SOLUSI POSITIF DARI SISTEM SINGULAR DISKRIT

(1)

Vol.2No.3Hal. 77 – 81 ISSN : 2303–2910

c

Jurusan Matematika FMIPA UNAND

SOLUSI POSITIF DARI SISTEM SINGULAR DISKRIT

BETTY ARYANI Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

betty.aryani1503@yahoo.com

Abstrak. Misalkan matriksAadalah suatu matriks singular. Maka sistemAxn+1 = Bxn+fntidak mempunyai solusi. Hal ini disebabkan adanya kondisi awal yang tidak da-pat memberikan solusi untuk sistem. Kondisi awal yang dada-pat memberikan solusi untuk sistem disebut sebagai kondisi awal yang konsisten. Perlu diperhatikan bahwa solusixn

untuk sistem mungkin positif atau mungkin saja non positif. Solusixndikatakan positif jikaxi ≻ 0 untuk setiapi = 1,2,· · ·, n dan dikatakan non positif jikaxi 0 untuk

setiapi= 1,2,· · ·, n. Jika solusixnuntuk sistem adalah positif makaxndikatakan so-lusi positif dari sistem singular diskrit. Dalam tulisan ini akan diuraikan tentang syarat untuk kepositifan dari solusi sistem singular diskrit dengan menggunakan invers Drazin. Kata Kunci: Sistem singular diskrit, invers Drazin

1. Pendahuluan

Diberikan suatu sistem singular diskrit sebagai berikut.

Axn+1=Bxn+fn, n∈Z+, (1.1)

di mana A, B ∈ Rr×r

, dan xn, fn ∈ R r

. Notasi Rr×r

menyatakan himpunan matriks-matriks riil berukuranr×r,Rr×r

+ menyatakan himpunan matriks-matriks riil berukuran r×r yang entri-entrinya non negatif, Rr×r

− menyatakan himpunan matriks-matriks riil berukuran r ×r yang entri-entinya non positif, Rr

meny-atakan himpunan vektor berdimensi r, Z₊ _{menyatakan himpunan bilangan bulat}

non negatif, danC_{menyatakan himpunan bilangan kompleks. Sistem (1.1) disebut}

sebagai sistem singular diskrit [5].

JikaAadalah matriks non singular, maka dalam [5] telah diperoleh bahwa solusi dari sistem (1.1) adalah sebagai berikut.

xn= (A

−1

B)n

x0+

n_X−1

i=0

(A−1B)n−i−1

(A−1fi). (1.2)

Jika A adalah singular, sistem (1.1) mungkin tidak memiliki solusi. Hal ini dise-babkan adanya kondisi awal yang tidak dapat memberikan solusi untuk sistem (1.1). Kondisi awal yang dapat memberikan solusi untuk sistem (1.1) disebut sebagai kon-disi awal yang konsisten [5].

Dalam [5], Kaczoreck menyatakan bahwa jikaA adalah singular, maka sistem (1.1) mempunyai solusi untuk suatu kondisi awal yang konsistenx0, jikadet(λA−

(2)

B) 6= 0 untuk suatu λ ∈ C_{. Jika kondisi ini terpenuhi, maka solusi sistem (1.1)}

adalah

xn= (Ab D_b

B)n_b

AAbDx0+AbD

n−1

X

i=0

(AbDBb)n−i−1_b

fi−(I−AbAb D

)

k−1

X

i=0

(AbBbD)i_b

BDbfn+i,

di mana Ab= (λA−B)−1

A, Bb = (λA−B)−1

B, fbn = (λA−B)−1fn dank adalah

indeks dari matriks Ab.

Perlu diperhatikan bahwa solusixnmungkin positif dan mungkin saja non

posi-tif. Jika solusixnuntuk sistem (1.1) adalah positif untuk setiapn∈N, maka sistem

(1.1) dikatakan sistem singular diskrit positif. Dalam tulisan ini akan dikaji syarat yang menjamin agar solusi sistem (1.1) adalah positif untuk setiapn∈N_.

