BAB8 IF CIII(Terjemahan)(Revisi2)

Chapter 8

(Revisi 2)

Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah

Logika Informatika

Disusun oleh :

Rahmat Taufik Nugraha (206700171)

Galih Septa K. (208700834)

Hilman Zayinudin (208700845)

Insan Mutaqin (208700857)

M. Yadi Ramdhani (208700874)

Kelas : IF-C / III

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI

SUNAN GUNUNG DJATI

BAB 8

Kebenaran Tumbuh di Pohon

Pembahasan

 Peleburan SL (Sentensial Logka) kebenaran pernyataan dengan pohon-pohon

 Tes untuk konsistensi, validitas, dan semantik kesetaraan

 Menggolongkan tautologies, kontradiksi, dan kontingen kebenaran pernyataan dengan pohon

Memahami Cara Kerja Pohon Kebenaran

Kebenaran pohon adalah alat yang sangat kuat dengan standar apapun. Bahkan, pemulis berpikir bahwa mereka adalah alat terbaik dalam buku ini untuk memecahkan hampir setiap jenis masalah yang akan datang di dalam logika. Mengapa? Karena pohon kebenaran sangat mudah: Pohon kebenaran mudah untuk dikuasai dan mudah untuk digunakan. Kebenaran pohon

menggabungkan fitur terbaik dari kedua table kebenaran dan meja cepat . Sebagai contoh, seperti tabel kebenaran, kebenaran pohon adalah plug-dan-metode bunyi letusan kecil (meskipun beberapa pilihan cerdas di sepanjang jalan masih bisa membantu Anda keluar), tapi mereka jauh lebih pendek. Dan, seperti meja cepat, kebenaran pohon menghindari evaluasi berulang-ulang, tetapi mereka tidak pernah menimbulkan masalah seperti menebak atau masalah dengan tiga kemungkinan jalan untuk menghilangkan. Kebenaran pohon adalah cara sempurna untuk memecahkan masalah SL dari berbagai ukuran dengan maksimum efisiensi. Mereka juga berguna dalam logika pembilang (QL), yang banyak penulis bahas dalam Bagian IV.

Dalam Bab 5, pemulis membahas delapan bentuk dasar pernyataan SL. Ini menjadi penting untuk pohon kebenaran untuk studi Anda , karena pohon kebenaran menangani masing-masing bentuk ini dengan cara yang berbeda.

Sentensial Logika (SL) meleburkan pernyataan

Kebenaran pohon bekerja dengan pernyataan meleburkan - yaitu, melanggar pernyataan ke sub-pernyataan yang lebih kecil.

Sebagai contoh, jika Anda tahu bahwa pernyataan (P v Q) & (Q v R) adalah benar, Anda tahu bahwa kedua sub-pernyataan (P v Q) adalah benar dan sub-pernyataan

Dalam beberapa kasus, sebuah pernyataan meleburkan berarti melanggar it off menjadi dua pernyataan, di mana setidaknya satu dari yang benar. Sebagai contoh, jika Anda tahu bahwa

(P Q) 0 ( Q↔ R) adalah benar, Anda tahu bahwa salah satu sub-pernyataanPernyataan (P → Q)

atau sub-pernyataan (Q↔R) adalah benar. Secara umum, maka, Anda dapat mematahkan(P →Q)

pernyataan sejati dari bentuk x 0 y menjadi dua pernyataan, x dan y, di mana pada setidaknya satu dari yang benar.

Bentuk pernyataan-pernyataan sejati yang membawa langsung ke pernyataan benar lainnya disebut single pernyataan percabangan. Bentuk yang mengarah pada dua kemungkinan arah disebut pernyataan percabangan ganda. Pernyataan percabangan ganda selalu mengarah pada salah satu atau dua sub-pernyataan di setiap cabang.

Gambar 8-1 memperlihatkan daftar dari semua delapan bentuk dasar pernyataan SL dengan dekomposisi.

