Capacit´
e Associe´
e a un Courant Positif Ferm´
e
Dabbek Khalifa et Elkhadhra Fredj
Received: December 12, 2005 Revised: July 24, 2006 Communicated by Thomas Peternell
Abstract. Let Ω be an open set of Cn and T be a positive closed current of dimension p≥1 on Ω, we define a capacity associated to
T by :
CT(K,Ω) =CT(K) = sup
Z
K
T∧(ddcv)p, v∈psh(Ω), 0< v <1
whereK is a compact set of Ω.
We prove, in the same way as Bedford-Taylor, that a locally boun-ded plurisubharmonic function is quasi-continuous with respect toCT.
In the second part we define the convergence relatively toCT and we
prove that if (uj) is a family of locally uniformly bounded
plurisubhar-monic functions anduis a locally bounded plurisubharmonic function such thatuj →urelatively to CT then T∧(ddcuj)p →T∧(ddcu)p
in the current sense.
2000 Mathematics Subject Classification: 32C30 ; 31C10 ; 31A15 ; 32W20.
Keywords and Phrases: courant positif, plurisousharmonique , capa-cit´e, operateur de Monge Amp`ere.
1 Introduction
Soient Ω un ouvert deCn, K un compact de Ω etT un courant positif ferm´e
de dimension p≥1 sur Ω. On note psh(Ω) l’ensemble de fonctions plurisou-harmonique sur Ω etL∞
loc(Ω) l’ensemble de fonctions localement born´ees. On
d´efinit la capacit´e deK (dans Ω) relativement `a T par :
CT(K,Ω) =CT(K) = sup
Z
K
T∧(ddcv)p, v∈psh(Ω), 0< v <1
Th´eor`eme 1.1 Soient Ω un ouvert born´e de Cn,u ∈psh(Ω)∩L∞
loc(Ω) et T
un courant positif ferm´e sur Ω de dimension p≥1. Alors pour tout ε >0, il existe un ouvert OdeΩtel queCT(O,Ω)< εetusoit continue sur Ω\ O.
Ce r´esultat est prouv´e dans [Be-Ta] pourT = 1. L’int´erˆet de ce th´eor`eme est dˆu en partie au r´esultat suivant, qui constitue une g´en´eralisation d’un th´eor`eme de [Be-Ta].
Th´eor`eme 1.2 (th´eor`eme de Comparaison) SoientΩun ouvert born´e de
Cn, T un courant positif ferm´e de dimension p≥1 sur Ω,u etv ∈psh(Ω)∩
L∞(Ω).Supposons que :
lim inf
ξ→∂Ω(u(ξ)−v(ξ))≥0
Alors on a :
Z
{u<v}
T∧(ddcv)p≤Z
{u<v}
T ∧(ddcu)p
Dans la deuxi`eme partie on d´efinit la notion de convergence par rapport `aCT.
On dit queuj converge vers upar rapport `a CT sur E si pour tout δ >0, on
a :
lim
j→+∞CT
z∈E; |uj(z)−u(z)|> δ ,Ω
= 0
On montre q’une suite de fonctions psh localement born´ee d´ecroissante vers une fonction psh est convergente par rapport `aCT :
Th´eor`eme 1.3 Soient Ω un ouvert born´e de Cn, T un courant positif ferm´e sur Ωde dimension p≥1,uj etudes fonctions psh, localement born´ees sur Ω telles queuj =usur un voisinage de ∂Ω, (uj) d´ecroissante versu, alors(uj) converge versupar rapport `aCT.
Comme application nous g´en´eralisons des r´esultats de [Be-Ta] et de [Xi] sur l’op´erateur de Monge-Amp`ere. Le th´eor`eme principale de cette partie est le suivant :
Th´eor`eme 1.4
Soient (uj)j une suite de fonctions psh localement uniform´ement born´ees et u∈psh(Ω)∩L∞
loc(Ω), on a :
a)Siuj converge versupar rapport `aCT sur chaqueE⊂⊂Ω, alors le courant T∧(ddcu
j)p converge au sens des courants vers T∧(ddcu)p.
