Mengevaluasi
Pernyataan dengan
Tabel Kebenaran
Membuat Tabel
Kebenaran
dan
Membuat Tabel
Kebenaran
Empat langkah sederhana dalam membuat tabel kebenaran :
1. Mengatur baris atas tabel dengan masing-masing konstant
dikiri dan pernytaan disebelah kanan
2. Menentukan baris tambahan sesuai dengan kebutuhan
pengisian tabel
3. Mengatur kolom konstan dengan setiap kemungkinan nilai
kebenaran
4. Menggambar baris horisontal diantara baris dan vertikal
Mengenal Operator
Perangkai/ Operator Simbol
Dan (and) Atau (or)
DAN
Bernilai benar (T) jika kedua pernyataannya bersifat benar (T)
ATAU
Bernilai salah (F) jika kedua pernyataannya bersifat salah (F)
TIDAK/ BUKAN
Berkebalikan. Contoh :
P ~ P
T F
JIKA ... MAKA
Bernilai salah (F) jika pernyataan pertama bersifat benar (T) dan pernyataan kedua bersifat salah (F)
JIKA DAN HANYA JIKAP Q P ↔ Q
T T T
T F F
F T F
Mengenal Tautologi,
Kontradiksi dan
Tautologi
Suatu tautologi adalah pernyataan yang
selalu benar, terlepas dari nilai-nilai
kebenaran dari konstanta. Sebagai contoh, Buktikan : apakah (A v ~A) adalah
tautologi?
Bukti : buatlah tabel kebenarannya
Jadi (A ~A) adalah tautologi.
A ~A A ~A
F T T
Kontradiksi
Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang
selalu salah, terlepas dari nilai-nilai
kebenaran dari konstanta. Sebagai contoh, Buktikan : apakah (A & ~A ) adalah
kontradiksi?
Bukti: buatlah tabel kebenarannya
Jadi (A & ~A) adalah kontradiksi.
A ~ A A & ~A
F T F
Kontingen
Sebuah pernyataan kontingen adalah suatu
ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel kebenarannya.
Sebagai contoh,
Buktikan : ((A & B) → C)→ A
Bukti : buat tabel kebenarannya
A B C A & B ((A & B) → C) ((A & B) → C)→ A
F F F F T F
F F T F T F
F T F F T F
F T T F T F
T F F F T T
T F T F T T
T T F T F T
Mengenal Simantik
Menilai Semantik
Kesetaraan
Penggunaan tabel kebenaran untuk
mengevaluasi pernyataan dalam semua
kemungkinan kombinasi nilai-nilai kebenaran untuk konstanta.
Sebagai contoh: ~P v Q
P → Q
Pertanyaan:
untuk mengevaluasi kebenaran pernyataan di atas kita lihat tabel di bawah ini
P
Q P
→ Q ~ P ν Q
T T T
F F
T F
langkah pertama untuk mengisi tabel
adalah dengan menyalin nilai dari
setiap konstan ke kolom yang tepat:
P
Q P
→ Q ~ P ν Q
kedua, menangani berbagai ~operator yang
berlaku langsung pada yang konstan
P
Q P
→ Q ~ P ν Q
T T T T F T T T
F T F F T F
F T
F T T F T
F
ketiga, menyelesaikan evaluasi
pada kedua pernyataan terpisah
P
Q P
→ Q ~ P ν Q
Konsistensi
Keadaan konsisten terjadi ketika satu set pernyataan menghasilkan nilai kebenaran yang sama, sebagai contoh kalimat
pernyataan di bawah ini:
untuk mengevaluasi pernyataan di
atas kita lihat tabel kebenaran berikut
P
Q P ν ~ Q P
→ Q P ↔ ~ Q
T T T T F T T F T T T F
F T F F F T — — — — — — —
F F
dan kita lihat pada tabel berikut ini, dengan
pengulangan prosesnya dari dua pernyataan
memberikan hasil sebagai berikut:
Jika setiap baris tebel kebenaran setidaknya memiliki satu pernyataan yang kita lihat sabagai pernyataanya tidak benar (palsu), maka pernyataanya tidak konsisten. dan jika tabel kebenaranya memiliki satu pernyataan yang kita lihat pernyataanya tidak konsisten maka hasilnya konsisten.
P
Q P ν ~ Q P
→ Q P ↔ ~ Q
T T T T F T T T T T F F T T F T T T F T F F — — — —
F T F F F T — — — — — — —
F
Validitas
Argumen yang tidak benar, ketika semua
tabel adalah benar, kesimpulanya pun harus benar.