Sebagai contoh, jika Anda meleburkan pernyataan (P → Q) V (Q→R) anda mulai dengan memecahnya menjadi dua sub-pernyataan sebagai berikut:

Setelah aku meleburkan itu. Perhatikan bahwa saya memeriksa pernyataan (P → Q) V (Q→R) ke dalam dua sub-pernyataan. The checkmarks membiarkan Anda tahu bahwa aku sudah selesai dengan pernyataan ini - meskipun sekarang aku perlu berurusan dengan dua sub-pernyataan.

Berikutnya, Anda istirahat setiap sub-pernyataan dalam sub-pernyataan yang lebih kecil, menurut aturan-aturan yang diberikan dalam Gambar 8-1.

Gambar 8.1

Anda dapat melihat kebenaran pohon sekarang bagaimana mendapatkan nama mereka. Menyerupai struktur akhir sebuah pohon terbalik, seperti ini:

adalah ~ P. Jadi, cabang ini memberitahu Anda bahwa setiap interpretasi di mana P adalah palsu akan membuat asli pernyataan benar.

Memecahkan masalah dengan pohon-pohon kebenaran

Anda dapat menggunakan kebenaran pohon untuk memecahkan masalah yang dapat diselesaikan menggunakan tabel kebenaran atau meja cepat. Sebagaimana dengan alat lain ini, kebenaran pohon mengikuti langkah-demi-langkah proses.

Berikut adalah langkah-langkah untuk sebuah pohon kebenaran:

1. Set up. Untuk mengatur sebuah pohon kebenaran, membangun batangnya menurut jenis masalah yang sedang berusaha untuk memecahkan.

Bagasi terdiri dari pernyataan atau pernyataan yang Anda butuhkan untuk meleburkan.

2. Isi masuk Untuk mengisi sebuah pohon kebenaran, gunakan aturan-aturan yang tercantum dalam dekomposisi

Gambar 8-1 untuk menciptakan semua cabang-cabangnya.

3. Membaca. Untuk membaca kebenaran selesai pohon, periksa yang berikut dua hasil telah terjadi:

• Sedikitnya satu cabang dibiarkan terbuka: Setidaknya satu penafsiran membuat setiap pernyataan dalam batang pohon benar.

• Semua cabang tertutup: Tidak ada interpretasi membuat setiap pernyataan dalam batang pohon benar. (Pada bagian berikut, Saya akan menunjukkan bagaimana untuk menutup cabang.)

Menunjukkan Konsistensi atau Inkonsistensi

Anda dapat menggunakan pohon kebenaran untuk mengetahui apakah satu set pernyataan adalah konsisten atau tidak konsisten. (Lihat Bab 6 untuk lebih pada konsistensi.) Sebagai contoh, misalkan Anda ingin mencari tahu apakah tiga pernyataan P & ~ Q, Q V ~ R, dan ~ P → R adalah konsisten atau tidak konsisten. Untuk memutuskan apakah suatu set pernyataan adalah konsisten (setidaknya satu interpretasi membuat semua pernyataan yang benar) atau tidak konsisten (tidak ada interpretasi membuat semua dari mereka benar), membangun sebuah pohon kebenaran menggunakan serangkaian pernyataan sebagai batangnya. Berikut bagasi Anda:

P & ~Q Q V~R

Setelah Anda membuat bagasi, Anda dapat mulai meleburkan pernyataan pertama, P & ~ Q. Berikut adalah apa yang Anda dapatkan:

Aku memeriksa pernyataan P & ~ Q setelah aku meleburkan itu ke dalam dua substatements dan mengitari satu konstanta - P dan ~ Q. Pernyataan berikutnya adalah Q 0 ~ R, yang terurai sepanjang dua cabang sebagai berikut:

Ketika menelusuri dari awal sebuah trunk ke ujung cabang akan memaksa Anda untuk melewati sepasang berputar pernyataan kontradiktif, menutup bahwa cabang dengan X.

