Hukum Gravitasi Newton dan Hukum Keppler

(1)

Hukum Gravitasi Newton dan Hukum Keppler dalam Model Randall – Sundrum

Azrul Azwar

Program Studi Fisika, FMIPA, Universitas Tanjungpura

Jalan Jendral Ahmad Yani Pontianak 78124

Abstrak

Telah dilakukan kajian terhadap model Randall – Sundrum yang difokuskan untuk mendapatkan perumusan hukum gravitasi Newton dan hukum Keppler dalam model tersebut. Dari kajian ini diperoleh bahwa hukum gravitasi Newton mengalami modifikasi. Modifikasi ini menjadi signifikan pada jarak yang sangat dekat. Penerapannya pada hukum Keppler memberikan perubahan pada hubungan antara periode dan jarak planet.

Kata Kunci : Randall-Sundrum, Dimensi Ekstra, Brane, Gravitasi.

1. Pendahuluan

Saat ini telah banyak dikembangkan model alam semesta dengan dimensi tambahan (extra dimension) [1-3]. Salah satu model yang cukup populer adalah model Randall – Sundrum [2,3]. Model ini telah digunakan dalam fisika partikel untuk menjelaskan masalah hirarki massa berdasarkan kehadiran dimensi ekstra yang melengkung [2,3]. Selain itu penerapannya pada kosmologi mengahasilkan model yang konsisten dengan model kosmologi standar pada level energi rendah (kondisi alam semesta saat ini) dan hanya berbeda pada level energy tinggi

(awal alam semesta) [4-6].

Salah satu permasalahan dalam model dengan dimensi tambahan adalah belum adanya bukti eksperimental keberadaan dimensi tambahan tersebut. Secara teoritis, kehadiran dimensi tambahan ini dapat dibuktikan dengan mengamati penyimpangan pada hukum gravitasi, karena gravitasi

merupakan dinamika dari ruang-waktu itu sendiri. Dalam tulisan ini akan dibahas tentang modifikasi hukum Keppler dalam model Randall – Sundrum. Adanya modifikasi ini diharapkan dapat diamati secara ekperimental melalui observasi periode gerak planet sehingga menjadi bukti keberadaan dimensi tambahan.

2.Model Randall – Sundrum

(2)

merupakan dinamika dari seluruh ruang-waktu dan dimediasi oleh graviton dapat bergerak dalam Bulk [2-5].

Dalam model Randall–Sundrum, ruang-waktu bulk bersifat lengkung, yang dipilih berbentuk ruang-waktu Anti-de Sitter berdimensi lima. Ruang-waktu ini merupakan ruang–waktu bersimetri maksimal dengan konstanta kosmologi bernilai negatif. Sedangkan brane memiliki tegangan (tension)



, dan dianggap memiliki simetri refleksi



Z Z



Z2   , serupa dengan model Horava-Witten [2-5].

Geometri model Randall – Sundrum dinyatakan oleh metrik [2,3]

(1)

dengan , disini adalah konstanta kosmologi. Metrik (1) di atas menyatakan geometri ruang – waktu berdimensi lima dengan kelengkungan konstan sebesar

(2)

Sedangkan faktor disebut sebagai faktor kelengkungan. Pada titik z = 0 faktor kelengkungan ini bernilai 1 dan metrik (1) di atas akan menjadi ruang-waktu Minkowski.

3. Gravitasi Newton dalam Model Randall – Sundrum

Untuk memperoleh gravitasi Newtonian dalam model Randall-Sundrum dapat dilakukan dengan memberikan perturbasi linear terhadap metrik. Tinjau fluktuasi kecil gravitsi gAB pada metrik gAB, sehingga fluktuasi kecil dalam “dunia” empat dimensi

yang diberikan oleh metrik hx,Z, kondisi Randall-Sundrum gauge ( transverse-traceless gauge) [2], maka akan diperoleh diselesaikan dengan metode separasi variabel, karena bagian non-trivial dari

ke dalam persamaan (5) sehingga diperoleh

 

x e



Z k  Z k



 Z

Persamaan (7) dapat diselesaikan apabila ruas kiri sama dengan ruas kanan, sama-sama bernilai konstan, dipilih 2 0



m , sehingga

akan diperoleh dua persamaan diferensial yang saling terkait, yaitu:

(3)

Dalam kerangka statik dengan simetri rotasi pada 3-brane seperti alam semesta kita, persamaan (8) dalam sistem koordinat bola

merupakan fungsi dari r saja.