b)Supposons qu’il existeE⊂⊂Ωtel que∀j, uj=usurΩ\E et que les suites uT∧(ddcu
j)p, ujT∧(ddcu)p etujT∧(ddcuj)pconvergent au sens des courants vers uT∧(ddcu)p alorsu
2 Capacit´e associe´e a un courant positif ferm´e
D´efinition 2.1
Soient Ωun ouvert de Cn, K un compact de Ωet T un courant positif ferm´e
de dimensionp≥1sur Ω, on d´efinit la capacit´e de K(dansΩ) relativement `a T par :
CT(K,Ω) =CT(K) = sup
Z
K
T∧(ddcv)p, v∈psh(Ω), 0< v <1
Pour tout E⊂Ω, on pose :
CT(E,Ω) = sup{CT(K), K compact, K⊂E}
Proposition 2.2
1) Si E est un bor´elien, on a :
CT(E,Ω) =CT(E) = sup
Z
E
T∧(ddcv)p, v∈psh(Ω), 0< v <1
2) Si E1⊂E2, alors CT(E1,Ω)≤CT(E2,Ω).
3) Si E⊂Ω1⊂Ω2, alors CT(E,Ω1)≥CT(E,Ω2).
4) Si E1, E2. . . sont des ensembles bor´eliens dansΩ, on a :
CT
[
j≥1
Ej,Ω
≤
+∞ X
j=1
CT(Ej,Ω).
5) Si E1⊂E2⊂ · · ·sont des ensembles bor´eliens dans Ω, alors :
CT
[
j≥1
Ej,Ω
= lim
j→+∞CT(Ej,Ω).
6) Si f : Ω1 7→ Ω2 est une fonction holomorphe, propre sur SuppT et O un
ouvert deΩ2, alors :
Cf∗T(O,Ω2)≤CT(f
−1(O),Ω 1)
et l’´egalit´e a lieu sif est un biholomorphisme.
D´emonstration.Pour 1)→5), on proc`ede comme [Be-Ta] ; pour 6) on sup-pose que 0≤v≤1 est psh, de classeC∞sur Ω
2, on a :
Z
O
f∗T ∧(ddcv)p = Z
Ω2
f∗T ∧(1lO(ddcv)p)
= Z
Ω1
T∧(1lO◦f)(ddc(v◦f))p
= Z
f−1(O)
T∧(ddc(v◦f))p≤C
Pour obtenir ces ´egalit´es il suffit de remplacer 1lO par une suite de fonctions de classeC∞ ϕ
k↑1lO.Dans le cas g´en´eral, on prendvε↑v une r´egularisation
de v et en utilisant le fait que : Z
O
f∗T∧(ddcv)p ≤ lim
ε→0
Z
O
f∗T∧(ddcvε)p. Si
f est un biholomorphisme, on a de mˆeme
CT(f−1(O),Ω1) =Cf−1 ∗ (f∗T)(f
−1(O),Ω
1)≤Cf∗T(O,Ω2).
Dans 6),l’in´egalit´e peut ˆetre stricte, en effet si f est l’´eclatement de centre 0,
T = [E] le courant d’int´egration sur l’ensemble exceptionnelE=f−1(0).
Problemes ouverts :
1) Si· · · ⊂K2⊂K1 est une suite d´ecroissante de compacts de Ω, alors d’apr`es
la proposition 2.2,CT(Kj) est d´ecroissante. A-t-onCT(∩Kj) = lim
j→+∞CT(Kj)? 2) A-t-on l’´egalit´e : ˜CT ≡CT?, o`u on a pos´e
˜
CT(K) = sup
Z
K
T ∧(ddcv)p, v∈psh(Ω,[0,1]), v|K∩suppT≡0
3) Soit K un compact de Ω, existe-t-il udans psh(Ω,[0,1]), telle que l’on ait
CT(K) =
Z
K
T∧(ddcu)p ?
4) D´efinition : Un ensembleA⊂Ω est ditT−pluripolaire dans Ω siCT(A,Ω) =
0.
Aest dit localementT−pluripolaire si, pour toutadansA, il existe un voisinage ouvertV deadans Ω tel queA∩V estT−pluripolaire dansV.
Un ensemble localementT−pluripolaire est-ilT−pluripolaire dans Ω ? Caract´eriser les ensemblesT−pluripolaires dans Ω ?
Remarques.
