SITTI ARDIANTY BADAWI H11113501

(1)

PENENTUAN NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN TITIK GRAF GRID

SKRIPSI

SITTI ARDIANTY BADAWI H11113501

PRODI MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN

2018

(2)

UNIVERSITAS HASANUDDIN

i

PENENTUAN NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN TITIK GRAF GRID

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika Departemen Matematika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin

PRODI MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN

2018

(3)

ii

LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini menyatakan dengan sungguh-sungguh bahwa skripsi yang saya buat dengan judul :

PENENTUAN NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN TITIK GRAF GRID

adalah benar hasil kerja saya sendiri, bukan hasil plagiat dan belum pernah dipublikasikan dalam bentuk apapun.

Makassar, 05 Maret 2018

(4)

iii

(5)

iv

(6)

v

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirobbi’alamin. Puji syukur penulis haturkan kehadiran Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulisan skripsi dengan judul “Penentuan Nilai Total Ketidakteraturan Titik pada Graf grid” dapat terselesaikan dengan baik. Salawat dan taslim semoga tetap tercurah kepada Rasulullah SAW yang menjadi suri tauladan bagi umat Islam dalam menjalani hidup yang sesungguhnya.

Penulisan skripsi ini dapat terselesaikan berkat bantuan dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis sampaikan terima kasih kepada:

1. Ayahanda Ir. Badawi Muhammad dan Ibunda Dra. Sitti Aminah tercinta yang senantiasa memberikan kasih sayang, doa dan materi kepada penulis dalam menuntut ilmu.

2. Dr. Nurdin, S.Si. M.Si. dan Jusmawati M., S.Si. M.Si yang dengan sabar meluangkan waktunya demi memberikan bimbingan, pengarahan, dan saran sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan.

3. Prof. Dr. Moh. Ivan Azis, M.Sc., Dr. Loeky Haryanto, MS., M.Sc., dan Dr. Budi Nurwahyu, MS selaku penguji, terima kasih atas saran dan kritikannya demi perbaikan skripsi penulis.

4. Seluruh dosen di Departemen Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin yang telah mendidik, mengajarkan, membimbing, dan mencurahkan ilmu- ilmunya kepada penulis.

5. Kakak Chaidir Suwahyo Badawi, S.T dan adik Alwiyani Badawi serta seluruh keluarga besar yang selalu memberikan doa, semangat, motivasi, dan kasih sayang tanpa batas.

6. Teman teman seperjuangan di jurusan matematika Binomial 2013, BROS 2013, B4P31235N4, serta kakak-kakak dan adik-adik HIMATIKA FMIPA UH terima kasih atas rasa persaudaraan dan kebersamaan yang telah diberikan kepada penulis.

7. Special Thanks kepada Bau Irfan AlFajri yang juga selalu memberikan semangat dan motivasinya sehingga penulisan skripsi ini dapat selesai pada waktunya.

(7)

vi

8. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu, yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini.

Dengan segala kerendahan hati, penulis menerima kritik dan saran demi tercapainya kesempurnaan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca khususnya bagi penulis.

Amin Ya Robbal Alamin.

Makassar, 26 Januari 2018

Sitti Ardianty Badawi

(8)

vii ABSTRAK

Sitti Ardianty Badawi. Penentuan Nilai Total Ketidakteraturan Titik Graf Grid (dibimbing oleh Nurdin dan Jusmawati).

Penentuan nilai ketidakteraturan dan nilai total ketidakteraturan titik dari semua graf belum dapat dilakukan secara lengkap. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai total ketidakteraturan titik graf grid 𝐺_𝑛² untuk 𝑛 ≥ 2.

Penentuan nilai total ketidakteraturan titik graf grid 𝐺_𝑛² dilakukan dengan menentukan batas bawah terbesar dan batas atas terkecil. Batas bawah dianalisis berdasarkan sifat-sifat graf dan teorema pendukung lainnya, sedangkan batas atas dianalisis dengan pemberian label pada titik dan sisi pada graf grid.

Berdasarkan hasil penelitian ini diperoleh nilai total ketidakteraturan titik graf grid adalah 𝑡𝑣𝑠(𝐺_𝑛²) = ⌈^𝑛²₅⁺²⌉.

Kata Kunci : Graf Grid, Nilai Ketidakteraturan, Nilai Total Ketidakteraturan Titik.

(9)

viii ABSTRACT

Sitti Ardianty Badawi. Total Vertex Irregularity Strength of Grid Graph (supervised by Nurdin and Jusmawati).

The irregularity strength and the total vertex irregularity strength of any graphs was not complete. This research aims to determine the total vertex irregularity strength of grid graph 𝐺_𝑛² for 𝑛 ≥ 2.

The total vertex irregularity strength of grid graph 𝐺_𝑛² was conducted by determining the greatest lower bound and the smallest upper bound. The lower bound was analyzed by properties of the graphs and other supporting theorems, while the upper bound was analyzed by construction a total labeling of grid graph.

The result show that the total vertex irregularity strength of grid graph, i.e.

𝑡𝑣𝑠(𝐺_𝑛²) = ⌈^𝑛²₅⁺²⌉.

Kata Kunci : Grid Graph, Irregular Labeling, Total Vertex Irregularity Strength.

