6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1

6- Operasi Matriks

Contoh 6-1 :

Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi.

Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-.

Dihari yang lain, Budi membeli 4 kg gula dan 3 kg kopi dengan uang Rp.

10.000,- sebanyak 2 lembar mendapat kembalian Rp. 1.000,-. Masalah muncul ketika ibu Budi ingin membeli 3 kg gula dan 0,5 kg kopi dengan memberinya uang pas. Berapa banyakkah uang pas yang harus dibawa Budi?

Jawab :

Dimisalkan : harga per kg gula = x₁, harga per kg kopi = x₂, total harga = b, jumlah gula pembelian pertama = a₁₁

jumlah kopi pembelian pertama = a₁₂ jumlah gula pembelian kedua = a₂₁ jumlah kopi pembelian kedua = a₂₂ Persamaan matematika :

Pembelian pertama : a₁₁ . x₁ + a₁₂ . x₂ = b₁ Pembelian kedua : a₂₁ . x₁ + a₂₂ . x₂ = b₂ Penyelesaian persamaan matematika :

2 . x₁ + 1 . x₂ = 7,000 persamaan (1) 4 . x₁ + 3 . x₂ = 19,000 persamaan (2)

Dengan teknik eliminasi, dimana persamaan (2) dikurangi dengan 2 kali persamaan (1), didapatkan

Nilai x₂ kemudian disubstitusikan ke persamaan (1) : 2 . x₁ + 1 . 5,000 = 7,000

x₁ = (7,000 – 5,000)/2 = 1,000

Jadi untuk membeli 3 kg gula dan 0,5 kg kopi diperlukan uang : 3 . 1,000 + 0,5 . 5,000 = 5,500

Persamaan (1) dan (2) pada contoh soal diatas disebut dengan persamaan linier

Persamaan tersebut dapat dituliskan sbb :

Definisi Matriks

Matriks adalah bentuk penyajian sekelompok bilangan yang disusun teratur atas baris dan kolom.

Secara umum, suatu matriks [A] yang terdiri atas m baris dan n kolom dituliskan sbb :

Dimana (m,n) merupakan ukuran matriks, atau jumlah total baris dan kolom yang ada, dan mengandung unsur-unsur a_ij, i = 1,2,...,m dan j = 1,2,...,n.

Indeks pertama menunjukkan baris dan indeks kedua menunjukkan kolom.

Sebagai contoh a₂₁ adalah unsur pada baris ke 2 dan kolom ke 1 matriks [A].

Jenis-Jenis Matriks

1. Matriks persegi, yang merupakan jenis matriks paling umum, dimana m ≠ n.

2. Matriks bujur sangkar yang merupakan keadaan khusus dari matriks persegi, dimana m = n. Dalam hal ini unsur cii (i = 1, 2, ..., n) dinamakan unsur-unsur diagonal.

3. Matriks baris, merupakan kasus khusus dimana m = 1

4. Matriks kolom, atau vektor, yang merupakan kasus khusus dimana n = 1.

5. Matriks simetris merupakan kasus khusus dari matriks bujur sangkar dimana a_ij = a_ji.

6. Matriks diagonal adalah sebuah matriks dimana semua nilai a_i≠i = 0

7. Matriks segitiga bawah adalah sebuah matriks dimana nilai elemen yang terletak diatas diagonal = 0.

8. Matriks segitiga atas adalah sebuah matriks dimana elemen yang terletak dibawah diagonal = 0.

9. Matriks identitas adalah matriks bujur sangkar dengan elemen pada diagonal = 1 dan elemen lainnya = 0

10. Matriks nol yaitu matriks persegi dengan semua elemennya = 0

Operasi Matriks

1. Kesamaan. Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai ukuran yang sama dan nilai pada elemen yang bersesuaian sama.

2. Keberlawanan. Dua matriks [A] dan [B] dikatakan berlawanan jika dan hanya jika kedua matriks mempunyai ukuran yang sama dan nilai pada elemen yang berseusaian berlawanan.

3. Transpos. Matriks [B] dikatakan sebagai tranpos dari matriks [A], jika berlaku hubungan dimana nilai pada elemen baris-kolom dari [A] menjadi nilai pada elemen kolom-baris dari [B].

4. Penjumlahan dan Pengurangan. Matriks [C] merupakan penjumlahan / pengurangan dari matriks [A] dan [B] hanya terdefinisi jika matriks [A]

dan [B] berukuran sama dengan unsur yang bersesuaian adalah penjumlahan / pengurangan dari unsur matriks [A] dan [B].