Dalam kasus ini, menelusuri sepanjang jalan dari awal batang sampai akhir cabang di sebelah kiri memaksa Anda untuk melewati tiga pernyataan dilingkari P, ~ Q, dan Q. Tapi ~ Q dan Q adalah pernyataan yang saling bertentangan, jadi aku tertutup cabang.

Alasan ditutupnya cabang ini masuk akal ketika Anda berpikir tentang hal itu. Cabang ini

memberitahu Anda bahwa setiap interpretasi di mana pernyataan P, ~ Q, dan Q benar akan membuat semua tiga pernyataan benar asli. Tapi, ~ Q dan Q bisa tidak keduanya benar, sehingga cabang ini tidak memberikan interpretasi yang mungkin.

Anda bisa melihat lagi di sini bahwa IA € ™ ve tertutup cabang di mana kontradiksi telah tercapai. Dalam hal ini, kontradiksi adalah R dan ~ R. Pohon kebenaran Anda selesai ketika salah satu dari berikut terjadi:

 Setiap pernyataan atau konstan telah baik diperiksa atau berputar-putar

 Setiap cabang telah ditutup

 Dalam contoh ini, setiap item telah diperiksa atau mengelilingi baik, sehingga pohon selesai.

Setelah pohon itu selesai, periksa untuk melihat apakah ada cabang masih terbuka. Kehadiran atau ketiadaan membuka cabang di pohon kebenaran selesai memungkinkan Anda untuk menentukan apakah serangkaian pernyataan asli konsisten atau tidak konsisten. Ikuti panduan berikut:

 Jika pohon kebenaran selesai setidaknya memiliki satu cabang yang terbuka, himpunan pernyataan konsisten.

 Jika kebenaran selesai semua yang ditutup pohon memiliki cabang, himpunan pernyataan di

bawah ini konsisten.

Seperti yang anda lihat, contoh di bagian ini masih memiliki satu cabang yang terbuka, yang berarti bahwa interpretasi yang ada di bawah tiga pernyataan semua benar. Jadi, dalam kasus ini, himpunan pernyataan adalah konsisten. Jika Anda ingin tahu apa penafsiran ini, hanya jejak dari trunk ke akhir dari cabang ini. Bila Anda melacak panjang pohon, Anda menemukan bahwa dilingkari item P, ~ Q, dan ~ R dan terakhir P. Jadi, satu-satunya penafsiran yang membuat tiga pernyataan asli benar adalah ketika nilai P adalah T dan nilai-nilai dari kedua Q dan R F.

Pengujian untuk Validity atau ketidak absahan

Pohon Kebenaran juga berguna jika anda ingin menentukan sebuah argumen keabsahan atau ketidakabsahan (lihat Bab 6 untuk lebih tentang validitas). Misalnya misalkan Anda ingin mencari tahu apakah argumen berikut sah atau valid:

Untuk memutuskan apakah sebuah argumen yang valid atau tidak valid, membangun suatu kebenaran pohon menggunakan bangunan dan negasi dari kesimpulan sebagai bagasi.

Menggunakan contoh yang saya diperkenalkan pada awal bagian ini, menciptakan sebuah premis. yang terlihat seperti ini:

Anda tidak Namun, harus mulai di bagian atas pohon. Meleburkan pernyataan dalam urutan yang berbeda sering membantu. Gambar 8-1 membagi delapan dasar Pernyataan bentuk menjadi tiga kolom. Divisi ini dapat membantu Anda memutuskan apa yang untuk meleburkan pernyataan Anda. Kapanpun Anda memiliki lebih dari satu pernyataan dalam batang pohon kebenaran Anda,meleburkan mereka dalam urutan ini:

1. Percabangan tunggal

2. Percabangan ganda dengan dua sub-pernyataan 3. Percabangan ganda dengan satu sub-pernyataan

Meleburkan pernyataan dalam urutan ini masuk akal. Setiap kali Anda dapat, pilih satu cabang jalan untuk menjaga pohon-pohon sekecil mungkin. Tetapi, bila Anda tidak punya pilihan lain kecuali dua cabang, memilih cabang ganda dengan dua sub-pernyataan. Menambahkan dua pernyataan

meningkatkan kemungkinan bahwa Anda akan mampu menutup salah satu cabang. Dalam contoh ini, hanya pernyataan kedua, ~ (P 0 R), mengarah pada satu cabang. Jadi, Anda meleburkan dulu, seperti ini:

