DesainKontrolFuzzy BerbasisPerformansiH dengan Batasan Input-Output untuk Sistem Pendulum-Kereta

(1)

Tugas Akhir – TE 091399

Desain Kontrol Fuzzy Berbasis Performansi H

_∞

dengan Batasan Input-Output

untuk Sistem Pendulum-Kereta

Tito Febriarianto (2208100126)

Dosen Pembimbing:

Prof. Dr. Ir. Achmad Jazidie, M.Eng.

Jurusan Teknik Elektro ITS Fakultas Teknologi Industri Institut Teknologi Sepuluh Nopember

(2)

Pokok Bahasan

PENDAHULUAN PERANCANGAN 1 2 HASIL PENGUJIAN PENUTUP PERANCANGAN 4 3

(3)

Pendahuluan

• Sistem Pendulum-Kereta (SPK) merupakan sistem

nonlinear tak stabil

• Pada implementasi nyata, sinyal kontrol dan posisi

kereta terbatas pada nilai tertentu

• Adanya

gangguan

dari

luar

dapat

mengganggu

Permasalahan Tujuan

Latar Belakang

• Adanya

gangguan

dari

luar

dapat

mengganggu

(4)

Pendahuluan

• Tidak mudah menstabilkan pendulum pada posisi

terbaliknya serta menjaga kereta pada titik tengah rel

• Sinyal kontrol serta posisi kereta dapat melebihi

batasan yang ada pada plant nyata

Permasalahan Tujuan Latar Belakang

(5)

Merancang

kontroler

fuzzy

Takagi-Sugeno

(T-S)

berbasis performansi H

_∞

yang memenuhi batasan

sinyal kontrol dan posisi kereta untuk stabilisasi

batang pendulum pada posisi terbaliknya

Pendahuluan

Permasalahan Tujuan

(6)

Perancangan

motor DC l pusat massa sistem sumbu rotasi x₁ x₂ Model Matematika Model Fisik

Model SPK FSC Skema PDC Kontroler LMI Gain

l m m_c _p) ( + = µ p c m m J l a + + = 2 Dengan : DC titik tengah rel Matematika

(7)

Perancangan

Fuzzy Stabilizing Controller (FSC)

Batas Rel Batas Rel Titik Tengah Rel

(8)

Perancangan

Skema Kontrol Robust H

_∞

Persamaan State-Space : ) ( ) ( 1 t C x t z = _z ) ( ) ( ) ( ) (t Ax t B u t B w t x_ɺ = + _u + _w Performansi H_∞ :

γ

<

=

≠

(

)

*

)

(

sup

2 2 1 0 2

w

t

z

w Sinyal Kontrol : ) ( ) (t Kx t u = −

(9)

Perancangan

Skema Kontrol Robust H

_∞ Skema

Model SPK FSC PDC Kontroler LMI Gain

Batasan Input-Output : max

)

(

t

u

≤

max 2 2

(

t

)

z

≤

Persamaan State-Space Keseluruhan:

) ( ) ( ) ( ) (t A B K x t B w t x_ɺ = − _u + _w ) ( ) ( ₁ 1 t C x t z = _z ) ( ) ( ₂ 2 t C x t z = _z

(10)

Perancangan

Parallel Distributed Compensation (PDC)

Skema PDC

Model Fuzzy Takagi-Sugeno (T-S)

Aturan Plant :

Bagian Premis Bagian Konsekuen

IF THEN ) ( ) ( ) ( ) (t A1x t B ,1w t B ,1u t xɺ = + w + u ) ( ) ( ) ( ) (t A₂x t B _,₂w t B _,₂u t xɺ = + _w + _u

Model SPK FSC Kontroler LMI Gain

Aturan Kontroler :

IF THEN

himp. fuzzy sama himp. fuzzy sama

) ( ) ( ) ( ) (t A₂x t B _,₂w t B _,₂u t xɺ = + _w + _u ) ( ) ( ) ( ) (t Ax t B _, w t B_,u t xɺ = _r + _w_r + _u_r ) ( ) (t K1x t u =− ) ( ) (t K2x t u =− ) ( ) (t K x t u =− r

Rule-1 Rule-2 Rule-r

(11)

Perancangan

Aturan Plant dan Kontroler

PDC

Aturan Plant ke-1 :

IF x₂ is M₁ (sekitar 0 rad.) THEN x_ɺ(t) = A₁x(t)+ B_w_,₁w(t)+ B_u_,₁u(t) ) ( ) ( ₁_,₁ 1 t C x t z = _z ) ( ) (t C x t z =

Aturan Kontroler ke-1 :

IF x₂ is M₁ (sekitar 0 rad.)

