RELASI DAN FUNGSI
Paper ini disusun untuk memenuhi syarat tugas perkuliahan
Matematika Diskrit
Oleh:
RISMAWATI
A410090016
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMADIYAH SURAKARTA
KATA PENGANTAR
Tiada kata yang pantas kita ucapkan selain kata puja dan puji syukur kehadirat ilahi rabbi yang senantiasa memberikan nikmat-Nya berupa kesehatan dan kesempatan kepada kita sehingga dalam penyusunan makalah “Matematika Diskrit” ini dapat terselesaikan sebagaimana mestinya.
Makalah ini kami susun sebagai pendukung dalam proses perkuliahan dan sebagai bahan diskusi guna menyatakan pendapat dan saran dari teman-teman namun dalam makalah ini pastilah terdapat kekurangan, oleh karena itu kritik dan saran akan kami terima demi kualitas penyusunan makalah selanjutnya.
Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua khususnya saya sendiri atau teman-teman pada umumnya.
Surakarta, 25 Oktober 2012 Penyusun
BAB I
PENDAHULUAN
Matematika diskret atau diskrit adalah cabang matematika yang membahas segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling berhubungan (lawan dari kontinyu). Objek yang dibahas dalam Matematika Diskrit seperti bilangan bulat, graf, atau kalimat logika tidak berubah secara kontinyu, namun memiliki nilai yang tertentu dan terpisah. Beberapa hal yang dibahas dalam matematika ini adalah teori himpunan, teori kombinatorial, permutasi, relasi, fungsi, rekursif, teori graf, dan lain-lain.
BAB II
PEMBAHASAN
RELASI DAN FUNGSI 1. RELASI
a. Relasi dalam Himpunan
Relasi dari himpunan A ke himpunan B, artinya memetakan setiap anggota pada himpunan A (x ∈ A) dengan anggota pada himpunan B (y ∈ B)
Relasi antara himpunan A dan himpunan B juga merupakan himpunan, yaitu himpunan yang berisi pasangan berurutan yang mengikuti aturan tertentu, contoh (x,y) ∈ R
Relasi biner R antara himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari cartesian product A × B atau R ⊆ (A × B)
b. Notasi dalam Relasi
Relasi antara dua buah objek dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan (x,y) ∈ R
Contoh: relasi F adalah relasi ayah dengan anaknya, maka: F = {(x,y)|x adalah ayah dari y}
xRy dapat dibaca: x memiliki hubungan R dengan y
c. Contoh Relasi
Humpunan A : himpunan nama orang A={Via, Andre, Ita}
Himpunan B : himpunan nama makanan B={es krim, coklat, permen}
A B
R : Relasi dengan nama “ Makanan Kesukaan “
Relasi R dalam A artinya domain dan kodomainnya adalah A
d. Cara Menyatakan Relasi
4) Tabel
Nama Makanan
Via Permen
Via Coklat
Andre Coklat
Andre Es Krim
Ita Es Krim
5) Matriks
Baris = domain Kolom = kodomain
Permen Coklat Es krim
Via 1 1 0
Andre 0 1 1
Ita 0 0 1
6) Graph Berarah
Via
Andre
Ita
[
Hanya untuk merepresentasikan relasi pada satu himpunan (bukan antara dua himpuanan).
Tiap unsur himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex)
Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc).
i. Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a
ke simpul b.
ii. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex)
iii. Simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex)
iv. Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut
loop
Contoh graph berarah
Misalkan R = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.
7) Latihan 1
Z = {1,2,3,4};
R = {(x,y)|x > y ; x ∈ Z dan y ∈ Z} Nyatakan relasi tersbut dalam bentuk
a) Himpunan pasangan berurutan b) Matrix
1) Refleksif
Sebuah relasi dikatakan refleksif jika sedikitnya: x ∈ A, xRx Minimal
2) Transitif
Sebuah relasi dikatakan bersifat transitif jika: xRy , yRz => xR ; (x,y, z) ∈ A
Contoh: R = {(a,d),(d,e),(a,e)} 3) Simetrik
Sebuah relasi dikatakan bersifat simetris jika: xRy, berlaku pula yRx untuk (x dan y) ∈ A Contoh:
A={a,b,c,d}
R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)} 4) Asimetrik
Relasi asimetrik adalah kebalikan dari relasi simetrik Artinya (a,b) ∈ R, (b,a) ∉ R
Contohnya: R = {(a,b), (a,c), (c,d)} 5) Anti Simetrik
Relasi R dikatakan antisimetrik jika, untuk setiap x dan y di dalam A; jika xRy dan yRx maka x=y
6) Equivalen
b) Simeteris c) Transitif
7) Partially Order Set (POSET)
Sebuah relasi R dikatakan terurut sebagian (POSET) jika
a) A={1,2,3,4} Sebutkan sifat untuk relasi < pada himpunan A ! b) Apakah relasi berikut asimetris, transitif?