Apabila dipilih m0, yaitu untuk kasus tak bermassa (mode ke-nol), maka persamaan (10) di atas akan menjadi persamaan Laplace, yaitu

0

yang memiliki solusi umum berbentuk

 

B

r A r  

0 (12)

Untuk sumber titik yang terletak padar 0, konstanta integrasi A dapat dipilih

sehingga cocok dengan gravitasi Newtonian antara dua partikel bermassa m1 dan m2

pada brane yang terletak di titik Z 0

 

Persamaan (13) di atas menunjukkan bahwa model Randall – Sundrum dapat menghasilkan hukum gravitasi Newton. Dalam pandangan model ini, gravitasi Newton pada brane dibangkitkan oleh pertukaran mode ke nol yang merupakan graviton tak bermassa.

Untuk kasus m0 di atas, persamaan (9) akan menjadi

 

yang memiliki solusi berbentuk

 Z 0exp



2kZ



 (16)

yang memenuhi kondisi syarat batas pada 0



Z melalui integrasi persamaan (15) pada selang Z  untuk



yang

memberikan nilai konstanta normalisasi sebesar



₀



2 k

, sehingga solusi (16) akan menjadi

 Z  2kexp



2kZ



 (18)

Persamaan (18) akan menuju nol secara cepat ketika Z _{membesar, dan akan memiliki} karena potensial Kazula-Klein turun menuju nol ketika Z   , sehingga keadaan measure menjadi dm. Dengan menggunakan spektrum eigen ini, maka dapat dihitung koreksi terhadap potensial gravitasi Newton

 r

 antara dua partikel bermassa m1 dan

2

m _{pada brane yang terletak di}_Z=_{0 yang}

(4)

Konstanta integrasi A dapat dipilih berbentuk memberikan koreksi terhadap gravitasi Newtonian yang diberikan oleh persamaan

 

Koreksi ini akan signifikan untuk level energi tinggi sekitar ₁_/k2 ₁₀8GeV

 . Pada level

energi rendah model Randall-Sundrum secara konsisten identik dengan gravitasi Newton.

4. Modifikasi Hukum Keppler

Adanya modifikasi pada hukum Newton yang diberikan oleh persamaan (22) akan menyebabkan modifikasi pada hukum Keppler. Untuk mendapatkan hukum Keppler dari model Randall-Sundrum, tinjau kembali persamaan energi potensial gravitasi yang diberikan oleh persamaan (22)

 

 bermassa m1 dan m2 dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan menggambarkan hubungan antara periode dan jarak planet, yang diberikan oleh

Persamaan menunjukkan adanya koreksi terhadap periode orbit planet. Adanya koreksi ini memberikan peluang untuk memverifikasi kehadiran dimensi ke lima, yaitu dengan mengukur perbedaan periode planet yang diprediksi oleh hukum Newton dengan yang diprediksi oleh persamaan (24).

5. Kesimpulan

Dari analisis di atas dapat disimpulkan bahwa model Randall-Sundrum menghasilkan hukum gravitasi Newton dan hukum Keppler yang termodifikasi. Modifikasi ini signifikan pada level energi yang sangat tinggi.

Daftar Pustaka

[1] N. Arkani-Hamed, S. Dimopulos dan G. Dvali. Phys. Lett. B 429, 263 (1998)

[2] L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83, 3370 (1999)

(5)

[4] D. Langlois, Prog. Theor. Phys. Suppl. 148, 181 (2003)