(i) Si T = [X] est le courant d’int´egration sur un sous-ensemble analytique
X de dimension pure p, O un ouvert de Ω et RegX l’ensemble des points r´eguliers deX. En utilisant l’´egalit´e
Z
O
[X]∧(ddcv)p=Z
O∩RegX
(ddc(i∗v))p o`u
v∈psh(Ω,[0,1]),eti:X ֒→Ω,est l’injection canonique, on a :
Oest localement[X]−pluripolaire⇐⇒
RegX∩ O est localement pluripolaire dansRegX
On remarque que si T est un courant positif ferm´e de dimension p ≥ 1 et
νT(x)>0 ∀x∈X, alors un ouvert localementT−pluripolaire coupe RegX en
un ouvert localement pluripolaire dans RegX.
(ii) Siwest une fonction psh, born´ee etAun bor´elienT−pluripolaire, alorsA
estT∧(ddcw)k−pluripolaire pour tout 0≤k≤dimT. En effet, il est facile de
voir qu’il existeα >0 telle que
En particulier si T = 1, on retrouve le fait que le courant (ddcw)k ne charge
on fait tendre j0 vers +∞ puis on passe au sup sur tout les fonctions v psh
telle que 0≤v≤1.
Le r´esultat suivant est une cons´equencce directe de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz qui sera utile dans la suite.
o`uχ=T ∧ddcw
1∧. . .∧ddcwp−1
D´emonstration.On remarque que l’application (u, v)7→R
Ωψdu∧d
cv∧χest
une forme bilin´eaire sym´etrique et positive surC∞(Ω)× C∞(Ω). La proposition 2.3 se justifie alors par application de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz au couple (u1−u2, v1−v2) o`uui, vi∈psh(Ω)∩ C∞(Ω). Dans le cas g´en´eral, on proc`ede
par r´egularisation.
Th´eor`eme 2.4 Soient Ω un ouvert born´e de Cn, T un courant positif ferm´e sur Ω de dimension p≥1, uj etu des fonctions psh, localement born´ees sur
Ω telles que uj = u sur un voisinage de ∂Ω, (uj) d´ecroissante vers u, alors ∀ δ >0 on a :
lim
j→+∞CT
{z∈Ω, uj(z)> u(z) +δ}
= 0 .
D´emonstration.Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer queδ= 1. Posons Ωj ={z ∈Ω, uj(z) > u(z) + 1} et choisissons un ouvert W de sorte
que{uj 6=u} ⊂ W ⊂⊂Ω.Soitv∈psh(Ω,[0,1]), on a :
Z
Ωj
T∧(ddcv)p≤Z
W
(uj−u)T∧(ddcv)p=−
Z
W
d(uj−u)∧dcv∧T∧(ddcv)p−1.
D’apr`es la proposition 2.3, l’int´egrale `a droite est major´ee par
C
Z
W
d(uj−u)∧dc(uj−u)∧T∧(ddcv)p−1
12 ,
o`u C = (R
WT ∧dv∧dcv∧(ddcv)p−1)
1
2 ≤ M < ∞ et M est une constante
ind´ependante dev d’apr`es l’in´egalit´e de Chern.Levine.Nirenberg (cf.[C.L.N]). Appliquons encore une fois la formule de Stokes, on obtient
Z
W
d(uj−u)∧dc(uj−u)∧T∧(ddcv)p−1
= −
Z
W
(uj−u)T∧ddc(uj−u)∧(ddcv)p−1
= Z
W
(u−uj)T∧(ddcuj−ddcu)∧(ddcv)p−1
≤
Z
W
(uj−u)T∧ddcu∧(ddcv)p−1
Il s’ensuit alors :
Z
Ωj
T∧(ddcv)p≤C( Z
W
(uj−u)T∧ddcu∧(ddcv)p−1)
1 2
La puissance deddcvdiminue de 1,on r´ep´ete ensuite le proc´ed´e (p−1)-fois, dans
la proposition 2.3, on obtient finalement une majoration de Z
Ωj
T∧(ddcv)ppar :
B
Z
Ω
(uj−u)T∧(ddcu)p
21p
,
o`uB est une constante ind´ependante dej et dev. Donc lim
j→+∞CT(Ωj) = 0.
