 12 x =81, s =5, n =10

= =

d. Kita gunakan statistik uji untuk variansi kedua populasi tak diketahui tapi dianggap sama, yaitu

( 1 2) 0 H

p

1 2

x x μ

t = 1 1

S n n

− −

+

dengan

2 2

1 1 2 2

p

1 2

(n 1)S (n 1)S (11)(16) (9)(25)

S = 4.478

n n 2 12 10 2

− + − +

= =

+ − + −

Maka diperoleh

( 1 2) 0 H

p

1 2

x x μ (85 81) 2

t = 1.04

1 1 4.478 (1/12) (1/10)

S n n

− − = − − =

+ +

SV Analisis Data

e. Daerah kritis

dk = n₁+n₂-2 = 12 +10 - 2= 20, sehingga titik kritisnya adalah t_0.05,20 = 1.725.

f. Kesimpulan : karena t < 1.725, maka H₀ tidak ditolak.

Artinya, tidak dapat disimpulkan bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari 2 satuan. Atau tidak cukup

bukti untuk mengatakan bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari 2 satuan.

19

SV Analisis Data

Contoh 3 (data berpasangan)

20

 Pada tahun 1976, J.A. Weson memeriksa pengaruh obat

succinylcholine terhadap kadar peredaran hormon androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas

diambil melalui urat nadi leher segera setelah succinylcholine disuntikkan pada otot rusa. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menit setelah

suntikan dan kemudian rusa tersebut dilepaskan. Kadar

androgen pada waktu ditangkap dan 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa. Data terdapat pada tabel berikut

www.cottonmesawhitetail.com

SV Analisis Data

N0 Kadar androgen (ng/ml) sesaat setelah disuntik

Kadar androgen (ng/ml) 30 menit setelah disuntik

Selisih (d_i)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2.76 5.18 2.68 3.05 4.10 7.05 6.60 4.79 7.39 7.30 11.78 3.90 26.00 67.48 17.04

7.02 3.10 5.44 3.99 5.21 10.26 13.91 18.53 7.91 4.85 11.10 3.74 94.03 94.03 41.70

4.26 -2.08 2.76 0.94 1.11 3.21 7.31 13.74 0.52 -2.45 -0.68 -0.16 68.03 26.55 24.66

21

SV Analisis Data

22

Anggap populasi androden sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian berdistribusi normal. Ujilah, pada tingkat keberartian 5%, apakah konsentrasi androgen berubah setelah ditunggu 30 menit.

SV Analisis Data

Solusi

23

Ini adalah data berpasangan karena masing-masing unit percobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran

Misalkan μ₁ dan μ₂ masing-masing menyatakan rata-rata konsentrasi androgen sesaat setelah suntikan dan 30

menit kemudian.

Rumusan hipotesis yang diuji adalah H₀ : μ₁ = μ₂ atau μ_D = μ₁ - μ₂ = 0

H₁ : μ₁ ≠ μ₂ atau μ_D = μ₁ - μ₂ ≠ 0

Tingkat signifikansi yang digunakan adalah α = 5% = 0.05

SV Analisis Data

Rata-rata sampel dan variansi sampel untuk selisih ( d_i ) adalah

d = 9.848 dan sd =18.474

Statistik uji yang digunakan adalah

0

d

d d t = s / n

−

Dalam hal ini 9.848 0

t = 2.06

18.474 / 15

− =

24

SV Analisis Data

Statistik uji t berdistribusi t-student dengan dk = n – 1

= 15 – 1 = 14. Pada tingkat keberartian 0.05, H₀ ditolak jika t < - t_0.025,14 = -2.145 atau t > t_0.025,14 = 2.145.

Karena nilai t = 2.06, maka nilai t tidak berada pada daerah penolakan. Dengan demikian, H₀ tidak

ditolak. Kendati demikian, nilai t = 2.06 mendekati nilai t_0.025,14 = 2.145. Jadi perbedaan rata-rata kadar peredaran androgen tidak bisa diabaikan.

25

SV Analisis Data

Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu Populasi

26



Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk kasus variansi satu populasi adalah

2 2 2 2

0 0 1 0

1. H :  = vs H : 

2 2 2 2

0 0 1 0

2. H :  = vs H : 

2 2 2 2

0 0 1 0

3. H :  = vs H : 

Dengan menyatakan suatu konstanta mengenai variansi yang diketahui.

