Pengujian Hipotesis
Pengujian Hipotesis
1 .
1 . K o
K o n s e p
n s e p D a
D as a r
s a r P e
P en g
n g u j i a n
u j i a n H i p o t e s i s
H i p o t e s i s
Hipotesis statistik : suatu anggapan atau per-
Hipotesis statistik : suatu anggapan atau
per-nyataan, yang mungkin benar atau tidak,
nyataan, yang mungkin benar atau tidak,
mengenai satu populasi atau lebih.
mengenai satu populasi atau lebih.
Hipotesis nol = H
Hipotesis nol = H
00: setiap hipotesis yang akan
: setiap hipotesis yang akan
diuji
dinyatakan
dengan
hipotesis
nol.
diuji
dinyatakan
dengan
hipotesis
nol.
Penolakan H
Penolakan H
00menjurus, pada penerimaan
menjurus, pada penerimaan
suatu hipotesis tandingan = H
suatu hipotesis tandingan = H
11
Galat j
Galat jenis I
enis I : penola
: penolakan H
kan H
00padahal hipotesis itu
padahal hipotesis itu
benar.
benar.
Galat jenis II
Galat jeni
s II : penerimaan
: penerimaan H
H
00padahal hipotesis
padahal hipotesis
itu salah.
itu salah.
Tindakan
H
Tindakan
H
00benar
benar
H
H
00salah
salah
Terima H
Terima H
00Tolak H
Tolak H
00Keputusan benar
Keputusan benar
Galat jenis I
Galat jenis I
Galat jenis II
Galat jenis II
Keputusan benar
Keputusan benar
Kuasa suatu uji :
Kuasa sua
tu uji : peluang meno
peluang menolak H
lak H
00bila suatu
bila suatu
tandingan tertentu benar
tandingan tertentu benar
Uji eka arah : uji hipotesis dengan wilayah
Uji eka arah : uji hipotesis dengan wilayah
penolakan H
penolakan H
00ada di satu sisi saja
ada di satu sisi saja
Uji dwi arah : Uji hipotesis dengan wilayah
Uji dwi arah : Uji hipotesis dengan wilayah
penolakan H
penolakan H
00ada di dua sisi (kiri dan kanan)
ada di dua sisi (kiri dan kanan)
sebesar 0,5
Nilai -p:
Nilai -p: taraf (keberartia
taraf (keberartian) terkecil
n) terkecil sehingga nil
sehingga nilai
ai
uji statistik yang diamati masih berarti (nyata).
uji statistik yang diamati masih berarti (nyata).
2.
2. a.
a. Uji Hipo
Uji Hipo tesis su
tesis su atu rataa
atu rataan
n ((varians d
varians d iketahui)
iketahui)
H
H
00:
:
=
=
00
H
H
11:
:
=
=
00
= 0,05
= 0,05
Wilayah
Wilayah kritik
kritik z
z >
> 1,96
1,96 atau
atau z
z <
< -1,96
-1,96
Statistik
Statistik uji
uji
Keputusan tolak H
Keputusan tolak H
00bila statistik uji z jatuh di
bila statistik uji z jatuh di
wilayah kritik
wilayah kritik
b. Uji hipo
b. Uji hipo tesis satu rataan (
tesis satu rataan ( varians tid
varians tid ak
ak
diketahui)
diketahui)
H
H
00:
:
=
=
00
H
H
11:
:
00
= 0,05
= 0,05
Wilayah
Wilayah kritik
kritik :
: ditentukan
ditentukan dengan
dengan meng-
meng-gunakan tabel t
gunakan tabel t
Statitik uji
Statitik uji
n
n
S/
S/
μ
μ
X
X
tt
00, wilayah kritik kecil dari -t
, wilayah kritik kecil dari -t
/2/2atau
atau besar
besar dari
dari tt
/2/2n
n
σ/
σ/
μ
μ
X
X
Z
Z
00
Statistik uji
Statistik uji
S/
S/
n
n
;;
bi
billaa
n
n
30
30
μ
μ
X
X
zz
00
dan wilayah
dan wilayah
kritiknya
kritiknya z
z >
> zz
/2/2atau z
atau
z <
< zz
1-1-/2/2
Keputusan tolak H
Keputusan tolak H
00bila statistik uji z jatuh di
bila statistik uji z jatuh di
wilayah kritik
wilayah kritik
c.
c. Hipo
Hipo tesis H
tesis H
1 1d a n w
d a n w i l a
i l ay a h k r i t i k
y a h k r i t i k
H
H
00Statistik
Statistik uji
uji
H
H
11Wilayah
Wilayah kritik
kritik
0 0μ
μ
μ
μ
diketahui
diketahui
σ
σ
;;
n
n
σ/
σ/
μ
μ
x
x
z
z
00
0 0 0 0 0 0μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
1/2 1/2αα 1/2 1/2αα α α α αzz
zz
atau
atau
zz
zz
zz
zz
zz
zz
0 0μ
μ
μ
μ
diketahui
diketahui
tidak
tidak
σ
σ
1
1
n
n
v
v
;;
n
n
ss//
μ
μ
x
x
tt
00
diketahui
diketahui
tidak
tidak
σ
σ
3
30
0
n
n
;;
n
n
ss//
μ
μ
x
x
zz
00
0 0 0 0 0 0μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
0 0 0 0 0 0μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
(v) (v) 1/2 1/2 (v) (v) 1/2 1/2 α(v) α(v) α(v) α(v)tt
tt
atau
atau
tt
tt
tt
tt
-t
-t
tt
1/2 1/2αα 1/2 1/2αα α α α αzz
zz
atau
atau
zz
zz
zz
zz
zz
zz
a. Varian
12dan
2
2
diketahui
H
0:
1-
2= d
0
H
1:
1-
2 d
0
Taraf uji
= 0,05
Wilayah kritik z > 1,96 atau z < -1,96
Statistik uji:
Keputusan: tolak H
0bila statistik uji jatuh di
wilayah kritik.