Comme cons´equence du th´eor`eme 2.4, on montre qu’une fonction psh, locale-ment born´ee sur un ouvert born´e Ω est continue si on retire de Ω un ouvertO
de capacit´eCT−arbitrairement petite. Plus pr´ecisement, on a
Th´eor`eme 2.5 Soient Ω un ouvert born´e de Cn,u ∈psh(Ω)∩L∞
loc(Ω) et T
un courant positif ferm´e sur Ω de dimension p≥1. Alors pour tout ε >0, il existe un ouvert OdeΩtel queCT(O,Ω)< εetusoit continue sur Ω\ O.
D´emonstration.D’apr`es 3) et 4) de la proposition 2.2, on peut supposer que Ω ={ρ <0}est strictement pseudoconvexe etuborn´ee au voisinage de Ω. Soit (uj) une suite de fonctions psh, de classeC∞qui d´ecroit versudans un voisinage
de Ω. Par r´etr´ecissement de Ω et en rempla¸cantuj parmax(uj, Aρ+B) etu
parmax(u, Aρ+B), on peut supposer queuj =u=Aρ+B au voisinage de ∂Ω pourAetB >0 convenablement choisis (pour plus de d´etails voir [Be-Ta]). D’apr`es le th´eor`eme 2.4, pour toutl∈N∗, il existe jltel que :
O′l={ujl> u+ 1/l} ⊂Ω ; CT(O
′
l)<2−l.
Fixons un entierktel que 2−k< εet posons :G
k =∪l≥kO′l. La suite (ujl) est
d´ecroissante vers uuniform´ement sur Ω\Gk, donc uest continue sur Ω\Gk
et d’apr`es 3) de la proposition 2.2, on obtient
CT(Gk,Ω)≤Pl≥kCT(O′l,Ω)<2−k< ε
Remarques.
1) Si X est un sous-ensemble analytique, alors le th´eor`eme classique de [Be-Ta] ne donne aucune information sur la r´egularit´e de la fonctionusurX (i.eu
peut ˆetre discontinue surXtout entier). En appliquant 2.5 au courantT = [X],
nous obtenons un r´esultat plus pr´ecis :uest continue surX priv´e de l’ensemble
O ∩X qui est de volume arbitrairement petit dansX. 2) Le th´eor`eme 2.5 est faux si on enl`eve l’hypoth`eseu∈L∞
loc(Ω), et ce au vu
du contre-exemple suivant :
Ω = ∆2⊂C2; T = [z
1= 0]; u(z1, z2) = log|z1|.
3) Si l’on suppose de plus queT est assez r´egulier, c’est-`a-dire pour toutupsh
lim
j→+∞CT
comme c’est le cas des courants `a co´efficients localement born´es, alors on peut g´en´eraliser 2.5 pouruseulement psh sur Ω.
L’int´erˆet du th´eor`eme 2.5 est dˆu en partie au r´esultat suivant, qui constitue une g´en´eralisation d’un th´eor`eme de [Be-Ta].
Th´eor`eme 2.6 (th´eor`eme de Comparaison) SoientΩun ouvert born´e de
Cn, T un courant positif ferm´e de dimension p≥1 sur Ω,u etv ∈psh(Ω)∩
L∞(Ω).Supposons que :
lim inf
ξ→∂Ω(u(ξ)−v(ξ))≥0
Alors on a : Z
{u<v}
T∧(ddcv)p≤Z
{u<v}
T ∧(ddcu)p
D´emonstration. On commence d’abord par l’´etude du cas o`u u et v sont continues. Quitte `a travailler sur l’ouvert{u < v}, on peut supposer que Ω =
{u < v}et u=v sur∂Ω. Soitvε= max(v−ε, u), vε=udans un voisinage de ∂Ω.
D’apr`es Stokes, on a :
Z
Ω
T∧(ddcv ε)p=
Z
Ω
T∧(ddcu)p
quand ε ց 0, vε converge uniformement vers v, donc T ∧(ddcvε)p converge
faiblement versT ∧(ddcv)p. Soit (ϕ
n)n∈N une suite dans D(Ω) qui croit vert la fonction caracteristique de Ω, on trouve :
Z
Ω
ϕnT∧(ddcvε)p≤
Z
Ω
T∧(ddcv ε)p=
Z
Ω
T ∧(ddcu)p
On finit la preuve en faisant ε→0 etn→+∞dans cet ordre.