(10)

ix DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN ... ii

LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii

LEMBAR PENGESAHAN ... iv

KATA PENGANTAR ... v

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... viii

DAFTAR ISI ... ix

DAFTAR GAMBAR ... xi

DAFTAR TABEL ... xiii

DAFTAR LAMBANG ... xiv

BAB I Pendahuluan ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Rumusan Masalah... 3

1.3 Batasan Masalah ... 3

1.4 Tujuan Penelitian ... 3

1.5 Manfaat Penelitian ... 3

1.6 Sistematika Penulisan ... 3

BAB II Tinjauan Pustaka ... 5

2.1 Pengertian Graf ... 4

2.2 Perkalian Kartesius ... 6

2.3 Terminologi Graf ... 7

2.4 Jenis-jenis Graf ... 8

2.5 Pelabelan Graf ... 10

2.6 Pelabelan Total Tidak Teratur Titik ... 11

(11)

x

BAB III Hasil dan Pembahasan ... 14

3.1 Graf Grid 𝐺_𝑛² ... 14

3.2 Nilai Total Ketidakteraturan Titik Graf Grid 𝐺_𝑛² ... 16

BAB IV Penutup ... 85

4.1 Kesimpulan ... 85

4.2 Saran ... 85

Daftar Pustaka ... 86

(12)

xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Graf 𝐺 dengan 5 titik ... 5

Gambar 2.2 Graf 𝑃₂, Graf 𝐶₃, Graf 𝑃₂ × 𝐶₃ ... 6

Gambar 2.3 Graf 𝐺 dengan 8 titik ... 7

Gambar 2.4 Graf Lintasan ... 8

Gambar 2.5 Graf sederhana, Graf tak sederhana, Graf tak sederhana ... 9

Gambar 2.6 Graf Siklus... 9

Gambar 2.7 Graf 𝑃₃ dan 𝑃₃ ... 10

Gambar 2.8 Graf 𝐺₃² ... 10

Gambar 2.9 Pelabelan total pada graf siklus 𝐶₄ ... 11

Gambar 2.10 Pelabelan total pada 𝐺₂²_. ... 12

Gambar 3.1 Graf Grid (𝐺_𝑛²) ... 14

Gambar 3.2 Graf 𝐺₃² ... 15

Gambar 3.3 Pelabelan-2 total tidak teratur titik graf

𝐺

₂² ... 16

Gambar 3.4 Pelabelan-4 total tidak teratur titik 𝐺₄² dan Pelabelan-8 total tidak teratur titik 𝐺₆² ... 17

Gambar 3.5 Pelabelan-14 total tidak teratur titik

𝐺

₈² ... 17

𝐺

₁₀² ... 18

𝐺

₁₂² ... 19

𝐺

₃² ... 48

(13)

xii

𝐺

₅² ... 49

𝐺

₇² ... 48

𝐺

₉² ... 50

𝐺

₁₁² ... 51

(14)

xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Batas bawah nilai total ketidakteraturan titik graf grid (𝐺_𝑛²)……… 16 Tabel 3.2 Batas bawah nilai total ketidakteraturan titik graf grid (𝐺_𝑛²)……… 48

(15)

xiv

DAFTAR LAMBANG

Lambang Keterangan Pemakaian pertama

kali pada halaman

𝐺_𝑛² Graf Grid 2

𝑉(𝐺) Himpunan titik graf 𝐺 5

𝐸(𝐺) Himpunan sisi graf 𝐺 5

𝑑𝑒𝑔(𝑣) Derajat titik 𝑣 pada suatu graf 7

𝛿(𝐺) Derajat titik minimum pada graf 𝐺 7

∆(𝐺) Derajat titik maksimum pada graf 𝐺 7

𝑃_𝑛 Graf lintasan 8

𝐶_𝑛 Graf lingkaran 9

𝑤𝑡(𝑣) Bobot titik 𝑣 10

f(v) Pelabelan titik 𝑣 10

f(uv) Pelabelan sisi 𝑢𝑣 10

𝑡𝑣𝑠(𝐺) Nilai total ketidakteraturan titik graf 𝐺 13

(16)

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mendasari berbagai macam ilmu lain, dimana matematika selalu menghadapi berbagai macam fenomena yang semakin kompleks. Hal ini disebabkan karena kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi. Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang penting dan banyak manfaatnya karena teori-teorinya dapat diterapkan untuk memecahkan masalah.

Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736. Saat itu dia memikirkan kemungkinan untuk menyeberangi semua jembatan di kota Konigsberg, Rusia, tepat satu kali dan kembali ke tempat semula.

Publikasi atas permasalahan ini dan solusi yang ditawarkan saat ini dikenaldengan teori graf.

Hartsfield dan Ringel (2003) mendefinisikan suatu graf 𝐺 sebagai suatu pasangan himpunan (𝑉, 𝐸) dimana 𝑉 tidak kosong dan 𝐸 bisa kosong. Himpunan 𝐸 merupakan himpunan pasangan tak terurut dari elemen 𝑉. Elemen 𝑉 disebut titik dari 𝐺 dan elemen 𝐸 disebut sisi dari 𝐺. Biasanya titik digambarkan dengan titik- titik pada bidang dan sisi digambarkan dengan garis yang menghubungkan dua titik pada bidang. Dengan demikian, suatu graf dapat didefinisikan sebagai suatu pasangan terurut antara himpunan titik 𝑉 dan himpunan sisi 𝐸 yang dinotasikan dengan 𝐺 = (𝑉, 𝐸).

Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf yang semakin berkembang, baik secara teoritis maupun dalam aplikasi. Pelabelan graf didefinisikan sebagai suatu pemetaan yang memetakan himpunan bagian dari unsur-unsur dari graf ke suatu himpunan bilangan (umumnya himpunan bilangan bulat positif atau non-negatif), yang diperkenalkan oleh Sedláček (1963). Pelabelan dengan domain titik disebut pelabelan titik, pelabelan dengan domain sisi disebut

(17)

2

pelabelan sisi, serta pelabelan dengan domain gabungan titik dan sisi disebut pelabelan total (Wallis,2007).

Salah satu jenis pelabelan pada graf adalah pelabelan tidak teratur.