Pada titik ini, satu cabang yang tertutup: Tracing dari awal trunk ke ujung cabang ini memaksa Anda untuk melewati kedua ~ P dan P, yang merupakan kontradiksi. Langkah terakhir, meleburkan ~ (~ T & ~ R), menyebabkan Anda kebenaran pohon agar tampak seperti ini:

Perhatikan bahwa Anda hanya perlu menambahkan dekomposisi baru cabang yang terbuka namun tidak tertutup-off cabang. Sekarang setiap pernyataan yang baik diperiksa atau mengelilingi, sehingga pohon selesai.

Ketika memeriksa sebuah pohon kebenaran untuk keabsahan atau ketidakabsahan panduan berikut berlaku:

 Jika kebenaran pohon memiliki setidaknya satu membuka cabang, argumen yang valid.

 Jika pohon kebenaran semua yang ditutup cabang, argumen yang valid.

Dalam hal ini € ™ s sectionâ contoh, salah satu cabang masih terbuka, sehingga argumen yang tidak valid.

Trace dari bagasi ke ujung cabang ini dan Anda akan menemukan dilingkari

pernyataan ~ P, Q, dan ~ R. Ini memberi tahu Anda bahwa satu-satunya penafsiran di bawah yang argumen ini tidak valid adalah ketika nilai P dan R sama-sama F dan yang

Memisahkan Tautologies, Kontradiksi, dan Kontinjensi Pernyataan

Dalam Bab 6, aku akan menunjukkan bahwa setiap pernyataan dalam SL dikategorikan sebagai tautologi (pernyataan yang selalu benar), sebuah kontradiksi (pernyataan yang selalu palsu), atau pernyataan kontingen (pernyataan yang dapat benar atau salah, tergantung pada nilai dari

konstanta). Anda dapat menggunakan pohon kebenaran untuk memisahkan SL pernyataan ke dalam tiga kategori.

Tautologies

Misalnya anda ingin menguji pernyataan ((P & ((P ↔ Q) 0 (R 0Q) 0 R) → (P & ~ Q)) untuk

menentukan apakah itu adalah tautologi. Untuk menunjukkan bahwa sebuah pernyataan adalah sebuah tautologi, membangun sebuah pohon kebenaran menggunakan negasi dari pernyataan itu sebagai bagasi. Menggunakan contoh negasi dari pernyataan saya hanya diperkenalkan, Anda dapat membuat sebuah koper yang terlihat seperti ini:

~(((P & Q) 0 R) →((P ↔Q) 0 (R 0 (P & ~Q)))

Meskipun pernyataan ini tampak besar dan berbulu, Anda tahu bahwa itu sesuai ke salah satu dari delapan bentuk dasar dari Bab 5 (tercantum dalam Tabel 5-1.) Anda hanya perlu mengetahui yang formulir yang benar. Aku masuk ke dalam Bab 5 ini, tapi sedikit penyegar di sini tidak akan terluka.

Operator utama pertama ~-operator - satu-satunya operator yang berada di luar semua kurung - jadi pernyataan adalah salah satu dari empat bentuk negatif. Dan lingkup →-operator mencakup seluruh pernyataan, jadi pernyataan ini y). Seperti yang dapat Anda lihat pada Gambar 8-1, form ini

singlebranching,adalah bentuk ~ (x → y)sehingga pohon kebenaran Anda sekarang harus terlihat seperti ini:

~(((P & Q) 0 R) →((P ↔Q) 0 (R 0 (P & ~Q))) (P & Q) 0 R

~((P ↔Q) 0 (R 0 (P & ~Q)))