Nous ´etudions maintenant le cas g´en´eral. Quitte `a remplaceru paru+ 2δ et faire tendreδ vers 0, on peut supposer que :
lim inf
ξ→∂Ω(u(ξ)−v(ξ))≥2δ >0
Dans ce cas, il existe un ouvert O ⊂⊂Ω tel que : u(z)≥v(z) +δ pour tout
z∈Ω\ O.Choisissons deux suites de fonctionsuk etvj Psh, de classeC∞qui
d´ecroissent respectivement versuetv dans un voisinage de Oet de sorte que pour toutj≥k, on auk≥vj sur∂O.D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on a :
Z
{uk<vj}
T∧(ddcv j)p≤
Z
{uk<vj}
T∧(ddcu
k)p (2.6.1)
Soitε >0 etGun ouvert de Ω, tel queCT(G,Ω)< εetu, v sont continues sur
Ω\G.
in´egalit´e se justifie par (2.6.1).
Comme{uk < vj} ↓ {uk ≤v},{uk< v} ↑ {u < v}, on obtient :
La 3eme` in´egalit´e se justifie par l’inclusion{u
k < v} \G⊂ {u < v} \G.
D’apr`es (2.6.3), on obtient :
Z
{u<v}
T∧(ddcv)p≤Z
{u≤v}
Commeεest arbitraire, on en d´eduit l’in´egalit´e
Z
{u<v}
T∧(ddcv)p≤
Z
{u≤v}
T ∧(ddcu)p
Pour achever la preuve, il suffit de rempla¸cer u paru+η et d’utiliser le fait que{u+η < v} ↑ {u < v}siη ↓0 et que{u+η≤v} ↑ {u < v}siη↓0.
Remarque. Ce th´eor`eme reste vrai si on suppose que u et v sont dans psh(Ω)∩L∞(Ω\K) avec K = {v = −∞} ⊂ {u = −∞} ⊂⊂ Ω. En effet : On suppose d’abord que u et v sont continues sur Ω \ {v = −∞}. Soient
us= max(u,−s); vs= max(v,−s), alors pours≫, us =u, vs=v au
voisi-nage de∂Ω. D’apr`es 2.6, on a
Z
{us<vs}
T ∧(ddcv s)p≤
Z
{us<vs}
T∧(ddcu s)p
Comme{us< vs}={u < v} \ {v≤ −s} ↑ {u < v} \K, on a
Z
{u<v}\K
T ∧(ddcv)p≤ lim s→+∞
Z
{us<vs}
T ∧(ddcv s)p
D’autre part, l’ensemble{us< vs} ⊂Fs={u≤v} \ {v <−s}est un ferm´e de
Ω et vu queFs↑ {u≤v} \K, on obtient
lim
s→+∞ Z
{us<vs}
T ∧(ddcus)p≤ lim s→+∞
Z
Fs
T∧(ddcus)p≤
Z
{u≤v}\K
T∧(ddcu)p
Le r´esultat se d´eduit ais´ement, en rempla¸cant uparu+η et en faisant tendre
η vers 0. Le cas g´en´eral se traite par r´egularisation des fonctionsuetv.
Corollaire 2.7 (principe de domination) Soient Ω un ouvert born´e de Cn, uetv∈psh(Ω)∩L∞(Ω). Supposons que :
i) lim
ξ→∂Ωinf(u(ξ)−v(ξ))≥0;
ii)T∧(ddcu)p≤T∧(ddcv)p;
Alorsu≥v en dehors d’un ensemble kTk−n´egligeable.
D´emonstration.Sans perte de g´en´eratit´e, on peut supposer que Ω ={ρ <
0} o`u ρ est une fonction C∞, strictement psh qui d´efinie Ω. Supposons que
kTk {u < v}
>0, alors il existeε >0 tel quekTk {u < v+ερ}
>0. D’apr`es 2.6, on a :
Z
{u<v+ερ}
T∧(ddcv+ερ)p≤Z
{u<v+ερ}
T∧(ddcu)p≤Z
{u<v+ερ}
T∧(ddcv)p
D’o`u :
εpZ
{u<v+ερ}
T∧(ddcρ)p+Z
{u<v+ερ}
T∧(ddcv)p≤Z
{u<v+ερ}
cela se contredit avec le fait que kTk {u < v+ερ}
>0.