b. Varian
tetapi tidak diketahui
H
0:
1-
2= d
0
H
0:
1-
2 d
0
Taraf uji =
Wilayah kritik t > t
1/2()atau t < - t
1/2()(lihat
pada tabel t) dengan derajat bebas
= n
1+
n
2–
2
Statistik uji
2 2 2 1 2 1 0 2 1n
σn
σd
)
x
x
(
z
2
2
2
1
Keputusan : tolak H
0bila statistik uji jatuh di
wilayah kritik.
c. Varians
12dan
22tidak diketahui dan
12
22
H
0:
0-
2= d
0
H
1:
1-
2
d
0
Taraf uji =
Wilayah kritik :
Statistik uji :
Keputusan : tolak H
0bila statistik uji jatuh di
wilayah kritik
2
n
n
1)S
(n
1)S
(n
S
;
n
1
n
1
S
d
x
x
t
2 1 2 2 2 2 1 1 2 p 2 1 p 0 2 1
(v) 1/2 ' (v) 1/2 -'t
atau t
t
t
1
1
dengan
2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 0 2 1 '
n
n
S
n
n
S
n
S
n
S
V
n
S
n
S
d
x
x
t
d. Uji Pengamatan Berpasangan
Pengamatan ( x
i, y
i) dan d
i= y
i- x
iPeubah acak d
1= {d
1,d
2, …, d
n}
H
0:
D= d
0
H
0:
D d
0
Taraf uji =
Wilayah kritik
Statistik Uji :
Keputusan : tolak H
0bila statistik uji jatuh di
wilayah kritik
e. Hipotesis H
1dan wilayah kritik untuk Uji Beda
Rataan
D 1 2 1 1 2 2μ
penduga
d
,
1
n
d
d
n
n
d
d
n
S
n i i n i i n i i d
n
S
d
d
t
d 0
1) -n (v 1/2 1) -n (v 1/2atau t
-
t
t
t
H
0Statistik Uji
H
1Wilayah kritik
0 2 1 0 2 1 0 2 1d
d
d
) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( ) (atau
v v v vt
t
t
t
t
t
t
t
0 2 1 0 2 1 0 2 1d
d
d
) ( 2 1 ' ) ( 2 1 ' ) ( ' ) ( 'atau
v v v vt
t
t
t
t
t
t
t
0 2 1 μd
μ
0 2 1 0 2 1 0 2 1d
d
d
2 1 2 1Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
atau
0 2 1 μd
μ
2
n
n
S
1
n
S
1
n
S
2
n
n
v
n
1
n
1
S
d
x
x
t
2 1 2 2 2 2 1 1 2 p 2 1 2 2 2 1 2 1 p 0 2 1
diketahui
tidak
tetapi
0 2 1 μd
μ
diketahui tidak dan 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 0 2 1 ' 1 n n S 1 n n S n S n S V n S n S d x x t
diketahui
dan
n
n
d
x
x
Z
2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 0 2 1
0
d
D
0 0 0d
d
d
D D D
) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( ) (atau
v v v vt
t
t
t
t
t
t
t
4. Uji Hipotesis Tentang Prop ors i
a. Uji satu proporsi untuk n besar
Bila n besar dan p
0yang dihipotesiskan tidak
terlalu dekat kepada nol atau satu maka
sebaran binom dapat didekati dengan sebaran
normal dengan
= n p
0dan
2= n p
0(1-p
0)
sehingga
Langkah penguji
H
0: p = p
0
H
1: p
p
0
Taraf uji =
Wilayah kritik = Z < - Z
½
atau Z > Z
½
Statistik uji
n
berpasanga
pengamatan
1
n
v
n
S
d
d
t
d 0
)
p
(1
p
n
p
n
x
Z
0 0 0
)
p
(1
p
n
p
n
x
Z
0
Keputusan tolak H
0bila statistik uji jatuh di
wilayah kritik.
b. Uji beda proporsi untuk sample besar
H
0: p
1= p
2
H
1: p
1
p
2
Taraf uji =
Wilayah kritik = Z < - Z ½
atau Z > Z
½
Statistik uji =
Keputusan tolak H
0bila statistik uji jatuh di
wilayah kritik.
Bila d
0
0 sehingga H
0yg di uji p
1- p
2= d
0
0
maka prosedur pengujinya menjadi
H
0: p
1–
p
2= d
0
H
1: p
1–
p
2
d
0; H
1: p
1–
p
2< d
0; H
1: P
1–
P
2> d
0Taraf uji =
2 1 2 1n
1
n
1
q
ˆp
ˆp
ˆp
ˆZ
p
ˆ1
q
ˆ;
n
n
x
x
p
ˆ;
n
x
p
ˆ;
n
x
p
ˆ 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1
Wilayah kritik
Z < - Z
1/2
atau Z < - Z
1/2
jika H
1: p
1–
p
2
d
0Z < - Z
jika H
1: p
1–
p
2< d
0Z < - Z
jika H
1: p
1–
p
2> d
0
Statistik uji
Keputusan tolak H
0bila statistik uji jatuh di
wilayah kritik
5. Uji Hipo tesis Tentang Ragam (Varians)
a. Uji Hipotesis varians dari populasi normal
Taraf uji =
Wilayah kritik =
2 2 2 1 1 1 0 2 1n
q
ˆp
ˆn
q
ˆp
ˆd
)
p
ˆp
ˆ(
Z
2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1n
x
q
ˆ;
n
x
q
ˆ;
n
x
p
ˆ;
n
x
p
ˆ
2 0 2 0:
H
2 0 2 2 0 2 2 0 2 1:
;
;
H
bila
atau
bila
bila
2 0 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 0 2 1 2 2 2 0 2 1 2 1 2:
H
:
H
:
H
Statistik uji
Keputusan tolak H
0bila statistik uji jatuh di
wilayah kritik
Untuk contoh (sampel) besar untuk H
0:
2=
02maka dapat didekati dengan sebaran
normal sehingga statistik uji
; S = Simpangan baku contoh
(sampel)
b. Uji Hipotesis kesamaan dua varians dari dua
populasi normal
Taraf uji =
Wilayah kritik :
dengan
2 0 2 2(
n
1
)
S
)
1
n
(
n
X
X
n
S
2 n 1 i i n 1 i 2 i 2
n
S
Z
2
/
0 0
2 2 2 1 0:
H
2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1:
;
;
H
2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1:
H
bila
)
,
(
f
F
:
H
bila
)
,
(
f
F
2 2 2 1 1 2 1 α 1 2 1 1 1(
,
)
atau
F
f
(
,
)
bila
H
:
f
F
Statistik uji
Keputusan tolak H
0bila statistik uji jatuh dari
wilayah kritik.