THEN u(t) =−K₁x(t)

Kontroler LMI Gain

Skema Model SPK FSC ) ( ) ( ₂_,₁ 2 t C x t z = _z

Aturan Plant ke-2 :

IF x₂ is M₂ (sekitar ±0.2 rad.) THEN x_ɺ(t) = A₂x(t)+ B_w_,₂w(t)+ B_u_,₂u(t) ) ( ) ( ₁_,₂ 1 t C x t z = _z ) ( ) ( ₂_,₂ 2 t C x t z = _z

Aturan Kontroler ke-1 :

IF x₂ is M₂ (sekitar ±0.2 rad.) THEN u(t)= −K₂x(t) )] ( [ )) ( ( ) ( 2 1 2 t K x t x M t u _i i i − =

∑

=

(12)

Perancangan

Fungsi Keanggotaan

Kontroler 0.4 0.6 0.8 1 D e ra ja t K e a n g g o ta a n M2 M1 M2 PDC LMI Gain Skema Model SPK FSC -0.40 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.2 x2 (rad) D e ra ja t K e a n g g o ta a n               − = 2 2 2 1 08 . 0 ) ( 5 . 0 exp )) ( (x t x t M )) ( ( 1 )) ( ( ₂ ₁ ₂ 2 x t M x t M = −

(13)

Perancangan

Model Linear SPK

Kontroler

Linearisasi SPK pada titik kerja : x* =[0 0 0 0]T

          − − = 00013 . 0 0 25256 . 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 A           = 82722 . 0 0 0 1 , u B PDC LMI Gain Skema Model SPK FSC    0 15.04211 0 −0.00791 _{ 23699}1. _ Linearisasi SPK pada titik kerja : x* =[0 ±0.2 0 0]T

            − − = 00791 . 0 0 69739 . 14 0 00013 . 0 0 23189 . 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 A             = 21110 . 1 82638 . 0 0 0 2 , u B

(14)

Perancangan

Perumusan LMI (1)

Jika Didefinisikan V(x(t)) = x(t)T_Px(t)_{dan P = P}T _,

maka sistem memiliki performansi H jika terdapat matriks simetris Q

Sistem memiliki performansi H_∞ jika terdapat fungsi Lyapunov sehingga :

0 ; 0 ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( (x t + z₁ t z₁ t − 2w t w t < ∀t > Vɺ T

γ

T

Kontroler LMI Gain

PDC Skema

Model SPK FSC

maka sistem memiliki performansi H_∞ jika terdapat matriks simetris Q

yang memenuhi LMI :

0 0 0 , 1 2 , , 1 , , , <           − − − − + I Q C I B QC B B Y Y B QA Q A i z T i w T i z i w T i u T j j i u T i i γ 1 − = K P Y_j _j Dengan : Q = P−1 dan

(15)

Perancangan

Perumusan LMI (2)

Jika terdapat matriks simetris Q yang memenuhi LMI :

Sistem mampu memenuhi batasan input-output yaitu:

LMI max

)

(

t

u

≤

max 2 2

(

t

)

z

≤

Kontroler Gain PDC Skema Model SPK FSC

Jika terdapat matriks simetris Q yang memenuhi LMI :

Dengan : Q = P−1 dan 0 2 max <           − − − − β u Y Y Q i T i 0 2 max 2 , 2 , 2 <           − − − − β z Q C QC Q i z T i z 1 − = K P Y_j _j Serta : β ≤ )) 0 ( (x V

(16)

Perancangan

Perumusan LMI (3)

Secara keseluruhan, sistem akan memiliki performansi H_∞ dan mampu memenuhi batasan input-output yang ditentukan jika terdapat matriks simetris Q yang memenuhi LMI :

LMI   T 0 < Θ_ii 0 ) ( 2 1 < Θ + Θ + Θ_ii _ij _ji Kontroler Gain PDC Skema Model SPK FSC Dengan : 1 − = P Q Y_j = K_jP−1 0 2 max <           − − − − β u Y Y Q i T i 0 2 max 2 , 2 , 2 <           − − − − β z Q C QC Q i z T i z 0 ) ( 2 ij ji ii 2 , 1 = i 2 1≤i ≠ j ≤           − − − − + = Θ I Q C I B QC B B Y Y B QA Q A i z T i w T i z i w T i u T j j i u T i i ij 0 0 , 1 2 , , 1 , , , γ dan

(17)

Perancangan

Perhitungan Gain State-Feedback (1)

Parameter yang digunakan adalah :

• A₁ dan B_u,1 adalah matriks hasil linearisasi SPK di sekitar x₂ = 0 radian

• A₂ dan B_u,2 adalah matriks hasil linearisasi SPK di sekitar x₂ = ±0.2 radian

• B_w,1 = B_u,1 dan B_w,2 = B_u,2.

• C_1,1 = C_1,2 = , yang menyatakan bahwa performansi

keluaran yang diambil adalah:

LMI Gain

]

1 .

0

1 .

0

1 .

0

30 [

Kontroler PDC Skema Model SPK FSC 1,1 1,2

keluaran yang diambil adalah:

• C_2,1 = C_2,2 =

• β = 5

• u_max = 17.5

• z_2max = 0.4

• Parameter γ divariasi antara 1 dan 0 dan didapat hasil terbaik yaitu ketika γ =

0.81

)

(

1 .

0 )

(

1 .

0 )

(

1 .

0 )

(

30 )

(

₁ ₂ ₃ ₄ 1

t

x

t

x

t

x

t

x

t

z

=

+

]

0

1 [

(18)

Perancangan

Perhitungan Gain State-Feedback (2)

Hasil solusi gain state-feedback yang didapat dengan penyelesaian LMI adalah : Gain ] 7295 . 68 3569 . 78 8664 . 262 3719 . 141 [ 1 = − − K ] 6241 . 68 8136 . 77 7421 . 261 5118 . 138 [ 2 = − − K

Dengan matriks stabilitas P adalah :

LMI Kontroler

PDC Skema

Model SPK FSC

Dengan matriks stabilitas P adalah :

            − − − − − − − − = 1772 . 0 2269 . 0 6769 . 0 5079 . 0 2269 . 0 2937 . 0 8669 . 0 6667 . 0 6769 . 0 8669 . 0 5866 . 2 9418 . 1 5079 . 0 6667 . 0 9418 . 1 6473 . 1 103x P

∞-norm dari w(t) ke z₁(t) atau tingkat pelemahan maksimal dari gangguan ke keluaran performansi adalah :

3090 . 0 * ) ( 1 s ∞ =γ = T_z_w

(19)

Hasil Pengujian

Implementasi

Simulasi

(20)

Hasil Pengujian

Simulasi

Pengujian Berbagai Kondisi Awal

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 P o s is i K e re ta ( m ) Kondisi Awal [0 0.2 0 -0.7] Kondisi Awal [0 0.4 0 -1.4] 0.3 0.4 0.5 P o s is i S u d u t P e n d u lu m ( ra d ) Kondisi Awal [0 0.2 0 -0.7] Kondisi Awal [0 0.4 0 -1.4] Implementasi 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 Waktu (s) P o s is i K e re ta ( m ) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Waktu (s) P o s is i S u d u t P e n d u lu m ( ra d )

Respons Posisi Kereta Respons Posisi Sudut Pendulum

(21)

Hasil Pengujian

Simulasi

Pengujian Berbagai Kondisi Awal

0 2 4 S in y a l K o n tr o l (N ) T

x

(

0 )

=

[

0

0 .

2

0 −

0 .

7 ]

5 73 . 0 )) 0 ( (x = ≤ V Implementasi Sinyal Kontrol 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -10 -8 -6 -4 -2 Waktu (s) S in y a l K o n tr o l (N ) Kondisi Awal [0 0.2 0 -0.7] Kondisi Awal [0 0.4 0 -1.4] T

x

(

0 )

=

[

0

0 .

4

0 −

1 .

4 ]

5 93 . 2 )) 0 ( (x = ≤ V β ≤ )) 0 ( (x V

(22)

Hasil Pengujian

Simulasi

Pengujian dengan Gangguan

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 P o s is i K e re ta ( m ) γ Penyimpangan x₁(m) IAE x1 0.90 0.0273 0.3043 0.3321 0.81 0.0248 0.2781 0.3090 0.75 0.0328 0.3607 0.3745 ∞ ) ( 1 s T_z _w Implementasi

Respons Posisi Kereta

0 5 10 15 20 25 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 Waktu (s) P o s is i K e re ta ( m ) Gamma 0.9 Gamma 0.75 Gamma 0.6 Gamma 0.81 0.75 ±0.0328 0.3607 0.3745 0.60 ±0.0370 0.4044 0.3837 lain yang 20 15 10 5 N, 0 N, 5 . 3 N, 5 . 3 ) ( t t t t w ≤ ≤ ≤ ≤      − = T

x

(

0 )

=

[

0

0 .

4

0 −

1 .

4 ]

Kondisi Awal :

(23)

Hasil Pengujian

Simulasi

Pengujian dengan Gangguan

-2 0 2 4 6 S in y a l K o n tr o l (N ) 0.3 0.4 0.5 P o s is i S u d u t P e n d u lu m ( ra d ) Gamma 0.9 Gamma 0.75 Gamma 0.6 Gamma 0.81 Implementasi Sinyal Kontrol 0 5 10 15 20 25 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 Waktu (s) S in y a l K o n tr o l (N ) Gamma 0.9 Gamma 0.75 Gamma 0.6 Gamma 0.81

Respons Posisi Sudut Pendulum 0 5 10 15 20 25 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Waktu (s) P o s is i S u d u t P e n d u lu m ( ra d ) T

x

(

0 )

=

[

0

0 .