Application. Dans plusieurs probl`emes on est amen´e a contrˆoler la masse
d’un produit de Monge-Ampere mixte ( Z
Ω
T ∧(ddcu)j∧(ddcv)p−j) par celles
des produits homog`enes ( Z
Ω
T∧(ddcu)p et
Z
Ω
T ∧(ddcv)p), en appliquant le
th´eor`eme de comparaison on a r´eussit `a faire ¸ca dans certains cas (Proposition 2.9).
Soit ϕ une fonction continue, psh sur Ω et semi-exhaustive sur SuppT i.e il existe un nombre r´eel R tel que B(R)∩SuppT⊂⊂ Ω,o`u B(R) = {ϕ < R}. Pour r∈]− ∞, R[,on note :
B(r) ={z∈Ω;ϕ(z)< r}, S(r) ={z∈Ω;ϕ(z) =r}, ϕr= max(ϕ, r)
L’applicationr7→T∧(ddcϕ
r)p, `a valeurs dans l’espace des mesures sur Ω muni
de la topologie faible, est continue sur ]−∞, R[.Comme la mesureT∧(ddcϕ r)p
est nulle surB(r) et co¨ıncide avecT∧(ddcϕ)p sur Ω\B(r), on peut associer `a T etϕune collection de mesure positivesµT,ϕ,rport´ees par les ensemblesS(r)
de la fa¸con suivante :
µT,ϕ,r=T∧(ddcϕr)p−1lΩ\B(r)T∧(ddcϕ)p
Siϕest de classeC∞ etrune valeure r´eguli`ere deϕ,µ
T,ϕ,r=T∧(ddcϕ)p−1∧
dcϕ
|S(r). Pour s > r,on a :
Z
B(s)
T∧(ddcϕ
r)p−T ∧(ddcϕ)p
= 0. Donc la
masse totale µT,ϕ,r(S(r)) = µT,ϕ,r(B(s)) co¨ıncide avec la diff´erence entre les
masses deT∧(ddcϕ)p et 1l
Ω\B(r)T ∧(ddcϕ)p surB(s) i.e :
µT,ϕ,r(S(r)) =µT,ϕ,r(B(s)) =
Z
B(r)
T∧(ddcϕ)p
On remarque que sir→r−0 (r0< R), alors 1lΩ\B(r) converge simplement vers
1lΩ\B(r0).Ceci veut dire que l’applicationr7→µT,ϕ,rest continue faiblement `a
gauche.
Pour montrer la Proposition 2.9 on a besoin du lemme suivant
Lemme 2.8 Soit ψ une fonction psh, n´egative et continue sur Ω, alors pour touts≥1,(−ψ)s estµ
T,ϕ,r−int´egrable et on a :
µT,ϕ,r((−ψ)s) =
Z
B(r)
(−ψ)sT∧(ddcϕ)p
+ Z
B(r)
Preuve.On proc`ede comme Demailly (cf.[De]). On suppose d’abord queϕet
ψsont de classe C∞, alors comme les deux membres de (2.8.1) sont continus `a gauche, il suffit d’appliquer la formule de Stokes en utilisant l’´egalit´eµT,ϕ,r= T ∧(ddcϕ)p−1∧dcϕ
k)p−1converge faiblement
versT ∧ddc(−ψ)s∧(ddcϕ)p−1,et que 1l
B(r)(r−ϕ) est une fonction continue
`a support compact. Il en r´esulte que l’int´egrale Z
dans le compact B(r), il s’ensuit que l’int´egrale
Z
Supposons maintenant queϕetψsont continues et choisissonsψk↓ψpsh, de
classeC∞,d’apr`es ce qui pr´ec`ede, on a :
Le terme `a gauche co¨ıncide avec Z
Proposition 2.9 SoientΩun ouvert born´e deCn,T un courant positif ferm´e
D´emonstration.On reprend la d´emonstration de [Ce-Pe], on montre d’abord
que :
D’apr`es l’hypoth`ese suruetv et le lemme, on en d´eduit alors,
Par application de l’in´egalit´e de H¨older, on obtient
Z
Ω
(−v)sT∧(ddcv)j∧(ddcu)p−j
= Z
Ω
uddc(−v)s∧T ∧(ddcv)j∧(ddcu)p−j−1
= s(s−1) Z
Ω