Untuk ukuran contoh n
1, n
2besar, statistik uji
;
S
1= Simpangan baku contoh dari populasi 1
S
2= Simpangan baku contoh dari populasi 2
6. Uji K ebaikan Suai
Suatu uji kebaikan suai frekuensi amatan dan
harapan didasarkan pada besaran
,
Dengan
2merupakan nilai peubah acak yang
sebaran sampelnya mendekati sebaran
khi-kuadrat dengan derajat bebas
= k
–
1.
O
i= frekuensi amatan,
= frekuensi harapan
2 2 2 1S
S
F
2 1 2 1n
2
1
n
2
1
Sp
S
S
Z
2
n
n
S
)
1
n
(
S
)
1
n
(
Sp
2 1 2 2 2 2 1 1
k 1 i i 2 i i 2e
)
e
O
(
i
e
Bila ada parameter yang diduga maka
= k 1
- jumlah parameter yang diduga. Uji Kebaikan
–
Suai dapat digunakan menguji ke-normalan data.
Pada uji ini data ditata dalam kelas frekuensi dan
dihitung frekuensi amatan dan frekuensi
harapan-nya.
H
0: peubah acak x menyebar secara normal
H
1: peubah acak x tidak menyebar secara
normal
Taraf uji =
Wilayah kritik :
Statistik uji :
Keputusan tolak H
0jika statistik uji jatuh di
wilayah kritik.
Uji kenormalan yang lebih kuasa dari uji
khi-kuadrat adalah uji Geary dengan statistik uji
dan wilayah kritik
2
)
1
k
(
2
k 1 i i 2 i i 2e
)
e
O
(
n
/
2661
,
0
1
u
Z
dimana
Z
Z
atau
Z
Z
2 α 2 α
/n
X
X
/n
X
X
n
X
X
/n
X
-X
2 i i1
,
2533
/
2
/
u
27. Uji K ebebasan
Suatu tabel kontingensi
dengan pengamatan
O
ij.
H
0: p
ij= p
i. p.j, K
i= 1, 2, …, b;
j = 1, 2, …,
atau peubah pada baris bebas
terhadap peubah pada kolom
Statistik uji
Keputusan tolak H
0bila
dimana
= taraf uji.
x
b
1
.
;
1
.
.
.
.
ˆ ˆ.
.
;
1 1 .
j j b i i j i j i ij j i ip
p
n
O
O
p
p
n
e
n
j
O
p
n
O
p
b 1 i j 1 ij 2 ij ij 2e
ˆe
ˆO
2
)
1
)(
1
b
(
2
) (
TUGAS/LATIHAN
1. Proporsi orang dewasa yang tamat perguruan
tinggi di suatu kota ditaksir sebanyak p = 0,3.
Untuk menguji hipotesis ini sampel acak 15
orang dewasa diambil. Bila banyaknya yang
tamat perguruan tinggi dalam sampel tadi antara
2 dan 7, maka hipotesis nol bahwa p = 0,3.
Carilah
kalau p = 0,3. Carilah
untuk
tandingan p = 0,2 dan p = 0,4. Apakah ini
meru-pakan cara pengujian terbaik?
2. Proporsi keluarga yang membeli susu dari
perusahaan A suatu kota di taksir sebesar p =
0,6. Bila sampel acak 10 keluarga menunjukan
bahwa hanya 3 atau kurang yang membeli susu
dari perusahaan A maka hipotensi bahwa p = 0,6
akan ditolak dan tandingan p > 0,6 didukung.
Carilah peluang melakukan galat jenis I bila
proporsi sesungguhnya p = 0,6. Carilah peluang
melakukan galat jenis II untuk tandingan p = 0,3,
p = 0,4, dan p = 0,5.
3. Dalam suatu percobaan besar untuk menentukan
kemujaraban suatu obat baru, 400 penderita
penyakit sejenis akan diobati dengan obat yang
baru tersebut. Bila dari 300 tapi kurang dari 340
penderita yang sembuh maka akan disimpulkan
bahwa obat tersebut 80% berhasil. Carilah
peluang melakukan galat sejenis I. Berapakah
peluang melakukan galat jenis II bila obat baru itu
hanya berhasil 70?
4. Suatu zat baru yang berkembang untuk sejenis
semen yang menghasilkan daya kempa 5000 kg
per cm
2dengan simpangan beku 120. Untuk
menguji hipotesis bahwa
= 5000 lawan
tandingan
> 5000, sampel acak sebesar 50
potongan semen diuji. Dengan kritis ditentukan
X
< 4970.Carilah peluang melakukan galat jenis
I. Carilah untuk tandingan
=4970 dan
=4960.