4

0 −

1 .

4 ]

Kondisi Awal :

(24)

Hasil Pengujian

Simulasi

Diagram Blok Simulink untuk Implementasi

Implementasi

(25)

Hasil Pengujian

Pengujian Awal

Implementasi 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 P o s is i K e re ta ( m )

Sudut Awal 0.2 rad Sudut Awal 0.4 rad

0.3 0.4 0.5 P o s is i S u d u t P e n d u lu m ( ra d )

Simulasi

Respons Posisi Kereta Respons Posisi Sudut Pendulum 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 Waktu (s) P o s is i K e re ta ( m ) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Waktu (s) P o s is i S u d u t P e n d u lu m ( ra d )

(26)

Hasil Pengujian

Pengujian Awal

Implementasi -20 0 20 40 S in y a l K o n tr o l (N ) T x(0) =[0 0.2 0 0] 5 46 . 103 )) 0 ( (x = > V Simulasi Sinyal Kontrol 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -120 -100 -80 -60 -40 Waktu (s) S in y a l K o n tr o l (N )

T x(0) =[0 0.4 0 0] 5 85 . 413 )) 0 ( (x = > V β > )) 0 ( (x V

(27)

Hasil Pengujian

Pengujian Awal

Implementasi

• Batasan pada sinyal kontrol tidak dapat terpenuhi, hal ini dikarenakan :

β > )) 0 ( (x V

• Tidak mudah untuk memberi kondisi awal pada kecepatan sudut

pendulum secara manual, oleh karena itu digunakan algoritma swing-up

Simulasi

pendulum secara manual, oleh karena itu digunakan algoritma swing-up

berbasis energi yang diusulkan oleh Astrom dan Furuta karena mampu membawa pendulum menuju posisi terbaliknya secara konsisten

• Algoritma swing-up berbasis energi atau Energy Based Swing-Up

Controller (ESUC) yaitu :

25 . 0 25 . 0 , 40 )], cos( sgn[ 8 1 1 1 2 4 > ≤    − = x x x x x u_su 4 . 0 4 . 0 )], ( [ )) ( ( , 2 2 2 1 2 < ≥      − =

_∑

= x x t x K t x M u u i i i su

(28)

Hasil Pengujian

Pengujian dengan Swing-Up dan Gangguan

Implementasi

• Transisi dari algoritma swing-up ke algoritma stabilisasi terjadi pada waktu 2.382 detik

• Pada waktu 2.382 detik state sistem

adalah : 0.1 0.2 0.3 P o s is i K e re ta ( m ) Swing-Up Stabilisasi Simulasi

adalah :

• Karena maka sinyal

kontrol dan posisi kereta akan

memenuhi batasan yang ditentukan

T x(0) =[0.0583 0.4 −0.5738 −2.0805] 5 5908 . 0 )) 0 ( (x = ≤ V β ≤ )) 0 ( (x V 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.3 -0.2 -0.1 0 Waktu (s) P o s is i K e re ta ( m )

(29)

Hasil Pengujian

Pengujian dengan Swing-Up dan Gangguan

Implementasi 0.1 0.2 0.3 P o s is i K e re ta ( m ) Tanpa Gangguan Dengan Gangguan

• Besar simpangan posisi kereta ketika gangguan diberikan adalah :

0.024 m

• Hasil simpangan yang didapat pada

implementasi mendekati simpangan

Simulasi

0 5 10 15 20 25 30 -0.3 -0.2 -0.1 0 Waktu (s) P o s is i K e re ta ( m )

implementasi mendekati simpangan

pada simulasi, yaitu :

±0.0248 m -0.03 0 0.03 lain yang 25 20 15 10 N, 0 N, 5 . 3 N, 5 . 3 ) ( t t t t w ≤ ≤ ≤ ≤      − =

(30)

Hasil Pengujian

Pengujian dengan Swing-Up dan Gangguan

Implementasi 4 5 6 P o s is i S u d u t P e n d u lu m ( ra d ) Tanpa Gangguan Dengan Gangguan 5 10 15 20 S in y a l K o n tr o l (N ) Tanpa Gangguan Dengan Gangguan 0.02 Simulasi

Sinyal Kontrol Respons Posisi Sudut

Pendulum 0 5 10 15 20 25 30 -1 0 1 2 3 Waktu (s) P o s is i S u d u t P e n d u lu m ( ra d ) 0 5 10 15 20 25 30 -20 -15 -10 -5 0 Waktu (s) S in y a l K o n tr o l (N ) -0.02 0 0.02