Modul Matematika Garis Dan Sudut

(1)

Modul Matematika:

Garis dan Sudut

Thalia Thamsir

00000010641

7 April 2016

Fakultas Ilmu Pendidikan

ni!ersitas Pelita "arapan

T

(2)

(3)

Garis

dan

Sudut

Thalia

Thamsi

r

(4)

Modul Matematika kelas

7

7 April

April

2016

(5)

$a%tar Isi &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& i

$a%tar Gam'ar &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ii A& Titik dan Garis &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& _{7& (}

1. Titik ... _{7. 3}

2. Garis ... _{7. 3}

3.Kedudukan Garis ... _{7. 4}

)& Sudut &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 7& 7 1. Pengertian Sudut ... 7. 7 2. Penamaan Sudut ... 7. 8 3. Satuan Sudut ... 7. 9 4. Menentukan Besar Sudut yang Dibentuk arum am ... 7. 12

5. !ara Menggambar dan Mengukur Sudut Menggunakan Busur Dera"at 7. 14

#. enis$enis Sudut ... 7. 1% 7. &ubungan 'ntar Sudut ... 7. 18 *& "u'un#an Garis dan Sudut &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 7& 26

a. Sudut Se(ada) ... 7. 2# b. Sudut Da*am Berseberangan ... 7. 28 +. Sudut ,uar Berseberangan ... 7. 29 d. Sudut Da*am Se)i(ak ... 7. 31 e. Sudut ,uar Se)i(ak ... 7. 33 -. um*a( Sudut da*am Segi$n ... 7. 3% +i ,ompetensi &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 7& 42 ,un-i .a/a'an &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 7& 4 Glosarium &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 7& iii $a%tar Pustaka &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 7& !i

7 .

i

(6)

(7)

Gambar 7. 1 Gerard Mer+artr ... _{7. 1}

Gambar 7. 2 /i--e* T0er... _{7. 2}

Gambar 7. 3 Titik... _{7. 3}

Gambar 7. 4 Garis... _{7. 3}

Gambar 7. % Sydney &arbur Bridge... _{7. 3}

Gambar 7. # !a(aya senter ... _{7. 4}

Gambar 7. 7 Garis se"a"ar... _{7. 4}

Gambar 7. 8 e* kereta a)i... _{7. 4}

Gambar 7. 9 am dinding... _{7. 4}

Gambar 7. 1 Garis ber(im)it... _{7. 4}

Gambar 7. 11 Garis ber)tngan... _{7. 5}

Gambar 7. 12 Sisi ruma(... _{7. 5}

Gambar 7. 13 'ktiitas se(ari$(ari dan benda yang membentuk sudut ... 7. 7

Gambar 7. 14 Sudut yang terbentuk *e( dua garis... _{7. 7}

Gambar 7. 1% Sudut yang terbentuk dari bebera)a garis... _{7. 8}

Gambar 7. 1# 'ta) ruma(... _{7. 9}

Gambar 7. 17 ,ingkaran... _{7. 9}

Gambar 7. 18 am dinding ... _{7. 10}

Gambar 7. 19 Sudut )ada "arum "am... _{7. 12}

Gambar 7. 2 Busur dera"at ... _{7. 14}

Gambar 7. 21 enis$"enis sudut... _{7. 16}

Gambar 7. 22 Sudut *an+i) ... _{7. 16}

Gambar 7. 23 Sudut siku-siku ... _{7. 16}

Gambar 7. 24 Sudut *urus ... _{7. 17}

Gambar 7. 2% Sudut tum)u* ... _{7. 17}

Gambar 7. 2# Sudut re-*eks ... _{7. 17}

Gambar 7. 27 a5 Sudut *an+i) dan sudut tum)u* membentuk sudut bersu)*emen6 b5 Dua

sudut siku$siku membentuk sudut sa*ing bersu)*emen ... 7. 20

Gambar 7. 28 Sudut sa*ing berkm)*emen ... 7. 21

Gambar 7. 29 Sudut sa*ing bert*ak be*akang ... 7. 23

Gambar 7. 3 Dua garis se"a"ar yang di)tng garis *ain ... 7. 26

Gambar 7. 32 Sudut se(ada) ... 7. 27

Gambar 7. 31 P*a "a"argen"ang ... 7. 27

Gambar 7. 33 Sudut da*am berseberangan ... 7. 28

Gambar 7. 34 a"argen"ang ... 7. 29

Gambar 7. 3% Sudut *uar berseberangan ... 7. 30

Gambar 7. 3# Sudut da*am se)i(ak ... 7. 31

Gambar 7. 37Sudut *uar se)i(ak ... 7. 33

Gambar 7. 38Terema segitiga 1 ... 7. 35

Gambar 7. 39Terema segitiga 2 ... 7. 36

Gambar 7. 4Pentagn ... 7. 37

7 .

i

(8)

(9)

Garis dan Sudut

(10)

Garis Sudut

Segmen Sinar Garis Kedudukan Jenis Sudut Hubungan

Garis Garis Antar

Sudut Dua Garis

yang Dipotong Transversal

(11)

Gerard Mer+artr *a(ir )ada % Maret 1%12 ada*a( ba)ak at*as dunia. Karena dia sangat tertarik )ada ksmgra-i6 ia mu*ai be*a"ar matematika di ba0a( bimbingan Gemma risius 1%8$1%%%56 serang matematika0an Be*anda6 astrnm6 kartgra-er6 ksmgra-er dan )r-esr di niersitas ,euen. Mer+atr men"adi terkena* )ada ta(un 1%4 dengan )eta *andersnya yang didedikasikan untuk Kaisar !(ar*es . Peta ini +uku) akurat karena )enggunaan metde triangu*asi. Per(itungan dengan triangu*asi dimu*ai dari )engukuran satu sisi dari segitiga dan sudut untuk

meng(itung sisi *ain dengan

menggunakan trignmetri. Mer+artr menggunakan menara gere"a sebagai titik a+uan kemudian ia menggunakan a*at ukur sudut dan meng(itung "arak ke titik yang "au( dengan menggunakan aturan sinus. Pada 1%%46 ia meng(asi*kan sa*a( satu karya )ertamanya yang men"adi sebua( tnggak da*am se"ara( kartgra-i yaitu )eta /r)a. Dengan )eta Mer+artr6 )e*aut da)at mengeta(ui setia) saat )sisi mereka dan )e*ayaran mereka men"adi *ebi( aman.

7 .1

(12)

Mengk*asi-ikasi b"ek gemetri dan mem)e*a"ari si-at gemetri sangat )enting karena memi*iki banyak )enga)*ikasian di banyak bidang ke(idu)an

+nt(nya bidang seni yaitu )*a )ada ubin *antai: bidang arsitektur yaitu Eiffel Tower : bidang astrnmi yaitu menggunakan ukuran sudut untuk menggambarkan ukuran nyata dari sebua( b"ek di *angit ma*am dan +nt( nyata )ada ke(idu)an se(ari$(ari ada*a( engse* )ada )intu6 ata) ruma( yang menggunakan segitiga6 tra)esium mau)un )ersegi6 km)as6 "arum "am6 )ersim)angan "a*an dan *ain$*ain. Sama se)erti aritmatika yang memi*iki b"ek dasar )embe*a"aran )ada angka6 gemetri "uga memi*iki -kus utama )embe*a"aran yang ber(ubungan dengan titik6 garis6 bangun datar dan bangun ruang. Gemetri tingkat menenga( dimu*ai dengan se"um*a( knse) titik6 garis6 dan sudut5 yang tidak muda( untuk dide-inisikan. Me*a*ui gemetri6 sis0a menda)at kesem)atan untuk mengembangkan intuisi gemetri mereka dan be*a"ar bagaimana membangun argumen yang *gis.

Garis Ber)tngan Ber)enyiku Berseberangan

Segmen Garis ,an+i) Ber)e*urus Ber(ada)an

Sinar Garis Tum)u* Bert*ak Se)i(ak

(13)

Se"a"ar Siku$siku be*akang Ber(im)it e-*eks

(14)

Tu"uan Pembe*a"aran;

Menera)kan knse) kedudukan garis da*am )eme+a(an masa*a( nyata Mengukur besar sudut dengan busur dera"at

Me*ukis sudut dengan menggunakan busur dera"at

Menge*m)kkan "enis$"enis sudut berdasarkan ukuran besar sudut Mengana*isis )ermasa*a(an yang berkaitan dengan (ubungan antar s udut Mema(ami si-at$si-at sudut )ada dua garis se"a"ar yang di)tng *e( sebua( garis.

7 .2

(15)

Da*am i*mu Gemetri6 terda)at bebera)a isti*a( atau sebutan yang tidak memi*iki de-inisi undefined terms56 antara *ain titik dan garis.

1& Titik

Titik tidak memi*iki ukuran6 biasanya dideskri)sikan menggunakan tanda nkta( dan )enamaannya menggunakan (uru- ka)ita* se)erti titik A6 titik B atau titik C se)erti gambar di ba0a( ini.

(16)

A

Gambar 7. " Titi#

2& Garis

Garis meru)akan kura *urus yang tidak memi*iki u"ung mau)un )angka*. 'rtinya garis da)at di)er)an"ang kedua ara(nya.

A B

Gambar 7. $ Garis

Gambar 7. 4 menun"ukkan garis AB di*ambangkan dengan ⃡ yang artinya )an"ang

garis AB tidak terbatas.

Se#men #aris ada*a( kura *urus yang mem)unyai )angka* dan u"ung6 di*ambangakan dengan ̅ ̅ ̅ ̅ yang artinya)an"ang garis AB terbatas. !nt( segmen

garis ada*a( "embatan.

embatan meru)akan )eng(ubung antara dua tem)at yang ter)isa(.

'ndaikan sisi kiri sungai sebagai titik A6 sisi kanan sungai sebagai titik B maka titik A dan titik B da)at ter(ubung dikarenakan *e( segmen garis AB. ika titik A meru)akan titik )angka* segmen garis AB6 maka titik B meru)akan titik u"ung segmen garis AB.

Sinar Garis ada*a( kura *urus yang mem)unyai )angka* namun tidak

berujung di!ambangkan dengan . "#nt#$ sinar garis da%at di!i$at %ada &a$a'a 'ang di$asi!kan senter. (ika Anda mengama) gambar 7. 6 maka Anda akan

7 .



(17)

menemukan b"ek yang memi*iki titik a0a* yaitu titik A6 namun tidak memi*iki u"ung garis yang me*e0ati titik B tidak beru"ung5. Pada gambar 7. # garis AB

meru)akan sinar garis.

Gambar 7. % Ca&aya senter

(& ,edudukan Garis

a& Se+a+ar

Dua bua( garis dikatakan se"a"ar a)abi*a kedua garis tersebut ter*etak )ada satu bidang datar yang tidak akan ber)tngan meski)un di)er)an"ang tan)a batas dan "arak antar kedua garis tersebut se*a*u sama. !nt( garis se"a"ar da)at ditemukan )ada *intasan re* kereta a)i. Pada *intasan re* kereta a)i6 "arak antara dua re* akan se*a*u teta) dan tidak )erna( sa*ing ber)tngan antara satu dengan *ainnya. ')abi*a dua

Gambar 7. 7 'el #ereta a(i

bua( re* kereta a)i diangga) sebagai dua bua( garis6 maka da)at digambarkan se)erti;

(18)

Gambar 7. ) Garis se*a*ar

Garis dan garis diatas6 "ika di)er)an"ang sam)ai tak ber(ingga maka kedua garis tidak akan )erna( ber)tngan. Se(ingga garis dan meru)akan garis se"a"ar dan dintasikan dengan <//=.

'& )erhimpit

Gambar "am dinding disam)ing menun"ukkan )uku* 12. dan "arum )an"ang berim)it dengan "arum )endek se(ingga membentuk satu garis. >ni

meru)akan +nt(

kedudukan garis yang ber(im)it. Dari gambar "am dinding di

Gambar 7. + ,am dindin!

sam)ing da)at disim)u*kan ba(0a dua garis dikatakan sa*ing

Gambar 7. 1- Garis ber&im(it

7 .

!

(19)

berim)it ketika suatu garis ter*etak )ada garis *ain atau seba*iknya dan membentuk satu garis *urus.

Pada gambar di atas garis # dan l sa*ing ber(im)it6 da*am sa"ian gemetri dire)resentasikan sebagai garis yang sama identik5.

-& Garis )erpoton#an

Garis$garis yang ter*etak )ada bidang datar dikatakan ber)tngan a)abi*a garis$garis tersebut memi*iki satu titik )ersekutuan yang disebut titik )tng.

Titik Ptng _{Garis (6 6 dan r sa*ing}

ber)tngan karena memi*iki

 _{titik )tng di titik /.}

Gambar 7. 11 Garis ber(oton!an

d& Garis )ersilan#an

Dua garis yang sa*ing bersi*angan. adi6 garis k dan * dikatakan bersi*angan "ika kedua garis tidak memi*iki titik )ersekutuan6 tidak se"a"ar6 dan tidak ter*etak )ada bidang yang sama.

Pada gambar di sam)ing6 garis a dan b ada*a( garis bersi*angan karena garis a dan b bukan*a(

garis yang se"a"ar dan kedua garis ter*etak )ada sisi atau bidang yang berbeda. ')abi*a kedua garis di)er)an"ang6 kedua garis tersebut tidak

Gambar 7. 12 Sisi ruma&

(20)

1. Sketsa dan berikan *abe* sebua( garis segmen serta tu*iskan simb* )enu*isan garis segmen tersebut

2. Gambarkan dan berikan *abe* )ada setia) km)nen gemetri berikut?

a. Titik d. Sinar garis

b. Garis e. Garis se"a"ar

+. Segmen garis -. Garis ber(im)it

7 .

"

(21)

g. Garis ber)tngan (. Garis bersi*angan 3. Per(atikan gambar *aying$*ayang di ba0a( ini?

* ika garis _{̅ ̅ ̅} ̅ dan _{̅ ̅ ̅} ̅ di)er)an"ang maka

+ S kedudukan kedua garis ada*a(

,

4. Per(atikan gambar di ba0a( ini?

n tentukan titik )tng antara;

x a. Garis m dan n

w

b. Garis m dan (

y z +. Garis n dan 

m d. Garis m dan 

p q e. Pasangan garis mana sa"aka( yang

sa*ing se"a"ar6 ber)tngan6 atau bersi*angan@

%. Diketa(ui kubus 'B!D./G&. Kemungkinan kedudukan garis$garis diagna* bidang )ada masing$masing sisi

 G kubus ada*a(A.  /  " A B

7 .

#

(22)

(23)

1& Pen#ertian Sudut

Banyak aktiitas yang manusia *akukan da*am ke(idu)an se(ari$(ari berkaitan dengan sudut. Misa*nya )ada saat duduk6 sudut terbentuk antara )erut dengan kaki. Sudut "uga ditemukan )ada )emana( yaitu antara tangan dengan badan )emana(. Se*ain aktiitas manusia sudut "uga da)at di temukan )ada benda$ benda sekitar misa*nya sudut yang terbentuk antara "arum "am.

Gambar 7. 1" A#ti0itas se&ari&ari dan benda yan! membentu# sudut

Sudut terbentuk dari dua sinar yang titik )angka*nya berim)it

A

(24)

B

"

Gambar 7. 1$ Sudut yan! terbentu# ole& dua !aris

Garis B' dan B! ada*a( kaki sudut Titik B ada*a( titik sudut

(25)

a#i sudut ada*a( sinar garis yang membentuk suatu sudut. Titi# sudut ada*a( titik )tng )angka* sinar dari kaki sudut. 3aera& sudut yaitu daera( yang terbentuk antara dua kaki sudut. Gambar 7.14 menun"ukkan besar sudut yang sama 0a*au)un )an"ang kaki$kaki sudutnya tidak sama )an"ang se(ingga da)at disim)u*kan ba(0a besar sudut tida# ditentu#an ole& (an*an!nya #a#i sudut .

7 .

7

(26)

2&

Penamaan Sudut

 

A B

Gambar 7. 15 Sudut yan! terbentu# dari bebera(a !aris

"

Pada gambar 7. 1% sudut yang diarsir da)at dinamai dengan;

i. Satu (uru- yaitu sudut B dan ditu*is∠

ii. Tiga (uru- yaitu sudut ABC atau sudut CBA dan ditu*is∠ atau ∠

iii. Simb* yaitu sudut al(&a ditu*is∠

i. ika diganti men"adi angka misa*nya 1 maka )enu*isan sudut menggunakan (uru- ka)ita* dan angka yaitu sudut 1ditu*is∠1

te; "ika sudut yang dimaksud ada*a( sudut yang diarsir se)erti gambar 7. 1% maka )er*u dinamai dengan

tiga (uru- yaitu∠ atau∠ untuk mem)er"e*as sudut yang dimaksud karena )ada titik sudut ∠ terda)at

(27)

1. Tentukan kaki sudut6 titik sudut6 dan tu*is*a( nama sudut



dari gambar di sam)ing?



(28)

2. Bera)aka( banyak sudut yang terbentuk )ada gambar di sam)ing@ Sebutkan?   *

7 .

$

(29)

3. Sebutkan bagian$bagian manaka( dari ata) ruma( di sam)ing yang membentuk sudut?

Gambar 7. 1% Ata( ruma&

!ba amati *ingkungan sekitar 'nda. Benda$benda a)a sa"aka( yang membentuk sudut@ Sebutkan kaki sudut6 titik sudut6 dan daera( sudutnya?

(& Satuan Sudut

,ebi( dari 3 ta(un yang *a*u6 rang Babylonia te*a( menemukan ba(0a untuk menge*i*ingi mata(ari satu ka*i )utaran )enu( )ada *intasan yang berbentuk *ingkaran6 bumi memer*ukan 0aktu 3# (ari. Mereka membagi *intasan

itu men"adi 3# bagian yang sama. Setia) bagian itu dinamakan satu dera"at.

Satuan sudut dinyatakan da*am dua "enis6 yaitu dera*at C5 dan radian rad5. amun satuan sudut yang akan digunakan )ada mdu* ini ada*a( dera*at C5. Da*am

satuan dera"at6 ke*i*ing *ingkaran dibagi men"adi 3# bagian yang sama. Tia) bagiannya disebut 1 dera"at 1°5. Dengan demikian6 ada 3# dera"at da*am satu

(30)

Gambar 7. 17 4in!#aran

Pada "arum "am sebua( "am dinding6 untuk menun"ukkan 0aktu 1 "am6 "arum menit (arus ber)utar 1 )utaran )enu( sebanyak # ka*i6 atau da)at ditu*is 1 "am  # menit. 'da)un untuk menun"ukkan 0aktu 1 menit6 "arum detik (arus ber)utar 1 )utaran )enu( sebanyak # ka*i6 atau da)at ditu*is 1 menit  # detik.

7 .

%

(31)

&a* ini "uga ber*aku untuk satuan sudut. Se(ingga &ubungan antara

dera"at °56 menit ′56 dan detik ′′5 da)at ditu*iskan sebagai berikut;

° = ′ ′ =_

° = × ′′ = ′′ Gambar 7. 1) ,am dindin!

ngat ′ = ′′ °=

putaran

1 putaran= ° ° = ′

1.

yatakan u

a.

1 )ut 3 1 puta ran pen uh = 3 6 0  a. 1 )utar 3 b. 1 )utar 5 +. 1 )utar 6

2.

a. 45° b. 150° +. 210° P e n y e l e s a i a n : 1° = 360 1 )u tar an

Bera)a )utaran sudut yang besarnya Penyelesaian:

(32)

a. 45° =3604 =186 "adi 45° =1 8 )utaran b. 150° =150 360 =1256 "adi 150° =125 )utaran

7 .1

&

(33)

&.

210° =

210₃₆₀

=

₁₂76 "adi

45° =

₁₂7 )utaran

3. Tentukan kesamaan besar sudut berikut?

a. 5° =A′ +. 45,6° =A°A′ b. 8′ =A′′ d. 48°48′_=A° Penyelesaian: a. Karena1° = 60′_maka_{5° = 5 × 60}′_{= 300′} b. Karena1′ = 60′′_maka_{8′ = 8 × 60}′′_{= 480′′} c. 45,6° = 45° + 0,6° = 45° + (0,6 × 60′ = 45° + 36′_{= 45°36′} d. 48°48′ = 48° + (48 60 ° = 48° + 0,8° = 48,8°

engka%i satuan sudut berikut sesuai dengan %erinta$ s#a!

5 %. 88,155° =A°A′A′′ 1. )utaran )enu(  ... ° ! 3° 2. 12#′  ...E...′ #. 20 =A′′ 4 3. #8°7′%#′′  ...°...′...′′ 4. 9′′  ...°

Selesai#anla& soalsoal beri#ut

7. !° " !0′ " 240′′ =A′′ 8. 13°15′36# " 8°20′ 6′′ 9. 86°27′₁₃′′_{" 57°46}′_5!′′_{+ 23°14′33′′} 10. 36°17′₁₂′′_{+ 28°45}′₁₃′′_{" 38°17′24′′} 1 1.  ik a  % E6  3 F d an  9 FF m ak a ( it un g* a( ; a. 3 " 5 + 2 da*am detik5 b. 6 " 8 " 20 da*am menit5 +. 8 " 10 + 12 da*am dera"at5

12. ika = 12°, = 25′dan = 60′′maka (itung*a(;

7 .1 1

(34)

a.

15 " 4 " 6

da*am menit5

b.

10 " ! + 7 da*am dera"at5

4&

Menentukan )esar Sudut an# $i'entuk .arum .am

Pada sebua( "am dinding6 "arum )an"ang dan )endek dari "am tersebut akan se*a*u membentuk sudut mu*ai dari E (ingga 18E. ntuk menentukan besar sudut yang dibentuk *e( "arum )an"ang dan )endek digunakan )en"um*a(an atau )engurangan sudut. 'da bebera)a aturan yang (arus di)er(atikan yaitu sebagai berikut.

i5 ntuk "arum )an"ang 1 "am  # menit maka besar sudutnya ada*a( 3#E. ika 1 menit maka besar sudutnya ada*a(360°60= #E

ii5 ntuk "arum )endek 1 "am  # menit maka besar sudutnya ada*a( 3E.

ika 1 menit maka besar sudutnya ada*a(30°

=1°

60 2

,angka($*angka( menentukan besar sudut yang dibentuk *e( "arum )an"ang dan "arum )endek ada*a( sebagai berikut;

a. Buat*a( garis bantu se)erti gambar di ba0a( ini

Garis bantu

a b

Gambar 7. 1+ Sudut (ada *arum *am

ika garis bantu ter*etak di *uar "arum )an"ang dan )endek se)erti gambar a5 maka sudut antara garis bantu dan "arum )an"ang dikurang dengan sudut antara "arum )an"ang dan )endek. Maka

Sudut antara garis bantu dengan "arum )an"ang yaitu 2 menit maka besar sudutnya

7

20 × 6° = 120°

.1

2

(35)

Sudut yang dibentuk antara garis bantu dengan "arum )endek yaitu 2 "am *ebi( 2 menit se(ingga(2 ×

30° + (12×

20° = 60° + 10° = 70°

Besar sudut yang terbentuk antara "arum )an"ang dan "arum )endek ada*a(120° " 70° = 50°

ika garis bantu ter*etak di antara "arum )an"ang dan )endek se)erti gambar b5 maka sudut antara "arum )an"ang dan garis bantu di"um*a(kan dengan sudut antara "arum )endek dan garis bantu.

Sudut antara garis bantu dan "arum )an"ang yaitu 1 menit maka besar sudutnya10 × 6° = 60°

Sudut yang dibentuk antara garis bantu dan "arum )endek

yaitu # "am kurang 2 menit se(ingga12°× 20° = 10°

(36)

Tentu#anla& besar sudut ter#ecil yan! terbentu# antara *arum *am (an*an! dan *arum *am (ende# yan! ditun*u##an ole& *am beri#ut

1. 2.

Tentukan besar sudut terke+i* yang terbentuk dari 3. Puku* 13.4% 4. Puku* %.8 %. Puku* 9.2#

7 .1



(37)

& *ara Men##am'ar dan Men#ukur Sudut Men##unakan

)usur $era+at

Sa*a( satu a*at yang da)at digunakan untuk mengukur satu sudut ada*a( busur dera*at. Pada busur dera"at terda)at dua ska*a6 yaitu ska*a atas dan ska*a ba0a(. Pada ska*a atas terda)at angka$angka 6 16 26 ...6 18 berturut$turut dari kiri ke kanan6 sedangkan )ada ska*a ba0a( terda)at angka$angka berturut$turut dari kanan ke kiri 6 16 26 ...6 18.

Gambar 7. 2- Busur dera*at

(38)



 _*

ntuk mengukur sudut P di atas +aranya sebagai berikut;

a. ,etakkan )usat busur dera"at )ada titik sudut6 yaitu titik .

&im)itkan garis (riHnta* busur dera"at yang tertu*is angka  )ada sa*a( satu kaki sudut6 yaitu  . Se)erti gambar di ba0a( ini



 *

7 .1

!

(39)

b. ,i(at*a( angka )ada busur dera"at yang berim)it dengan kaki sudut yang *ain6 yaitu kaki sudut 6

berim)it dengan garis yang menun"ukkan angka 14. adi ukuran ∠P di atas ada*a( 14E.

Tentukan ukuran sudut berikut dengan menggunakan busur dera"at?

1. 3.

2.

4.

Gambar#an sudut beri#ut men!!una#an busur dera*at

(40)

,umla& u#uran dua sudut da(at ditulis den!an

sebua& sudut yan! u#urannya sama. Per(atikan gambar di A

sam)ing. ika∠'PB  11 8  %5E 6∠BP!  7 85E6 dan∠'P!

B

 8%E6 maka tentukan ni*ai 8 dan besar∠'PB?

 "

6& .enis3.enis Sudut

ntuk mengena* "enis$"enis sudut berdasarkan besar sudutnya6 ukur*a( sudut$sudut di ba0a( ini menggunakan busur dera"at.

7 .1

"

(41)

: ;

< 

A

B "  =  * S > , ?

Gambar 7. 21 ,enis*enis sudut

Dari (asi* )engukuran di)er*e( ba(0a∠ besarnya *ebi( dari!0° namun kurang dari180° se(ingga disebut sudut tum)u*.∠

besarnya te)at!0°6 se(ingga disebut sudut siku$siku.∠ besarnya kurang dari!0°, se(ingga disebut sudut *an+i).∠ besarnya te)at180°

se(ingga disebut sudut *urus.

∠ besarnya *ebi( dari 180°namun kurang dari 360°6 disebut sudut re-*eks.

a& Sudut an&i%

18° 45° 33° 88° 22.5° 7°

Gambar 7. 22 Sudut lanci(

Dari gambar 7. 22 da)at disim)u*kan ba(0a sudut *an+i) ada*a( sudut yang mem)unyai ukuran sudut antara0° dan!0°.

° $ $ ° maka adalah sudut lan-ip

'& Sudut Siku3siku

Gambar 7. 2" Sudut si#usi#u

Sudut siku$siku ada*a( sudut yang besarnya te)at!0° Sudut siku$siku dintasikan dengan <%=.

= ° maka adalah sudut siku3siku

7 .1

#

(42)

-& Sudut 5urus

Gambar 7. 2$ Sudut lurus

Sudut *urus ada*a( sudut yang besarnya te)at180°

= ° maka adalah sudut lurus

(43)

Gambar 7. 25 Sudut tum(ul

Dari gambar 7. 2% da)at disim)u*kan ba(0a sudut tum)u* ada*a( sudut yang ukuran sudutnya antara !0°

dan180°.

° $ $ ° maka adalah sudut tumpul

e& Sudut e%leks

Gambar 7. 2% Sudut refle#s

Dari gambar 7. 2# da)at disim)u*kan ba(0a sudut tum)u* ada*a( sudut yang ukuran sudutnya antara 180°

dan360°.

° $ $ ° maka adalah sudut re%leks

Tentu#an *enis sudut di bawa& ini 9lanci(: tum(ul: atau si#usi#u;

dan !ambar#an sudut tersebut ₇

.1 7

(44)

1. 1 sudut *urus 3.

180° "

5 sudut *urus 3 6 2 4. Puku* 18.2 2.

3 )utaran )enu( %. Puku* 12.3

#. Tentukan banyaknya sudut )ada tia) bangun berikut6 kemudian sebutkan namanya?

' ( ) D

S *

A + , - H

K  / 0 1 G

6er&ati#an !ambar dibawa& ini untu# men*awab soal nomor 7 < )

7. Diketa(ui∠ = (2 " 5°, ∠ = (4 " 7°, ∠ = 150°. Tentukan besar

∠ ?

8. ika∠ = °, ∠ = (7 + 20°. Tentukan besar∠ ?

9. Per(atikan gambar di ba0a( ini?

∠ = (2 + !°, ∠ = (5 " 3°6 dan

∠ = !3°. Tentukan besar; a. ∠ &. ∠ + ∠

10. Pesa0at terbang dari kta ' ke kta B terbang ke Barat se"au( 27°. Di atas kta B menara )ega0as memerinta(kan )esa0at terbang meruba( ara( se"au(2!5°. Bera)aka( dera"at )esa0at ber)utar@ Gambarkan diagramnya.

7& "u'un#an Antar Sudut

a& Sudut )ersuplemen )erpelurus8

ika dua sudut bersu)*emen yang sa*ing bersebe*a(an satu dengan yang *ain maka sudut tersebut disebut )asangan *inear dan akan membentuk sebua(

7 .1

$

(45)

(46)

garis *urus. Dua sudut dikatakan bersebe*a(an a)abi*a memi*iki titik sudut dan kaki sudut yang sama.

kaki sudut

° + ° = °

titik sudut

Teorema 1

<ika sebua( garis *urus ber)tngan dengan garis *urus *ain maka sudut yang berdam)ingan membentuk sudut ber)e*urus bersu)*emen5.=

ika garis *urus ̅ ̅ ̅ ̅ bertemu garis *urus ̅ ̅ ̅ ̅ di titik I maka untuk membuktikan ba(0a ∠ + ∠ = 180° ada*a(

Pern2ataan

Ar#umen

1. ∠ =180° Garis ,urus 2. °+° = 180° ∠ ada*a( garis *urus

' ∠ + ∠ = ° Pernyataan 15 dan 25

Teorema 2

<ika dua sudut yang bersebe*a(an meru)akan sudut ber)e*urus maka kaki sudut *uar dari kedua sudut tersebut ter*etak )ada garis *urus.=

I*e( karena∠ dan∠ ada*a( sudut bersebe*a(an maka berdasarkan terema 1 di)er*e(∠ + ∠ = 180°6 dan untuk membuktikan

ba(0a ada*a( garis *urus maka gambar ter*ebi( da(u*u garis *urus ̅ ̅ ̅ ̅ se)erti i gambar.

7 .1

%

(47)

Pernataan

Ar#umen

1. 'ngga) ∠ ada*a( garis *urus 'sumsi 2. ∠ =180° Garis *urus 3. ∠ +∠ =180° Pernyataan 15 4. ∠ +∠ =180° Terema 1

%. ∠ +∠ =∠ +∠ Pernyataan 35 dan 45 #. ' ∠ = ∠ ' sebua( sudut bagian tidak akan

=yan! adala& tida# mun!#in sama dengan sudut tta*nya

7. ' 'sumsi )ernyataan 15 ada*a( Pernyataan 15

sa*a(

9&'adalah #aris lurus Pernyataan #5 dan 75

Dua sudut dikatakan sudut bersu)*emen a)a bi*a "um*a( kedua sudut

tersebut ada*a(180°. Dan dua sudut da)at sa*ing bersu)*emen ketika;

i. Satu sudut ada*a( sudut *an+i) dan satu sudut *ain ada*a( sudut tum)u* ii. Kedua sudut tersebut ada*a( sudut siku$siku

(48)

b

Gambar 7. 27 9a; Sudut lanci( dan sudut tum(ul membentu# sudut Gambar 7. 27 9a; Sudut lanci( dan sudut tum(ul membentu# sudut

bersu(lemen: 9b; 3ua sudut si#usi#u membentu# sudut bersu(lemen: 9b; 3ua sudut si#usi#u membentu# sudut salin! bers

salin! bersu(lemenu(lemen

7

7 .

.

₂

&

1. 1. i i k k aa ss u u d d ut ut aa nt nt ar ar aa ta ta n n g g g g aa b b aa gi gi aa n n b b aa 0 0 aa ( ( d d ee n n g g aa n n din din din din g g ada* ada* a( a( ° = ° = 48° 48°.. Ma Ma ka ka sud sud ut ut anta anta ra ra tt aa n n g g g g aa b b aa g g

(49)

ia ia n n at at aa ss d d ee n n g g aa n n d d ii n n d d ii n n g g aa d d a* a* aa ( ( A A .. ° ° Penyelesaian Penyelesaian Diketa(ui; Diketa(ui; ° + ° + ° = ° = 180° 48° + °180° 48° + ° 2. 2. TT ii g g aa k k aa ** ii ) ) ee n n y y ii k k u u ss u u aa tt u u ss u u d d u u tt b b ee ss ar ar ny ny aa *i *i m m aa ka ka *i *i )e )e *ur *ur us us ny ny a. a. Be Be ra ra )a )a be be sar sar su su du du tt ter ter se se bu bu t@ t@ Penye Penye lesaia lesaia n n:: Diket Diket a(ui; a(ui; S u S ud ud ut t y ay an gn g dimaksud; dimaksud;°° T

Tigiga a kaka*i*i )enyiku )enyiku sudut sudut tersebut; tersebut; 3(!0° 3(!0° " " °° ,i ,ima ma kaka*i*i )e*urusnya; )e*urusnya; 5( 5(18180° 0° "" ° °

(50)

3 3 (( ! ! 0 0 °° " " °°  = = 5 5 (( 1 1 8 8 0 0 °° " " °°  2 2 7 7 0 0 °° " " 3 3 °° = = ! ! 0 0 0 0 °° " " 5 5 °° 2 2 °° = = 6 6 3 3 0 0 °° °° = = 3 3 1 1 5 5 °° '

'&& SSuudduut t ))eerrkkoommpplleemmeenn )erpeniku8

)erpeniku8

Dua sudut disebut sudut sa*ing Dua sudut disebut sudut sa*ing

berkm)*emen ber)enyiku5 a)abi*a berkm)*emen ber)enyiku5 a)abi*a

"um*a( k

"um*a( kedua suedua sudut tersdut tersebutebut!0°!0°..

  ° + ° + ° = !0°° = !0° * *

°

° ° > >  

Gambar 7. 2) Sudut salin! ber#om(lemen

7

7 .

.

₂

1

(51)

Teorema (

<ika terda)at dua sudut dan masing$masing sudut berkm)*emen dengan sudut ke$tiga maka kedua sudut tersebut kngruen sama5.=

Pernataan

Ar#umen

1. ∠ dan ∠ sa*ing berkm)*emen 'sumsi > 2. ∠ ada*a( km)*emen dari ∠ Pernyataan 15

'∠ +∠ =!0° De-inisi sudut berkm)*emen

3. ∠ dan ∠ sa*ing berkm)*emen 'sumsi >>

4. ∠ ada*a( km)*emen dari ∠ Pernyataan 25

'∠ +∠ = !0° De-inisi sudut berkm)*emen

%. ∠ + ∠ = ∠ +∠ Pernyataan 15 J Pernyataan 25 Km)*emen dari sudut ∠ yaitu ∠

' ∠ = ∠ atau∠ada*a( sudut yang kngruen

(52)

Te nt uk an ni* ai 1 . 2 . dari gamba r$ gamba r berikut ini? Penyelesaian 4 1 ° + = ! 0 ° = ! 0 ° " 4 1 ° 41° = 13!°

7 .2

2

(53)

Per(atikan gambar "a*an di sam)ing. Garis 'B ada*a( te)i "a*an yang *urus. !ari*a( )asangan dua sudut yang sa*ing ber)e*urus?

-& Sudut )ertolak )elakan#

Ketika dua garis *urus sa*ing ber)tngan satu sama *ain akan terbentuk sudut yang sa*ing bert*ak be*akang karena kedua sudut memi*iki titik sudut yang sama.

(54)

; ° : ° > °  ° 

Gambar 7. 2+ Sudut salin! bertola# bela#an!

Teorema 4

° = °

(55)

<Semua sudut yang sa*ing bert*ak be*akang memi*iki ukuran sudut yang sama.=

Pada gambar 7. 29 sudut yang sa*ing bert*ak be*akang ada*a(∠ ° dengan sudut∠ ° dan∠ ° dengan∠ °

se(ingga

Pernataan

Ar#umen

1. ∠ °= ∠ °, ∠ °= ∠ ° Pernyataan 15 2. °+ ° = 180° Bersu)*ementer 3. °+ ° = 180° Bersu)*ementer 4. ° + ° = ° + ° Pernyataan 25 J 35 %. ' ° = ° Terema 4

itun!la& nilai (ada !ambar di bawa& ini

7 .2



(56)

Penyelesaian: 2 @ 5  105 (2 + 5° 105° 2 = 100 = 50

Ingat!

 2 Sudut salin# 'erpelurus 'ersuplemen8 maka ° + ° = °  2 Sudut salin# 'erpeniku 'erkomplemen8 maka ° + ° = °

(57)

1. 'IB ada*a( sebua( garis *urus. Tentukan ni*ai dari∠)* ?



"

63° 42°

(58)

2. 'IB ada*a( sebua( garis *urus. B Tentukan∠*)?  > 108° 85° " A

Tentu#an nilai dan berikut

7 .2

!

(59)

3. #. =  130° 2 " 10° 34°   7. 4. 3 7 5 18° 6 2 3 8. %. 36° 2 7

(60)

9. ika ukuran



∠ = (3 " 4°

6 ukuran

∠ = (2 + 5°

6 dan ukuran

∠ = 111°.

i Tentukan ukuran∠ ?

ii ika ukuran∠ = (2 °6 dan ukuran ∠ = (5 " 23°. Tentukan ukuran

(61)

1. Penyiku dari suatu sudut besarnya sama dengan

1

)e*urus sudut tersebut.

5

Tentukan besar em)at ka*inya sudut tersebut? 11. Penyiku dari 1 )e*urus 1

sudut ada*a(50°. Bera)a besar sudut tersebut@

4 3

12. Tiga ka*i )enyiku suatu sudut besarnya *ima ka*i )e*urusnya. Tentukan 1 6

sudut tersebut? " 2

. 7

(62)

13. Diketa(ui∠ = (7 + 5° dan∠ = (6 " 6°. ika∠ dan∠ sa*ing ber)enyiku6 maka besar sudut ber)e*urus dengan∠ ada*a( A

14. Pe*urus dari tiga ka*i )enyiku dua ka*i sudut besarnya6°. Tentukan14 sudut

tersebut?

1%. Tentukan besar sudut yang be*um diketa(ui?

100° ° ° ° 138° ° ° ° ° ° 52° ° ° 70°°

(63)

Ketika dua bua( garis se"a"ar misa*nya garis m dan garis n di)tng *e( garis ketiga yaitu garis gambar 7. 35 maka akan membentuk 8 sudut yaitu

∠16

∠ 26∠ 76 dan∠ 8'ang meru%akan

sudut-sudut *uar dan∠36∠46∠56 dan∠6 yang

2

meru)akan sudut$sudut da*am. Garis yang

1 3

4 memtng kedua garis tersebut garis 5

6

5 7 _{disebut garis}_trans0ersal_{. 'kibat kedua garis}

8

se"a"ar tersebut di)tng *e( garis *ain maka

Gambar 7. "- 3ua !aris se*a*ar yan! _{akan terbentuk )u*a} _{)asangan$)asangan}

di(oton! !aris lain _sudut6 _{yaitu sudut se(ada)6 sudut da*am}

berseberangan6 sudut *uar berseberangan6 sudut da*am se)i(ak6 dan sudut *uar se)i(ak.

a& Sudut Sehadap

ika dua bua( garis se"a"ar di)tng *e( g aris *ain maka akan terbentuk em)at )asang sudut se(ada) yang besarnya sama +nt(nya ada*a( sudut ∠

3 dan

∠7 )ada gambar 7. 32. Sudut ∠3dan ∠7meru)akan sudut se(ada) karena

7 .2

#

(64)

sudut$sudut tersebut meng(ada) ke ara( yang sama se(ingga kedua sudut tersebut sama besar.

(65)

2 3 6 7

1 5 8

4

(66)

ntuk membuktikan ba(0a sudut se(ada) memi*iki ukuran s udut yang sama maka )er(atikan )*a "a"argen"ang )ada gambar 7. 31.

 / G 

A B " 

(67)

')abi*a "a"argen"ang 'B/ di geser ke kanan se"au( 'B se(ingga menem)ati "a"argen"ang B!G6 maka;

∠  ∠ 6 berarti ∠ = ∠ AAi5

ika "a"argen"ang 'B/D digeser se"au(2 se(ingga menem)ati "a"argen"ang G!D&6 maka;

∠  ∠ 6 berarti∠ = ∠ AAii5

Dari i5 dan ii5 di)er*e(∠ = ∠ = ∠ . Sudut$sudut tersebut ada*a( sudut se(ada).

Si%at I

<ika dua bua( garis se"a"ar di)tng *e( suatu garis6 maka sudut$ sudut se(ada) yang terbentuk sama besar.C

7 .2

7

T e n t u k a n b e s a r s u d u t

°

6

°

6

°

6

°

6

°

6

°

dan °? P e n y e l e s a i a n : ° = 180° " 65° = 115° ° = 115° bert *ak be*ak ang denga n °5 ° = 65° bert *ak be*ak ang deng an 65°5 ° = 115° se(a da) deng an°5 ° = 115° se(a da) deng an°5 ° = 65° se(a da) deng an°5 ° = 65° se(a da) deng an 65°5 ° ° 65° °

(68)

'& Sudut $alam )erse'eran#an Si%at II

<ika dua bua( garis se"a"ar di)tng *e( suatu garis ketiga6 maka )asangan sudut$sudut da*am berseberangan yang terbentuk memi*iki besar sudut

yang sama.=

Sudut da*am berseberangan ada*a( dua sudut da*am yang tidak berdekatan )ada sisi yang berseberangan

2 3 6 7 ter(ada) garis transersa*. Pada gambar 1 5 8

4

di sam)ing∠3 dan∠5 meru)akan

)asangan sudut da*am berseberangan

se(ingga∠3= ∠5.

ntuk membuktikan si-at >>

Gambar 7. "" Sudut dalam berseberan!an

)er(atikan gambar "a"argen"ang di ba0a( ini.

₇

.2

$

(69)

′ ′

Gambar 7. "$ ,a*ar!en*an!

a"ar gen"ang 'B!D di)utar180° di titik P titik tenga( B!5 se(ingga  ′dan

 ′. Maka;

Pern2ataan

Ar#umen

1. ∠ =∠ Bert*ak be*akang

2.∠′_{′ ′ = ∠} Se(ada)

' ∠ = ∠′_{′ ′} Si-at >>

Tentukan ni*ai

°, °

dan

°

? 6enyelesaian;

° 108° ° = 108°da*am berseberangan dengan

° ° 108°5

° = 180° " 108° = 72°ber)e*urus5

(70)

-& Sudut 5uar )erse'eran#an Si%at III

<ika dua bua( garis se"a"ar di)tng *e( suatu garis6 maka sudut$sudut *uar berseberangan sama besar.=

Pasangan∠1 dengan∠7 )ada gambar 7. 3% di ba0a( ini meru)akan )asangan sudut *uar berseberangan. Sudut *uar berseberangan ada*a( dua sudut

7 .2

%

(71)

*uar yang tidak berdekatan )ada sisi$sisi yang berseberangan ter(ada) garis transersa* garis 5.

(72)

2 3 6 7 1 5 8

4

Gambar 7. "5 Sudut luar berseberan!an

ntuk membuktikan ba(0a∠1= ∠7 *i(at tabe* di ba0a( ini

(73)

1.∠1= ∠3 Bert*ak be*akang 2.∠3= ∠7 Se(ada) ' ∠ =∠ Si-at >>> Tentukan ni*ai

° + ° + °

? 6enyelesaianD ° ° ° = 78°*uar berseberangan5 78° ° ° = 180° " 78° = 102°ber)e*urus5 ° = 102°*uar berseberangan dengan°5 ° + ° + ° = 78° + 102° + 102° = 282°

(74)

1. Tentukan ni*ai *a*u (itung besar sudut  A 2 ° yang *ain? B "

7 .



&

(75)

2. &itung*a( ni*ai dan  " ° ° 63° A 26° B 3. Tentukan ni*ai °? _67° ° 58°

d& Sudut $alam Sepihak Si%at I

(76)

2 3 6 7 1 5 8

4

Gambar 7. "% Sudut dalam se(i&a#

Sudut da*am se)i(ak ada*a( dua sudut da*am yang ter*etak )ada sisi

yang sama. Pasangan ∠ 3 dan ∠ 6 )ada gambar 7. 3# meru)akan

+nt( sudut da*am se)i(ak se(ingga ∠ 3 + ∠ 6 = 180° . ntuk

(77)

Pern2ataan

Ar#umen

1.∠3= ∠7 Se(ada) 2.∠7= 180° " ∠6 Ber)e*urus 3.∠3= 180° " ∠6 Pernyataan 15 J 25 '∠ + ∠ = ° Si-at >

7 .



(78)

Garis (  garis . Tentukan besar

∠

dan

∠

? Diketa(ui;∠ = (5 " 10° ∠ = (3 + 20° Penyelesaian; @  180 ∠ ∠ (5 " 10° + (5 + 20° = 180° (5 + 20° 10 + 10° = 180° (5 " 10° 10 = 170° = 17°

(79)

1. Tentukan ni*a dan ? B ° 55° ° A

>ntu# soal no. 25 tentu#an nilai  2. 48° 2° ° 3. + 5° 10

7 .



2

(80)

4. 138° 280° ° %. 30° ° ° ° ° 40°

(81)

e& Sudut 5uar Sepihak 2 3 6 7 1 5 8 4 Gambar 7. "7 Sudut luar se(i&a#

(82)

Sudut *uar se)i(ak ada*a( dua sudut *uar yang ter*etak )ada sisi yang sama. Pada gambar 7. 37 +nt(

(83)

Si%at 

<ika dua bua( garis se"a"ar di)tng *e( suatu garis maka sudut$sudut *uar se)i(ak "um*a(nya180°

ber)e*urus5.=

Se(ingga∠2+ ∠7= 180°. ntuk membuktikan ba(0a∠2+ ∠7= 180°*i(at tabe* di ba0a( ini;

Pernataan

Ar#umen

1.∠2= ∠6 Se(ada) 2.∠2+ ∠3= 180° Ber)e*urus

7 .



(84)

3.∠7= ∠3 Se(ada) '∠ + ∠ = ° Si-at 

Pada gambar di sam)ing ini6 diketa(ui garis l  m

∠1 = 78°. Tentukan besar ∠26 ∠3dan ∠4

- Penyelesaian:

∠4 = 180° " 78° = 102°*uar se)i(ak degan∠15 ∠2 = 102°bert*ak be*akang dengan ∠45

∠3 = ∠1 = 78°*uar berseberangan dengan ∠15

1. Tentukan ni*ai berikut? (

/ = G 38° < 3  

2. Tentukan ni*ai berikut?

80°

50°

3. Garis 'B se"a"ar dengan garis !D. Tentukan ni*ai dan ?

7 .



!

(85)

4. Tentukan ni*ai ?

°

105° 35° %. Tentukan ni*ai ? ° 124°

75°

%& .umlah Sudut dalam Se#i3n a& Se#iti#a

Teorema 1

<um*a( ketiga sudut da*am sebua( segitiga ada*a(180°.=

(86)

(87)

4 5

°

° °

Gambar 7. ") Teorema se!iti!a 1

Pernataan

Ar#umen

1. ∠1 +∠2 +∠3 =180° Sudut )e*urus

7 .



"

(88)

2. ∠1 = ∠4 Da*am berseberangan 3. ∠3 = ∠5 Da*am berseberangan 4. ∠1 +∠2 +∠3 = ∠4 + ∠2 + ∠5 Pernyataan 25 J 35 '∠ + ∠ + ∠ = ° Terema 1 '& Se#i3n Teorema 2 E

(89)

ntuk membuktikan terema ke$26 u"ikan ke)ada segitiga dan segi *ima. 

Se!iti!a

Bagi sebua( segitiga men"adi tiga segitiga se)erti gambar 7. 39.

Dari gambar 7. 37 di)er*e( A %ersamaan 'aitu ° ° _{° = 180° " ( ° + °}_{A i5} ° ° ° = 180° " ( ° + °A ii5 ° ° ° ° = 180° " ( ° + °A iii5 °

° um*a(kan ketiga )ersamaan

B _"

Gambar 7. "+ Teorema se!iti!a 2 _{maka di)er*e(}

° + ° + ° = 3 × 180° " ( ° + ° + ° + ° + ° + °A i5

Karena

° + ° + ° = 360°*ingkaran5 atau da)at ditu*is ° + ° + ° = 2 × 180°A5

Substitusikan )ersamaan 5 ke )ersamaan i56 maka di)er*e(

° + ° + ° = 3 × 180° " ( ° + ° + ° + ° + ° + ° 2 × 180° = 3 × 180° " ( ° + ° + ° + ° + ° + ° ( ° + ° + ° + ° + ° + ° = (3 " 2 × 180° ( ° + ° + ° + ° + ° + ° = 1 × 180° ∴ ( ° + ° + ° + ° + ° + ° = °  _{Se!ilima 96enata!on;}

7 .



#

(90)

ntuk mengu"i kebenaran rumus sudut da*am segi$n ada*a(( " 2 × 180° +ba buktikan )ada )entagn segi$%5 dengan membagi )entagn men"adi % segitiga se)erti gambar 7. 4

 8 7  !

_{° °}

6 " 5 10 ° ° ° 12 ₃4 A _B Gambar 7. $- 6enta!on di)er*e(

Dari gambar 7. 38 di)er*e( )ersamaan yaitu ° = 180° " (∠2 + ∠3 A i5 ° = 180° " (∠4 + ∠5A ii5 ° = 180° " (∠6 + ∠7A iii5 ° = 180° " (∠8 + ∠!A i5 ° = 180° " (∠10 + ∠1A 5

(91)

° + ° + ° + ° + ° = 5 × 180° " (∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 + ∠! + ∠10 + ∠1 A i5

Karena

° + ° + ° + ° + ° = 360°*ingkaran5 da)at ditu*is ° + ° + ° + ° + ° = 2 × 180° A ii5

Substitusikan )ersamaan i5 ke )ersamaan ii56 maka di)er*e(

2 × 180° = 5 × 180° " (∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 + ∠! + ∠10 + ∠1

(∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 + ∠! + ∠10 + ∠1 = (5 " 2 × 180° (∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 + ∠! + ∠10 + ∠1 = 3 × 180° ' (∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠  = ( "  ° (∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 + ∠! + ∠10 + ∠1 = 540°

Me*a*ui )embuktian di atas da)at disim)u*kan ba(0a rumus sudut da*am

segi$n ada*a(( "  × °

7 .



7

(92)

1. Pada gambar di ba0a( diketa(ui garis !  # 6∠2= ∠3 dan∠1= ∠2. ika∠1= 128°6 tentukan besar sudut yang *ain?

2. Tentukan ni*ai dan ?

+ 20° 4 °

° _{+ 30°}

3. Per(atikan gambar di sam)ing? ∠ =12∠ . Tentukan besar∠ ?

4. Tentukan ni*ai ?

%. Gambar di ba0a( ini ada*a( bangun bintang beraturan yang mem)unyai si-at  _$

. 7

simetris "ika di*i(at dari ke*ima sudutnya. Bera)aka(∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠@

(93)

A

 B

108°

 "

Ingat!

 ∠ dan∠ adalah sudut dalam 'erse'eran#an; ∠ = ∠  ∠ dan∠ adalah sudut luar 'erse'eran#an; ∠ =∠

 ∠ dan∠ adalah sudut dalam sepihak; ∠ + ∠ = °

 ∠ dan∠ adalah sudut luar sepihak ∠ + ∠ = °

 .umlah sudut dalam se#i3 adalah( "  × °

7 .



%

(94)

ingkasan



Garis ada*a( kura *urus yang tidak memi*iki u"ung mau)un )angka* 

enis$"enis garis;

$ Segmen garis; Kura *urus yang mem)unyai )angka* dan u"ung

$ Sinar garis; Kura *urus yang mem)unyai )angka* namun tidak beru"ung 

Kedudukan Garis;

$ Se"a"ar; Dua bua( garis yang ter*etak )ada satu bidang datar yang tidak akan ber)tngan meski)un di)er)an"ang tan)a batas

$ Ber(im)it; Suatu garis ter*etak )ada garis *ain atau seba*iknya dan membentuk satu garis *urus

$ Ber)tngan; Dua bua( garis yang memi*iki satu titik )ersekutuan

$ Bersi*angan; Dua bua( garis tidak memi*iki titik )ersekutuan6 tidak se"a"ar dan tidak ter*etak )ada bidang yang sama



&ubungan antara dera"at dengan 0aktu;

1° = 60′_menit5 1′ = 60′′ detik5 1° = 60 × 603′′ = 600′′ detik5  enis$"enis sudut; $ Sudut *an+i); 0°$ $ !0° $ Sudut siku$siku; = !0° $ Sudut tum)u*;!0° $ $ 180° $ Sudut re-*eks;180° $ $ 360° 

&ubungan antar sudut; $ Sudut ber)enyiku berkm)*emen5; ∠ + ∠ = !0° : ∠ dan∠ ada*a(

sudut ber)enyiku $ Sudut ber)e*urus

bersu)*emen5;∠ + ∠ = 180° :∠dan∠ada*a(

sudut ber)e*urus

$ Bert*ak be*akang;∠ = ∠:∠dan∠ada*a( sudut bert*ak be*akang



Dua garis se"a"ar yang di)tng garis *ain akan membentuk )asangan$ ! &

. 7

)asangan sudut yaitu;

(95)

- Sudut da*am berseberangan∠ = ∠ :∠ dan∠ ada*a( sudut da*am berseberangan - Sudut *uar berseberangan∠ = ∠ :∠ dan∠ ada*a( sudut *uar berseberangan - Sudut da*am se)i(ak∠ + ∠ = 180°:∠ dan∠ ada*a( sudut da*am se)i(ak - Sudut *uar se)i(ak∠ + ∠ = 180° :∠ dan∠ ada*a( sudut *uar se)i(ak

 um*a( sudut da*am segi$ ada*a( ( " 2× 180°

7 .

!

(96)

A& Pilihan )er#anda

1. Pada gambar segitiga di sam)ing ini6

=6 ∠ = 30°dan =

. Maka

besar∠ ada*a(A 30°

 American i!& Sc&ool Mat&ematics E8amination6 19%#5 a. 7,5° &. 10° c. 12,5° . 15° e. 20°

2. Pada gambar L 6  . Garis$garis )embagi yang membagi rata

sudut *uar∠dan∠ ber)tngan )ada titik D dan /. Maka besar∠

ada*a(A  Mat&ematical /lim(iad in C&ina6 198#5 a. 8° b. 10° +. 11° d. 12° e. 15°

(97)

3.  6

siku$siku di .

̅ ̅ ̅ ̅

di)er)an"ang sam)aise(ingga= . Garis bagi

sudutbertemudi titik. Maka

∠ ada*a(A !/M!6 2125 a. 60° b. 45° +. 30° d. 25°

!

2 .

7

e.

22,5

°

4. Te nt uk an "u m* a( su du t 6 6 6 da n ya ng ter da )at da* am ga m ba r di sa m )i ng ? ! / M !6 2 12 5 a. 180° &. 2 2 5° c.270° . 3 6 0° e. 4 2 0° %. P a d a g a m b a r d i b a 0 a ( i n i 6  a * a n / *  k

(98)

akan di bangun se"a"ar dengan a*an &asan. Maka besar sudut yang meng(ubungkan a*an /*k dengan a*an &asan ada*a( A a. 80° &. !0° c. 100° . 110° e. 120°

(a!an asan (a!an

!#k

70°

)& <ssa 1. Dua bua( segitiga samakaki ya em)at sudut da*amnya sa besar dan disimb*kan se)erti gamba sudut *ain yan simb*kan de "uga memi*ik yang sama. Tentukan )er (ubungan ant dan ? !/M!6 2

7 .

!



(99)

2. Ka)a* *aut ' ber*ayar dari te*uk akarta menu"u Ban"armasin dengan ara( #5°. Diteruskan ke *mbk dengan ara( 155°. Tentukan dera"at )er)utaran ka)a*?

3. Per(atikan gambar di sam)ing. Tentukan ni*ai+ + + + + + +  +? IS6 275

4. Terda)at em)at titik 6 6 dan da*am sebua( bidang sedemikian ru)a se(ingga tiga titik )ada bidang

tersebut tidak k*inear ter*etak )ada suatu garis *urus5. Buktikan ba(0a da*am segitiga 6 6 , dan

terda)at setidaknya minima* satu segitiga yang memi*iki sudut bagian da*am yang besarnya tidak

*ebi( dari45°? Mat(emati+a* I*im)iad Series6 * #6 215

%. e*askan minimum 4 *angka( yang berbeda da*am mem)er*e( ni*ai )ada gambar di ba0a(? 45° ° 75°

7 .

!

(100)

A& Pilihan )er#anda 1& .a/a'an: $ = ∠ " ∠ = ∠ " ∠  = berarti ∠ = ∠ 5 ∗ ∠ = 180° " ∠ ∗ ∠ = 180° " (180° " "   ∠ = + ∠ = ∠ " ( + ∠  30° = ∠ " " ∠ 2 = ∠ " ∠ = 1 (∠ " ∠  2  ∠ = 1 8 0 ° " ∠  ∠ = 180° " 180° " (30° + ∠   ∠ = 30° + ∠ = 1 (30° + ∠ " ∠ :∠ = ∠ karena = 2 = 15° 2. .a/a'an: $ = = ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = : ∠ =

=∠ = 2 × ∠ bert*ak be*akang dan garis B/ membagi rata∠5 'tau da)at ditu*is= A i5

=∠ = 180° " ∠

∠ = 180° " 180° " (∠ + ∠  ? um*a( sudut bagian da*am segitiga

∠ = ∠ + ∠ atau da)at ditu*is = + A ii5

∠ = 180° " ∠ ∠ = 180° " 180° " (∠ + ∠ 

∠ = ∠ + ∠ atau da)at ditu*is = + A iii5

Dari )ers ii5 J iii5 di da)at= 2 + A i5 Substitusi )ers i5 ke i5 2 = 2 + . Men"adi= 2. Se(ingga =

(101)

7 .

!

"

(102)

1 2

(180° " ∠  + 2 = 180°

1 2 (180° "  + 2 = 180° 2 = 180° " (!0° "2 2 = !0° +2 4 = 180° +: karena = 46 maka 16 " = 180°: 15 = 180° ' = ° atau ∠ = 12° 3. .a/a'an: )

memtng∠ 6 se(ingga∠ = ∠ = = ,  sama kaki maka∠ = = ;

2 + (!0° +  + = 180° !0° + 2 + 2 = 180° 2 + 2 = !0°

+ = 45° ;

+ (!0° +  + ∠ = 180° !0° + ( +  + ∠ = 180° !0° + 45° + ∠ = 180° ' ∠ = °

4& .a/a'an: A

, , , ,meru)akan sudut bagian *uar )entagn. Se(ingga+ + + + = 360° atau um*a(

sudut bagian da*am dari % segitiga ada*a(5 × 180° = !00°

+ + + + + + +  + + + + + + + = !00° ( + + + +  + ( + +  + +  + + + + + = !00°

360° + 360° + + ++ + =!00°

+ + + + = !00° " 720° + + + + = 180°: ' + + + + = °

%. .a/a'an: $

∠da*am se)i(ak dengan 70°se(ingga = 180° " 70° = 110°

7 .

!

#

(103)

) 1. ∠ 3  ∠ 2  1 8 0 " 4 2. B 1 5 6 5

(104)

(105)

3.

3. Bentuk segi 9 tak beraturan tersebut men"adi 7 bagian segitiga se)erti gambar se(ingga ni*aiBentuk segi 9 tak beraturan tersebut men"adi 7 bagian segitiga se)erti gambar se(ingga ni*ai + + + + + + +  + + + + + + + +  + = 7 × 180° = 1260°= 7 × 180° = 1260°

aattaauu mmeenngggguunnaakkaann rurummuuss "um*a( "um*a( ssuudduutt ddaa**aamm sseeggii$$ ada*a(ada*a(( ( ""

2 × 180° 2 × 180°

Segi$9

Segi$9= (! " 2 × 180° = 7 ×= (! " 2 × 180° = 7 × 180° = 1260°180° = 1260°

4.

4. PenyePenye*esaian b*esaian bergaergantung ntung )ada ga)ada gambarmbar6 namun 6 namun dua gamdua gambar berbar berikut suikut suda(da( da)at men+aku) )embuktian tersebut

(106)

  a a 5 5   b b 5 5

ntuk gambar a5: ntuk gambar a5:

7

7 .

.

!

7

(107)

∠

∠ + + ∠ ∠ + + ∠ ∠ + + ∠ ∠ = = 360°360°6 setidaknya satu dari 6 setidaknya satu dari sudut tersebutsudut tersebut *ebi( ke+i* dari*ebi( ke+i* dari!0°!0°. 'sumsikan. 'sumsikan∠ ∠   !0°!0°6 maka da*am6 maka da*am 66∠ ∠ ++ ∠∠  !0°

 !0°6 se(ingga sa*a( satu dari kedua sudut tersebut tidak ada yang *ebi(6 se(ingga sa*a( satu dari kedua sudut tersebut tidak ada yang *ebi( besar dari besar dari45°45°..

ntuk gambar b5: ntuk gambar b5:

∠

∠ + + ∠ ∠ + + ∠ ∠ = = 360°360°6 setidaknya satu dari tiga sudut tersebut6 setidaknya satu dari tiga sudut tersebut *ebi( besar dari*ebi( besar dari!0°!0°. 'ngga). 'ngga)∠ ∠   !0°!0°6 maka6 maka∠ ∠ + + ∠ ∠ $ $ !0°!0°6 se(ingga sa*a( satu dari6 se(ingga sa*a( satu dari∠∠ dandan∠∠ *ebi( ke+i**ebi( ke+i* dari

(108)

%. !ara >; ∠3 = 180° " 75° = 105° ber)e*urus5 ∠3 = ∠ + 45°da*am berseberangan5 105° " 45° = ∠ ∠ = 60° !ara >>; ∠4 = 75° da*am berseberangan5 ∠1 = ∠4 = 75°bert*ak be*akang5 ∠6 = 180° " ∠1 " 45° ∠6 = 180° " 75° " 45° = 60° ∠ = ∠6 = 60°bert*ak be*akang5 !ara >>>; ∠5 = 45°bert*ak be*akang5

∠5 = ∠2 = 45°se(ada)5 ∠ = 180° " 75° " ∠2sudut da*am segitiga5 ∠ = 105° " 45° = 60° !ara >; ∠4 = 75° da*am berseberangan5 ∠4 + ∠ + 45° = 180° ber)e*urus5 75° + ∠ = 135° ∠ = 60° !ara ; ∠2 = 45° da*am berseberangan5

∠ = 180° " 75° " ∠2sudut da*am segitiga5

(109)

5 6 1 4 _45° ° 3 75° 2

7 .

!

$

(110)

)

Busur Dera"at ; Sa*a( satu a*at yang da)at digunakan untuk mengukur satu sudut

$

Daera( Sudut ; Daera( yang terbentuk antara dua kaki sudut Dera"at ; Satuan sudut

G

Garis ; Kura *urus yang tidak memi*iki u"ung mau)un )angka* Garis Ber(im)it ; Suatu garis ter*etak )ada garis *ain atau seba*iknya dan

membentuk satu garis *urus

Garis Ber)tngan ; Dua bua( garis yang memi*iki satu titik )ersekutuan Garis Bersi*angan ; Dua bua( garis tidak memi*iki titik )ersekutuan6 tidak

se"a"ar dan tidak ter*etak )ada bidang yang sama

Garis Se"a"ar ; Dua bua( garis yang ter*etak )ada satu bidang datar yang tidak akan ber)tngan meski)un di)er)an"ang tan)a batas Garis Transersa* ; Garis yang memtng garis *ainnya

,

Kaki Sudut ; Sinar garis yang membentuk suatu sudut

S

Segmen Garis ; Kura *urus yang mem)unyai )angka* dan u"ung

Sinar Garis ; Kura *urus yang mem)unyai )angka* namun tidak beru"ung

Sudut ; Suatu daera( yang dibentuk *e( dua bua( garis yang memi*iki titik )angka* yang sama berim)it5.

Sudut Ber)e*urus ; Dua bua( sudut yang "um*a( kedua sudutnya 180°

Sudut Ber)enyiku ; Dua bua( sudut yang "um*a( kedua sudutnya!0°

Sudut Berseberangan ; Dua sudut yang tidak berdekatan baik da*am mau)un *uar )ada sisi yang berseberangan ter(ada) garis transersa* Sudut Bert*ak$be*akang; kedua sudut memi*iki titik sudut yang sama

Sudut ,an+i) ; Sudut yang besarnya antara0° dan!0°