R = {(1,2),(3,4),(2,3)}
c) Apakah R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(c,c)} refleksif?
d) R merupakan relasi pada himpunan Z, yang dinyatakan oleh aRb jika dan hanya jika a=b atau a= –b
Periksa, apakah relasi tersebut merupakan relasi ekivalen !
f. Operasi dalam Relasi
Operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan penjumlahan (beda setangkup) juga berlaku pada relasi
R1 − R2 = {(b, b), (c, c)}
R2 − R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}
R1 ⊕ R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}
2) Operasi dalam bentuk matriks
Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan
oleh matriks
Maka
g. Komposisi Relasi Misalkan :
R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B T adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.
Komposisi R dan S, dinotasikan dengan T ο R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh :
T ο R = {(a, c) | a ∈ A, c ∈ C, dan untuk suatu b ∈ B sehingga (a, b) ∈
R dan (b, c) ∈ S } Contoh komposisi relasi
Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan C = {s, t, u}
Relasi dari B ke C didefisikan oleh : T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}
Maka komposisi relasi R dan T adalah
T ο R = {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}
2. FUNGSI
a. Fungsi dari Himpunan
Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi
Sebuah relasi dikatakan fungsi jika xRy, untuk setiap x anggota A memiliki tepat satu pasangan, y, anggota himpunan B
Kita dapat menuliskan f(a) = b, jika b merupakan unsur di B yang dikaitkan oleh f untuk suatu a di A.
Ini berarti bahwa jika f(a) = b dan f(a) = c maka b = c.
Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat menuliskan dalam bentuk : f : A → B
artinya f memetakan himpunan A ke himpunan B.
Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.
b. Domain, Kodomain, dan Jelajah f : A → B
Misalkan f(a) = b,
maka b dinamakan bayangan (image) dari a, dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f dinamakan jelajah (range) dari f.
c. Penulisan Fungsi
1) Himpunan pasangan terurut.
Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} maka fungsi itu dapat dituliskan dalam bentuk :
f = {(2, 4), (3, 9)}
2) Formula pengisian nilai (assignment) f(x) = x2 + 10,
f(x) = 5x
d. Jenis-jenis Fungsi 1) Fungsi Injektif
Fungsi satu-satu
Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk sembarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1)
2) Fungsi Surjektif Fungsi kepada
Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b.
Suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan range-nya (semua kodomain adalah peta dari domain).
3) Fungsi Bijektif
Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B.
4) Fungsi Invers
Fungsi invers merupakan kebalikan dari fungsi itu sendiri
f : A ® B di mana f(a) = b
f –1: B ® A di mana f –1(b) = a
Catatan: f dan f –1 harus bijective
e. Operasi Fungsi
(f + g)(x) = f(x) + g(x) (f . g)(x) = f(x) . g(x) Komposisi:
(f o g)(x) = f(g(x))
f. Latihan 3 f(x) = x2 + 1
g(x) = x + 6 Tentukan:
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Kesimpulannya matematika disktrit adalah bagian dari matematika yang mempelajari objek-objek diskrit. Di sini objek-objek diskrit diartikan sebagai objek-objek yang berbeda dan saling lepas. Relasi dan fungsi merupakan bagian dari matematika diskrit yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Dengan mempelajari relasi dan fungsi tidak akan terjadi kesalahpahaman dan memudahkan manusia dalam berkehidupan.
B.SARAN-SARAN
DAFTAR PUSTAKA
yenikustiyahningsih.files.wordpress.com/.../matdis-4-relasi-dan-fungsi ...