Perhatikan bahwa saya dihapus kurung luar dari sub-pernyataan ((P & Q) 0 R). Ini adalah langkah yang sah, seperti yang saya jelaskan dalam Bab 14. Sekarang, pernyataan terakhir dalam bentuk ~ (x 0 y), yang juga satu-percabangan. Oleh karena itu, menurut urutan di mana Anda harus

~(((P & Q) 0 R) →(( P ↔Q) 0 (R 0 (P & ~Q))) (P & Q) 0 R

~(P ↔Q) ~(R 0 (P & ~Q))

~((P ↔Q) 0 (R 0 (P & ~Q))

Sekali lagi, pernyataan terakhir dalam bentuk ~ (x 0 y), jadi satu cabang, dan Oleh karena itu, selanjutnya up:

~(((P & Q) 0 R) →(( P ↔Q) 0 (R 0 (P & ~Q))) (P & Q) 0 R

~(P ↔Q)

~(R 0 (P & ~Q))

~((P ↔Q) 0 (R 0 (P & ~Q))) ~R

~(P & ~Q)

Meskipun contoh ini mungkin terlihat panjang, mundurlah satu menit dan perhatikan bahwa Anda sudah mengambil tiga langkah tanpa percabangan ganda. Tidak harus double-cabang ton menghemat kerja sambil Anda melanjutkan, karena Anda harus khawatir hanya satu cabang daripada dua (atau empat, atau delapan!).

Sekarang meleburkan (P & Q) 0 R:

Langkah ini ditutup dari dua dari empat cabang. Sekarang, P & Q adalah percabangan tunggal, jadi meleburkan pernyataan ini pada kedua sisa cabang, seperti ini:

Anda sekarang telah menutup semua cabang yang tersisa. Perhatikan bahwa

Ketika pengujian untuk menentukan apakah sebuah pernyataan adalah sebuah tautologi, ikuti

pedoman:



Jika kebenaran pohon memiliki setidaknya satu cabang yang terbuka, pernyataan

bukan tautologi Baik itu kontradiksi atau pernyataan kontingen. (Untuk

mengkonfirmasi atau mengesampingkan kontradiksi sebagai suatu kemungkinan,

anda akan membutuhkan satu lagi pohon, seperti yang saya jelaskan di bagian

berikutnya.)



Jika pohon kebenaran tidak membuka cabang, pernyataan ini adalah suatu tautologi.

Dalam bagian ini contoh, pohon menunjukkan bahwa pernyataan adalah tautologi.

Kontradiksi

Misalnya anda ingin menguji pernyataan (P ↔ Q) & (~ (P & R) & (↔ Q R)) untuk menentukan apakah itu suatu kontradiksi.

Untuk menunjukkan pernyataan kontradiksi, gagasan pohon kebenaran digunakan untuk pernyataan bercabang. Untuk contoh pernyataan bercabang, saya hanya mengenalkan seperti contoh dibawah ini :

(P ↔Q) & (~(P & R) & (Q ↔R))

Untungnya, dekomposisi pertama dari pernyataan ini adalah single-percabangan:

(P ↔Q) & (~(P & R) & (Q ↔R)) P ↔Q

~(P & R) & (Q ↔R)

Untungnya, dekomposisi pertama dari pernyataan ini adalah single-percabangan: Sekarang Anda memiliki pilihan untuk meleburkan baik P ↔ Q atau ~ (P & R) & (↔ Q R).

Tapi, menurut Gambar 8-1, pernyataan terakhir adalah single-bercabang, jadi ambil rute yang pertama:

(P ↔Q) & (~(P & R) & (Q ↔R)) P & R)

Q ↔R P ↔Q

Karena Anda sudah kehabisan pernyataan percabangan tunggal, saatnya untuk doublebranch, dimulai dengan pernyataan yang menghasilkan dua sub-pernyataan. Mulai

dengan P ↔ Q:

Dan sekarang meleburkan ↔ Q R:

Karena setiap pernyataan yang baik diperiksa atau berputar-putar, pohon sekarang lengkap.

