Pendugaan model fungsi survivor - USD Repository

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Agus Galihpurbajati NIM : 023114016

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SANATA DHARMA

dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta,………2007 Penulis

Agus Galihpurbajati

Poma-poma wekas mami

Anak putu aja lena

Aja ketungkul uripe

Lan aja duwe kareman

Marang pepaes donya

Siyang dalu dipun emut

Urip cadhangan antaka

( Surat Wulang Reh, Paku Buwono IV )

KUPERSEMBAHKAN KARYA YANG SEDERHANA INI

KEPADA TUHAN YESUS DAN BUNDA MARIA

YANG SELALU MELINDUNGIKU

BAPAK DAN IBUKU YANG SELALU MELIMPAHKAN

SELURUH KASIH SAYANGNYA KEPADAKU

SERTA Ndo’ YANG SELALU DI SAMPINGKU

suatu item memiliki waktu dimana item tersebut akan bertahan hidup sebelum akhirnya akan mengalami kegagalan. Data yang diambil dari waktu bertahan hidup suatu item sebelum item tersebut mengalami kegagalan disebut data survival atau data survivor. Model matematis waktu survival dapat diduga dari data waktu bertahan hidup n item yang diamati. Untuk menduga model survivor lebih lanjut, diperlukan distribusi probabilistik yang sesuai. Untuk setiap n item, bertahan ke waktu t dapat dianggap sebagai percobaan Bernoulli, jadi jumlah item yang bertahan ke waktu t, (n(t)), mempunyai distribusi Binomial dengan parameter n dan probabilitas suksesnya S(t), di mana sukses menunjukkan bahwa item dapat bertahan hingga ke waktu t. Tulisan ini membahas Metode Non parametrik untuk menduga model fungsi survivor. Pendekatan distribusi normal untuk binomial digunakan untuk menentukan selang kepercayaan parameter fungsi survivor.

data is taken from the survival times of an item before the item fails. The Survival time mathematical model can be estimated from the survival time data of the n studied-item. An appropriate probabilistic distribution is needed to estimate the survivor model in further. For each of the n item that survives to time t can be considered as a Bernoulli trial. Thus the number of items that survives to time t, n(t), has a Binomial distribution with parameter n and probability of success S(t), where the success shows that the item can survive to time t. This writing discusses about Nonparametrical method to estimate the survivor function model. The normal approximation to the binomial distribution is used to determine the parameter confidence interval of the survivor function.

dengan baik. Skripsi ini disusun dalam rangka memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar sarjana sains.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini dapat diselesaikan karena bantuan dari berbagai pihak, oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. sebagai dekan Fakultas MIPA Universitas Sanata Dharma dan juga sebagai dosen pembimbing akademik sekaligus pembimbing skripsi yang dengan sabar membimbing dan memberikan masukan-masukan yang sangat berarti selama penulis menempuh studi dan dalam proses penyusunan skripsi ini.

2. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc. sebagai Ketua Program Studi Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Sanata Dharma.

3. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si dan ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si selaku dosen penguji.

4. Bapak dan Ibu dosen FMIPA khususnya Program Studi Matematika yang telah banyak memberikan banyak ilmu kepada penulis.

5. Ibu Warni, Mas Tukijo dan Ibu Linda atas semua bantuannya. 6. Perpustakaan USD dan staff atas fasilitas dan pelayanannya.

7. Kedua orangtuaku, Bapak P. Purwiyono dan Ibu Ch. Sukiyem, yang selalu memberi dukungan kepada penulis, “ Aku sangat menyayangi kalian “

atas doa-doanya. Tak lupa juga Pakde Bagyo, Bude Kat, Mas Nug, Mba Tiwik, Mbak Nia.

9. Katarina Kartika, seorang yang selalu ada untukku, selalu mengasihi, menyayangi dan mendukungku (MsbmA).

10. Pak Sardjono dan Ibu atas doa restunya, juga Mbak Kus dan Mas UQ.

11. Sahabat-sahabatku: Bani, Aan, Ijoep, Taim, Markus, Tato, Priska yang selalu penuh keceriaan, terima kasih untuk semuanya.

12. Teman-teman angkatan 2002, kapan kita makrab lagi (10-10-10 ? )

13. Anak-anak kos PJ’S : Andi untuk komputer dan segala pengalaman hidup. Koencoeng untuk motornya ☺. Doni untuk kebaikanya serta Ari untuk cerita-ceritanya. Poeji, Eli, Angga, Danang, mBah Jo, Putu, terima kasih atas kebersamaan yang telah kita lewati. Mas Disiplin untuk tukar pikirannya. Tak lupa Pak Djan dan Bu Djan atas kos-kosannya yang telah memberi banyak keceriaan kepada penulis.

14. Kodok Ijo Comunity : Gondrong, Tsu Min, Didit, Topan, Felix untuk semuanya.

15. Mas Mbong untuk falsafah hidup dan cerita-cerita serunya. 16. Pak Aris untuk pelajaran dekorasinya.

18. Teman-teman KKN XXXI kelompok 10: Yosep, Cahyo, Siska, Agnes, Via, Sinta, Watik, Seli dan Neni.

19. Teman sekampungku :mBak Sari, D’Lina-D’Leni, D’Nopi, Songglon, Rino, Tekek, Joni, Dedi.

20. Semua pihak yang namanya belum tercantum di tulisan ini.

Skripsi ini bukanlah sebuah karya yang sempurna, masih ada kekurangan-kekurangan dalam skripsi ini yang perlu diperbaiki. Oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritikan yang membangun. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi para pembaca.

Yogyakarta, Juni 2007

Penulis

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... ii

HALAMAN PENGESAHAN... iii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA...iv

HALAMAN PERSEMBAHAN... v

ABSTRAK... vi

ABSTRACT... vii

KATA PENGANTAR... viii

DAFTAR ISI... xi

BAB I. PENDAHULUAN... 1

1.1 Latar belakang Masalah... 1

1.2 Perumusan Masalah... 3

1.3 Pembatasan Masalah... 3

1.4 Tujuan Penulisan... 3

1.5 Metode Penulisan... 3

1.6 Manfaat Penulisan... 4

1.7 Sistematika Penulisan... 4

BAB II. PENGANTAR TEORI PROBABILITAS DAN RELIABILITAS... 6

2.1 Variabel Random... 6

2.4.1 Pengertian Reliabilitas... 12

2.4.2 Kaitan Reliabilitas dengan Kualitas... 14

2.4.3 reliabilitas Bergantung Waktu... 15

2.4.4 Reliabilitas Sistem... 23

2.5 Distribusi Bernoulli... 32

2.6 Distribusi Binomial... 33

2.7 Teorema Limit Pusat... 36

2.8 Pendekatan Normal untuk Distribui Binomial... 40

2.9 Penduga Parameter... 42

2.9.1 Penduga Titik... 43

2.9.2 Penduga Interval ( selang kepercayaan )... 43

2.9.2.1 Metode Pivot... 44

2.10 Teori Likelihood... 46

BAB III. PENDUGA FUNGSI SURVIVOR... 52

3.1 Fungsi Survivor... 52

3.2 Penyensoran Data………... 54

3.2.1 Penyensoran Tipe II……….. 56

3.2.2 Penynsoran Tipe I... 57

3.2.3 Penyensoran Random... 57

3.4.2 Tabel Hidup Searah... 79

3.5 Uji Kolmogorov-Smirnov... 81

3.5.1 Langkah-langkah Uji Kolmogorov-Smirnov... 82

3.5.2 Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov untuk Distribusi Waktu Hidup... 84

3.6 Sensor Kanan Himpunan Data... 91

BAB IV. APLIKASI PENDUGA FUNGSI SURVIVOR... 93

BAB V. PENUTUP... 101

5.1 Kesimpulan... 101

5.2 Saran... 102

DAFTAR PUSTAKA... 103

1.1Latar Belakang Masalah

Fungsi survivor memegang peranan penting dalam distribusi waktu hidup. Fungsi ini berguna untuk menganalisa data-data survival, yaitu data yang diambil dari waktu bertahan hidup suatu item sebelum item tersebut mengalami kegagalan atau kematian. Sebagai contoh adalah suatu produk yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan. Data-data survival akan diambil dari beberapa item produk tersebut yang digunakan sebagai sampel yang kemudian dengan fungsi survivor dapat dianalisa hingga diketahui daya tahan produk tersebut. Dengan demikian, perusahaan akan mengetahui apakah produk yang mereka keluarkan memiliki waktu hidup yang panjang atau tidak dan kemudian dapat dijadikan pertimbangan untuk produksi selanjutnya.

Dari data-data yang didapat, akan menghasilkan suatu model yang merepresentasikan data-data survial tersebut. Namun untuk menyelesaikan model yang diperoleh tersebut tidaklah mudah, karena model tersebut berhubungan dengan waktu, sehingga masih sulit untuk mendapat kepastian kapan suatu item yang diamati tersebut akan mengalami kegagalan karena nilai-nilai data dapat berubah seiring berjalannya waktu dan kalaupun bisa, tentu akan memerlukan waktu yang lama untuk mengamatinya karena belum tentu semua item memiliki waktu hidup yang sama. Oleh karena itu, pendugaan model sangat diperlukan untuk mempermudah pengolahan data-data tersebut. Namun persoalan belum

selesai sampai di situ, karena data-data survival sering sedikit melenceng atau bahkan jauh dari distribusi normal (B.S. Everitt,1994). Dalam statistika parametrik, persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan menerapkan Teorema Limit Pusat yang sering digunakan sebagai pendekatan empiris untuk menjamin ketepatan asumsi normalitas. Namun hal itu hanya dapat digunakan pada sampel yang besar, sedangkan seringkali terdapat situasi di mana sampel terlalu kecil sehingga sulit untuk menentukan normalitasnya. Untuk mengatasi masalah tersebut, cabang statistika memiliki prosedur alternatif yang tidak memerlukan ukuran sampel untuk menentukan normalitasnya. Prosedur ini disebut sebagai statistika nonparametrik. Prosedur ini juga dapat mengatasi masalah penyensoran yang sering terdapat pula dalam data-data survival.

Oleh karena itu, dalam skripsi ini hanya akan membahas penduga fungsi survivor dengan metode nonparametrik yang kemudian akan digunakan untuk memperoleh selang kepercayaan bagi penduga fungsi survivor tersebut. Penduga model fungsi survivor akan diasumsikan bahwa penduga nonparametrik fungsi survivor S(t) adalah sama dengan jumlah sampel yang rusak selama selang waktu t dibagi dengan jumlah sampel yang digunakan. Secara matematis penduga model tersebut dapat dituliskan sebagai berikut

n t n t

Sˆ( )= ( ),

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

1. Bagaimana menentukan penduga dan selang kepercayaan penduga fungsi survivor ?

2. Bagaimana aplikasi penduga fungsi survivor pada ketahanan hidup suatu item ?

1.3Pembatasan Masalah

Dalam skripsi ini dibatasi oleh beberapa hal sebagai berikut : 1. Skripsi ini hanya membahas metode nonparametrik. 2. Teorema Ketunggalan tidak dibuktikan

3. Tipe penyensoran yang digunakan adalah penyensoran Tipe II

1.4Tujuan Penulisan

Skripsi ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan untuk mem-peroleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika. Selain itu skripsi ini ber-tujuan untuk memperdalam pengetahuan tentang fungsi survivor, penduga fungsi survivor serta selang kepercayaan penduga fungsi survivor dan aplikasi-aplikasinya.

1.5Metode Penulisan

literatur-literatur yang terkait dan sudah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal baru.

1.6Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah :

1. Dapat lebih memahami mengenai penduga fungsi survivor dengan metode nonparametrik agar dapat dikembangkan lebih lanjut demi perkembangan ilmu matematika khususnya dalam bidang statistik 2. Mengetahui lebih jauh aplikasi-aplikasi penduga fungsi survivor

ke-hidupan sehari-hari.

1.7Sistematika Penulisan

Bab I. Pendahuluan. Pada bagian ini akan dibahas tentang latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.

Bab II. Landasan Teori. Pada bagian ini akan dibahas tentang variabel random, distribusi probabilitas kontinu bersama, penjumlahan variabel random, reliabilitas, distribusi bernoulli, distribusi binomial, teorema limit pusat, pendekatan normal untuk distribusi binomial, enduga parameter dan teori likelihood.

penggunaan tabel hidup (life table) sebagai metode lain untuk menentukan selang kepercayaan untuk penduga fungsi survivor dalam statistik nonparametrik serta uji Kolmogorov-Smirnov untuk menentukan normalitas data.

Bab IV. Aplikasi Penduga Fungsi Survivor. Dalam bagian ini akan dibahas penyelesaian masalah tentang penentuan penduga fungsi survivor dan selang kepercayaannya untuk data penderita leukemia.

2.1 Variabel Radom

Variabel random, misalnya X, adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel S, yang memetakan setiap elemen a∈S ke bilangan real yang dinotasikan sebagai berikut :

. R x , S a , x ) a (

X = ∈ ∈

Huruf kapital seperti X, Y, Z akan digunakan sebagai lambang variabel random sedangkan huruf-huruf kecil yang bersesuaian x, y, z melambangkan nilai variabel random yang mungkin. Konsep variabel random dapat dipahami sebagai sebuah pemetaan dari himpunan S ke himpunan bilangan real.

Variabel random yang nilainya berhingga atau tak berhingga terbilang disebut variabel random diskret, sedangkan jika tidak demikian disebut variabel random kontinu.

2.2 Distribusi Probabilitas Kontinu Bersama Definisi 2.2.1 Fungsi Densitas Bersama

Variabel random X dan Y dikatakan kontinu bersama-sama jika terdapat fungsi f(x,y) yang terdefinisi untuk semua nilai x dan y, yang merupakan bilangan real dalam setiap himpunan C ⊂ _{R , sehingga peluang} 2

(2.1)

∫∫

∈

= ∈

C ) Y , X (

dy dx ) y , x ( f )

C ) Y , X (( P

Fungsi f(x,y)disebut fungsi densitas bersama dari X dan Y.

Jika A dan B adalah dua buah himpunan bilangan real dan

{

(x,y):x A,y B

C= ∈ ∈

}

, dari persamaan (2.1) dapat dilihat

(2.2)

∫ ∫

= ∈ ∈

B Af(x,y)dxdy

) B Y , A X ( P

Karena fungsi distribusi kumulatif bersama

, dy dx ) y , x ( f ) ] b , ( Y ], a , ( X ( P ) b , a ( F b a

∫ ∫

−∞ −∞ = −∞ ∈ −∞ ∈ = (2.3)

maka fungsi densitas bersama dapat diperoleh melalui diferensiasi, yaitu

(2.4) ) b , a ( F b a ) b , a ( f 2 ∂ ∂ ∂ =

Jika turunan parsialnya ada.

Interpretasi lain dari fungsi densitas bersama berdasarkan persamaan (2.2), adalah

db da ) b , a ( f dy dx ) y , x ( f ) db b Y b , da a X a (

P a da

a db b b ≈ = + < < + <

<

∫

+

∫

+

(2.5)

Di mana da dan dbkecil danf(x,y)kontinu di a,b.

Definisi 2.2.2

Jika X dan Y adalah kontinu bersama-sama, maka secara individu adalah juga

kontinu, sehingga fungsi distribusi probabilitasnya adalah

∫

∫ ∫

= = ∞ −∞ ∈ ∈ = ∈ ∞ ∞ − A X A dx ) x ( f dx dy ) y , x ( f )) , ( Y , A X ( P ) A X ( P (2.6)

di mana

∫

∞

∞ −

= f(x,y)dy )

x (

dan disebut fungsi densitas marginal untuk X. Dengan cara yang sama pula,

fungsi densitas marginal untuk Y adalah

(2.8)

∫

−∞∞

= f x y dx

y

f_Y( ) ( , )

Contoh 2.1

Fungsi densitas untuk X dan Y diberikan dengan

⎩ ⎨

⎧ < <∞ < <∞

= − − selainnya , 0 y 0 ; x 0 , e e 2 ) y , x ( f y 2 x ) 1 ( 2 1 0 − − ₋

=e e

2 1 2 2 ) 1 , 1 ( 1 ₂ 1 1 0 2 1 0 1 2 − − − − ∞ _{− −} = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∞ − = = < >

∫

∫

∫ ∫

dy e e dy e e dy dx e e Y X y x y y x P 3 1 3 2 1 2 2 0 0 3 2 − =

∫

−

∫

− dy e dy

e y y

) 1 ( 2 2 2 ) ( 0 2 0 0 2 : ) , ( 2 = − = − = = = <

∫

∫ ∫

∫∫

∞ ∞ ∞ _{− −} ∞ _{− −} < − − dy e e dy dx e e dy dx e e Y X y y

y _{x y} Y X Y x y x < > X (

Hitung a) P(X 1,Y 1)

b) P <Y)

c) P(X<a)

Penyelesaian

a.)

a a

x

a _{y x}

e dx e dx dy e e a x P − − ∞ _{− −} − = = = <

∫

∫ ∫

1 2 ) ( 0 0 0 2 c.)

2.3 Penjumlahan Variabel Random

Penentuan distribusi untuk X+Y dari distribusi X dan Y, dimana X dan Y

saling bebas adalah hal yang penting. Anggap X dan Y adalah saling bebas, dan

merupakan variabel random kontinu yang mempunyai fungsi densitas dan .

Fungsi distribusi kumulatif dari X+Y dapat didefinisikan dengan

X

f f_Y

Fungsi distribusi kumulatifF_X+_Ydisebut konvolusi dari distribusi FXdan FY

Dengan menurunkan persamaan (2.9) akan didapat fungsi densitas dari X+Y

dan diberikan dengan

Y X f ₊

∫

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − + − = − = − = dy ) y ( f ) y z ( f dy ) y ( f ) y z ( F dz d dy ) y ( f ) y z ( F dz d ) z ( f Y X Y X Y X Y X (2.11) Contoh 2.2

Jika X dan Y adalah variabel random saling bebas, keduanya berdistribusi

seragam pada (0,1), tentukan fungsi densitas dari X+Y.

Penyelesaian

Dari persamaan (2.11)

⎩ ⎨

⎧ < < = = selainnya , 0 1 z 0 , 1 ) z ( f ) z (

f_{X Y}

didapat

∫

− = + 1 0 X Y

X (z) f (z y)dy

f

Untuk 0≤z≤1, hasilnya adalah

z dy ) z ( f 1 0 Y

X+ =

∫

=

Untuk 1<z<2, didapat

z 2 ) z (

selainnya , 2 z 1 , 1 z 0 , 0 z 2 z ) z (

f_{X Y} < <

≤ ≤ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + Contoh 2.3

Andaikan X dan Y adalah dua variabel random exponensial saling bebas, yaitu

0 t , e ) t ( f ) t (

f_X = _Y = −t > Tentukan f_Z(z) dima Z=X+Y.

Penyelesaian z z 0 z z 0 ) x z ( x Y X Z ze e dx e e dx ) x z ( f ) x ( f ) z ( f − − − − − ∞ ∞ − = = = − =

∫

∫

∫

Contoh 2.4

Jika X dan Y mempunyai fungsi densitas bersama

) y x ( 2 ) y , x (

f_XY = +

Tentukan fZ(z)dimana Z=X+Y

2.4 Reliabilitas

2.4.1 Pengertian Reliabilitas

Reliabilitas adalah terjemahan dari kata reliability yang berasal dari kata rely

dan ability. Menurut Kamus Inggris Indonesia ( J.M. Echols dan Hassan S,

1975), kata ‘rely’ mempunyai arti mempercayakan, mengandalkan, sedangkan

kata ‘ability’ berarti kecakapan, kemampuan. Jadi, menurut asal katanya,

relia-bilitas adalah kemampuan untuk dapat diandalkan atau dipercayakan atau dapat

juga disebut keterpercayaan, keterhandalan, keajegan, kestabilan dan sebagainya.

Reliabilitas juga dapat didefinisikan seperti probabilitas, dalam artian

perhi-tungan-perhitungan dalam reliabilitas menggunakan aksioma-aksioma yang

terdapat dalam teori probabilitas. Dalam hal khusus, ini berarti bahwa semua

relia-bilitas harus berada dalam selang 0 sampai 1.

Definisi 2.4.1. Reliabilitas

Reliabilitas didefinisikan sebagai probabilitas suatu barang dapat berfungsi

dengan baik untuk suatu waktu dan kondisi tertentu.

Dari definisi di atas waktu menempati bagian penting dalam reliabilitas dan

secara tidak langsung berkaitan dengan beberapa konsekuensi. Pertama, pembuat

model harus menentukan satuan waktu, misalnya detik, jam, tahun dan

sebagainya, untuk menganalisa. Kedua, model-model waktu hidup banyak

dalam statistika klasik ) untuk menggambarkan waktu kerusakan dari suatu

barang. Ketiga, waktu tidak harus diartikan secara harafiah, misalnya untuk

menentukan daya tahan suatu ban dapat juga menggunakan satuan mil sebagai

representasi waktu. Keempat, harus menentukan durasi waktu yang terkait dengan

reliabilitas. Maksudnya, harus ditentukan bila suatu barang dikatakan memiliki

reliabilitas 0.8, maka kalimat itu belum memiliki arti. Reliabilitas sebuah barang

menunjuk pada sebuah nilai dalam suatu waktu, misalnya 1000 jam. Terakhir,

ukuran untuk menentukan waktu hidup harus ditentukan karena umur suatu

barang tidak pasti. Untuk mendapat ukuran yang tepat, perlu diperhatikan cara

pengukurannya, misalnya akan dilihat waktu hidup sebuah bola lampu. Waktu

hidup suatu bola lampu bisa sama dengan lama bola lampu itu dapat menyala.

Cara yang harus dilakukan dalam pengukuran adalah bola lampu itu harus

dinyalakan secara kontinu atau terus menerus, sehingga dapat diketahui jumlah

jam sebagai representasi waktu hidup bola lampu tersebut. Bila bola lampu

tersebut dihidup matikan, maka penggambaran waktu hidupnya tidaklah tepat

karena selain awal penghitungan jumlah jam sebagai representasi waktu hidupnya

akan berubah-ubah, kejutan saat penyalaan dan pematian dapat mengurangi waktu

hidup suatu bola lampu.

Aspek terakhir dari definisi reliabilitas adalah kondisi lingkungan harus

dispesifikasikan. Kondisi seperti temperatur, kelembaban ataupun kecepatan

perubahan, semua berpengaruh terhadap waktu hidup suatu barang. Misalnya

mobil yang memiliki reliabilitas 20000 mil, akan memiliki perbedaan jika mobil

2.4.2 Kaitan Reliabilitas dengan Kualitas

Reliabilitas sering disamakan dengan kualitas. Perbedaan utama antara

keduanya yaitu reliabilitas berkaitan dengan waktu sedangkan kualitas tidak,

karena bersifat statis. Misalnya terdapat dua buah transistor yang memiliki

kualitas yang sama. Salah satu transistor digunakan pada sebuah televisi

sedangkan yang lain ditempatkan pada alat peluncur roket. Kedua transistor

tersebut memang memiliki kualitas yang identik, namun salah satu diantaranya

memiliki reliabilitas yang lebih besar karena ditempatkan pada lingkungan yang

memiliki tekanan lebih rendah.

Reliabilitas yang tinggi dapat berarti pula kualitas tinggi, namun tidak

sebaliknya. Sebagai contoh, terdapat dua buah ban yang memiliki kualitas yang

sama-sama tinggi. Salah satu ban diproduksi tahun 1957 dan yang lain diproduksi

tahun 1995. Meskipun keduanya diproduksi melalui tahap pengontrolan kualitas

yang ketat, namun reliabilitasnya berbeda karena terdapat perubahan teknologi

yang terjadi antara tahun 1957 sampai 1995. 60000 mil reliabilitas ban yang

diproduksi pada tahun 1995 akan lebih besar dibanding reliabilitas ban yang

diproduksi pada tahun 1957. Kemajuan teknologi selama 38 tahun mungkin

membawa perubahan pada model ( misalnya motif grit/kembangan ban ),

komponen ( misalnya karet), atau proses ( misal kemajuan dalam pembuatan ).

Beberapa perubahan tersebut ( misalnya motif grit ban ), dapat memperbaiki

2.4.3 Reliabilitas Bergantung Waktu

Misalkan T adalah variabel random yang menggambarkan daya tahan hidup

dari suatu barang atau sistem. F(t) adalah fungsi distribusi kumulatif yang

didefinisikan sebagai probabilitas suatu barang hidup paling lama t dan ditulis

sebagai berikut :

(2.12) )

t T ( P ) t (

F = ≤

R(t) adalah fungsi reliabilitas yang merupakan probabilitas suatu barang dapat

berfungsi dengan baik lebih dari waktu t yang telah ditentukan. Jadi R(t) dapat

didefinisikan sebagai

) t ( F 1

) t T ( P 1

) t T ( P ) t ( R

− =

≤ − =

> =

(2.13)

Waktu rata-rata sistem tidak befungsi ( failure ), yaitu nilai harapan untuk waktu

sistem tidak berfungsi ( untuk selanjutnya, sistem tidak berfungsi akan disebut

kegagalan ). Andaikan fungsi densitas waktu kegagalan didefinisikan dengan f(t)

yaitu

dt ) t ( dF

) t ( ' F ) t ( f

= =

(2.14)

dimana f(t)≥0 dan

∫

∞

=

0

1 dt ) t ( f

atau

dt ) t ( dR )

t (

f =−

∫

∞

=

0

dt ) t ( tf ) T (

E (2.15)

dimana batas bawah adalah nol karena waktu kegagalan tidak mungkin kurang

dari nol. Dengan mensubstitusikan beberapa persamaan diatas didapat

∫

∫

∫

∫

∞ ∞ ∞ ∞

= − = = =

0 0 0 0

dt ) t ( R

dt dt

) t ( dR t

dt dt

) t ( dF t

dt ) t ( tf ) T ( E

(2.16)

persamaan akhir didapat dengan menggunakan integral parsial dengan

dt dt

) t ( dR dv , t

u= =

Contoh 2.5

Fungsi densitas kegagalan sebuah alat diberikan sebagai berikut :

(2.17) 0

t , e ) t (

f =λ ⋅λt ≥ tentukan :

a. F(t)

b. Reliabilitas

c. Rata-rata waktu kesalahan

a.

b.

c.

Probabilitas bahwa sebuah sistem dapat berfungsi dalam waktu t akan gagal pada

waktu T yang merupakan fungsi densitas kumulatif bersyarat.

) t T ( P ) t T , x T ( P ) t T | x ( F > > ≤ = >

jika x<t, probabilitasnya adalah nol. Dengan menggunakan definisi F(t) didapat

) t ( F ) x ( F ) t T , x T (

P ≤ > = −

dengan mensubtitusikan persamaan (2.22) dan (2.13) ke persamaan(2.21), maka

Didapat fungsi distribusi probabilitas bersyarat dengan menurunkan persamaan

terhadap x

(2.24) t

x , ) t ( R

) x ( f ) t ( F 1

) x ( f ) t T | x (

f = >

− = >

Andaikan

P dx ) t T | x (

f > = [ kegagalan sistem dalam interval waktu (x,x+dx) jika

diketa-hui telah beroperasi selama waktu t] (2.25)

yaitu, fungsi distribusi probabilitas bersyarat waktu kegagalan meningkat dalam

variabel bebas adalah probabilitas bahwa suatu barang atau sistem dapat bertahan

sampai waktu t tetapi akan gagal dalam penambahan waktu (x,x+dx).

Contoh 2.6

Tentukan fungsi distribusi probabilitas bersyarat kegagalan sebuah alat dari soal

pada contoh 2.5

Penyelesaian :

Dari persamaan (2.24)

t x , e

e e

) t ( F 1

) x ( f ) t T | x ( f

) t x ( t

x

> =

= − = >

− − −

−

λ λ

λ

λ λ

Untuk fungsi eksponensial, terlihat bahwa fungsi distribusi probabilitas bersyarat

kegagalan jika diketahui waktu kegagalan lebih besar dari suatu waktu t adalah

sama dengan fungsi distribusi probabilitas tak bersyarat kegagalan dengan

meru-bah x = t.

Konsep lain yang digunakan dalam teori reliabilitas yang terkait dengan

variasi waktu adalah tingkat kegagalan ( failure rate ). Andaikan n(t) adalah

bany-aknya peralatan yang beroperasi pada waktu t, dan andaikan sejumlah kegagalan

pada interval ( t, t + dt ) adalan dn. Rasio semua kegagalan terhadap total waktu t

adalah

) t ( n

dn

F_f = (2.27)

Akan tetapi, ini adalah kuantitas yang sama yang dengan persamaan (2.14) dengan

x = t, maka persamaan ( 2.27 ) dan ( 2.25 ) disamakan sehingga diperoleh

) t ( n

dn dt ) t T | t (

f > = (2.28a)

atau dengan membagi dengan dt, akan didapat

) t ( R

) t ( f dt dn ) t ( n

1 ) t T | t ( f ) t (

h = > = =

(2.28b)

dimana persamaan (2.28b) itu adalah tingkat kegagalan.

Contoh 2.7

Dari substitusi persamaan (2.17) dan (2.19) ke (2.28b) terlihat bahwa tingkat

kegagalan untuk sebuah alat yang memiliki fungsi distribusi probabilitas

kegagalan berupa fungsi eksponensial adalah λ alat per detik. Andaikan bola

lampu pada suatu masa produksi tertentu mempunyai tingkat kegagalan λ = 0.001

Penyelesaian :

Substitusi persamaan (2.17) dan (2.19) ke (2.28b) menghasilkan :

λ λ

λ λ

= = =

− −

t t

e e

) t ( R

) t ( f ) t ( h

Karena λ = 0.001, dari persamaan (2.19) didapat :

(2.29) 0

t , e e

) t (

R = −λt = −0.001t >

Tingkat kegagalan yang berupa konstanta secara umum merupakan suatu

pengecualian daripada suatu aturan yang berlaku. Sebuah peralatan sebenarnya

memiliki tingkat kegagalan yang tinggi pada awal waktu hidupnya karena

keti-daksempurnaan dalam proses pembuatannya yang lolos dari pemeriksaan. Dalam

kasus manusia, tingkat kegagalan analog dengan istilah tingkat kematian bayi.

Selanjutnya, secara normal tingkat kegagalan bersifat stabil pada suatu nilai

ren-dah yang dapat diterima. Selanjutnya, setelah sebuah alat telah mencapai umur

yang telah ditentukan, tingkat kegagalan mulai beranjak karena keausan.

Dikait-kan dengan waktu penggunaan, terdapat tiga bagian dalam tingkat kegagalan yaitu

9

8

7

6

5 awal pemakaian

4

3

2 stabil masa aus

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

grafik 2.1 kurva tingkat kegagalan alat

Dengan menurunkan persamaan (2.13) dan menggunakan persamaan (2.14)

) t ( f dt

) t ( dF dt

) t ( dR

− = −

= (2.30)

kemudian disubtitusikan ke dalam persamaan (2.28b) didapat

) t ( R ln dt

d )

t ( R

dt ) t ( dR

) t (

h =− =− (2.31)

dengan pengintegralan didapat

(2.32)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

=

∫

t

0

d ) ( h exp ) t (

R λ λ

dengan catatan, jika tingkat kegagalan adalah konstan, reliabilitas dari persamaan

(2.33)

kt

e ) t (

R = −

Contoh 2.8

Anggap fungsi distribusi probabilitas seragam kegagalan sebuah alat diberikan

dengan

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨

⎧ _{≤ ≤}

=

selainnya ,

0

T t 0 , T

1

) t ( f

(2.34)

tentukan reliabilitas dan tingkat kegagalannya!

Penyelesaian :

Fungsi densitas kumulatif kegagalan didapat dengan mengintegralkan persamaan

(2.34), adalah

∫

∫

≤ ≤ =

=

t

0 t

0

T t 0 , d T

1 d ) ( f ) t ( F

τ τ τ

(2.35)

Maka reliabilitasnya adalah

(2.36) T

t 0 , T

1 1 ) t (

R = − ≤ ≤

dari persamaan (2.28b) tingkat kegagalannya adalah

T t 0 ,

T 1 1

T 1

) t ( R

) t ( f ) t (

h ≤ ≤

− =

= (2.37)

Menurut AICPA Assurance service Alert, sistem adalah

1. Sebarang hubungan yang teratur antara sumber-sumber dan

prosedur-prosedur yang menyatu dan saling mempengaruhi atau saling tergantung

untuk memenuhi sebuah himpunan fungsi-fungsi yang spesifik.

2. Suatu kombinasi dari dua peralatan atau lebih yang saling berkaitan yang

diatur dalam sebuah paket fungsional untuk membentuk sebuah fungsi

operasional atau untuk memenuhi suatu kebutuhan.

3. Suatu kumpulan dari personil, peralatan dan metode yang diatur untuk

membentuk suatu himpunan fungsi-fungsi yang spesifik. (SysTrust

services-2001)

Sedangkan menurut (atis.org,) suatu sistem terdiri dari lima komponen

dasar, yaitu

1. Infrstruktur, yaitu komponen sistem yang berupa komponen-komponen

fisik dan hardware (perangkat kasar) seperti kerangka dan

fasilitas-fasilitas.

2. Software (perangkat lunak), yaitu program-program untuk mendukung

sistem.

3. Manusia, yaitu personil yang terlibat di segala aspek pada sistem ataupun

pengguna sistem, misalnya pembuat program, operator, pengguna sistem.

4. Prosedur,yaitu langkah-langkah serta aturan-aturan untuk menjalankan

sistem.

5. data, yaitu suatu informasi yang diperoleh dan digunakan dalam

Sebagai contoh adalah sebuah sistem peluncuran sebuah satelit. Dalam sistem ini

terdapat perlengkapan serta operasi-operasi pendukung untuk keberhasilannya,

yaitu seperti pesawat dan roket sebagai komponen fisiknya, program-program

untuk menjalankan operasi, awak yang mengemudikan pesawat, langkah-langkah

dan prosedur-prosedur peluncuran satelit serta data-data yang akan digunakan

ataupun dicari.

Sebuah sistem dapat menjadi sangat sederhana, sebagai contoh sebuah

sistem aplikasi pembayaran yang hanya melibatkan seseorang dengan sebuah unit

personal komputer. Namun sebuah sistem juga dapat menjadi sangat rumit yaitu

dengan melibatkan jumlah pengguna yang besar di dalamnya dan terdapat

berbagai aplikasi dengan menggunakan begitu banyak komputer, misalnya sebuah

sistem perbankan yang besar.

Definisi 2.4.2 Reliabilitas Sistem

Reliabilitas sistem didefinisikan sebagai probabilitassuatu sistem dapat berfungsi

dengan baik untuk suatu waktu dan kondisi tertentu.

Dari definisi diatas, reliabilitas sistem adalah ketahanan suatu sistem untuk

suatu waktu dan suatu konsisi tertentu. Dengan kata lain, reliabilitas sistem adalah

probabilitas suatu sistem dimana sistem tersebut tidak akan rusak sebelum t

waktu.

Suatu sistem yang melibatkan sejumlah besar komopnen-komponen pendukung,

sistem yang disusun secara seri, beberapa disusun secara pararel dan ada yang

disusun dengan mengkombinasikan kedua cara tersebut. Dua contoh berikut akan

memberi ilustrasi tentang suatu sistem.

Contoh 2.9

Peluncuran sebuah satelit kecil memerlukan serangkaian operasi pendukung

yang dikaitkan dengan probabilitas keberhasilan. Setiap operasi diasumsikan tidak

saling tergantung satu dengan yang lain.

1. Penghidupan roket pendorong, 0.99

2. Baut penghubung satelit dengan roket utama, 0.98

3. Putaran gas jet satelit untuk stabilitas, 0.965

4. Pematian roket pendorong pada kecepatan akhir yang diinginkan, 0.97

Setiap tindakan tersebut harus dilakukan, dan bila salah satu operasi gagal, maka

peluncuran satelit juga gagal. Berapakah probabilitas keberhasilan atau

reliabilitasnya?

Penyelesaian

Keberhasilan suatu sistem adalah irisan dari empat keberhasilan subsistem yang

terpisah, atau

908 . 0 ) 97 . 0 )( 965 . 0 )( 98 . 0 )( 99 . 0 (

) t T ( P

)] t T ( ) t T ( ) t T ( ) t T [( P ) t T ( P

4

1 i

i

4 3

2 1

MS

= =

> =

> ∩ > ∩ > ∩ > =

>

∏

=

(2.38)

Terlihat bahwa reliabilitas sistem konsisten dengan reliabilitas serentetan

Contoh 2.10

Rem adalah komponen terpenting untuk setiap kendaraan. Kebanyakan kendaraan

memiliki dua sistem pengereman, yaitu hidrolis dan mekanis. Jika salah satu

ru-sak, maka yang lain akan mengambil alih ( sebenarnya, hanya sistem mekanis

yang akan mengambil alih fungsi ketika sistem hidrolis rusak, namun dalam hal

ini diasumsikan salah satu akan mengambil alih fungsi jika yang lain rusak). Jika

diberikan reliabilitas kedua subsistem pengereman untuk sebuah truk

berturut-turut adalah 0.98 untuk subsistem Hidrolis dan 0.95 untuk subsistem Mekanis,

berapa reliabilitas keseluruhan untuk pengereman truk?

Penyelesaian

Untuk sistem ini, semua subsistem harus rusak untuk mengakibatkan kerusakan

sistem, jadi

001 . 0 ) 95 . 0 1 )( 98 . 0 1 (

) t T ( P

)] t T ( ) t T [( P ) t T ( P

2

1 i

i 2 1

B

= −

− =

> =

≤ ∩ ≤ =

≤

∏

= (2.39)

adalah reliabilitas kegagalan ( kerusakan ). Probabilitas keberhasilan atau

relia-bilitasnya adalah

999 .. 0 001 . 0 1

) ( 1 ) (

= −

=

≤ −

=

>t P T t

T

P _{B B}

(2.40)

Dari dua contoh di atas, dapat disimpulkan hubungan reliabilitas menyangkut

Reliabilitas Sistem Seri

Andaikan adalah subsistem ke- i untuk suatu system S dalam sistem seri,

keberhasilan sistem keseluruhan bergantung pada keberhasilan tiap-tiap

subsistemnya, yaitu i S (2.41) n 2

1 S ... S

S

S= ∩ ∩ ∩

Jadi probabilitas keberhasilan pada sistem keseluruhan atau reliabiltas sistem,

diasumsikan setiap subsistem adalah berdiri sendiri, yaitu

∏

∏

= = = > = > ∩ ∩ > ∩ > = > = n 1 i n 1 i i i n 2 1 seri s ) t ( R ) t T ( P )] t T ( ... ) t T ( ) t T [( P ) t T ( P ) t ( R (2.42)

Dapat ditunjukkan bahwa tingkat kegagalan untuk sitem seri adalah jumlahan dari

tingkat kegagalan untuk tiap subsistemnya. Logaritma dari persamaan 2.42

menghasilkan

∑

− > = > = n 1 i i seri s )] t T ( P ln[ )] t T ( P ln[ ) t ( R ln[ (2.43)

Turunan negatif dari logaritma reliabilitas adalah tingkat kegagalan berdasarkan

persamaan 2.31, jadi

Andaikan reliabilitas berdasar waktu untuk subsistem dalam contoh 2.17 adalah fungsi eksponensial t 4 t 3 t 2 t 1 44 3 2 1 e ) t ( R e ) t ( R e ) t ( R e ) t ( R λ λ λ λ − − − − = = = = (2.45)

Tentukan reliabilitas sistem, rata-rata waktu kegagalan dan tingkat kegagalan.

Penyelesaian

Reliabilitas sistem berdasarkan persamaan 2.42 adalah

(2.46)

∏

− + + + − = = a 1 i t ) ( i s 4 3 2 1 e ) t ( R ) t (

R λ λ λ λ

Dari persamaan 2.27, rata-rata waktu kegagalan adalah

4 3 2 1 0 t ) ( 0 s s 1 dt e dt ) t ( R ) T ( E 4 3 2 1 λ λ λ λ λ λ λ λ + + + = = =

∫

∫

∞ + + + − ∞ (2.47)

Untuk subsistem dengan reliabilitas eksponensial, tingkat kegagalan adalah

kon-stanta dalam eksponensial, oleh karena itu tingkat kegagalan sistem adalah

(2.48)

4 3 2 1 s(t)

h =λ +λ +λ +λ

Andaikan adalah subsistem ke- i untuk suatu system F dalam sistem

pararel, semua subsistem harus mengalami kerusakan sebelum sistem mengalami

kerusakan. Jadi untuk subsistem paling bebas

i F (2.49) n 2 1

pararel F F ... F

F = ∩ ∩ ∩

Probabilitas kegagalan

∏

∏

∏

≠ = = − = = ≤ = ≤ ∩ ∩ ≤ ∩ ≤ = ≤ = n 1 i i n 1 i i n 1 i i n 2 1 pararel p )] t ( R 1 [ ) t ( F ) t T ( P )] t T ( ... ) t T ( ) t T [( P ) t T ( P ) t ( F (2.50)

Reliabilitas sistem pararel adalah

∏

= − − = − = n 1 i i p p )] t ( R 1 [ 1 ) t ( F 1 ) t ( R (2.51) Contoh 2.12

Fungsi exponensial reliabilitas dalam sistem pararel diberikan dengan

t b t a b a e ) t ( R e ) t ( R λ λ − − = = (2.52)

Tentukan reliabilitas sistem pararel, rata-rata waktu kegagalan, dan tingkat

kega-galan.

Penyelesaian

Dari persamaan 2.51, diperoleh reliabilitas sistem yaitu

Dari persamaan 2.16, rata-rata waktu kegagalan adalah b a b a 0 p p 1 1 1 dt ) t ( R ) T ( E λ λ λ λ + − + = =

∫

∞ (2.54)

Dari persamaan 2.31, tingkat kegagalannya adalah

t ) ( t t t ) ( b a t b t a p p b a b a b a b a e e e e ) ( e e ) t ( R ln dt d ) t ( h λ λ λ λ λ λ λ λ _{λ λ λ} λ + − − − + − − − − + + − + = − = (2.55)

Tidak seperti kasus yang terjadi dalam sistem seri, tingkat kegagalan dalam sistem

pararel tidak dinyatakan sederhana.

Reliabilitas SistemStandby

Dalam sistem ini, suatu subsiatem akan beroperasi sampai rusak, dan pada

suatu waktu sistem standby (disingkat sb) akan akan menggantikannya. Untuk

beberapa susunan :

(2.56)

2 1 sb T T

T = +

Dimana adalah sistem utama dan adalah sistem standby. Pengambilan nilai

harapan dari keduanya, dapat menentukan rata-rata waktu kegagalan

1

T T₂

(2.57) ) T ( E ) T ( E ) T (

E _sb = ₁ + ₂

Persamaan 2.56 menyatakan bahwa waktu kegagalan dari sistem stanby adalah

jumlahan dari dua variable random, yaitu waktu kegagalan sistem primer dan

be-bas secara statistik, fungsi distribusi probabilitas untuk sistem standby adalah

konvolusi dari dua fungsi distribusi probabilitas kegagalan subsistem, atau

(2.58)

∫

∞ ∞ −

−

= f (t η)f (η)dη )

t (

f_{sb 1 2}

Fungsi distribusi kumulatif kegagalan adalah integral dari fungsi distribusi

probabilitas, dan reliabilitasnya adalah 1 minus fungsi distribusi kumulatif

kegagalan.

Contoh 2.13

Tentukan rata-rata waktu kegagalan, fungsi distribusi probabilitas kegagalan,

fungsi distribusi kumulatif kegagalan dan reliabilitas sistem standby dengan dua

subsistem yang mempunyai fungsi distribusi probabilitas berupa fungsi

eksponensial yang diberikan dengan

(2.59) 0

t , e ) t (

f_i =λ −λt ≥

Penyelesaian

Waktu kegagalan untuk setiap subsistem adalah λ 1

, jadi tingkat kegagalan sistem

standby adalah

λ 2 ) T (

E _sb = (2.60)

Dari persamaan 2.58,fungsi distribusi probabilitas kegagalan adalah

0 t , te dt e

e )

t (

f 2 t

0

) t ( t 2 sb

,

2 = = ≥

− ∞

− − −

∫

_λ λ λ λ _λ λ

Perhatikan bahwa fungsi distribusi probabilitas adalah 0 saat t =0 dan bernilai

maksimum saat λ 1

=

t . Pengintegralan menghasilkan fungsi distribusi kumulatif

kegagalan, yaitu

∫

= − + ≥

= t −

0

t sb

, 2 sb

,

2 (t) f ( )d 1 (1 t)e ,t 0

F τ τ λ λ (2.62)

Reliabilitasnya

(2.63) 0

t , e ) t 1 ( ) t ( F 1 ) t (

R_2,sb = − _2,sb = +λ −λt ≥

Seperti pada persamaan 2.60, pengintegralan reliabilitas dari 0 sampai tak hingga

menghasilkan rata-rata waktu kegagalan.

2.5 Distribusi Bernoulli

Distribusi Bernoulli didasarkan atas ruang sampel yang dibangkitkan dari

percobaan Bernoulli. Ruang sampel ini terdiri atas dua unsur yang biasanya

disimbolkan dengan “sukses” dan “gagal”, dengan probabilitas sukses P(S)=p dan

probabilitas gagal P(G)=1-p. Jika sukses disimbolkan dengan 1 dan gagal dengan

0, maka fungsi probabilitas Bernoulli dapat didefinisikan sebagai berikut :

Definisi 2.5.1 fungsi Probabilitas Bernoulli

Jika X adalah variabel random bernoulli maka fungsi probabilitas X adalah

⎩ ⎨

⎧ − =

=

= −

selainnya ,

0

1 , 0 x , ) p 1 ( p ) p ; x ( f ) x ( f

x 1 x

X

X (2.64)

Sifat-sifat percobaan Bernoulli adalah :

a. Setiap percobaan menghasilkan satu dari dua hasil yang mungkin

b. Untuk setiap percobaan, probabilitas sukses P(S) adalah sama dan

ditulis P(S) = p, dan probabilitas gagal P(G) = (1-p)dan biasa ditulis

sebagai q, maka p+q = 1.

c. Percobaan yang satu dengan yamg lain saling bebas.

Contoh percobaan Bernoulli ysng psling sederhana adalah pelemparan

mata uang logam, di mana terjadinya gambar dan angka dapat dikatakan sukses

dan gagal. Jika mata uang logam tersebut seimbang, maka

2 1

= =q

p .

2.6 Distribusi Binomial

Suatu percobaan seringkali terdiri atas ulangan-ulangan dan masing-masing

mempunyai kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal.

Misalnya dalam pengambilan 5 kartu berturut-turut, pengambilan dapat dikatakan

sukses jika yang terambil adalah kartu warna hitam. Bila setiap kali kartu

dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya, maka percobaan tersebut bersifat

bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama yaitu 2 1

. Percobaan

semacam ini disebut sebagai percobban Binomial yang tak lain adalah percobaan

yang terdiri atas ulangan-ulangan percobaan Bernoulli.

Percobaan Binomial adalah percobaan yang memiliki ciri-ciri sebagai berikut

a. Percobaan terdiri atas n ulangan.

b. Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai sukses dan

c. Peluang sukses, yang dilambangkan dengan p, untuk setiap ulangan

adalah sama.

d. Ulangan-ulangan tersebut adalah saling bebas.

Definisi 2.6.1 Distribusi Binomial

Jika X adalah variabel random Binomial, maka distribusi probabilitas X adalah

(2.65) n ..., , 1 , 0 x untuk , ) p 1 ( p x n ) p , n ; x (

b x − n x =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − Teorema 2.6.1

Nilai harapan dan variansi untuk variabel random yang berdistribusi Binomial b(x; n,p) adalah

E(X)=np dan Var[X]=np(1-p)

Bukti :

Nilai harapan untuk distribusi Binomial

np ) p 1 ( p 1 x 1 n np ) p 1 ( p )! 1 x ( ))! 1 x ( ) 1 n (( )! 1 n ( np )! x n ( )! 1 x ( ) p 1 ( p )! 1 n ( np n 1 x )) 1 x ( ) 1 n (( 1 x )) 1 x ( ) 1 n (( ) 1 x ( n 1 x n 1 x x n 1 x = − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − − − − − − = − − − − =

∑

∑

∑

= − − − − − − − − = = − −

Variansi untuk distribusi Binomial

E(X(X−1))=E(X2)−E(X)

2.7 Teorema Limit Pusat

Salah satu teorema yang penting dalam statistika adalah Teorema Limit Pusat.

Teorema ini penting karena teoema ini memberikan jaminan jika suatu populasi

berdistribusi sembarang ( tidak harus normal ) maka untuk jumlah sampel yang

cukup besar distribusi sampling nilai rata-rata akan berdistribusi normal. Teorema

Ketunggalan ( Uniqueness Theorem ) berikut digunakan untuk menentukan

distribusi probabilitas suatu variabel random melalui fungsi pembangkit momen

(f.p.m ).

Teorema 2.7.1. Teorema Ketunggalan.

Andaikan untuk setiap variabel random X dan Y fungsi-fungsi pembangkit

momennya ada, yaitu berturut-turut dan . Jika =

untuk setiap t, maka X dan Y memiliki distribusi probabilitas yang sama. )

t (

M_x My(t) Mx(t) My(t)

( Bukti teorema di atas di luar cakupan tulisan ini )

Definisi 2.7.1 Distribusi Normal

Variabel random X dikatakan berdistribusi normal dengan mean μ dan variansi

jika fungsi probabilitas kontinunya adalah

2

σ

. 0 , ;

X ;

e 2 1 ) , ; x ( f ) x (

f 2

2 2

) x (

X

X = = −∞< <∞ −∞< <∞ >

− −

σ μ π

σ σ

μ σ

μ

(2.66)

Jika suatu variabel random X berdistribusi normal dengan mean μ dan

Teorema 2.7.2

Jika X adalah variabel random yang berdistribusi normal dengan mean μ dan

variansi σ2 maka fungsi pembangkit momen bagi X adalah

(2.67) 2 t t X 2 2 e ) t ( m σ μ + = dan bila σ μ − =X

Z maka 2

t Z 2 e ) t ( m = Bukti ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[

]

dx e 2 1 e dx e 2 1 e dx e e 2 1 e ) e ( E e ) e ( E ) t ( M ) x ( t 2 X 2 1 t 2 x t x t 2 x t ) X ( t t tX X 2 2 2 x t 2 2 μ σ μ σ μ σ μ μ μ σ μ μ μ μ

π

σ

π

σ

π

σ

μ − − − − ∞ ∞ − + − − ∞ ∞ − − − − ∞ ∞ − −

∫

∫

∫

= = = = = −

Karena

[

(

)

]

Sehingga 2 t t 2 t t X 2 2 2 2 e e e ) t ( m σ μ σ μ ₌ + = ) t (

m_X ini merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal dengan

mean μ dan variansi σ2. Karena maka

1 dan

0 _Z2

Z = σ =

μ 2 t 2 t . 1 0 t Z 2 2 e e ) t (

m = + =

yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal standar.

Sehingga Z berdistribusi normal standar berdasarkan Teorema Ketunggalan.

■

Teorema 2.7.3 Distribusi sampling Mean dan Variansi

Misalkan X₁,...., Xn adalah sampel random dari suatu populasi dengan

fungsi probabilitas f(o) yang memiliki mean μdan variansi σ2. Jika

∑

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n 1 i i X n 1

X adalah mean sampel maka

(2.68)

( )

X =μ_x =μ

E dan Var

( )

X =

n n

n 1

) X ( Var n

1

X Var n

1

X n 1 Var ) X ( Var

2 2 2

n

1 i

i 2

n

1 i

i 2

n

1 i

i

σ

σ =

= =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ =

∑

∑

∑

= = =

■

Teorema ini berlaku apabila pemilihan sampel dilakukan dengan pengembalian

Secara tegas, teorema ini mengatakan apabila X₁,...., Xn adalah sampel

random dari sembarang distribusi dengan mean μdan variansi σ2 maka

( )

X =μ_x =μ

E dan Var

( )

X =

n

2 2 x

σ

σ = . Teorema ini tidak mengatakan apakah

X berdistribusi normal atau tidak. Jika distribusi dari X dijadikan sebagai pusat

perhatian, maka teorema berikut ini yang dikenal sebagai teorema limit pusat akan

menjawab pertanyaan bagaimana X berdistribusi .

Teorema 2.7.4 Teorema Limit Pusat.

Misalkan fx(x) adalah fungsi probabilitas dengan mean μ dan variasi σ2 dan X n

adalah mean sampel random berukuran n dari fx(x). Jika Zn adalah variabel

random yang didefinisikan sebagai

n X

Z n

n σ

μ

−

= _(2.69)

Bukti:

Fungsi pembangkit momen dari variabel random Z_n adalah

( )

( )

( )

(

)

(

)

[

]

( )

( )

( )

n n Y Y n Y n i n / Y t tZ Z ) n ( s n t ... ' ' M n ! t ' M n t n t M e E e E t M i n n ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + σ + σ + = σ = = = μ − μ − μ − = σ μ −

∏

2 1 0 2 0 1 2 2 2 1

dengan s(n) sebagai suku sisa.

Dengan demikian fungsi pembangkit momen dari Z_n, jika n→∞ menjadi

2 2 2 2 2 1 t n Z

n _n s(n) e

t lim ) t ( M lim

n ⎥ =

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ∞ → ∞

→ (2.70)

yang merupakan fungsi pembangkit momen bagi distribusi normal standar.

Sehingga terbukti bahwa Z_n ~N(0,1). ■

2.8 Pendekatan Normal untuk Disribusi Binomial

Teorema Limit Pusat dapat juga digunakan untuk memperkirakan probabilitas

beberapa variabel random diskret, jika probabilitas yang berdasarkan distribusi

sesungguhnya sukar dihitung untuk ukuran sampel n besar. Contoh berikut

berkaitan dengan distribusi Binomial.

Andaikan variabel random Y berdistribusi Binomial dengan n ulangan dan

distribusi probabilitas binomial untuk setiap bilangan bulat tak negatif yang

kurang dari atau sama dengan b. Tabel Binomial memuat nilai-nilai probabilitas

hanya untuk beberapa nilai n yang terbatas. Bila n sangat besar, maka perhitungan

menjadi sukar dan di lain pihak tidak tersedia tabel.

Sebagai alternatif, pandang Y, banyaknya sukses dalam n ulangan, sebagai

jumlah suatu sampel yang tediri atas nilai 0 dan 1, yaitu

∑

=

= n 1 i

i

X

Y _(2.71)

di mana

⎩ ⎨

⎧ −

=

selainnya ,

0

sukses an menghasilk i

ke ulangan jika

, 1 X_i

dan , variabel random yang saling bebas. Berdasarkan Teorema

2.7.3, maka untuk n yang besar, proporsi ulangan yang bernilai sukses adalah n

,..., 2 , 1 i ,

X_i =

∑

=

= = n

1 i

i X

X n 1 n Y

akan memiliki distribusi sampling yang mendekati distribusi normal dengan

dan variansi p

) X (

E _i =

n ) p 1 ( p n

) X (

V −

=

Pendekatan ini sangat baik bila p dekat dengan 2 1

karena distribusi binomial

simetrik bila 2 1

=

2.9 Penduga Parameter

Statistika banyak berhubungan dengan penarikan kesimpulan mengenai

parameter populasi. Fungsi variabel random tertentu yang diperoleh dari sampel

random sering digunakan sebagai penduga atau pembuat keputusan tetntang

parameter populasi. Sebagai contoh, jika akan menduga mean suatu populasi µ,

jika diperoleh n pengamatan random , maka cukup beralasan jika µ

diduga dengan

n

y y y₁, ₂,...,

(2.72)

∑

=

= n 1 i

i

y n 1 yˆ

Kebaikan dari penduga ini didasarkan pada perilaku variabel random

dan pengaruh perilaku tersebut terhadap

n 2 1,Y,...,Y

Y

∑

=

= n 1 i

i

y n 1

yˆ . Variabel random Yadalah

fungsi dari variabel random dan ukuran sampel n. Atau contoh lain,

andaikan berdasar hasil perhitungan dari data sampel, rata-rata produktivitas

kelapa sawait dalam satu tahun sebesar 154,97 kw/ha, maka

ˆ

n 2 1,Y,...,Y

Y

97 , 154

=

x . Dengan

demikian, yˆdan x adalah contoh statistik.

Definisi 2.9.1. Statistik.

Statistik adalah fungsi dari pengamatan yang diperoleh dari sampel random dan

konstanta yang diketahui. Statistik digunakan untukmenarik kesimpulan

Penduga parameter merupakan usaha penentuan nilai parameter yang sedang

diselidiki. Untuk melakukan pendugaan nilai suatu parameter dapat dilakukan

denagn dua cara. Cara pertama yaitu dengan menentukan nilai tunggal yang

mendekati nilai parameter itu dengan sebaik-baiknya atau sering disebut penduga

titik. Cara kedua merupakan penentuan suatu selang nilai dengan peluang yang

besar mencakup nilai parameter yang diselidiki yang disebut penduga interval (

selang kepercayaan ).

2.9.1 Penduga Titik

Penduga titik adalah sebarang statistik yang digunakan untuk menduga

parameter θ. Suatu penduga titik bagi suatu parameter populasi adalah nilai

tunggal numerik dari suatu statistik yang relevan dengan parameter tersebut.

Contoh penduga titik adalah sebagai berikut

Andaikan X adalah suatu variabel random Binomial (n:p) maka variabel

random pˆ mempunyai mean p dan variansi n

) p 1 (

p −

, dan untuk n besar, harga

variabel random

n ) pˆ 1 ( pˆ

p pˆ z

− −

= mendekati distribusi normal standar ( Teorema

Limit Pusat ).

2.9.2 Penduga Interval ( Selang Kepercayaan)

Andaikan pada populasi yang berdistribusi normal akan dilakukan

populasi adalah suatu interval nilai [θˆ−Z_α2σ_θˆ,θˆ+Z_α2σ_θˆ] sedemikian hingga

] Z ˆ , Z ˆ

[θ _α2σ_θˆ θ _α2σ_θˆ

θ∈ − + dan P(θˆ−Z_α2σ_θˆ <θ <θˆ+Z_α2σ_θˆ)=1−α di mana

penduga titk bagi

θˆ _{θ. Pernyataan taraf kepercayaan 95% (misalnya) mempunyai}

implikasi bahwa jika rencana penarikan sampel berukuran sama dengan teknik

yang sama dilakukan berulang kali, misalnya 100 kali penarikan sampel,

kemudian dari setiap sampel dibuat pernyataan tentang pendugaan selang, maka

sekitar 95 kali dari selang nilai [θˆ−Z_α2σ_θˆ,θˆ+Z_α2σ_θˆ] mencakup parameter

populasi akan benar, dan hanya sekitar 5 kali akan salah.

Data sampel yang diperoleh melalui penarikan sampel menghasilkan nilai

statistik yang dapat digunakan sebagai penduga parameter. Nilai statistik tidak

bisa tepat sama dengan nilai parameter populasi, tetapi dapt ditentukan sejauh

mana ketepatan pendugaan tersebut

2.9.2.1 Metode Pivot

Metode yang sangat berguna untuk menentukan selang kepercayaan disebut

metode Pivot yang memerlukan kuantitas pivot. Ciri-ciri kuantitas pivot adalah

sebagai berikut :

1. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter θ ( yang tidak

diketahui ). θ merupakan satu-satunya kuantitas yang tidak diketahui.

Contoh 2.16

Jika diketahui observasi Y berdistribusi normal dengan (μ,1), tentukan selang

kepercayaan 95% bagi μ bila diketahui kuantitas pivotnya adalah

σ μ − =Y z Penyelesaian

Periksa apakah syarat dipenuhi:

1. z merupakan fungsi dari observasi Y

z merupakan fungsi dari parameter μ yang tidak diketahui

2. Distribusi probabilitas dari pivot

Bila Y~Normal (μ,σ) maka 2 t t Y 2 2 e ) t ( M σ μ + = 2 t Z 2 2 e ) t ( M Y z σ μ = − =

distribusi normal dengan μ_Z =0 dan Var[Z]=σ2 =1

distribusi probabilitas dari pivot

) a Y b Y ( P ) b Y a ( P ) b z a ( P 95 ,

0 = < < = < −μ < = − <μ < −

Maka selang kepercayaannya berbentuk

96 , 1 Y 96

, 1

Y− <μ< +

2.10 Teori Likelihood

Andaikan adalah sampel random waktu hidup dari sebuah

populasi item dengan distribusi waktu hidup yang mempunyai fungsi densitas f(t).

Distribusi ini memiliki vektor parameter yang tidak diketahui

n

t t t₁, ₂,...,

(

θ₁,θ₂,...,θ_p

)

'

θ = ,

dimana p adalah banyaknya parameter yang tidak diketahui. Karena waktu hidup

adalah saling bebas, fungsi likelihood, L(t,θ) adalah hasil kali dari fungsi

densitas yang diduga pada setiap titik sampel :

∏

=

= n 1 i

i, )

t ( f ) , (

L t θ θ . (2.73)

dimana Penduga maksimum likelihood diperoleh dengan

memaksimumkan

). t , ... , t , t

( _{1 2 n}

=

t θˆ

) , (tθ

L terhadap θ. Jadi adalah penduga parameter distribusi

yang kemungkinan besar menghasilkan data .

θˆ

n 2 1,t ,...,t

t

Secara praktis, akan lebih mudah untuk memaksimumkan fungsi log

likelihood logL(t,θ) untuk memperoleh vektor dari penduga maksimum

likelihood, dimana hal ini valid karena fungsi logaritma adalah bersifat monoton.

Fungsi log likelihood adalah :

∑

=

= n 1 i

i, )

t ( f log )

, ( L

log t θ θ (2.74)

dan berdistribusi normal asimtotik oleh teorema limit pusat, karena terdiri atas

Karena L(t,θ) adalah funsi densitas bersama untuk , maka hal

ini harus sama dengan 1 :

n 2 1,t ,...,t

t

(2.75)

∫ ∫ ∫

∞ ∞ ∞

=

0 0 0

1 dt ) , ( L . .

. t θ

asumsikan bahwa fungsi likelihood adalah kontinu ( dan karena diferensiasi dan

interal dapat dipertukarkan ), turunan parsial sisi kiri berkenaan dengan satu

parameter θ_i menjadi :

[

( )

]

i 1,2,....p ) , ( L log d ) , ( L ) , ( L log . . . d ) , ( L . . . d ) , ( L . . . i i

0 0 0 i

0 0 0 0 0 0 i

i = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ U E t E t t t t t t t (2.76)

dimana U(θ)=(U1(θ),U2(θ),....,Up(θ))' sering disebut sebagai vektor skor.

Pendiferensialan sisi kanan dari persamaan (2.72) berkenaan dengan θi :

[

U ( )

]

0 i 1,2,...,p

E _i θ = =

atau dalam bentuk vektor adalah

(2.77)

[

U( )

]

=0

E θ

Contoh 2.17

Andaikan adalah sampel random dari suatu populasi eksponensial

dengan p=1 dan parameter θ, populasi tersebut adalah

n 2 1,t ,...,t

0 t e 1 ) , t (

f = −tθ ≥

θ θ

Tentukan vektor skor dan penduga maksimum likelihood untuk θ.

Penyelesaian :

Fungsi likelihood populasi tersebut adalah

( )

∑ =

= =

= − − −

= =

∏

∏

n

1 i

i t

i _e

e 1

) , t ( f ,

L

n t

n

1 i

n

1 i

i

θ

θ θ

θ θ

t

θ

Fungsi log likelihoodnya adalah

( )

∑

=

− −

= n

1 i

i

t log

n ,

L

log t θ θ θ

Vektor skornya hanya memiliki satu elemen karena hanya terdapat satu parameter

( )

( )

₂

n

1 i

i

t 1 ,

L log U

θ θ θ

θ

θ _{=− +}

∑

=

∂ ∂

= t .

Persamaan vektor dengan nol dan menyelesaikan penduga maksimum likelihood :

∑

=

= n 1 i

i

t n 1 ˆ θ

dimana ini adalah rata-rata sampel.

Pendiferensialan persamaan (2.73) terhadap θ_j ( dengan aturan rantai )

[

U ( ) U ( )

]

E logL( , ) i 1,2,...p E d ) , ( L ) , ( L log ) , ( L ) , ( L log ) , ( L log . . . d ) , ( L ) , ( L log ) , ( L ) , ( L log . . . d ) , ( L ) , ( L log . . . j i 2 j i

0 0 0 i j

2

j i

0 0 0 i j

2

j i

0 0 0 i

j = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ t t t t t t t t t t t t t t t (2.78)

Karena pernyataan ini adalah turunan kedua dari persamaan (2.72) sisi kiri, dan

turunan kedua dari sisi kanannya adalah nol, maka

(2.79)

[

]

, p , ... , 2 , 1 j , p , ... , 2 , 1 i ) ( U ) ( U E ) , ( L log

E i j

j i 2 = = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ − _{θ θ} θ θ θ t

Dengan persamaan (2.74), dapat diketahui bahwa E

[

U_i(θ)

]

=E

[

U_j(θ)

]

=0 untuk

dan , sehingga

p

i=1,2,.... j =1,2,....p

(

)

, p , ... , 2 , 1 j , p , ... , 2 , 1 i ) ( U ) ( U Cov ) , ( L log

E i j

j i 2 = = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ − _{θ θ} θ θ θ t (2.80)

Elemen ini membentuk Matriks informasi Fisher p×p , I(θ) yang elemen

diagonalnya adalah variansi dari elemen-elemen vektor skor dan elemen-elemen

diagonal kebalikannya adalah covariansi.

Untuk melihat hasilnya adalah terlalu jauh, matriks p×1 untuk vektor skor

U(θ) mempunyai komponen

p ...., , 2 , 1 i ) , ( L log ) ( U i i = ∂ ∂ = θ θ

yaitu, ketika disama dengankan nol dan diselesaikan, menghasilkan matriks p×1

penduga maksimum likelihood . Nilai harapan dari vektor skor mempunyai

komponen

θˆ

(2.82)

[

U ( )

]

0 i 1,2,...,p

E _i θ = =

dan matriks variansi-kovariansi adalah

(2.83)

[

( ) '( )

]

E ) (

Iθ = Uθ U θ .

Matriks tersebut mempunyai komponen

, p , ... , 2 , 1 j

, p , ... , 2 , 1 i )

, ( L log E

j i 2

= = ⎥

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

∂ ∂ ∂ −

θ θ

θ

t

(2.84)

dan ini sering disebut dengan Matriks informasi Fisher.

Contoh 2.18

Dari contoh 2.17, tunjukkan bahwa nilai harapan vektor skor adalah nol dan

tentukan matriks informasi Fisher.

Penyelesaian

Turunan dari vektor skor adalah

3 n

1 i

i

2 2

2 2 t

n ) , ( L log

θ θ

θ

θ

∑

₌

− = ∂

∂ t

( )

[

]

. 0 n 1 n t E 1 n t 1 n E U E 2 n 1 i i 2 n 1 i i 2 = + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡_{− +} =

∑

∑

= = θ θ θ θ θ θ θ θ

karena E

[ ]

t_i =θ untuk i=1,2,....,n.

Matriks informasi Fisher adalah :

Sebelum mencari penduga fungsi survivor, akan dibahas terlebih dahulu apa yang dimaksud fungsi survivor.

3.1Fungsi Survivor

Fungsi survivor yang juga dikenal sebagai fungsi survival atau fungsi relia-bilitas adalah sifat dari sebarang variabel random yang memetakan himpunan-himpunan kejadian, yang biasanya berhubungan dengan kegagalan suatu sistem dalam sembarang waktu t ( wikipedia.org ).

Fungsi survivor, S(t) adalah generalisasi dari reliabilitas. Dalam statistika, reli-abilitas didefinisikan sebagai probreli-abilitas suatu barang ( item ) dapat berfungsi dalam suatu waktu tertentu, sedangkan fungsi survivor adalah probabilitas suatu barang ( item ) dapat berfungsi dalam sembarang waktu t.

Fungsi survivor dapat ditulis

(3.1)

0 t ], t T [ P ) t (

S = ≥ ≥

dimana t = suatu waktu

T = waktu kematian

P = Probabilitas

Dengan kata lain, fungsi survivor merupakan probabilitas dari kegagalan lebih lama dari waktu yang telah ditentukan. Di sini diasumsikan untuk t = 0. Fungsi survivor juga sering dikenal sebagai fungsi reliabilitas karena S(t) adalah

1 ) 0

( =

S

reliabilitas pada waktu t. Jadi hubungannya dengan fungsi distribusi kumulatif

F(t) adalah untuk variabel random kontinu. Dengan demikian,

implikasi dari hubungan tersebut adalah fungsi survivor harus memenuhi beberapa

kondisi sebagai berikut : ) t ( F 1 ) t (

S = −

1. S(0)=1

2. limS(t) 0 t→∞ =

3. S(t)monoton turun

Terdapat dua interpretasi dalam fungsi survivor. Pertama, S(t) adalah

proba-bilitas suatu item individual dapat berfungsi pada waktu t. Dalam menentukan

waktu hidup ( lifetime ), terdapat hal yang sangat penting sebagai dasarnya, yaitu

menentukan distribusi waktu hidup un