Pelabelan tidak teratur (irregular labeling) pada graf G didefinisikan sebagai suatu pemetaan yang memetakan sisi dari G kehimpunan bilangan bulat positif, sedemikian sehingga semua titiknya mempunyai bobot yang berbeda (Chartrand dkk, 1988)

Beberapa peneliti telah menentukan nilai total tidak teratur titik pada beberapa graf. Slamin dkk (2011) telah menentukan nilai total tidak teratur titik dari Sun graphs. Rajasingh I. dkk (2013) menentukan nilai total tidak teratur titik dari graf Windmill. Wijaya K. dkk (2011) menentukan nilai total tidak teratur titik pada graf Cocktail Party. Ahmad A. dkk (2013) menentukan nilai total tidak teratur titik pada graf Cubic. Wijaya K. dkk (2005) menentukan nilai total tidak teratur titik pada graf Bipartit lengkap.

Graf yang akan diberi label dalam skripsi ini disebut graf grid sebanyak n titik yang diberi simbol 𝐺_𝑛² di mana 𝑛 ≥ 2. Definisi formal graf grid akan diberikan kemudian pada Bab II Tinjauan Pustaka.

Rajasingh I. dkk (2011) telah menentukan nilai total tidak teratur sisi pada graf Grid. Namun Rajasingh I. dkk (2011) belum menentukan nilai total tidak teratur titik pada Graf Grid. Sehingga penentuan nilai total tidak teratur titik pada Graf Grid masih terbuka, maka penulis bermaksud melakukan penelitian untuk mencari nilai total tidak teratur titik Graf Grid melalui skripsi yang berjudul

“Penentuan Nilai Total Ketidakteraturan Titik Graf Grid”.

(18)

3 1.2. Rumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah bagaimana menentukan nilai total ketidakteraturan titik dari graf grid.

1.3. Batasan Masalah

Pada penelitian ini penulis hanya membahas tentang pelabelan total

ketidakteraturan titik pada graf grid yang dinotasikan dengan 𝐺_𝑛² dimana 𝑛 ≥ 2.

1.4. Tujuan Penelilitian

Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai total ketidakteraturan titik dari graf grid.

1.5. Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :

1. Untuk mengetahui tentang pelabelan total tidak teratur, nilai total ketidakteraturan titik.

2. Untuk menambah pemahaman dan penguasaan pembaca tentang pelabelan total tidak teratur dan nilai total ketidakteraturan.

3. Dapat menjadi referensi bagi peneliti lain yang akan melakukan penelitian terkait nilai total ketidakteraturan suatu graf.

1.6. Sistematika Penulisan

Tugas akhir ini terdiri dari 4 bab sebagai berikut:

a) Bab I Pendahuluan, yang memuat latar belakang, rumusan masalah, Batasan masalah, tujuan dan sistematika penulisan.

b) Bab II Tinjauan Pustaka, dalam bab ini disajikan secara singkat mengenai konsep dasar, yaitu berbagai macam definisi dan teorema-teorema pada teori graf yang relevan dengan dengan pelabelan total tidak teratur titik pada graf grid dalam bentuk definisi,.

(19)

4

c) Selanjutnya, dalam Bab III Hasil dan Pembahasan, dalam bab ini dibahas mengenai hasil utama dari tugas akhir ini yaitu memuat definisi dari graf grid dan pebuktian terhadap hasil yang telah diperoleh.

d) Bab IV Penutup, bab ini memuat kesimpulan dari pengerjaan tugas akhir secara keseluruhan dan juga terdapat saran yang ditujukan bagi peneliti lain agar bisa mengembangkan penelitian ini.

(20)

5 BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini diberikan beberapa definisi dan konsep dasar pada teori graf, jenis-jenis graf, terminologi graf, serta penjelasan mengenai pelabelan pada graf yang digunakan pada bab selanjutnya.

2.1. Pengertian Graf

Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736. Graf merupakan pasangan himpunan titik dan himpunan sisi. Secara formal definisi graf dituliskan sebagai berikut.

Definisi 2.1.1 Graf 𝐺 adalah suatu pasangan himpunan (𝑉, 𝐸) dimana 𝑉 tak kosong dan 𝐸 bisa kosong. Himpunan 𝐸 merupakan himpunan pasangan tak terurut dari elemen 𝑉.

Elemen V disebut titik dari G dan elemen E disebut sisi dari G. Himpunan titik dari graf 𝐺 biasanya dinotasikan dengan 𝑉(𝐺) dan himpunan sisi dinotasikan dengan 𝐸(𝐺). Banyaknya unsur dari 𝑉(𝐺) disebut order dari 𝐺 dan banyaknya anggota dari 𝐸(𝐺) disebut ukuran (size) dari 𝐺. Misalkan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) 𝑑𝑎𝑛 𝑒 = {𝑢, 𝑣} ∈ 𝐸(𝐺). Penulisan sisi {𝑢, 𝑣} selanjutnya ditulis 𝑢𝑣.

Contoh 1:

𝑣₁ 𝑣₂ 𝑣₃

𝑣₄ 𝑣₅

Himpunan titik dan sisi graf 𝐺 pada Gambar 2.1 masing-masing adalah:

𝑉(𝐺) = {𝑣₁, 𝑣_2,𝑣₃, 𝑣₄, 𝑣₅} 𝑑𝑎𝑛 𝐸(𝐺) = {𝑣₁𝑣₂, 𝑣₁𝑣₃, 𝑣₁𝑣₅, 𝑣₁𝑣₄, 𝑣₃𝑣₄, 𝑣₄𝑣₅}, dan order serta size dari graf 𝐺 adalah 5.