5. Suatu perusahaan alat listrik menghasilkan bola
lampu yang umurnya bedistribusi hampir normal
dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40
jam. Ujilah hipotesis bahwa
= 800 jam lawan
tandingan
< 800 jam bila sampel acak 30 bola
lampu mempunyai rata-rata 788 jam. Gunakan
taraf keberartian 0,04.
6. Suatu sampel acak 36 cangkir minuman yang
diambil dari suatu mesin minuman berisikan
rata-rata 21,9 desiliter, dengan simpangan baku 1,24
desiliter. Ujilah hipotesis bahwa
= 22,2 desiliter
lawan hipotesis tandingan bahwa
< 22,2 pada
taraf keberartian 0,05.
7. Rata-rata tinggi mahasiswa pria disuatu
per-guruan tinggi selama ini 174,5 cm, dengan
simpangan baku 6,9 cm. Apakah ada alasan
mempercayai bahwa telah ada perbedaan dalam
rata-rata tinggi mahasiswa pria di perguruan
tinggi tadi bila suatu sampel acak 50 pria dalam
angkatan yang sekarang mempunyai tinggi
rata-rata 177,2 cm? Gunakan taraf keberartian 0,02.
8. Suatu pertanyaan mengatakan bahwa rata-rata
sebuah mobil dikendarai sejauh 20.000 km
setahun disuatu daerah. Untuk menguji
pernyata-an ini sampel acak sebpernyata-anyak 100 pengemudi
mobil diminta mencatat jumlah kilometer yang
mereka tempuh. Apakah anda setuju dengan
pernyataan diatas bila sampel tadi menunjukan
rata-rata 23.500 km dan simpangan baku 3900
km? Gunakan taraf keberartian 0,01.
9. Ujilah hipotesis bahwa rata-rata isi kaleng sejenis
minyak pelumas 10 liter bila isi sampel acak 8
kaleng adalah 10,2; 9,7; 10,1; 9,8; 9,9; 10,4;
10,3; dan 9,8 liter. Gunakan taraf keberartian
0,01 dan anggap bahwa distribusi isi kaleng
normal.
10. Sampel acak berukuran 20 dari distribusi normal
mempunyai rata-rata
X
= 32,8 dan simpangan
baku s = 4,51. Apakah ini berarti bahwa rataan
populasi lebih besar dari 30 pada taraf
keber-artian 0,05?
11. Suatu sampel acak rokok dengan merek tertentu
mempunyai rata-rata kadar ter 18,6 dan
sim-pangan baku 2,4 mg. Apakah ini sesuai dengan
pernyataan pabriknya bahwa rata-rata kadar ter
tidak melebihi 17,5 mg? Gunakan taraf
keberartian 0,01 dan anggap bahwa distribusi
kadar ter normal.
12. Seorang mahasiswa pria rata-rata menghabiskan
Rp.800.000 seminggu untuk nonton. Ujilah
hipotesis pada taraf keberartian 0,01 bahwa
=
Rp.800.000 lawan tandingan
≠
Rp.800.000
bila sampel acak 12 mahasiswa pria yang
menonton menunjukan rata-rata pengeluaran
untuk menonton Rp.890.000 dengan simpangan
baku Rp.175.000 anggap bahwa distribusi
pengeluaran hampir normal.
13. Suatu sampel acak berukuran n
1= 25 diambil
dari populasi normal dengan simpangan baku
1= 5,2 mempunyai rata-rata
X
1= 81. Sampel
kedua berukuran n
2= 36 diambil dari populasi
normal yang lain dengan simpangan baku
2=
3,4, mempunyai rata-rata
X 2=76. Ujilah hipotesis
pada taraf keberartian 0,06, bahwa
1
2=
lawan tandingan
1
2.
14. Suatu pabrik menyatakan bahwa rata-rata daya
rentang benang A melebihi daya rentang benang
B paling sedikit 12 kg. Untuk menguji pernyataan
ini, 50 potong benang dari tiap jenis diuji dalam
keadaan yang sama. Benang jenis A mempunyai
rata-rata daya rentang 86,7 kg dengan
sim-pangan baku 6,28 kg, sedangkan benang jenis B
mempunyai rata-rata daya rentang 77,8 kg
dengan simpangan baku 5,61 kg. Ujilah
per-nyataan pengusaha tadi dengan menggunakan
taraf keberartian 0,05.
15. Suatu penelitian diadakan untuk menafsir
per-bedaan gaji professor universitas negeri dengan
swasta di negara bagian Virginia, USA. Sampel
acak 100 orang profesor universitas swasta
mempunyai gaji rata-rata $ 15.000 dalam 9 bulan
dengan simpangan baku $ 1.300. Sampel acak
200 profesor universitas negeri menunjukan
rata-rata gaji $ 15.900 dengan simpangan baku $
1.400. Ujilah hipotesis bahwa selisih rata-rata gaji
professor universitas negeri dan rata-rata gaji
professor universitas swasta tidak lebih dari $
500. Gunakan taraf keberartian 0,02.
16. Diberikan dua sampel acak berukuran n
1= 11
dan n
2= 14 dari dua populasi normal yang bebas
satu sama lain, dengan
X
1= 75,
X
2= 60,s
1= 6,1
dan s
2= 5,3. Ujilah hipotesis pada taraf
keberartian 0,05 bahwa
1
2lawan tandingan
bahwa
1
2. Anggap bahwa kedua poulasi
mempunyai variasi yang sama.
17. Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui
apakah peningkatan konsentrasi subtrat akan
mempengaruhi kecepatan reaksi kimia dengan
cukup besar. Dengan konsentrasi subtrat 1,5 mol
per liter, reaksi dilakukan 15 kali dengan rata-rata
kecepatan 7,5 mikro mol per 30 menit dengan
simpangan baku 1,5. Dengan konsentrasi subtrat
2,0 mol per liter, 12 reaksi dilakukan dan
menghasilkan rata-rata kecepatan 8,8 mikro mol
per 30 menit dan simpangan baku 1,2. Apakah
anda setuju bahwa peningkatan konsentrasi
subtrat menaikan kecepatan rata-rata sebesar
0,5 mikro mol per 30 menit? Gunakan taraf
keberartian 0,01 dan anggap bahwa kedua
populasi berdistribusi hampir normal dengan
variansi yang sama.
18. Suatu pabrik mobil yang besar ingin menentukan
apakah sebaiknya membeli ban merek A atau
merek B untuk mobil merek barunya. Untuk itu
suatu percobaan dilakukan dengan
mengguna-kan 12 ban dari tiap merek. Ban tersebut sampai
aus. Hasilnya sebagai berikut:
merek A :
X
1= 37.900 km, s1 = 5100 km
merek B :
X
2= 39.800 km, s2 = 5900 km
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,05
bahwa tidak ada beda kedua merek ban. Anggap
bahwa populasinya berdistribusi hampir normal.
19. Data berikut memberikan waktu putar film yang
dihasilkan oleh dua perusahaan film gambar
hidup:
Waktu (menit)
Perusahaan A
102 86
98
109 92
Ujilah hipotesis bahwa rata-rata putar film hasil
perusahaan B lebih 10 menit dari rata-rata waktu
putar film hasil perusahaan A lawan tandingan
eka arah bahwa selisihnya melebihi 10 menit.
Gunakan tingkat keberartian 0,1 dan anggaplah
kedua distribusi tersebut hampir normal.
20. Berikut ini tabel yang berisi hasil observasi
pelemparan sebuah dadu 60 kali.
Hasil Angka 1 Angka 2 Angka 3 Angka 4 Angka 5 Angka 6
Frekuensi 7 12 8 15 11 7
Dengan tingkat signifikansi 5%, ujilah hipotesis
bahwa dadu tersebut adalah setimbang.
21. Berikut ini tabel yang berisi distribusi persentase
perkerja menurut pendidikannya pada sebuah
pabrik pada tahun 1995
Pendidikan
Persentase
SD
12,4
SMP
35,7
SMU
18,0
D-3
7,4
S-1
17,2
S-2
6,5
Pada tahun 1999, dari data 1000 sampel pekerja
perusahaan tersebut, distribusinya menjadi
sebagai berikut:
Pendidikan
Persentase
SD
116
SMP
363
SMU
164
D-3
71
S-1
187
S-2
61
S-3
39
Dengan tingkat signifikansi 1%, ujilah hipotresis
bahwa pada tahun 1999, distribusi persentasi
pekerja menurut kategori pendidikan tidak
berubah sejak tahun 1995.
22. Sebuah perusahaan menjual barang-barangnya
lewat pos. Perusahaan tersebut bekerja 5 hari
dalam seminggu. Suatu ketika, perusahaan
ter-sebut ingin mengetahui apakah order yang
diterima dalam seminggu terbagi rata dalam 5
hari tersebut. Untuk keperluan ini, perusahaan
tersebut mendata 400 order yang diterima
selama 4 minggu, dan hasilnya adalah sebagai
berikut:
Hari
Senin
Selasa
Rabu
Kamis
Jum’at
Dengan tingkat signifikansi 5%, ujilah hipotesis
bahwa order yang diterima terbagi rata dalam
semua hari kerja dalam tiap minggunya.
23. Disuatu kota pelajar terdapat 4 Perguruan Tinggi
yang mempunyai fakultas ekonomi. Pada tahun
ajaran baru 1999, jumlah calon mahasiswa baru
yang mendaftar di 4 Perguruan Tinggi tersebut
dapat dilihat pada tabel berikut ini:
Perguruan Tinggi
UI1
UPM
UGM
YKPM
Total
Pendaftar
1450
1400
1600
1550
6000
Dengan
= 1%, ujilah H0 bahwa proporsi calon
mahasiswa baru yang mendaftar di
perguruan-perguruan tinggi tersebut adalah sama.
24. Perhatikan tabel kontigensi berikut ini:
Kolom 1
Kolom 2
Kolom 3
Baris 1
137
67
102
Baris 2
98
71
65
Baris 3
110
83
118
a. Buatlah hipotesis nol dan hipotesis alternatif
untuk uji independensi dari data tabel
ter-sebut.
b. Hitunglah frekuensi harapan untuk setiap sel
dengan mengasumsikan bahwa hipotesis no
adalah benar.
c. Untuk
= 0,01, temukan nilai kritis dari X
2.
perlihatkan daerah penerimaan dan daerah
penolakan pada kurva distribusi chi-square.
d. Carilah nilai statistik X2.
e. Dengan menggunakan
= 0,01, apakah
anda menolak hipotesis nol?
25. Perhatikan tabel yang berisi hasil dari 3 sampel
dari 4 populasi berikut ini:
Sampel berasal dari
Populasi 1 Populasi 2
Populasi 3 Populasi 4
Baris 1
27
81
55
123
Baris 2
46
64
91
72
Baris 3
18
39
105
93
a. Buatlah hipotesis nol dan hipotesis alternatif
untuk uji independensi dari data tabel tersebut
b. Hitunglah frekuensi harapan untuk setiap sel
dengan mengasumsikan bahwa hipotesis nol
adalah benar.
c. Untuk
= 0,025, temukan nilai kritis dari
2.
perlihatkan daerah penerimaan dan daerah
penolakan pada kurva distribusi chi-square.
d. Carilah nilai statistik
2.
e. Dengan menggunakan
= 0,025, apakah
anda menolak hipotesis nol?