2



0

SV Analisis Data

Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah :

2 2

2 0

( −1)

= n S

 

Jika H₀ benar, maka statistik uji tersebut berdistribusi chi-square dengan dk = n-1

27

SV Analisis Data

Untuk hipotesis , tolak H₀ pada tingkat keberartian α jika :

2 2 2 2

0 0 1  0

H :  = vs H : 

2 2 2 2

1 ,( 1) ,( 1)

2 2

atau

− − −

 

n n

 

   

Untuk hipotesis , tolak H₀ pada tingkat keberartian α jika

2 2 2 2

0 0 1  0

H :  = vs H : 

2 2

1− ,( −1)

 _{ n}

 

Untuk hipotesis , tolak H₀ pada tingkat keberartian α jika

2 2 2 2

0 0 1  0

H :  = vs H : 

2 2

,( −1)

 _{ n}

 

merupakan nilai- nilai dari tabel distribusi chi-square dengan derajat kebebasan n - 1

2

,( 1) 2

− ,

 n

 ²

1 ,( 1) 2

− n− ,

 _²_,(n−1) , dan _²_,(n−1)

28

SV Analisis Data

Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua Populasi

29



Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk uji hipotesis mengenai variansi dua populasi adalah

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

1. H :  =  vs H :   

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

2. H :  =  vs H :   

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

3. H :  =  vs H :   

Dengan σ₁² dan σ₂² masing-masing adalah

variansi populasi ke-1 dan variansi populasi ke-2

SV Analisis Data

Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah

2 1

2 2

= S

F S

Jika H₀ benar, statistik uji tersebut berdistribusi Fisher dengan derajat kebebasan v₁ = n₁ – 1 dan v₂ = n₂ – 1.

30

SV Analisis Data

Untuk hipotesis , tolak H₀ pada tingkat keberartian α jika :

Untuk hipotesis , tolak H₀ pada tingkat keberartian α jika :

Untuk hipotesis , tolak H₀ pada tingkat keberartian α jika :

2 2 2 2

0 1 = 2 1 1  2

H :   vs H : 

1 2 1 2

1 ,( , ) ,( , )

2 2

atau

 − 

v v v v

F f _ F f_

2 2 2 2

0 1 = 2 1 1  2

H :   vs H :  

1 2

1− ,( , )

 _{v v}

F f _

2 2 2 2

0 1 = 2 1 1  2

H :   vs H : 

1 2

,( , )

 _{v v} F f_

1 2 1 2 1 2 1 2

,( ,_{v v} ) , 1₋ ,( ,_{v v} ), /2,( ,_{v v} ), dan 1₋ /2,( ,_{v v} )

f_ f _ f_ f _ adalah nilai-nilai

dari tabel distribusi Fisher dengan derajat kebebasan

v₁ dan v₂ ³¹

SV Analisis Data

Contoh 4

32

 Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya

berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0.9 tahun. Bila sampel acak 10 baterai tersebut

menghasilkan simpangan baku 1.2 tahun, apakah anda setuju bahwa σ > 0.9 tahun? Gunakan taraf

keberartian 5%!

www.facebook.com

SV Analisis Data

33

Solusi

Rumusan Hipotesis : H₀ : σ² = 0.81

H₁ : σ² > 0.81 (uji satu arah) α = 0.05

simpangan baku sampel, s = 1.2 Statistik uji

Titik kritis adalah

Karena , maka H₀ tidak ditolak.

Jadi, simpangan baku umur baterai tidak melebihi 0.9 .

2 2

2 0

( 1) (9)(1.44) 0.81 16

= n− s = =

 

2 2

,_n−1 = 0.05,9 =16.919

  

2 2

0.05,9

  

SV Analisis Data

Contoh 5

34



Dalam pengujian

keausan kedua bahan di contoh 2, dianggap

bahwa kedua variansi yang tidak diketahui sama besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan taraf keberartian 0.10.

sympatex.com

SV Analisis Data

Solusi

35



Misalkan σ

₁²

dan σ

₂²

adalah variansi populasi dari masing-masing keausan bahan 1 dan bahan 2.

rumusan hipotesis yang akan diuji adalah H

₀

: σ

₁²

= σ

₂²

H

₁

: σ

₁²

≠ σ

₂²

α = 0.10

SV Analisis Data

Statistik uji f = s₁²/ s₂² = 16 / 25 = 0.64

H₀ ditolak dengan tingkat keberartian α jika

1 2 1 2

1 ,( , ) ,( , )

2 2

atau

 − 

v v v v

f f _ f f_

Dalam hal ini α = 0.10, v₁ = n₁ – 1 = 12 – 1 = 11 , dan v₂ = n₂ – 1 = 10 – 1 = 9.

Maka

1 2

0.95,(11.9) 1 ,( , )

2

− = = 0.34

v v

f _ f dan

1 2

0.05,(11.9) ,( , )

2

= = 3.11

v v

f_ f

Karena , maka jangan tolak H₀. Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk

menyatakan bahwa variansinya berbeda.

1 2 1 2

1 ,( , ) ,( , )

2 2

−  

v v v v

f _ f f_

36

SV Analisis Data

Latihan

Berikut ini data durasi film yang diproduksi oleh dua rumah

produksi (RP):

Ujilah hipotesis bahwa rataan durasi film yang diproduksi RP 2 melebihi RP 1 sebesar 10 menit dengan alternatif bahwa

perbedaannya kurang dari 10 menit. Gunakanlah taraf

keberartian 0,1 dan anggap

distribusi durasi hampir normal dengan variansi berbeda.

37

RP Durasi (Menit)

1 102 86 98 109 92

2 81 165 97 134 92 87 114

tgrmusic.com

SV Analisis Data

Referensi

38



Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The

Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.



Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.



Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA:

John Wiley&Sons,Inc., 2000.



Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu

Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

SV Analisis Data