Gambar 2.1. Graf G

(21)

6 2.2. Perkalian Kartesius

Perkalian kartesius (Cartesian product) dari himpunan A dan B, dinotasikan dengan 𝐴 × 𝐵 adalah himpunan yang elemennya merupakan pasangan terurut dengan komponen pertama yang berasal dari himpunan A dan komponen kedua yang berasal dari himpunan B, atau

𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)|𝑎 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ∈ 𝐵}

Definisi 2.2.1 Perkalian kartesius dari graf 𝐺₁(𝑉₁, 𝐸₁) dan 𝐺₂(𝑉₂, 𝐸₂) adalah graf yang dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐺₁× 𝐺₂ dan mempunyai titik 𝑉(𝐺) = 𝑉(𝐺₁) × 𝑉(𝐺₂), dua titik (𝑢₁, 𝑢₂) 𝑑𝑎𝑛 (𝑣₁, 𝑣₂) 𝑑𝑖 𝑔𝑟𝑎𝑓 𝐺 bertetangga jika dan hanya jika salah satu dari dua hal berikut berlaku (Chartrand dan Lesniak, 1986):

1. 𝑢₁ = 𝑣₁ dan 𝑢₂𝑣₂ ∈ 𝐸(𝐺₂) 2. 𝑢₂ = 𝑣₂ dan 𝑢₁𝑣₁ ∈ 𝐸(𝐺₁) Contoh 2:

𝑢₂ 𝑣₃ (𝑢₂,𝑣₃)

(𝑢₂, 𝑣₁) (𝑢₂, 𝑣₂) 𝑢₁ 𝑣₁ 𝑣₂ (𝑢₁, 𝑣₃)

(𝑢₁, 𝑣₁) (𝑢₁, 𝑣₂)

(a) (b) (c)

Gambar 2.2. (a) Graf 𝑃₂, (b) Graf 𝐶₃, (c) Graf 𝑃₂ × 𝐶₃ 2.3.Terminologi Graf

Dalam mempelajari graf terdapat beberapa termonologi (istilah) yang berkaitan dengan graf. Berikut ini didefinisikan beberapa termonologi yang akan digunakan pada bab pembahasan tugas akhir ini.

Definisi 2.3.1 Misal 𝐺 adalah suatu graf dan {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑉(𝐺). Jika 𝑒 = 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺), maka sisi e dikatakan terkait (incident) dengan titik 𝑢 𝑑𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑣.

(22)

7

Definisi 2.3.2 Dua buah titik pada graf dikatakan bertetangga (adjacent) bila keduanya dihubungkan oleh suatu sisi. Dengan kata lain, u bertetangga dengan v jika uv adalah sebuah sisi pada graf 𝐺.

Definisi 2.3.3 Misalkan v adalah suatu titik di graf 𝐺. Derajat titik v adalah banyaknya sisi yang terkait dengan titik v, dinotasikan deg(v). Notasi ∆(𝐺) merupakan notasi yang menyatakan derajad maksimum titik dari G dan 𝛿(𝐺) merupakan notasi derajat minimum titik dari 𝐺.

Definisi 2.3.4 Lintasan yang panjangnya n dari titik awal 𝑣₀ ke titik tujuan 𝑣_𝑛 didalam graf 𝐺 adalah barisan berselang-seling titik-titik dan sisi-sisi yang berbentuk 𝑣₀, 𝑒₁, 𝑣₁, 𝑒₂, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑛−1, 𝑒_𝑛, 𝑣_𝑛 sedemikian sehingga 𝑒₁ = 𝑣₀𝑣₁, 𝑒₂ = 𝑣₁𝑣₂, … , 𝑒_𝑛 = 𝑣_𝑛−1𝑣_𝑛 adalah sisi dari graf, dan semua titik yang dilalui berbeda.

Contoh 3:

𝑣₁ 𝑒₁ 𝑣₂ 𝑒₂ 𝑣₃ 𝑣₄ 𝑒₈ 𝑒₇ 𝑒₆ 𝑒₅ 𝑒₄ 𝑒₃

𝑣₈ 𝑒₁₀ 𝑣₇ 𝑒₉ 𝑣₆ 𝑣₅ Gambar 2.3. Graf G

Himpunan titik dan himpunan sisi dari G adalah

𝑉(𝐺) = {𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄, 𝑣₅, 𝑣₆, 𝑣₇, 𝑣₈} 𝐸(𝐺) = {𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒₃, 𝑒₄, 𝑒₅, 𝑒₆, 𝑒₇, 𝑒₈}.

Berdasarkan graf G diperoleh

(i) Titik 𝑣₁ dan titik 𝑣₂ bertetangga, sedangkan titik 𝑣₁ dan 𝑣₃ tidak bertetangga.

(ii) Sisi 𝑒₁ = 𝑣₁𝑣₂ terkait dengan titik 𝑣₁ dan 𝑣₂, sedangkan sisi 𝑒₁ tidak terkait dengan 𝑣₃ dan 𝑣₄.

(23)

8

(iii) Derajat pada titik 𝑣₁ adalah deg(𝑣₁) = 3 dan derajat pada titik 𝑣₄ adalah deg(𝑣₄) = 0. Sedangkan derajat maksimum dari graf G adalah ∆(𝐺) = 4 dan derajat minimum dari graf G adalah 𝛿(𝐺) = 0.

(iv) 𝑣₁− 𝑒₁− 𝑣₂− 𝑒₂− 𝑣₃− 𝑒₃− 𝑣₅ merupakan lintasan terbuka yaitu lintasan yang memiliki titik awal dan titik akhir yag berbeda dan 𝑣₁ − 𝑒₁− 𝑣₂− 𝑒₆ − 𝑣₇− 𝑒₁₀− 𝑣₈− 𝑒₈− 𝑣₁ merupakan lintasan tertutup yaitu lintasan yang berawal dan berakhir pada titik yang sama.