26. Dengan adanya krisis ekonomi, semakin banyak
orang beralih ke merek dalam negeri dari pada
barang-barang merek luar negeri (impor). Berikut
ini data yang besaral dari 700 remaja dengan
perferensi pembeliannya:
Sampel berasal dari
Merek dalam negeri
Merek luar negeri
Pria
172
143
Wanita
178
207
Dengan menggunakan tingkat signifikansi 1%,
dapatkan anda menolak hipotesis nol bahwa dua
variabel tersebut, yaitu jenis kelamin dan
preferensi pembelian adalah independen?
27. Departemen konsultasi manajamen dari sebuah
perusahaan ingin mengetahui hubungan antara
kepuasan kerja karyawan perusahaan tersebut
dengan tingkat ketidakhadiran para karyawan
ter-sebut. Untuk hal itu, lembaga tadi
mengumpul-kan sampel berupa 400 karyawan, dan
men-dapatkan data seperti pada tabel berikut ini :
Sampel besaral dari
Kurang dari 4 4 sampai 7 Lebih dari 7
Jumlah Kurang dari 6
12
61
107
Dengan menggunakan tingkat signifikansi 5%,
dapatkah anda menolak hipotesis nol bahwa
ketidak-hadiran karyawan tidak berhubungan
dengan kepuasan kerja?
28. Kepada
200
remaja
ditanyakan
tentang
preferensi mereka terhadap hobi (musik dan olah
raga). Berikut ini data yang dipeloleh:
Olah raga
Musik
Pria
51
39
Wanita
68
42
Ujilah dengan tingkat signifikansi 10% bahwa
jenis kelamin dan preferensi terhadap hobi
(musik dan olahraga) adalah independen.
29. Sebuah perusahaan elektronik membeli inputnya
dari dua buah perusahaan komponen.
Kadang-kadang terjadi bahwa input-input yang diperoleh
dari dua perusahaan komponen tersebut tidak
baik
(tidak
memenuhi
standar
mutu).
Departemen kontrol kualitas dari perusahaan
elektronik tersebut ingin mengetahui apakah
distribusi komponen yang baik dan yang jelek
dari dua perusahaan komponen tersebut
ber-beda. Untuk itum diambil 300 komponen dari
pabrik A dan 400 komponen dari pabrik
komponen B dan diperoleh data sebagai berikut:
Pabrik komponen A Pabrik komponen B
Bagus
284
381
Jelek
16
19
Dengan menggunakan tingkat signifikansi 5%,
ujilah hipotesis bahwa distribusi komponen bagus
dan jelek dari dua perusahaan komponen
ter-sebut adalah sama.
30. Dua jenis obat untuk sebuah jenis penyakit
diuji-cobakan terhadap dua kelompok pasien. Dari
kelompok pasien pertama diuji-coba 60 pasien,
dan dari kelompok pasien kedua diuji-coba 40
pasien. Berikut ini data selengkapnya:
Sembuh
Tidak sembuh
Obat I
46
14
Obat II
18
22
Dengan menggunakan
= 1%, tentukan apakah
kedua obat tersebut mempunyai distribusi daya
penyembuhan yang sama.
KESALAHAN DALAM PENGAMBILAN KEPUTUSAN DAN DAYA UJI STATISTIK
Dalam kegiatan penelitian, setelah hipotesis di rumuskan, maka keterlibatan statistik adalah sebagai alat untuk menganalisis data guna membuktikan/menguji hipotesis.
secara meyakinkan atau tidak mendukung terhadap hipotesis yang diajukan. Demikian pula sebaliknya, kita akan menerima (tidak menolak) Ho, jika kenyataan yang ada (data) tidak berbeda dengan hipotesis yang diajukan. Dalam menerima/menolak hipotesis tidak akan selalu benar 100%, tetapi akan selalu terdapat kesalahan (kebenaran ilmiah tidak bersifat mutlak) terutama dalam inferensi sampel terhadap populasi.
Kesalahan dalam pengambilan keputusan untuk menolak atau menerima hipotesis didasarkan pada suatu asumsi bahwa dalam ilmu pengetahuan apapun tidak ada kebenaran yang mutlak, tetapi pasti selalu ada kesalahan. Dalam uji hipotesis (uji statistik) kita jumpai adanya dua kesalahan (error) yaitu kesalahan tipe 1 dan 2.
Kesalahan tipe 1, adalah kesalahan yang terjadi jika kita menolak Ho, padahal Ho
benar. Probabilitas untuk melakukan kesalahan tipe 1 ini diberi simbol α. Sedangkan
kesalahan tipe 2 terjadi jika kita menerima (tidak menolak) Ho, padahal Ho tersebut
salah. Probabilitas melakukan kesalahan tipe 2 ini di beri simbol β. Hubungan antara
kesalahan 1 dan 2 ditunjukkan pada gambar berikut :
KONDISI SEBENARNYA Ho benar Ho salah Menerima Ho Taraf kepercayaan
1- α
Error Tipe II
β
Menoak Ho
Error tipe I
α Power /Daya uji
1 -β
Untuk mendapatkan keputusan yang baik, maka kedua kekeliruan tersebut harus diusahakan sekecil mungkin. Tetapi ini akan sulit dicapai, mengingat bahwa meminimalkan yang satu akan terjadi peningkatan yang lain, kecuali dengan cara memperbesar ukuran/jumlah sampel, yang pada umumnya jarang bisa dilaksnakan.
Dalam prakteknya, perlu dilakukan suatu kompromi yakni dengan berusaha mencari kebenaran untuk membuat keputusan yang tepat dengan membatasi terjadinya kekeliruan yang dianggap berbahaya. Oleh karena itu, dalam uji hipotesis diusahakan adanya keseimbangan antara kesalahan tipe I dan tipe II. Artinya diusahakan pencapaian hasil pengujian hipotesis yang baik, yakni pengujian yang bersifat bahwa diantara semua
pengujian yang dilakukan dengan harga α yang sama besa, ambillah sebuah kekeliruan β
yang paling kecil.