Ketika pengujian untuk menentukan apakah sebuah pernyataan adalah suatu kontradiksi, berlaku pedoman ini:

 Jika kebenaran pohon memiliki setidaknya satu cabang yang terbuka, pernyataan bukan

kontradiksi â € "ita € ™ s baik tautologi atau pernyataan kontingen.

(Untuk mengkonfirmasi atau mengesampingkan tautologi sebagai kemungkinan, Anda akan perlu pohon yang lain, seperti yang saya jelaskan pada bagian sebelumnya.)

 Jika pohon kebenaran tidak membuka cabang, pernyataan ini adalah suatu kontradiksi.

Dalam contoh ini, dua cabang tetap terbuka, sehingga pernyataan isna € ™ ta kontradiksi.

Walaupun dua cabang tetap terbuka di pohon ini, hanya satu interpretasi membuat pernyataan asli benar. Trace dari bagasi sampai akhir baik membuka cabang untuk melihat bahwa penafsiran ini adalah bahwa P, Q, dan R adalah palsu.

Kontingen pernyataan

Memeriksa untuk melihat apakah sebuah pernyataan adalah kontingen adalah, seperti biasa,hanya masalah memerintah bahwa ita € ™ s baik tautologi atau kontradiksi.

(Flip Bab 6 untuk rincian tentang pernyataan kontingen.) Ketika pengujian untuk menentukan apakah suatu pernyataan kontingen, gunakan sebelumnya dua tes untuk tautologi dan kontradiksi. Jika pernyataan isna € ™ t sebuah tautologi dan isna € ™ ta kontradiksi, itu harus menjadi kontingen pernyataan.

Memeriksa Semantic Ekuivalensi atau Inequivalence

Jika Anda harus memeriksa sepasang pernyataan untuk kesetaraan atau inequivalence semantik, Anda beruntung, karena pohon sebenarnya dapat membantu Anda keluar. (Seperti yang saya jelaskan Bab 6, ketika dua pernyataan yang secara semantik setara, mereka berdua telah

nilai kebenaran yang sama di bawah setiap penafsiran.)

Untuk memutuskan apakah sepasang pernyataan adalah setara atau inequivalent semantik, Anda harus membangun dua pohon kebenaran:

 Satu pohon menggunakan pernyataan pertama dan negasi dari pernyataan kedua sebagai batang.

 Pohon lain menggunakan negasi dari pernyataan pertama dan kedua pernyataan batangnya

Dimulai dengan Pohon # 1, pernyataan kedua adalah dari bentuk percabangan tunggal ~ (x → y), jadi pertama meleburkan pernyataan ini:

Pernyataan ~ (P 0 ~ Q) adalah juga satu-bercabang, jadi mengerjakannya berikutnya:

Langkah ini ditutup dari satu cabang. Sekarang, meleburkan Q → ~ R, Anda mendapatkan:

Pohon # 1 sekarang lengkap.

Ketika pengujian sepasang pernyataan untuk menentukan apakah theyâ € ™ re semantik setara atau inequivalent, ikuti petunjuk ini:

 Jika salah satu pohon kebenaran setidaknya memiliki satu cabang yang terbuka, pernyataan

yang

semantik inequivalent.

 Jika kedua kebenaran pohon memiliki semua yang ditutup cabang, pernyataan yang semantik setara

Jika pohon pertama setidaknya memiliki satu cabang yang terbuka, pernyataan yang secara semantik inequivalent, yang berarti anda dapat melewati pohon kedua. Karena pohon pertama dalam contoh memiliki semua yang ditutup cabang, Anda perlu beralih ke pohon berikutnya. Dalam kasus ini, pernyataan pertama adalah single-cabang, jadi meleburkan itu pertama sebagai berikut:

Pernyataan yang tersisa, ~ (P 0 ~ Q) → ~ R, adalah double-cabang, jadi meleburkan itu berikutnya, seperti ini:

Langkah ini ditutup dari satu cabang. Akhirnya, meleburkan P 0 ~ Q memberi Anda: