2laporan penelitian pendulum tak linier

LAPORAN PENELITIAN

PENDULUM TAK LINIER

Oleh:

Sumarna

Agus Purwanto

JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

PENDULUM TAK LINIER

(Oleh : Sumarna, Agus Purwanto)

ABSTRAK

Tujuan Penelitian ini adalah mengukur periode osilasi pendulum seteliti mungkin sehingga ketergantungan o pada  dapat ditunjukkan dengan jelas. Selain itu juga untuk merancang dan membuat sistem alat ukur waktu yang dapat mengukur selang waktu dalam orde 10-6 detik.

Melalui pengukuran periode ayunan τo dengan tingkat ketelitian 10-6 detik telah

berhasil menunjukkan dengan jelas efek ketaklinieran pendulum, yaitu bahwa periode

ayunan τo tergantung pada besar sudut simpangan ayunan ψ. Selain itu juga telah direalisasikan prototype alat ukur selang waktu dalam orde 10-6 detik.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur yang sedalam-dalamnya dipanjatkan ke hadlirat Alloh S.w.t.,

Tuhan seru sekalian alam, atas segala karunia-Nya sehingga dapat tersusun laporan

penelitian mengenai Pendulum Tak Linier.

Penelitian ini dapat terlaksana juga karena bantuan dari berbagai pihak. Oleh

karena itu, terima kasih yang sebesar-besarnya dan penghargaan yang setinggi-tingginya

disampaikan kepada :

1. Pimpinan Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kesempatan,

2. Pimpinan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri

Yogyakarta yang telah memberikan kesempatan dan dorongan,

3. Teman-teman dosen di Jurusan Pendidikan Fisika FMIPA UNY atas diskusi dan

masukan-masukannya,

4. Berbagai pihak yang tidak sempat disebutkan satu per satu yang telah membantu

terselenggaranya penelitian ini.

Semoga hasil penelitian ini dapat bermanfaat. Koreksi dan saran dari para

pengguna dan pemerhati diterima dengan hati terbuka dan penuh penghargaan.

Yogyakarta, 20 Nopember 2003

a/n. Tim Peneliti,

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

ABSTRAK ... ii

KATA PENGANTAR ... iii

DAFTAR ISI ... iv

BAB I : PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Masalah ……….……… 1

2. Rumusan Masalah ……..……….……… 2

3. Tujuan Penelitian ..……….………. 2

4. Manfaat Penelitian ……….………. 2

BAB II : KAJIAN TEORITIK ……….………. 3

BAB III : METODE PENELITIAN 1. Obyek Penelitian ……….…… 7

2. Teknik Pengumpulan Data ……….. 7

3. Instrumen untuk Mendapatkan Data ..………. 7

4. Teknik Analisis Data ……….……….……. 8

BAB IV : HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 1. Realisasi Instrumen Pengambilan data ……….…….. 9

2. Hasil Penelitian dan Pembahasan ……….…. 11

BAB V : KESIMPULAN DAN SARAN 1. Kesimpulan ……….……. 13

2. Saran ……….……… 13

BAB I PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Pada dasarnya semua masalah mekanika bersifat tak linier. Makna tak linier di

sini adalah persamaan diferensial yang menggambarkan sistem mekanis yang ditinjau

adalah persamaan diferensial tak linier. Masalah mekanika dapat dianggap selesai bila

kita telah dapat menyatakan posisi dan kecepatan sistem sebagai fungsi dari waktu. Ini

berarti kita harus menyelesaikan persamaan diferensial yang mewakili sistem mekanis

tersebut. Namun, sayangnya, upaya mencari solusi secara umum terhadap persamaan

diferensial tak linier belumlah seekstensif upaya yang sama untuk persamaan diferensial

linier, sehingga tidak mengherankan bila tehnik penyelesaian persamaan diferensial

linier lebih banyak diketahui dibandingkan teknik yang sama untuk persamaan

diferensial tak linier. Inilah salah satu alasan mengapa persamaan diferensial tak linier

biasanya didekati dengan persamaan linier, suatu proses yang dikenal dengan linierisasi.

Dalam hal getaran, proses linierisasi biasanya dilakukan dengan mengasumsikan

simpangan getaran tidaklah terlalu besar. Dalam banyak hal pendekatan semacam ini

cukup bermanfaat, artinya penyelesaian yang diperoleh cukup dapat mewakili keadaan

fisis sistem yang ditinjau, sampai dengan tingkat ketelitian tertentu. Namun bila

dikehendaki untuk mempelajari perilaku sistem seteliti mungkin, kita harus berupaya

menyelesaikan persamaan diferensial tak linier yang memang benar-benar mewakili

sistem.

Sebagai upaya awal menghidupkan minat penelitian di kawasan tak linier, kami

mengajukan kasus riil pendulum tak linier. Proses linierisasi terhadap kasus ini biasanya

dilakukan dengan mengasumsikan simpangan pendulum tidaklah besar sehingga sin 

dapat didekati dengan . Kami berharap dapat meneliti kasus pendulum ini sebagaimana adanya, yakni melalui penyelesaian persamaan diferensial tak linier -yang telah banyak

dijumpai pada literatur, misal McLachlan (1956)- dan kemudian mencoba

membandingkannya dengan hasil eksperimen. Sebagaimana akan ditunjukkan pada

simpangan maksimum (). Secara teknis, tantangan terbesar pada penelitian ini adalah upaya mengukur periode osilasi (o) seteliti mungkin sehingga ketergantungan o terhadap  dapat diperlihatkan dengan jelas.

2. Rumusan Masalah

Persamaan yang mengatur gerak pendulum adalah persamaan diferensial tak

linier. Penyelesaian persamaan tersebut –dengan menggunakan bantuan integral elliptik-

menunjukkan bahwa periode osilasi pendulum o tergantung pada besar sudut simpangan maksimum . Masalah pada penelitian ini adalah bagaimana mengukur periode osilasi pendulum seteliti mungkin sehingga ketergantungan o pada  dapat ditunjukkan dengan jelas. Untuk dapat mengukur periode osilasi tersebut dengan teliti

diperlukan sistem alat ukur yang dapat mengukur selang waktu dalam orde 10-6 detik.

3. Tujuan Penelitian

a. Mengukur periode osilasi pendulum seteliti mungkin sehingga ketergantungan

o pada  dapat ditunjukkan dengan jelas.

b. Merancang dan membuat sistem alat ukur yang dapat mengukur selang waktu

dalam orde 10-6 detik.

4. Manfaat Penelitian

Sejauh ini, dari tingkat SMU hingga perguruan tinggi, masalah gerak pendulum

selalu didekati sebagai masalah linier. Untuk tingkat perguruan tinggi kami rasa sudah

saatnya untuk menjelaskan gerak pendulum tersebut sebagaimana adanya, yakni

memperlakukannya sebagai masalah tak linier. Termasuk di dalamnya adalah cara

praktikumnya. Dengan demikian, keberhasilan penelitian ini akan memberikan

sumbangan yang sangat berharga bagi pengajaran gerak pendulum tersebut. Alat yang

digunakan pada penelitian ini akan tetap bisa digunakan dan dikembangkan untuk

penelitian masalah tak linier lainnya. Sehingga keberhasilan penelitian ini diharapkan

BAB II

KAJIAN TEORITIK

Memperhatikan gambar 1, persamaan gerak untuk pendulum tersebut dapat

dituliskan sebagai :

(massa).(percepatan) + “restoring force” = 0. (1)

Perhitungan percepatan :

Simpangan  s = l ( dalam radian)

Substitusi ke persamaan (1) diperoleh :

Karena sin =  -

tidak sama dengan 1, sehingga persamaan (3) adalah persamaan tak linier.

Dengan v =

A adalah konstanta integrasi)

(

dan diperoleh

v2 = 2a cos + A (6)

Jika simpangan maksimum adalah , maka pada simpangan maksimum tersebut v = 0 dan persamaan (6) menghasilkan :

0 = 2a cos  + A A = - 2a cos .

Substitusi nilai A ke persamaan (6) menghasilkan :

maka (coscos) = )}

Dengan menyatakan sin  2 perhitungan waktu dimulai dari saat m berada di simpangan maksimum.

Dari sin 

Persamaan (8) dapat ditulis ulang menjadi d = - 2 a k cos dt (8a)

Dengan demikian, dengan mengintegralkan (10) antara

2 Dari sini, periode diberikan oleh :

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

1. Obyek Penelitian

Obyek penelitian ini adalah sistem pendulum riil (sebagaimana adanya).

Pendulum yang dipelajari selama ini didasarkan pada asumsi bahwa simpangan sudut

kecil sehingga pendulum bersifat linier. Dengan asumsi tersebut mengakibatkan besar

sudut simpangan tidak berpengaruh terhadap periode ayunan. Padahal, dalam

kenyataannya, periode ayunan tergantung pada besar sudut simpangan.

2. Teknik Pengumpulan Data

Data dalam penelitian ini diperoleh melalui eksperimen. Variabel terikat yang

diamati adalah periode pendulum. Sedangkan variabel bebasnya adalah simpangan sudut

maksimum dan panjang pendulum. Dalam eksperimen ada beberapa hal yang harus

dikendalikan dengan sebaik-baiknya, antara lain tali harus kuat, ringan, halus dan tanpa

puntiran; beban pendulum harus kecil tetapi cukup berat; dan tempat eksperimen bebas

dari angin.

3. Instrumen untuk Mendapatkan Data

Instrumen yang dipergunakan untuk mendapatkan data dalam penelitian ini

berupa sistem peralatan pengukur periode pendulum. Sistem peralatan tersebut terdiri

dari pemancar cahaya (berkas cahaya sejajar dan sempit, intensitas relatif besar),

detektor cahaya (relatif peka), osilator (menghasilkan gelombang kotak dengan

frekuensi 1 Mhz presisi), tampilan dan pencatat, dan sistem pengendali pencacahan

otomatis. Sistem peralatan yang digunakan adalah rancangan dan buatan sendiri yang

dikalibrasi menurut alat ukur standar yang ada dilaboratorium fisika. Diagram

4. Teknik Analisis Data

Berkenaan dengan fenomena yang akan dipelajari melalui penelitian ini, maka

data percobaannya akan dianalisis dengan metode grafis, dan uji beda ( t atau F ).

Metode grafis untuk melihat secara global terhadap hubungan antara periode pendulum

dengan sudut simpangan maksimum. Sedangkan uji beda digunakan untuk menentukan

taraf sigifikansi terjadinya perbedaan antara hasil yang diperoleh melalui penelitian ini

dan nilai dalam tabel integral ellips.

Simpangan sudut maksimum



bandul tali

Pemancar cahaya

Detektor cahaya

Sistem pengendali pencacahan otomatis Osilator presisi

1 MHz.

Pencatat dan tampilan

BAB IV

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

1. Realisasi Instrumen Pengambilan data

telah dikemukakan sebelumnya bahwa data yang diamati pada penelitian ini

berupa besaran waktu yang menunjukkan periode ayun dari suatu pendulum. Terkait

dengan besaran tersebut maka instrumen untuk mendapatkan data pada dasarnya berupa

pencacat waktu. Sistem instrumen yang digunakan adalah rancangan dan buatan sendiri

yang dikalibrasi menurut alat ukur standar yang ada dilaboratorium fisika. Sistem

instrumen tersebut terdiri dari pemancar cahaya (berkas cahaya sejajar dan sempit,

intensitas relatif besar), detektor cahaya (relatif peka) beserta rangkaian penguatnya,

osilator (menghasilkan gelombang kotak dengan frekuensi 1 Mhz presisi), tampilan dan

pencatat, dan sistem pengendali pencacahan otomatis.

a. Pemancar dan detektor cahaya

b. Osilator

8k2

10 k 50 k

Z 3V2

C 458 A 564

100  LDR

LED

c. Tampilan

d. Sistem pengendali

7-segmen CC f g d a e b c

6 7 9 10 11 12 13 1 CD-4033 5 2, 8, 14 3, 16 15

7-segmen CC f g d a e b c

6 7 9 10 11 12 13 1 CD-4033 15 2, 8, 14 3, 16

+ Vcc

Reset Input

c g

Display Digital

100 

2k2 2k2

10 k

C 458

CD 4033

4066

4066 + 5 volt 104

7408 47 k

2. Hasil Penelitian dan Pembahasan

Persamaan (12) menunjukkan bahwa untuk panjang tali l tertenti terdapat

hubungan linier antara periode ayunan τo dan integral ellipse F(k2,

2

 _{). Nilai integral}

ellipse tersebut diperoleh dari Abramowitz dan Stegun (1972). Berikut ini adalah data

hasil penelitian :

No. Simpangan maksimum

Ψ (dalam derajat)

Periode τo

(dalam detik) k

2

F(k2, 2

 ₎

1. 5 2,698735 0,0019 1,57080

2. 10 2,709295 0,0076 1,57475

3. 15 2,714546 0,0170 1,57874

4. 20 2,720917 0,0302 1,58278

5. 25 2,736846 0,0468 1,59100

6. 30 2,749456 0,0670 1,59942

Perlu disampaikan bahwa alat ukur yang digunakan untuk mengukur periode satu

ayunan (τo) dapat mengukur hingga satuan terkecil 10-6 detik. Oleh karena itu, dalam

data hasil penelitian perolehan pengukuran periode dapat dinyatakan hingga 6 angka di

belakang koma. Tanpa alat ukur seperti yang telah dikembangkan melalui penelitian ini

sangat sulit untuk menunjukkan perbedaan periode ayunan karena perbedaan sudut

simpangan, terutama untuk perbedaan sudut ayunan yang kecil. Sebagaimana terlihat

dalam data hasil penelitian, periode ayunan hanya berbeda pada orde 10-2 detik untuk

perbedaan sudut ayunan 5 derajat. Garfik yang menyatakan periode τo sebagai fungsi

dari F(k2, 2

 _{) terlihat pada Gambar 2. Gambar 2 menunjukkan dengan jelas hubungan}

linier antara periode τo dan integral ellipse F(k2,

2

 _{). Kesesuaian antara Gambar 2}

dengan persamaan (12) menunjukkan bahwa periode ayunan (τo) memang tergantung

2,69 2,7 2,71 2,72 2,73 2,74 2,75 2,76

1,56 1,57 1,58 1,59 1,6 1,61

F(k , /2)

Pe

ri

o

d

e

(d

e

ti

k

)

Gambar 2 : Ketergantungan periode ayunan τoterhadap sudut simpangan ψ

melalui integral ellipse F(k2, 2

 ₎

Sebagai hasil samping dari penelitian ini dapat diperoleh nilai percepatan gravitasi (g) di

tempat pelaksanaan penelitian (Laboratorium Fisika, FMIPA, UNY), karena gradien

(slope) grafik pada Gambar 2 bernilai 4

g l

. Dalam penelitian ini diambil l = 189,5 cm

dan diperoleh slope = 1,740987, sehingga didapatkan nilai g = 1000,3 cm/detik2. Jika

dibandingkan dengan nilai g yang diperoleh tanpa memperhitungkan efek ketaklinieran,

yakni melalui persamaan τ = 2π

g l

, maka secara teori gtak linier memang harus lebih

besar dari pada glinier, karena secara umum 4 F(k2,

2

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

1. Kesimpulan

Melalui pengukuran periode ayunan τo dengan tingkat ketelitian 10-6 detik telah

berhasil ditunjukkan dengan jelas efek ketaklinierang pendulum, yaitu bahwa periode

ayunan τo tergantung pada besar sudut simpangan ayunan ψ.

2. Saran

Sistem alat ukur yang telah dikembangkan melalui penelitian ini dapat digunakan

untuk mengukur periode ayunan pendulum ganda. Pertama untuk menyelidiki periode

ayunan pada daerah linier, di mana hal tersebut secara teori telah dapat diperhitungkan.

Ke dua diselidiki secara empiris pendulum ganda di daerah tak linier karena secara teori

DAFTAR PUSTAKA

Abramowitz, Milton and Irene A. Stegun (ed), 1972, Handbook Of Mathematical

Functions, Dover, New York.

Derenzo, S.E., 1990, Interfacing, Laboratory Approach Using the Microcomputer for

Instrumentation, data Analysis, and Control; Prentice-Hall International Inc.

Englewood Cliffs.

Jones, M.H., 1988, A Practical Introduction to Electronic Circuits, Second Edition,

Cambridge University Press, Cambridge.

Malmstadt, H.V., Enke, C.G., Crouch, S.R., 1981, Electronics and Instrumentation for

Scientists, The Benjamin/Cumming Publishing Company Inc., California.

McLachlan, N.W., 1956, Ordinary Non-Linear Differensial Equations in Engineering