[A] + [B] = [C] [A] – [B] = [D]

+ = - =

5. Perkalian dengan bilangan skalar. Untuk mendapatkan hasil dari sebuah matriks yang dikalikan dengan bilangan skalar adalah dengan mengalikan nilai setiap elemen dengan bilangan skalar tersebut.

c x [B] = -3 x =

6. Perkalian. Matriks [C] merupakan perkalian dari matriks [A] dan [B]

hanya terdefinisi jika ukuran kolom matriks pertama sama dengan ukuran baris matriks kedua. Ukuran matriks hasil adalah jumlah baris matriks pertama dan jumlah kolom matriks kedua.

[A]_mn x [B]_nq = [C]_mq dengan c_ij = [A]_2x2 x [B]_2x3 = [C]_2x3

x = =

7. Determinan. Fungsi determinan dinyatakan oleh det[A] atau IAI didefinisikan sebagai sebuah besaran skalar yang merupakan jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari [A].

a) Orde 2

b) Orde 3

7. Determinan.

c) Orde >3

determinan matriks yang berukuran >3x3 diselesaikan dengan ekspansi kofaktor (aturan Cramer).

dimana nilai β_ij adalah kofaktor yang merupakan skalar yang diberikan oleh :

Besaran skalar m_ij adalah minor dari unsur a_ij yang merupakan determinan dari sub-matriks berorde lebih rendah satu tingkat dari matriks [A] dengan jalan mencoret baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks [A]

Sebagai contoh adalah matriks [A]_3x3 yang akan dihitungnya determinannya melalui ekspansi menurut baris kedua.

β₂₁ = (-1)⁽²⁺¹⁾ . m₂₁ = - m₂₁ β₂₂ = (-1)⁽²⁺²⁾ . m₂₂ = + m₂₂ β₂₃ = (-1)⁽²⁺³⁾ . m₂₃ = - m₂₃

8. Inversi. Matriks [B] merupakan inversi dari matriks [A] hanya terdefinisi jika matriks [A] merupakan matriks bujur sangkar dengan nilai elemen- elemen yang sedemikian hingga perkalian kedua matriks menghasilkan matriks identitas.

[B] = [A]^-1 jika [B] x [A] = [I]

Matriks invers dapat dicari dengan menggunakan teori determinan sbb :

dimana [Co A] adalah matriks kofaktor dari [A]

Contoh 6-2 :

Diketahui 3 buah matriks sbb :

a). Hitunglah [D] = [A]+[B]

b). Hitunglah [E]= [A] – [B]

Contoh 6-2 :

Diketahui 3 buah matriks sbb :

c). Hitunglah [F] = [A]x[C]

d). Hitunglah [G]= [C] x [A] → tidak terdefinisi karena jumlah kolom [C] tidak sama dengan jumlah baris [A]

e). Hitunglah tranpos [C]

Contoh 6-2 :

Diketahui 3 buah matriks sbb :

f). Hitunglah det [A]

IAI = 2.1.2+1.(-3).2+0.0.(-2)-0.1.2-(-3).0.2-2.(-2).1 = 4 + (-6) + 0 – 0 – 0 + 4 = 2

g). Hitunglah det [B]

IBI = 2.3.0+(-2).1.(-1)+1.5.1-1.3.(-1)-(-2).1.0-2.5.1 = 0 + 2 + 5 + 3 – 0 – 10 = 0

e). Hitunglah [A]^-1

Sifat Operasi Matriks

1. Komutatif Penjumlahan.

[A] + [B] = [B] + [A]

2. Distributif Penjumlahan dan Perkalian.

[A] . { [B] + [C] } = [A] . [B] + [A] . [C]

3. Antikomutatif Perkalian.

[A] . [B] ≠ [B] . [A]

4. Distributif perkalian dan penjumlahan dengan besaran skalar.

a . [A] . { b . [B] + c . [C] } = a . b . [A] . [B] + a . c . [A] . [C]

5. Tranpos dari perkalian [A] dan [B] adalah perkalian [B]^T dan [A] ^T. {[A] . [B]} ^T = [B] ^T . [A] ^T

6. Matriks [A] yang dikalikan dengan matriks identitas dengan ukuran sama akan memberikan hasil matriks [A].

Sifat Operasi Matriks

7. Penggabungan dari beberapa sifat sebelumnya adalah : [A] . {[B] . [C]} = {[A} . [B]} . [C]

[A] . {[B] + [C]} = [A] . [B] + [A] . [C]

{[A] . [B] . [C]}^T = [C] ^T . [B] ^T . [A] ^T

{k [A] + l [B]} ^T = k [A] ^T + l [B] ^T = l [B] ^T + k [A] ^T