2.4. Jenis-jenis Graf

Beberapa graf dikelompokkan berdasarkan ciri khusus dari setiap graf. Pada subbab ini akan dipaparkan beberapa jenis graf yang digunakan pada penelitian ini.

Definisi 2.4.1 Graf lintasan dengan n titik dan n-1 sisi, dimana n ≥ 2, dinotasikan dengan 𝑃_𝑛 adalah graf dengan barisan titik 𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑛 dan 𝑣_𝑖𝑣_𝑖+1 ∈ 𝐸(𝑃_𝑛), 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 − 1 𝑑𝑎𝑛 𝑣_𝑖 ≠ 𝑣_𝑗 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≠ 𝑗.

𝑃₂ 𝑃₃ 𝑃₄ Gambar 2.4. Graf Lintasan

Definisi 2.4.2 Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang (loop) dan sisi ganda (multiple edges). Gelang (loop) adalah sisi yang berawal dan berakhir pada titik yang sama, sedangkan sisi ganda (multiple edges) adalah sisi yang menghubungkan pasangan titik yang sama.

(24)

9

𝑣₁ 𝑣₂ 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑣₁ 𝑣₃

𝑣₃ 𝑣₄ 𝑣₃ 𝑣₄ 𝑣₂ 𝑣₄

(a) (𝑏) (c)

Gambar 2.5. (a) Graf sederhana, (b) Graf tak sederhana, (c) Graf tak sederhana Definisi 2.4.3 Suatu graf G dikatakan graf terhubung jika untuk setiap dua titik u dan v terdapat suatu lintasan dari u ke v.

Definisi 2.4.4 Graf lingkaran dengan n titik dan n sisi dimana 𝑛 ≥ 3 merupakan graf terhubung yang dibentuk dari lintasan tertutup yaitu lintasan yang berawal dan berakhir pada titik yang sama, dimana setiap titiknya berderajad 2 dan masing-masing titiknya dilalui tepat satu kali. Graf lingkaran dinotasikan dengan 𝐶_𝑛.

𝐶₃ 𝐶₄ 𝐶₅ Gambar 2.6. Graf Siklus

Definisi 2.4.5 Graf grid adalah graf yang merupakan hasil kali cartesius dari graf lintasan 𝑃_𝑛× 𝑃_𝑛. Graf grid dengan 𝑛 × 𝑛 titik dinotasikan dengan 𝐺_𝑛² (Weisstein dan Eric W).

(25)

10 Contoh 3:

Misalkan diberikan graf lintasan 𝑃₃ dan 𝑃₃. Graf grid 𝐺₃² diperoleh dari hasil kali cartesius dari graf lintasan 𝑃₃ dan 𝑃₃.

𝑢₃ 𝑣₃ (𝑢₃, 𝑣₁) (𝑢₃, 𝑣₂) (𝑢₃, 𝑣₃)

𝑢₂ 𝑣₂ (𝑢₂, 𝑣₁) (𝑢₂, 𝑣₂) (𝑢₂, 𝑣₃)

𝑢₁ 𝑣₁ (𝑢₁, 𝑣₁) (𝑢₁, 𝑣₂) (𝑢₁, 𝑣₃) 𝑃₃ 𝑃₃

Gambar 2.7. Graf 𝑃₃ dan 𝑃₃ Gambar 2.8. Graf 𝐺₃² 2.5. Pelabelan Graf

Penelitian mengenai teori graf terus mengalami perkembangan. Salah satu pembahasan yang terus berkembang adalah pelabelan graf. Objek kajiannya berupa graf. Dalam definisi pelabelan graf yang dimaksud dengan elemen-elemen graf dalam tulisan ini adalah titik dan sisi dari graf.

Definisi 2.5.1 Pelabelan graf adalah suatu fungsi yang memasangkan elemen- elemen graf kesuatu himpunan bilangan bulat positif.

Jika domain dari suatu fungsi pelabelan adalah titik, maka pelabelan tersebut dinamakan pelabelan titik (vertex labeling). Jika domain dari suatu fungsi pelabelan adalah sisi, maka pelabelan tersebut dinamakan pelabelan sisi (edge labeling), dan jika domain dari suatu fungsi pelabelan adalah titik dan sisi, maka pelabelan tersebut dinamakan pelabelan total (total labeling).

Definisi 2.5.2. Bobot titik v pada pelabelan total f adalah label titik v ditambahkan dengan jumlah semua label sisi yang terkait dengan v, yaitu wt(v) = f(v) +

∑_𝑢∈𝑉𝑓(𝑢𝑣).

(26)

11 Contoh 3

𝑣₃ 𝑣₄ 2 2 2

5 6

1 2

𝑣₁ 𝑣₂ 3 4

1 1 1 Gambar 2.9 Pelabelan total pada graf siklus 𝐶₄

Misal f adalah pelabelan total pada graf siklus 𝐶₄ seperti pada Gambar 2.9, yaitu:

𝑓(𝑣₁) = 1 𝑓(𝑣₁𝑣₂) = 1

𝑓(𝑣₂) = 1 𝑓(𝑣₁𝑣₃) = 1

𝑓(𝑣₃) = 2 𝑓(𝑣₂𝑣₄) = 2

𝑓(𝑣₄) = 2 𝑓(𝑣₃𝑣₄) = 2

Bobot titik 𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃ 𝑑𝑎𝑛 𝑣₄ masing-masing adalah:

𝑤𝑡(𝑣₁) = 𝑓(𝑣₁) + 𝑓(𝑣₁𝑣₂) + 𝑓(𝑣₁𝑣₃)) = 1 + 1 + 1 = 3 𝑤𝑡(𝑣₂) = 𝑓(𝑣₂) + 𝑓(𝑣₁𝑣₂) + 𝑓(𝑣₂𝑣₄)) = 1 + 1 + 2 = 4 𝑤𝑡(𝑣₃) = 𝑓(𝑣₃) + 𝑓(𝑣₁𝑣₃) + 𝑓(𝑣₃𝑣₄) = 2 + 1 + 2 = 5 𝑤𝑡(𝑣₄) = 𝑓(𝑣₄) + 𝑓(𝑣₃𝑣₄) + 𝑓(𝑣₂𝑣₄) = 2 + 2 + 2 = 6 2.6. Pelabelan Total Tidak Teratur Titik

Definisi 2.6.1. Misalkan G(V,E) adalah grad sederhana. Suatu pelabelan 𝑓: 𝑉 ∪ 𝐸 → {1,2,3, … , 𝑘} disebut pelabelan-k total tidak teratur titik (total vertex irregularity k-labeling) pada graf G jika setiap dua titik x dan y yang berbeda pada V, berlaku

𝑤𝑡(𝑥) ≠ 𝑤𝑡(𝑦)

(27)

12 dimana

𝑤𝑡(𝑥) = 𝑓(𝑥) + ∑_{𝑢∈𝑉(𝐺)}𝑓(𝑥𝑢) Contoh 4:

2 2 2 2 2 2

5 6 5 6

1 2 1 2 3 4 3 5 1 1 1 1 1 2

(i) (ii)

3 2 4 5 1 2 6 8 8 7 1 2 2 4

4 7 6 9 2 1 2 1 3 2

(iii) (iv) Gambar 2.10 Pelabelan total pada 𝐺₂²_.

Gambar 2.10(i) merupakan suatu pelabelan-2 total ketidakteraturan titik karena semua bobot titiknya berbeda. Gambar 2.10(iii) merupakan suatu pelabelan-4 total ketidakteraturan titik dan masing-masing titiknya memiliki bobot yang berbeda.

Gambar 2.10(iv) juga merupakan suatu pelabelan-5 total ketidakteraturan titik dan masing-masing titiknya memiliki bobot yang berbeda, sedangkan Gambar 2.10(ii) bukan merupakan pelabelan-2 total ketidkteraturan titik karena terdapat bobot titik yang sama yaitu wt(𝑣₄) = wt(𝑣₅) = 7.

(28)

13

Definisi 2.6.2 Nilai total ketidakteraturan titik dari G adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian sehingga G mempunyai suatu pelabelan-k total ketidakteraturan titik, yang dinotasikan dengan tvs(G).

Gambar 2.10(i) merupakan suatu pelabelan-2 total ketidakteraturan titik pada 𝐺₂². Gambar 2.10(iii) merupakan pelabelan-4 total ketidakteraturan titik pada 𝐺₂²_. Sedangkan gambar 2.10(iv) merupakan pelabelan-5 total ketidakteraturan titik pada 𝐺₂²_. Namun, 𝐺₂² tidak mempunyai suatu pelabelan-1 total ketidakteraturan titik. Sehingga diperoleh k terkecil adalah 2. Dengan demikian nilai total ketidakteraturan titik pada 𝐺₂² adalah 2.

Bᾰca dkk. (2007) memberikan batas bawah dan batas atas nilai total ketidakteraturan titik dari sebarang graf 𝐺 sebagai berikut.

Teorema 2.6.1 Misal sebuah graf 𝐺(𝑉, 𝐸) dimana 𝑛 adalah banyaknya titik dengan derajat minimum 𝛿(𝐺) dan derajat maksimum ∆(𝐺), maka berlaku

⌈(𝑛 + 𝛿(𝐺))

(∆(𝐺) + 1)⌉ ≤ 𝑡𝑣𝑠(𝐺) ≤ 𝑛 + ∆(𝐺) − 2𝛿(𝐺) + 1.

Bukti:

Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf sebarang berorde 𝑛 dengan derajat titik terbesar ∆= ∆(𝐺) dan derajat terkecil 𝛿 = 𝛿(𝐺) . Karena bobot suatu titik tertentu dari 𝐺 adalah jumlah dari label titik tersebut dan semua label sisi yang terkait dengan titik tersebut, bobot titik terbesar dari 𝐺 tidak kurang dari 𝑛 + 𝛿. Bobot titik ini merupakan jumlah dari paling banyak ∆ + 1 bilangan bulat positif. Karena itu, label terbesar untuk bobot ini tidak kurang dari ⌈^(𝑛+𝛿)_(∆+1)⌉. Ini berarti bahwa 𝑡𝑣𝑠(𝐺) ≥ ⌈^(𝑛+𝛿)_(∆+1)⌉.

(29)

14 BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini, akan diuraikan bukti hasil yang telah penulis peroleh.

Penentuan nilai ketidakteraturan titik graf grid dilakukan dengan cara menentukan batas bawah terbesar dan batas atas terkecil.

3.1 Graf Grid (𝑮_𝒏𝟐).

Sub bab ini membahas definisi himpunan titik dan himpunan sisi pada graf grid 𝑮_𝒏𝟐.

Selanjutnya akan didefinisikan himpunan titik dan himpunan sisi dari graf

grid (𝐺_𝑛²). Himpunan titik dan himpunan sisi pada graf grid (𝐺_𝑛²) untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 dan 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛 sebagai berikut

𝑉 = { 𝑥_𝑖,𝑗|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} dan

𝐸 = { 𝑥_𝑖,𝑗𝑥_𝑖,𝑗+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1} ∪ { 𝑥_𝑖,𝑗𝑥_𝑖+1,𝑗|1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1}.