u(−v)s−2T∧(ddcv)j∧(ddcu)p−j−1∧dv∧dcv
+ s
Z
Ω
(−u)(−v)s−1T∧(ddcv)j+1∧(ddcu)p−j−1
≤ s
Z
Ω
(−u)(−v)s−1T∧(ddcv)j+1∧(ddcu)p−j−1
≤ s
Z
Ω
(−u)sT∧(ddcv)j+1∧(ddcu)p−j−1
1
s
s
Z
Ω
(−v)sT∧(ddcv)j+1∧(ddcu)p−j−1
s−1
s
En prenant le logarithme, on obtient :
xj≤ s−s1xj+1+1syp−j−1+ logs; yj≤ s−s1yj+1+s1xp−j−1+ logs.o`u :
xj = log
Z
Ω
(−u)sT∧(ddcu)j∧(ddcv)p−j
yj = log
Z
Ω
(−v)sT∧(ddcv)j∧(ddcu)p−j
Le reste de la d´emonstration est r´eduit `a un probl`eme de r´esolution d’un
syst`eme lin´eaire (cf.[Ce-Pe]).
3 Convergence par rapport `a CT et operateur de monge-amp`ere
Dans cette partie nous introduisons la notion de la convergence par rapport `a la capacit´eCT. Comme application nous g´en´eralisons des r´esultats de [Be-Ta]
et de [Xi] sur l’op´erateur de Monge-Amp`ere.
D´efinition 3.1 SoientT un courant positif ferm´e de dimensionp≥1sur un ouvertΩdeCn etE⊂Ω. On dit queuj converge vers upar rapport `aCT sur
E si pour tout δ >0, on a :
lim
j→+∞CT
z∈E; |uj(z)−u(z)|> δ ,Ω
= 0
Th´eor`eme 3.2
Soient (uj)j une suite de fonctions psh localement uniform´ement born´ees et u∈psh(Ω)∩L∞
loc(Ω), on a :
a)Siuj converge versupar rapport `aCT sur chaqueE⊂⊂Ω, alors le courant T∧(ddcu
j)p converge au sens des courants vers T∧(ddcu)p.
uT∧(ddcu
j)p, ujT∧(ddcu)p etujT∧(ddcuj)pconvergent au sens des courants vers uT∧(ddcu)p alorsu
j converge versupar rapport `aCT sur E.
Remarques.
1) SiT = 1 ouT =ddc|z|2, on retrouve un r´esultat de Xing (cf.[Xi]).
2) a) constitue encore une g´en´eralisation d’un r´esultat de [Be-Ta], dans le cas o`u la suite (uj)j est d´ecroissante versu. En effet on montre dans ce cas (cf
th´eor`eme2.4) queuj converge versupar rapport `a la capacit´eCT.
3) Dans b), si on suppose de plus que u ≥ uj ∀j (en particulier si uj ↑ u),
on peut conclure sans utiliser la convergence faible des suitesuT∧(ddcu j)p et ujT∧(ddcuj)p.Dans la d´emonstration de b), on peut en effet utiliser l’in´egalit´e ddc(u−u
j)≤ddcu`a la place deddc(uj−u)≤ddc(u+uj).
D´emonstration.On proc`ede comme dans [Xi].
a). On raisonne par r´ecurrence sur l’entier p. Le cas p = 1 se d´eduit si on montre queujT converge faiblement versuT.
Soitϕ∈ Dp,p(Ω),suppϕ⊂Ω1⊂⊂Ω, alors :
Z
Ω
(ujT−uT)∧ϕ
≤ C
Z
Ω1
|uj−u|T∧βp
= C
Z
{|uj−u|≤δ}∩Ω1
|uj−u|T∧βp
+ C
Z
{|uj−u|>δ}∩Ω1
|uj−u|T∧βp
≤ CδkTkΩ1+Ckuj−uk∞ Z
{|uj−u|>δ}∩Ω1
T∧βp
≤CδkTkΩ1+M CTz∈Ω1; |uj(z)−u(z)|> δ
Comme δ est arbitraire, M est ind´ependante de j et uj converge vers u par
rapport `a la capacit´eCT sur Ω1, on a donc le r´esultat pourp= 1. On suppose
queT∧(ddcu
j)sconverge faiblement versT∧(ddcu)s(s < p),et montrons que ujT∧(ddcuj)sconverge faiblement versuT ∧(ddcu)s.
