MATERI INTEGRAL. Untuk SMA/MA Kelas XII. Isna Silvia, Selly Erawati S, Ima Tarsimah Kelas 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA oleh Kelompok 3

(1)

i 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

MATERI

INTEGRAL

Untuk SMA/MA Kelas XII

Integral Aljabar _Integral Fungsi Trigonometri _ Integral Tak

Tentu_Integral Tertentu

Isna Silvia, Selly Erawati S, Ima Tarsimah

Kelas 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA

oleh Kelompok 3

(2)

i 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI KATA PENGANTAR

Buku sebagai salah satu sumber pembelajaran mempunyai peranan yang penting dalam meningkatkan sumber daya manusia khususnya peserta didik. Dengan buku, peserta didik dapat mengikuti kegiatan belajar mengajar dengan baik dan siswa mampu memahami materi dengan lebih mudah.

Untuk meningkatkan keterampilan siswa dalam berpikir kritis, kreatif, dan sistematis dalam memecahkan masalah pengoprasian integral serta aplikasi dalam kesehariannya, kami lengkapi buku ini dengan contoh soal dan Uji kompetensi. Kami berharap buku ini dapat membimbing para siswa menerapkan berbagai konsep untuk mengembangkan materi integral.

Sesuai kata orang bijak, tidak ada yang sempurna dalam hidup begitupun dengan buku ini. Oleh karena itu, saran dan kritik yang bersifat membangun dari para pembaca untuk memperbaiki mutu buku berikutnya sangat kami harapkan.

Cirebon, Oktober 2014

(3)

ii 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... i

DAFTAR ISI ... ii

KATA-KATA MOTIVASI ... iii

TUJUAN PEMBELAJARAN ... iv

BAB INTEGRAL A. Pengertian Integral ... 1

B. Integral Tak Tentu 1. Pengertian Integral Tak Tentu ... 1

a. Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar ... 2

b. Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri ... 3

2. Penerapan Integral Tak Tentu ... 6

C. Integral Tertentu ... 7

D. Teknik-Teknik Pengintegralan 1. Integral Subtitusi a).Bentuk Subtitusi-1 ... 10

b).Integral yang Memuat Bentuk 𝑎2_{− 𝑥}2_, 𝑎2_{+ 𝑥}2_{, 𝑥}2 _{− 𝑎}2_{... 12}

2. Integral Parsial ... 13

E. Beberapa Penggunaan Integral Tertentu 1. Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X ... 14

2. Luas Daerah antara Dua Kurva ... 15

3. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X dan Y ... 16

F. Aplikasi IntegralDalam Kehidupan Sehari-hari ... 20

UJI KOMPETENSI ... 22

DAFTAR PUSTAKA ... 27 BIODATA KELOMPOK DAN DESKRIPSI KERJA KELOMPOK

(4)

iii 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

engalahkan Rasa engolah menjadi Asa ewujudkan dalam Realita

M

Ambisi dan mimpimu adalah samudra.

Meski kadang terjadi pasang surut, tapi takkan pernah surut airnya. Oleh sebab itu, bersemangatlah selalu, meski melakukan hal sekecil apapun. Jangan pernah menunda-nunda apa yang bisa dilakukan hari ini.

Perhatikanlah daun-daun yang mati dan berguguran dari pohon, ia

sebenarnya memberikan hidup baru pada pohon. Bahkan sel-sel dalam tubuh kita pun selalu memperbaharui diri.

PERBAIKI DIRI. GALI POTENSI.

Jauhkan keraguan,

Temukan Cara Terbaikmu

Meraih Mimpi

Setiap insan manusia dilahirkan luarbiasa.

Ingatlah, hanya seorang pemenang yang bisa melihat potensi, sementara seorang pecundang sibuk mengingat masa lalu.

Segala sesuatu di alam ini memberikan jalan kepada kehidupan yang baru dan

membuang yang lama. Satu-satunya

yangmenghalangi kita untuk melangkah dari masa lalu adalah pikiran kitasendiri.