Kita lihat contoh di bawah ini:
P & Q R → ~ P
berikut ini tabel kebenaran yang perlu disiapkan untuk mengevaluasi pernyataan di atas
P Q
R P Λ Q R
→ ~ P ~ Q ↔ R
T T T T T
F T F
T T F
F F T
T F T
F F F
T F F
pada bagian “tetap konsisten” kita dapat melihat
pernyataan sebelumnya dan bisa melihat pernyataan selanjutnya, dan berikut tabel pernyataan pertama yang telah di tentukan:
P Q
R P Λ Q R
→ ~ P ~ Q ↔ R
T T
T T T T T T
F T T T T F
T
T F F — — — — — — — —
T F
F T F F — — — — — — — — F T
T
F F T — — — — — — — —
F T
F F F T — — — — — — — — F F
T
F F F — — — — — — — —
F F
berikut adalah hasil akhir dari
contoh di atas
P Q R P Λ Q R → ~ P ~ Q ↔ R
T T T T T T T F F T — — — — T T F T T T F T F T F T T F T F T T F F — — — — — — — —
T F F T F F — — — — — — — —
F T T F F T — — — — — — — —
F T F F F T — — — — — — — —
F F T F F F — — — — — — — —
jika tidak ada baris kebenaran yang pasti
dan mengandung semua premis dalam
kesimpulan yang tidak jelas kebenaranya
(palsu), maka itu argumen berlaku, dan
jika tidak sama dengan argumen maka
pernyataan
tadi
tidak
sah.
Seperti yang telah kita lihat, satu-satunya
baris dalam tabel sebelumnya yang
memiliki semua premis kebenaran maka
memiliki
kesimpulan
yang
benar,
Menghubungkan
Tautologi dan
Kontradiksi
Suatu pernyataan tautologi dapat di ubah menjadi kadaan kontradiksi atau sebaliknya (kontradiksi menjadi tautologi) dengan
mudah, yaitu dengan menggunakan operator ~ (negasi).
Oleh karenanya tautologi dan kontradiksi memiliki hubungan yang erat.
Sebagai contoh lihat pernyataan di bawah ini: P → (~Q → (P & ~Q)), merupakan tautologi. Kemudian kita rubah kedalam bentuk
kontradiksi
untuk mengevaluasi pernyataan
tersebut kita gunakan tabel dibawah
ini:
P
Q ~ (P
→ (~
Q → (P Λ ~Q)))
T
T F
T T T T T T T
T
F F T T T T T F T F
T F
F T F F F F F
F
Menghubungkan
Simantik Kesetaraan
dengan Tautologi
Dua simantik setara dapatdirubah menjadi tautologi dengan menghubungkannya
menggunakan operator ↔ .
Misal terdepat dua pernyataan dalam simantik setara
P → Q
~P → v Q
Kemudian dihubungkan dengan mengunakan operator ↔, maka menjadi
(P → Q) ↔ (~P vQ)
untuk mengevaluasinya kita lihat
tabel berikut :
P Q (P → Q) ↔ (~ P ν Q)
Menghubungkan
Inkonsisitensi dengan
Kontradiksi
Ketika menghubungkan pernyataan yang tidak
konsisten dalm suatu keadaan dengan menggunakan operator berulang &, maka pernyataan yang di hasilkan adalah kontradiksi.
Contoh: Terdapat 3 pernyataan yang tidak konsisten P v ~ Q
P → Q P ↔ ~ Q
Kemudian di hubungkan dengan operator &, maka menjadi :
untuk mengevaluasi pernyataan di
atas kita lihat tabel di bawah ini :
P
Q ((P ν ~ Q) Λ (P
→ Q)
) Λ (P ↔ ~ Q)
T T T T F T T T T T F T F F T
T F T T T F F T F F F T T T F
F T F F F T F F T T F F T F T
F
Mengubungkan Validitas dan
Kontradiksi
Misal terdapat sebuah permasalahan P → Q
Q → R
Dengan kesimpulan : P → R
Karena pernyataan ini valid, maka tidak mungkin keduanya adalah benar dan
untuk mengevaluasi pernytaan di
atas, lihatlah tabel di bawah ini :
P→ Q Q→R P→ R
jika kesimpulan tersebut dinegasi,
maka tidak satupun dari tabel
kebenaran terlihat seperti ini :
P→ Q Q→R ~(P→R)
Maka pernyataan diatas tak
satupun yang konsisten.
Anda dapat juga mengubah set
pernyataan tersebut menjadi
kontradiksi yang dihubungkan
dengan menggunakan operator &.
Amatilah tabel dibawah ini :
(( P
→ Q) Λ (Q → R)
) Λ ~ (P
→ R)