Gambar 3.1 Graf Grid (𝐺_𝑛²)

𝑥_𝑛,1 𝑥_𝑛,2 𝑥_𝑛,3 𝑥_𝑛,𝑛

𝑥_3,1 𝑥_3,𝑛

𝑥_2,1 𝑥_2,𝑛

𝑥_1,1 𝑥_1,2 𝑥_1,3 𝑥_1,𝑛

𝑥_2,2 𝑥_3,2

𝑥_2,3 𝑥_3,3

(30)

15 Gambar 3.2 Graf 𝐺₃².

Pada Gambar 3.2 diberikan contoh graf 𝐺₃² dengan himpunan titik dan sisi sebagai berikut:

𝑉(𝐺₃²) = {𝑥_1,1, 𝑥_1,2, 𝑥_1,3, 𝑥_2,1, 𝑥_2,2, 𝑥_2,3, 𝑥_3,1, 𝑥_3,2, 𝑥_3,3} dan 𝐸(𝐺₃²) = {𝑥_1,1𝑥_1,2, 𝑥_1,2𝑥_1,3, 𝑥_2,1𝑥_2,2, 𝑥_2,2𝑥_2,3, 𝑥_3,1𝑥_3,2, 𝑥_3,2𝑥_3,3,

𝑥_1,1𝑥_2,1, 𝑥_2,1𝑥_3,1, 𝑥_1,2𝑥_2,2, 𝑥_2,2𝑥_3,2, 𝑥_1,3𝑥_2,3, 𝑥_2,3𝑥_3,3}.

3.2 Nilai Total Ketidakteraturan Titik Graf Grid 𝑮_𝒏𝟐.

Sub bab ini membahas tentang hasil penentuan nilai total ketidakteraturan titik graf grid. Dalam penentuan nilai total ketidakteraturan titik graf grid, diawali dengan memberikan label sisi dan label titik pada graf grid (𝐺_𝑛²) untuk 𝑛 ≥ 2 dengan mempertimbangkan hal berikut:

1. Batas bawah dengan menggunakan Teorema 2.6.1 2. Batas atas dengan pemberian label pada titik dan sisi 3. Bobot setiap titik berbeda

4. Mempertahankan pola pemberian label titik dan sisi.

𝑥_1,1

𝑥_1,2 𝑥_1,3

𝑥_2,1 𝑥_2,2 𝑥_2,3

𝑥_3,1 𝑥_3,2 𝑥_3,3

(31)

16 Kasus I. Untuk 𝑛 genap

Berdasarkan Teorema 2.6.1, untuk 𝑛 = 2,4,6, … batas bawah nilai total ketidakteraturan titik graf grid dapat dilihat pada Tabel 3.1berikut.

Tabel 3.1 Batas bawah nilai total ketidakteraturan titik graf grid (𝐺_𝑛²)

𝑛 𝛿(𝐺) ∆(𝐺)

⌈(𝑛²+ 𝛿(𝐺))

(∆(𝐺) + 1)⌉ ≤ 𝑡𝑣𝑠(𝐺)

2 2 2 2

4 2 4 4

6 2 4 8

8 2 4 14

10 2 4 21

12 2 4 30

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑛 2 4

⌈(𝑛² + 2) 5 ⌉ Keterangan:

𝛿(𝐺) = derajat minimum

∆(𝐺) = derajat maksimum

Selanjutnya untuk menentukan batas atasnya, maka titik dan sisi 𝐺_𝑛² untuk 𝑛 = 2,4,6, … diberi label sebagai berikut.

2

1

1 1

2

2 2 ¹

1

Gambar 3.3 Pelabelan-2 total tidak teratur titik graf 𝐺₂².

(32)

17

² ² ³ ⁴ ⁴ ² ²

2

1

1 1

1 4

3

2

2 4

1 2

4

4 4

4

4 4

4 1

1 2

4 4 4

2 2

1 1 3 1 4 1

1

1 1 3 1 2 1 3 1 6 1 1

1 1 1 1

2 2

6

3 4 5

1 2

6 2 2 3 4 2

6 2

8 2 8 2

5 2 3 8

2 4 4 2

6 6 6 6

6 6 6

4 8 8 4 6

3 4

4

7

5 4

5

6

6 7

6

6 7

6 6 6

7 6 6

7 6

7

6 7 7 6

6 7

6

5 6 7

7 8

8 8 8

8

Gambar 3.4 (a) Pelabelan-4 total tidak teratur titik 𝐺₄² dan (b) Pelabelan-8 total tidak teratur titik 𝐺₆²

(a) (b)

1 1

2 2

3 2 3 4 5 8

1 1 1 1 1 1 1

3 4 5 6 7 8 1 1

1 1 1 1

1 2

1 2 3 4 5 6

8 2 8 2 8 2

9 2 3 4 5 14 1

2 10 2 10 2 10 2

8 8 8 8 8 8

2 4 4 4 4 2

4 12 12 12 12 4

8

8 8

8 8 8 8

8 8 8 8 8 8

8 8

8 8 8

9

9 9 9 9

9 9 9 9 9 9 9

9 9

14

14 14 14

14 14 14 14 14 14

14 14 14 14

14 14

14

5 5

7 8

9 10

6

7 8

6

7 8

6 7 8 9

10 6

7 8 9

11 12 13

10 11 12 13

4 5

6 7

8 9 10 11

Gambar 3.5 Pelabelan-14 total tidak teratur titik 𝐺₈²

(33)

18

3 1

1

3 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 1

2 1

4 1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

1 10

2 2 12 20

2

10

10 2

2

2 10

1

1 1 3 1 2 1 3 1

4 1 5 1 6 1 7 1 10 1 1

13 12 2 2 3 12 4 2

2 5 12 6 2 7 2 2

2

2 1 10 10

2 2 3 2 4 10 10

2 5 6 7 8

2

2 4 4 4 4 4 4 2

10 10 10 10 10 10 10 10

4 16 16 16 16 16 16 4

10

10 11 10

11 10

11

10 11 10

11 10

10 10

11 10

11 10 11

10 11

10 11 10 10 11

10 11

7 8

8 9 10 11 12 13

13

8 9 10 11 12

14 15

16 17 18 19

14 15 16 17 18 19

17 17

21

17 21 17

21 17

17 17

17

17 17 21 17 17

21

17

21 21

21 17 21

17 21

17 21 21

17 21 17

21 17

21

11 12

13 14

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14

21 21

21

21 21

21

21 21

21 21 21

21

21 21

21 21 21

21 21

15 16

17 18

Gambar 3.6 Pelabelan-21 total tidak teratur titik 𝐺₁₀² .