(5)

iv 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

TUJUAN PEMBELAJARAN

a. Memahami pengertian integral

b. Memahami pengertian integral tak tentu

c. Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri d. Memahami pengertian integral tertentu

e. Menentukan integral tertentu dengan menggunakan sifat-sifat integral f. Menentukan integral dengan cara substitusi dan parsial

g. Menggambar suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva

h. Merumuskan integral tertentu untuk luas daerah antara kurva dan sumbu x

i. Menghitung luas suaru daerah yang dibatasi dua kurva

j. Merumuskan integral tertentu untuk volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu x dan sumbu y

k. Menghitung volume benda dari daerah yang dibatasi oleh dua kurva yang mengelilingi sumbu x dan sumbu y

(6)

1 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

BAB

INTEGRAL

A. Pengertian Integral

Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 𝑓 𝑥 = 2𝑥3_{. Setiap fungsi ini memiliki} turunan 𝑓′(𝑥) = 6𝑥2. Jadi, turunan fungsi 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 adalah 𝑓′(𝑥) = 6𝑥2.

Menentukan fungsi 𝑓(𝑥) dari 𝑓 ′ 𝑥 , berarti menentukan antiturunan dari 𝑓′(𝑥) . Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial.

Jika 𝑓(𝑥) adalah fungsi umum yang bersifat𝑓′_{𝑥 = 𝑓 𝑥 , maka 𝑓(𝑥)} merupakan antiturunan atau integral dari 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥).

B. Integral Tak Tentu

1. Pengertian Integral Tak Tentu

Pengintegralan fungsi 𝑓(𝑥) yang ditulis sebagai ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 disebut integral tak tentu dari 𝑓(𝑥). Jika 𝐹(𝑥) anti turunan dari 𝑓(𝑥), maka

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑐 Keterangan:

∫ = notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)

𝑓 𝑥 = fungsi integran

𝑓 𝑥 = fungsi integral umum yang bersifat 𝑓′_{𝑥 = 𝐹(𝑥)} 𝑐 =konstanta pengintegralan

Ada dua jenis integral tak tentu yang akan kamu pelajari pada bagian ini yaitu integral tak tentu dari fungsi aljabar dan integral tak tentu

(7)

dari fungsi trigonometri. Agar kamu memahaminya dengan baik, perhatikan uraian berikut.

a. Rumus Dasar Integral Tak Tentu dan Fungsi Aljabar

Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.  𝑔₁ 𝑥 = 𝑥, didapat 𝑔1′ 𝑥 = 1

Jadi, jika 𝑔₁ ′(𝑥) = 1 maka 𝑔1 𝑥 = ∫ 𝑔1 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐1  𝑔₂ 𝑥 = 1₂𝑥 , didapat 𝑔₂′ 𝑥 = 𝑥

Jadi, jika 𝑔₂ ′ 𝑥 = 𝑥 maka 𝑔₂ 𝑥 = ∫ 𝑔₂ ′_{𝑥 𝑑𝑥 =}1

2𝑥 + 𝑐2

Dari uraian ini, tampak bahwa jika 𝑔′ 𝑥 = 𝑥𝑛_{, maka 𝑔 𝑥 =} 1

𝑛+1𝑥

𝑛 +1_{+ 𝑐 atau dapat dituliskan ∫ 𝑥}𝑛_{𝑑𝑥 =} 1

𝑛+1𝑥

𝑛 +1_{+ 𝑐 , 𝑛 ≠ 1} .

Sebagai contoh, turunan fungsi 𝑓 𝑥 = 2𝑥2_{+ 𝑐 adalah}

𝑓′_{𝑥 = 4𝑥 . Ini berarti, antiturunan dari 𝑓}′_{𝑥 = 4𝑥} adalah 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 𝑐 atau dituliskan ∫ 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥2_{+ 𝑐 .} Uraian ini menggambarkan hubungan berikut.

Jika 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥𝑛 , maka 𝑓 𝑥 = 1

𝑛+1𝑥

𝑛 +1_{+ 𝑐 , 𝑛 ≠ −1} dengan 𝑐 suatu konstanta.

Misalnya 𝑘 konstanta real sembarang, 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 merupakan fungsi yang dapat diintegralkan, maka akan berlaku:

a) ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 b) ∫ 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 c) ∫ 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 d) ∫ 𝑎𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥+1𝑥 𝑛 +1_{+ 𝑐}

Untuk lebih memahami integral tak tentu fungsi aljabar, marilah kita simak contoh-contoh berikut.

