FuTS3 Fluida dalam Gerak Benda Tegar

Distribusi Tekanan pada Fluida

Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition,

Chapter 2, The McGraw-Hill Book Co., New York

Tekanan pada Fluida

•  Tekanan fluida (fluid pressure): tegangan normal

(gaya normal per satuan luas) yang bekerja pada suatu elemen fluida.

•  Gradien tekanan spasial (bukan tekanan) dapat

menimbulkan gaya pada permukaan elemen fluida

•  Resultan gaya permukaan yang bekerja pada elemen

Tekanan pada Fluida Diam

δx

δz

δs

p_n

p_x

p_z

δW = ρg(½ _{δx δz δy)}

θ

0 x

z

θ

Tebal elemen = δy

Σ

F

_x

=

0

p

_x

δ

y

δ

z

−

p

_n

δ

y

δ

s

sin

_θ

₌

0

p

_x

=

p

_n •  _{pada arah horizontal} Tidak ada perubahan tekanan

Pada arah x

sin θ = δz/δs cos θ = δx/δs

Tekanan pada Fluida Diam

δx

δz

δs

p_n

p_x

p_z

δW = ρg(½ _{δx δz δy)}

θ

0 x

z

θ

Tebal elemen = δy

•  Perubahan tekanan arah vertikal dipengaruhi sin θ = δz/δs cos θ = δx/δs

Σ

F_z = 0

p_z

δ

y

δ

x − p_n

δ

y

δ

scos

_θ

₋ 1

2

ρ

g

δ

y

δ

x

δ

z = 0

p = p + 1

ρ

g

δ

z

Tekanan pada Fluida Diam

•  Untuk elemen yang sangat kecil, sehingga menjadi

sebuah titik (δx, δy, δz ≈ 0) maka:

•  Kesimpulan:

Tekanan (magnitude) pada suatu titik dalam fluida diam adalah sama ke segala arah

p

_x

=

p

_z

=

p

_n

=

p

y

•  Diambil sembarang elemen

fluida yang sangat kecil

Gradien Tekanan pada Fluida

Gradien Tekanan pada Fluida

•  Dengan cara yang sama, gaya pada arah x dan z

adalah:

Gradien Tekanan pada Fluida

•  Gaya yang bekerja pada elemen fluida akibat

tekanan adalah:

•  Jika f adalah gaya per satuan volume, maka:

Keseimbangan Elemen Fluida

•  Gaya-gaya yang bekerja pada fluida (per satuan

volume)

Distribusi Tekanan Hidrostatis

•  Pada fluida statis, percepatan dan tegangan geser

sama dengan nol (a = 0, f_visc = 0), sehingga:

•  Arah gradien tekanan akan selalu tegak lurus

permukaan bertekanan konstan.

•  Arah gradien tekanan adalah searah gravitasi lokal

!

∇

p

=

ρ

g

!

!

g

=

−

g

!

Distribusi Tekanan Hidrostatis

•  Komponen gradien tekanan :

•  Gradien tekanan tidak terpengaruh

x dan y, sehingga:

Fluida dalam Gerak Benda Tegar

Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition,

Benda Tegar

•  Benda tegar (rigid body): suatu sistem partikel yang

tidak mengalami deformasi, sehingga jarak antar

partikel tidak berubah meskipun mendapat gaya luar (external force)

•  Gerak benda tegar (rigid body motion)

•  Gerak translasi

•  Gerak rotasi

•  Kombinasi translasi dan rotasi

Fluida dalam Gerak Benda Tegar

•  Fluida dalam gerak benda tegar: seluruh partikel

fluida bergerak bersama-sama (percepatan sama)

sehingga tidak ada gerakan relatif antar partikel.

•  Fluida dalam keadaan ini dapat dianggap sebagai

fluida statis (tidak mengalami tegangan dan regangan geser).

•  Contoh:

•  Zat cair yang diangkut kapal/truk tangki

•  Keseimbangan gaya pada elemen fluida

dalam gerak benda tegar (a ≠ 0, f_visc = 0)

Fluida dalam Translasi Benda Tegar

a_x saat diam

Fluida dalam Translasi Benda Tegar

•  Gradien tekanan bekerja pada arah

•  Garis tekanan-konstan (serta permukaan zat cair,

jika ada) adalah tegak lurus arah gradien tekanan dengan kemiringan:

!

∇

p

=

ρ

(

g

!

−

a

!

)

θ

=

tan

−1

a

x

g

+

a

!

g

−

a

!

d

_p

d

_s

=

ρ

G

G

=

a

x

2

₊

g

+

a

_z

Ke mana arah percepatan tangki kiri dan kanan?

Isobar

p₀

Isobar

p₀

Isobar

Isobar

Isobar

p₀

Contoh Soal dan Penyelesaian

Kaleng cat diletakkan pada nampan dan diseret dengan

percepatan 7 m/s2. Tinggi kaleng

10 cm, diameter 6 cm dan berisi cat sedalam 7 cm pada kondisi diam. Dengan asumsi bahwa cat dalam gerak benda tegar,

(a) tentukan apakah cat akan

tumpah, (b) hitung tekanan pada titik A jika rapat massa cat

1010 kg/m3_.

A

3 cm

7 cm

3 cm 3 cm

a_x = 7 m/s2

θ

∆_z

z

x

s

Contoh Soal dan Penyelesaian

•  Penyelesaian (a): ditentukan kemiringan berdasarkan

besar percepatan yang telah diketahui, lalu ditentukan tinggi kenaikan permukaan cat di tepi kaleng.

•  Cat tidak tumpah dari kaleng. (Solusi ini mengabaikan

goncangan pada saat awal bergerak)

θ = tan−1 ax

g +a_z =

tan−1 7.0 m/s 2

9.81 m/s2 ₊0 =

35.5_°

Contoh Soal dan Penyelesaian

•  Penyelesaian (b) Tekanan pada A saat diam:

Tekanan pada A saat bergerak

atau

p_A (diam) = ρgh_rest = (1010 kg/m3)(9.81 m/s2)(0.07 m) = 694 Pa

p_A = ρG_∆s

= (1010 kg/m3)( (9.81)2 +(7.0)2m/s2)((0.07+0.0214)cos35.5°m)

= 906 Pa

p_A = ρG(z_surf − z_A)

= (1010 kg/m3)(9.81 m/s2)((0.0214+0.07) m) =906 Pa

Fluida dalam Rotasi Benda Tegar

Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition,

Ingat kembali…

•

 

Percepatan sentripetal (

a

c

)

m

r

m

V

_i

V

_f

θ

V

_i

V

_f

V = |V

_i

| = |V

_f

|

V

δ

t

r

≈

δ

V

V

a

₌

δ

V

δ

t

=

V

2

r

=

a

c

∆

V

Segitiga sebangun

Ingat kembali…

•

 

Gaya sentripetal (

F

c

)

F

_c

F

_c

V

Ω

m

r

F

c

=

ma

c

=

m

V

2

r

=

m

Ω

2

r

Fluida dalam rotasi benda tegar

Apa yang terjadi jika:

1. Piringan diputar

2. Kecepatan putar

ditambah

https://www.youtube.com/

watch?v=RdRnB3jz1Yw&t=9s

Piringan Air

Gaya-gaya yang bekerja

2

1

F

_nz

F

_nx

F

_n

F

_g

Bagaimana gaya-gayanya?

z

_,

!

i

z

r

_,

!

i

r

Ω

F

_g

=

F

_nz

=

mg

Distribusi Tekanan

saat diam

z

_,

Apa yang terjadi jika plat berisi fluida digeser, tetapi masih pada diameter piringan?

Distribusi Tekanan

•  Vektor posisi, kecepatan sudut dan percepatan:

•  Keseimbangan gaya:

•  p diintegralkan terhadap r dengan menganggap z konstan

•  Dengan menganggap r konstan:

•  Sehingga

Distribusi Tekanan

p

=

1

2

ρ

r

2

Ω

2

+

f

(

z

)

∂

p

∂

z

=

0

+

f

'(

z

)

=

−

ρ

g

f

(

z

)

=

−

ρ

gz

+

C

p

=

1

2

ρ

r

2

_Ω

2

₋

_ρ

_gz

₊

_C

•  Jika p = p₀ pada (r, z) = (0, 0) maka C = p₀, sehingga:

•  Untuk menggambar garis tekanan-konstan:

Distribusi Tekanan

p

=

p

₀

−

ρ

gz

+

1

2

ρ

r

2

Ω

2

z

=

p

0

−

p

1

ρ

g

+

r

2

Ω

2

2

_g

=

a

+

br

•  Pada silinder yang diputar

pada sumbunya berlaku:

Distribusi Tekanan

h

2

=

Ω

2

R

2

4

g

muka air saat diam

Ω

h

2

h

2

R R

h

Volume ₌ π 2

R2h

Contoh soal

Kaleng dengan tinggi 10 cm dan diameter 6 cm berisi cat

(ρ= 1010 kg/m3) dengan kedalaman 7 cm pada keadaan

diam. Kaleng kemudian diputar pada sumbunya hingga tercapai kondisi benda tegar. Tentukan:

(a) kecepatan sudut yang akan menyebabkan cat

mencapai bibir kaleng

Penyelesaian

_z

Ω

r

A

0

3 cm

7 cm

3 cm 3 cm

h

2 =

Ω2R2

4g = 0.03 m

Ω2 =1308

Ω = 36.2 rad/s = 345 rpm

A(_r,_z) = (3 cm,−4 cm)

p_A = p₀ − ρgz + 1

2 ρΩ

2 r2

= 0₊396 N/m2 + 594 N/m2

= 990 Pa

(a)

(b)