Pour toutε >0,il existe d’apr`es le th´eor`eme2.5 un ouvertOtel queCT(O,Ω)< ε, u=φ+ψo`uφest continue sur Ω etψ= 0 sur Ω\ O.
ujT∧(ddcuj)s−uT ∧(ddcu)s = (uj−u)T∧(ddcuj)s
+ ψ T∧(ddcu
j)s−T∧(ddcu)s
+ φ T ∧(ddcu
j)s−T∧(ddcu)s
= (1) + (2) + (3)
Pour (1),soitϕ∈ Dp−s,p−s(Ω),suppϕ⊂Ω1⊂⊂Ω,alors :
Commeuj est une suite localement uniform´ement born´ee,A1 et M ne
d´ependent pas dej, on a (1) converge faiblement vers 0. On raisonne de mˆeme pour (2),on a : D’apr`es Stokes et l’in´egalit´e de Cauchy-Shawrz, on obtient :
Z
Cauchy-Schwarz et en utilisant l’in´egalit´eddc(u
j−u)≤ddc(uj+u),on trouve :
Z
Ω′
T ∧d(uj−u)∧dc(uj−u)∧(ddcw)p−1
= Z
Ω′
T∧d(uj−u)∧dcw∧ddc(uj−u)∧(ddcw)p−2
≤ B
Z
Ω′
T∧d(uj−u)∧dc(uj−u)∧ddc(uj+u)∧(ddcw)p−2
12
≤ B1
Z
Ω′
T∧d(uj−u)∧dc(uj−u)∧ ddc(uj+u)
p−1
1 2p
≤ B2
Z
Ω′
T∧d(uj−u)∧dc(uj−u)∧ p−1
X
k=0
(ddcu
j)p−k−1∧(ddcu)k
21p
= B2
Z
Ω′
(uj−u)T∧(ddcuj−ddcu)∧ p−1
X
k=0
(ddcu
j)p−k−1∧(ddcu)k
21p
= B2
Z
Ω′
(uj−u) T∧(ddcuj)p−T∧(ddcu)p
21p
o`u la constanteB2 est ind´ependante de j et dew. Comme u=uj sur Ω′\E
et uT∧(ddcu
j)p, ujT∧(ddcu)p, ujT ∧(ddcuj)p converge vers la mˆeme limite
uT ∧(ddcu)p,on obtient : lim j→+∞
Z
Ω′
(uj−u)(T∧(ddcuj)p−T ∧(ddcu)p) = 0
Il en r´esulte que :CT(|uj−u|> δ,Ω) = 0
R´ef´erences
[Be-Ta] Bedford E. et Taylor B. A., A new capacity for Plurisubharmonic functions,Acta Math, 149 (1982), 1-40.
[Bm-El] H. Ben Messaoud et H. El Mir, Tranchage et prolongement des cou-rants positifs ferm´es,Math. Ann.307 (1997), 473-487.
[Ce] Cegrell. U,Capacities in Complex Analysis, Braunschwerg Wiesbaden Friedr. Vieweg et Sohn, 1988.
[Cee-Pe] Cegrell. U et Leif Person, An energy estimate for complex Monge-Amp`ere Operateur, Annales Polimici Mathematici, LXVII1 (1997) 95-102.
[C.L.N] Chern S.S., Levine H.I. et Nirenberg L.Intrinsic norms on a complex manifold ; Global Analysis, Papers in Honor of K.Kodaira, pp. 119-139, Univ. of Tokyo Press, Tokyo, 1969.
[De] Demailly J.P., Monge-Amp`ere operator, Lelong numbers and inter-section theory, in complex Analysis and Geometry, (V. Ancona and A Silva, eds.), pp.15-193. Univ. Ser. Math., Plenum Press, New York, 1993.
Dabbek Khalifa D´epartement de Math Facul´e de sciences de Gab`es 6071 Gab`es Tunisie