Secara praktis, kekeliruan tipe I atau α biasanya sudah ditentukan terlebih dahulu, misalnya α=0,01 atau α=0,05. Dengan α=0,05 berarti bahwa dari tiap-tiap 100 kesimpulan yang kita buat, peluang untuk melakukan kekeliruan dengan menolak H0 yang benar (H0 yanng seharusnya diterima ) adalah sebanyak 5 kali.
Untuk setiap pengujian dengan α yang telah ditentukan, harga β akan dapat
dihitung harga (1- β) disebut daya uji statistic/power. Jadi daya uji statistik adalah
peluang/ kemungkinan untuk melakukan penolakan terhadap H0 yang salah dan ditunjukkan oleh bilangan 1-β.
UJI HIPOTESIS
Dalam statistik, yang disebut dengan hipotesis selalu diartikan sebagai hipotesis statistik atau hipotesis null (Ho). Hipotesis null (Ho) ini akan menyatakan suatu jawaban sementara bahwa keadaaan yang dibandingkan tersebut adalah tidak berbeda, atau keadaan yang dikolerasikan tersebut tidak ada hubungan didalam populasinya.
Dan supaya nampak adanya dua pilihan, hipotesis Ho ini selalu didampingi oleh pernyataan lain yang isinya berlawanan. Pernyataan tersebut merupakan hipotesis
tandingan untuk Ho, dan disebut sebagai hipotesis alternatif (Ha).
Pasangan Ho dan Ha atau Ho melawan Ha ini akan menentukan kriteria pengujian yang yang menetapkan daerah penerimaan dan daerah penolakan hipotesis. Daerah penolakan hipotesis ini sering pula dikenal dengan nama daerah kritis.
Misalkan yang akan diuji adalah suatu parameter θ (dalam penggunaannya θ ini
bisa berupa rata-rata µ, proporsi π, simpangan baku σ dan sebagainya), maka akan ditemukan adanya pasangan Ho dan Ha sebagai berikut:
A. Hipotesis mengandung pengertianSama , maka pasangan H0 dan Ha nya adalah:
1) Ho: θ = θo Ha : θ = θ1 2) Ho: θ = θo Ha: θ ≠ θ1 3) Ho: θ = θo Ha: θ θo 4) Ho: θ = θo Ha: θ < θo
B. Hipotesis mengandung pengertian M aksimum , maka H0 dan Ha nya akan
berbentuk:
H0 : θ ≤ θo Ha : θ θo
C. Hipotesis mengandung pengertian Minimum , maka perumusan Ho dan Ha nya
Dan langkah berikutnya adalah memilih teknik statistic yang akan digunakan, apakah Z, t, X2, F atau yang lainya. Kemudian berdasarkan nilai α yang telah ditetapkan, kriteria pengujian akan dapat ditentukan.
Adapun peranan hipotesis alternatif (Ha) dalam penentuan daerah kritis (daerah penolakan Ho) adalah sebagai berikut:
1) Jika hipotesis alternatif (Ha) mempunyai rumusan tidak sama (≠), maka dalam distribusi statistik yang digunakan, normal untuk angka Z, student untukangka t dan seterusnya, terdapat dua daerah kritis yang masing-masing terdapat pada ujung-ujung distribusi.
Luas daerah kritis pada tiap ujung adalah ½ α. Dan karena ada duan daerah penolakan Ho ini, maka dinamakan pengujian dua pihak (dua ekor).
Daerah Penerimaan H0
d1
d2
Daerah
Penolakan H0 Daerah Kritis
Luas 1/2a
Luas 1/2a
Daerah Penolakan H0
Kedua daerah penerimaan dan penolakan Ho tersebut dibatasi oleh bilangan d1 dan d2 yang harganya diperoleh dari daftar distribusi yang digunakan dengan peluang ralat α yang telah diterapkan.
Kriteria: Terima Ho, Jika harga statistik yang dihitung jatuh antara d1 dan d2, dan dalam hal lainnya Ho ditolak.
2) Jika hipotesis alternatif (Ha) mempunyai rumusan lebih besar (), maka dalam distribusi statistik yang digunakan terdapat sebuah daerah kritis yang letaknya diujung kanan.
Luas daerah kritis ini adalah sama dengan α. Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak (satu ekor) pihak kanan.
Daerah Penerimaan H0
d
Daerah
Penolakan H0 (Daerah Kritis)
Luas =a
Harga d diperoleh dari daftar distribusi yang digunakan dengan peluang α yang telah
ditentukan, dan menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan Ho.
Kriteria: Tolak Ho; Jika harga statistik hasil perhitungan berdasarkan sampel dari harga d,dan dalam hal lainya H0 diterima.
3) Jika hipotesis alternatif (Ha) mengandung pernyataan lebih kecil (<), maka daerah
kritis berada di ujung kiri dari distribusi. Luas daerah ini adalah α, dan dibatasi oleh bilangan d yang diperoleh dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan α tertentu yang telah ditetapkan. Pengujian hipotesis ini disebut pengujian satu pihak (satu ekor) pihak kiri.
Daerah Penerimaan H0
d
Daerah
Penolakan H0 (Daerah Kritis)
Luas = a
Kriteria: Terima Ho, jika hasil perhitungan statistik yang diperoleh berdasarkan data penelitian lebih besar dari hargaα, dan dalam hal lainya Ho ditolak.
Misalkan ada suatu populasi normal dengan rata-rata µ dan simpangan baku σ.
Dalam hal ini, akan dilakuka pengujian terhadap parameter rata-rata µ.