(34)

19 -

Gambar 3.7 Pelabelan-30 total tidak teratur titik 𝐺₁₂² 1

2 2

1 1 1 3 1 1 1 1 7 1 8 1 9 1 12 1 1

1 3

1 3 4

1 3 5 3

1 3 6 3 1 3 7 3

1 3 8 3

1 3 9 3

1 3 10 3 1 3

1 3 11 3 1 3

1 3 12 3 1 3

1 3

2 3

1 3

2 3 2 3

3 3 12 2 3

4 3 5 23 3 6 7 8 9 2 3

2 3

12 12

2 17 14 2 2 3 14 4 5 6 7 8 9

14 14 14

2 2 2 2

2 2

4

4 4 4 4 4 4 4 4

12 12 12

12 12 12 12 12 12

12 12

12

20 20 20 20 20 20 20 20 4

15 16

17 18

9 10

11 12

9 10

15 16

17 18

23 24

25 26

12

12 13

12 15

12 15 12

15

12 15

12 13 12

12 12

13 12

15 12

13

12 12

13 12

15 15

12 15

12

15 12

15 12 13

12 12 13

12 15

12 13

10 9 10 11 12 13 14 17

18 17 18 19 20 21 22 25

5 6 7 8 9 10

11 12 13

14 15 16

17 18 19 20 21 22

23 24 25 26 27 28

21 21

25

21 25 21

25 21

21 21

25 21

2521

25 21

25 21 25

21 25 21

25 21 21 25

21 25

21

9 10 11 12 25

13 14 15 16

17 18 19 20

21 22 23 24

26

26 26

29 29

26 29

26 29 26 26 26

29 26

29

26 26

29

26 29

26 26 29

29 26 29

26 29

26 17 18 29

19 20

21 22

23 24

29

29 29

30 29 30 30

30 30 30 30

30 30

30 30 30

29 29 29

29

30 30 30

30

12 12 10

3 2 4 5 6

(35)

20

Berdasarkan pelabelan seperti pada Gambar 3.3 sampai dengan Gambar 3.7 diperoleh suatu pelabelan titik dan sisi untuk 𝑛 = 2,4,6, … sebagai berikut.

Perhatikan bahwa 𝑡 = ⌈^(𝑛²₅⁺²⁾⌉.

 Label titik pada lapisan 1

𝑓(𝑥_1,1) = 𝑓(𝑥_1,𝑛) = 1 𝑛 = 2,4, … 𝑓(𝑥_𝑛,1) = 𝑓(𝑥_𝑛,𝑛) = 2 𝑛 = 2,4, … 𝑓(𝑥_1,𝑗) = {𝑗 + 1

𝑗 − 1

2≤𝑗≤𝑛−1;𝑛=4,𝑗=2,𝑛−1 ;𝑛=6,8,…

3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=6,8,…

𝑓(𝑥_𝑖,1) = 𝑖 + 1 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 𝑛 = 4,6, … 𝑓(𝑥_𝑖,𝑛) = 𝑖 − 1 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 𝑛 = 4,6, …

𝑓(𝑥_𝑛,𝑗) = {

𝑗 + 1

2(𝑛 − 4) + (𝑗 − 1) 𝑗 − 1

2≤𝑗≤𝑛−1;𝑛=4 𝑗=2,𝑛−1;𝑛=6,8,…

3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=6,8,…

𝑓(𝑥_2,2) = 𝑓(𝑥_𝑛−1,2) = 𝑛 − 3 𝑛 = 4,6, … 𝑓(𝑥_2,𝑛−1) = 𝑓(𝑥_{𝑛−1,𝑛−1}) = 𝑛 − 2 𝑛 = 4,6, … 𝑓(𝑥_2,𝑗) = {(𝑛 − 5) + 𝑗

𝑗 + 5 3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=6,8,𝑗=3,𝑛−2;𝑛=10,12,…

4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=10,12,…

𝑓(𝑥_𝑖,2) = { (𝑛 − 5) + 𝑖

𝑖 + 5 3≤𝑖≤𝑛−2;𝑛=6,8,𝑖=3,𝑛−2;𝑛=10,12,…

4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=10,12,…

𝑓(𝑥_{𝑖,𝑛−1}) = {2(𝑛 − 4) + (𝑖 − 1)

𝑛 + (𝑖 + 1) 𝑖=3,𝑛−2;𝑛=6,8,…,4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=8,10 4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=12,14,…

𝑓(𝑥_{𝑛−1,𝑗}) = {2(𝑛 − 4) + (𝑗 − 1)

𝑛 + (𝑗 + 1) 𝑗=3,𝑛−2;𝑛=6,8,…,4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=8,10 4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=12,14,…

𝑓(𝑥_3,3) = 5 𝑛 = 6,8 𝑓(𝑥_3,𝑛−2) = 6 𝑛 = 6,8 𝑓(𝑥_𝑛−2,3) = 7 𝑛 = 6,8 𝑓(𝑥_{𝑛−2,𝑛−2}) = 8 𝑛 = 6,8