2. Solusi Positif dari Sistem Singular Diskrit

Pada bagian ini akan dikaji tentang bagaimana proses mendapatkan solusi posi-tif dari sistem singular diskrit. Asumsikan bahwa matriks A adalah singular dan

det(λA−B)6= 0 untuk suatu λ ∈C_{, maka terdapat} _λ _∈C _{sedemikian sehingga}

(λA−B)−1 _ada.

Dengan mengalikan sistem (1.1) dengan (λA−B)−1_{, diperoleh}

(λA−B)−1

Axn+1= (λA−B) −1

Bxn+ (λA−B)−1fn

b

Axn+1=Bbxn+bfn (2.1)

di mana

b

A= (λA−B)−1

A, Bb= (λA−B)−1

B, bfn= (λA−B)−1fn. (2.2)

Lema 2.1. [5] Untuk matriksAbdan Bb yang didefinisikan dalam persamaan (2.2) berlaku,

b

BAb=AbB.b

Bukti. Berdasarkan persamaan (2.2), diperoleh

λAb−Bb=λ(λA−B)−1

A−(λA−B)−1

B

= (λA−B)−1

(λA−B) =I,

atau dapat ditulis

b

B=λAb−I.

Akibatnya

b

BAb= (λAb−I)Ab=Ab(λAb−I) =AbB.b

Dalam Lema 2.2 berikut diberikan solusi umum dari sistem singular diskrit.

Lema 2.2. [5]Solusi umum dari persamaan (2.1) adalah

xn= (Ab D_b

B)n_b

AAbD

x0+AbD n−1

X

i=0 (AbD_b

B)n−i−1_b

fi−(I−AbAb D

)

k−1

X

i=0 (AbBbD

)i_b

BD_b

(3)

untuk n≥1, di mana k=ind(Ab).

Bukti. Untuk membuktikan bahwa (2.3) memenuhi (2.1), akan ditunjukkan bahwa

b

Axn+1−Bbxn=bfn.

Dengan mengalikan matriksAbdenganxn+1, diperoleh

b

Dengan mengalikan matriksBb denganxn , diperoleh

b

(4)

Dalam Teorema 2.3 berikut diberikan syarat cukup untuk kepositifan dari solusi sistem singular diskrit.

Teorema 2.3. [4]Misalkan A, B∈Rr×r

sedemikian sehingga

(i) Semua elemen diagonal dari matriks A,b AbD

danBb adalah tidak nol, (ii) Ab0,AbD

jika vektorx0 memenuhi,

x0

Untukn= 1, diperoleh

x0 (I−AbAb

Misalkanx0=



, sehingga diperoleh

(5)

Misalkanx0=

 

1600 1700 1800



, sehingga diperoleh

x1=

 

1629.8 1754.1 1853.1

 ,x2=

 

1674.4 1802.2 1904.5

 ,x3=

 

1719.6 1850.8 1955.9

 ,x4=

 

1765.2 1900.0 2007.8

 ,x5=

 

1811.5 1949.6 2060.3

 .

3. Ucapan Terima kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Muhafzan, Ibu Dr. Ferra Yanuar, Bapak Zulakmal, M.Si, Ibu Izzati Rahmi HG, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik.

Daftar Pustaka

[1] Anton, H. 1991. Aljabar Linier Elementer Edisi Kedelapan-Jilid 1. Penerbit Erlangga, Jakarta.

[2] Campbell, S.L. 1979. Generalized Inverses of Linear Transformation. Dover. New York.

[3] Jacob, B. 1990.Linear Algebra 1. Freeman, W.H. and Company. New York. [4] Jodar, L dan Merello, P. 2010.Positive Solution of Discrete Dynamic Leontief

Input-Output Model with Possibly Singular Capital Matrix. Mathematical and Computer Modelling.