Untuk itu, diambil sebuah sampel acak berukuran n, kemudian diperoleh harga rata-rata
dan simpangan baku s. Dalam hal ini dapat dibedakan menjadi dua hal :1. Jika σ telah diketahui:
Hipotesisnya dirumuskan : H0 : µ = µ0 Ha : µ≠ µ0
Untuk menguji hipotesis ini digunakan statistic Z dengan rumus:
√ ⁄ ……….(1)
√
= Perkiraan standar error dari mean sample.Statistik Z ini berdistribusi normal, sehingga untuk menentukan criteria pengujian digunakan daftar distribusi normal baku.
Kriteria : H0 kita terima, jika :
⁄
⁄ dan dalam hallainnya H0 ditolak. Harga
⁄ ini diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang
Contoh:
Pengusaha lampu ijar merk A mengatakan bahwa lampu hasil produksinya bisa tahan pakai sekitar 800 jam. Akhir-akhir ini muncul dugaan bahwa masa pakai lampu merk A tersebut telah berubah. Untuk menguji terhadap dugaan tersebut dilakukan penyelidikan dengan jalan menguji sebanyak 50 buah lampu. Dari hasil penyelidikan
ternyata ditemukan bahwa masa pakai lampu tersebut rata-rata hanya 792 jam. Dari pengamatan, diketahui bahwa nilai simpangan baku masa hiduplampu merk A adalah 60
jam. Dengan ralat α = 0,05, ujilah apakah kualitas lampu tersebut memang sudah berub ah
ataukah belum.
Penyelesaian:
Kita asumsikan bahwa rata-rata masa hidup lampu merk A berdistribusi normal, maka akan diuji :
H0 : µ = 800 jam, berarti lampu tersebut masa pakainya masih sekitar 800 jam (kualitas belum berubah).
Ha : µ ≠ 800 jam, berarti kualitas lampu telah berubah.
Dari pengalaman, diketahui bahwa simpangan baku masa hidup lampu sekitar σ = 60
jam.
Dari penyelidikan terhadap n=50, diperoleh
̅
= 792 jam. Statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis diatas adalah statistic Z. Dan dengan mensubtitusikan harga µ0 = 800 jam, akan diperoleh:
√ ⁄
√ ⁄
Criteria pengujian atau harga Z table yang dipakai diperoleh dari daftar distribusi normal
baku untuk uji dua pihak (dua ekor) dengan α=0,05. Dalam hal ini, dapat dilihat pada daftar P (sudjana.hal 474) .
⁄
⁄
Daerah Penerimaan H0 -1,96 1,96 DaerahPenolakan H0 Daerah Kritis
0,025 0,025
Daerah Penolakan H0
0
Kriteria: Terima H0, jika harga Z hitung terletak antara -1,96 dan 1,96, sedangkan dalam hal lainnya. H0 ditolak. Dari hasil penyelidikan, ternyata diperoleh Z hitung = -0,94.
Ini berarti bahwa
⁄
⁄ H0 diterima.Kesimpulan: Bahwa pada taraf α=0,05, hasil penyelidikan menunjukkan bahwa H0=
2. Jika σ tak diketahui:
Dalam kenyataanya simpangan baku populasi σ sering tidak diketahui, untuk itu, maka diambil harga penafsirannya yaitu nilai simpangan baku yang dihittung dari sampel.
Untuk menguji hipotesis H0=µ= µ 0 melawan Ha= µ≠ µ0 maka digunakan statistik t dengan rumus sebagai berikut:
√ ………(2)Statistik t ini ternyata berdistribusi student dengan dk= (n-1). Sedangkan criteria
pengujian diperoleh dari distribusi student t pada taraf α tertentu untuk uji dua pihak
(dua ekor).
Kriteria: terima H0, Jika
–
Dalam hal ini,
didapat dari daftar distribusi student t (lihat daftar G, sudjana hal 475) dengan peluang (1-α/2) dan dk = (n-1) dan dk= (n-1). Dan dalam hal lainya, H0 ditolak.Contoh :
Sebagaimana contoh diatas mengurai pengujian masa pakai lampu merk A,
misalkan simpang bakun populasi σ tidak diketahui. Sedangkan dari sampel
pengujian sebanyak n=50 diperoleh harga rata-rata
̅
=792 jam, dan simpangan baku s = 55 jam dengan harga µ800 jam, maka akan dapat dihitung harga t sebagai berikut:
√
√
Dari daftar distribusi student dengan dk=n-1 =50-1=49 dan α=0,05 (uji dua pihak
Daerah Penerimaan H0
-2,01 2,01
Daerah
Penolakan H0 (Daerah Kritis)
0,025 0,025
Daerah Penolakan H0
0
Kriteria: Terima H0, jika harga t hitung terletak antara -2,01 dan 2,01. Sedangkan dlam hal lainya H0 ditolak.
Dan penyelidikan terhadap sebanyak 50 buah lampu merk A, menghasilkan t hitung=-1,03 dan ini terletak pada daerah penerimaan H0.
Kesimpulan:
Bahwa H0 = µ = 800 jam diterima. Atau dengan kayta lain, memang masa pakai lampu merk A tersebut masih sekitar 800 jam. Jadi, kwalitas lampu belum berubah.
UJI RATA-RATA µ= UJI SATU PIHAK
Perumusan hipotesis untuk uji pihak kananmengenai rata-rata adalah H0= µ≤ µ0 melawan Ha= µ µ0
Dalam hal ini, populasi diasumsikan berdistribusi normal dan dari padanya sampel acak berukuran n diambil. Dari sampel yang diambil, dihitung harga rata-ratanya
dan simpangan baku S.1. Jika σ diketahui:
JIka simpangan baku populasi σ dik etahui, maka untuk menguji hipotesis diatas digunakan statistik Z sebagaimana disajikan pada rumus (1). Kriteria pengujian diperoleh dari daftar distribusi normal baku.
Kriteria: tolak H0, jika Z hitung≥