(8)

Contoh:

1. Selesaikan integral berikut! a) ∫ 𝑥3𝑑𝑥 b) ∫ 𝑥 3 2𝑑𝑥 c) ∫ 2 𝑥4 3_𝑑𝑥 d) ∫ 6𝑥2+ 2𝑥 − 3 𝑑𝑥 Jawab: a) ∫ 𝑥3𝑑𝑥 = 1 3+1𝑥 3+1_{+ 𝑐 =}1 4𝑥 4 _{+ 𝑐} b) ∫ 𝑥 3 2𝑑𝑥 = ₃1 2+1 𝑥 3 2+1+ 𝑐 =2 5𝑥 5 2+ 𝑐 c) ∫ 2 𝑥4 3_{𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥}34 𝑑𝑥 = 2 ∙𝑥 3 4+1 3 4+1 + 𝑐 =8 7𝑥 2 4+ 𝑐 d) ∫ 6𝑥2+ 2𝑥 − 3 𝑑𝑥 = ∫ 6𝑥2_{𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 3 𝑑𝑥 = 2𝑥}3₊ 𝑥3− 3𝑥 + 𝑐

b. Rumus Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

Untuk memahami integral dari fungsi trigonometri, dibutuhkan pemahaman yang baik mengenai turunan trigonometri. Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan label turunan fungsi trigonometri berikut :

Tabel Turunan Fungsi Trigonometri

𝓕(𝒙) 𝓕′_(𝒙) 𝐬𝐢𝐧 𝒙 cos 𝑥 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − sin 𝑥 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝑠𝑒𝑐2_𝑥 𝐬𝐞𝐜 𝒙 tan 𝑥. sec 𝑥 𝐜𝐨𝐭 𝒙 −𝑐𝑠𝑐2_𝑥 𝐜𝐬𝐜 𝒙 − cot 𝑥. csc 𝑥

(9)

Berdasarkan tabel Tersebut, rumus dasar pengintegralan trigonometri adalah sebagai berikut.

∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶

∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶

𝑐𝑠𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶

tan 𝑥. sec 𝑥 𝑑 = sec 𝑥 + 𝐶

cot 𝑥. csc 𝑥 𝑑𝑥 = − csc 𝑥 + 𝐶

Berdasarkan rumus integral dari fungsi trigonometri diatas, maka rumus-rumus tersebut dapat diperluas menjadi :

a. ∫ cos 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = _𝑎1 sin 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶 b. ∫ sin 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = −1_𝑎cos 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶 c. ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 1 𝑎 tan 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶 d. ∫ tan 𝑎𝑥 + 𝑏 . sec 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 1 𝑎sec 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶 e. ∫ 𝑐𝑠𝑐2 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = −1_𝑎cot 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶 f. ∫ cot 𝑎𝑥 + 𝑏 . csc 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = −_𝑎1csc 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶 Contoh 1.2

Selesaikan integral berikut!

1. ∫(2 sin 𝑥 + 3) 𝑑𝑥 2. ∫ 𝑠𝑒𝑐22𝑥 − 1 𝑑𝑥 3. ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 4. ∫(sin 𝑥 + cos 𝑥)2𝑑𝑥 5. ∫ sin 4𝑥. cos 2𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2_{𝑥 =}1 2− 1 2cos 2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 2+ 1 2cos 2𝑥

Ingat kembali

(10)

6. ∫ sec 𝑥. tan 𝑥 𝑑𝑥 7. ∫ 2 sin 3𝑥 𝑑𝑥

Penyelesaian :

1. ∫(2 sin 𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = 2 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 3 𝑑𝑥 = −2 cos 𝑥 + 3𝑥 + 𝐶 2. ∫(𝑠𝑒𝑐22𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2_{2𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 =}1 2tan 2𝑥 − 𝑥 + 𝐶 3. ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 =∫(1₂−1 2cos 2𝑥) 𝑑𝑥 = 1 2𝑥 − 1 42𝑥 + 𝐶

4. ∫(sin 𝑥 + cos 𝑥)2𝑑𝑥 =∫(𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2 sin 𝑥. cos 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥) =∫(1 + 2 sin 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 =∫(1 + sin 2𝑥) 𝑑𝑥 =𝑥 −1 2 cos 2x + C 5. ∫ sin 4𝑥. cos 2𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 sin 6𝑥 + sin 2𝑥 𝑑𝑥 =1 2 (sin 6𝑥 + sin 2𝑥) 𝑑𝑥 = 1 2 − 1 6cos 6𝑥 − 1 2cos 2𝑥 + 𝐶 = − 1 12cos 6𝑥 − 1 4cos 2𝑥 + 𝐶

6. ∫ sec 𝑥. tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶 7. ∫ 2 sin 3𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫ sin 3𝑥 𝑑𝑥 = −2 3𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐶 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 𝑡𝑎𝑛2_{𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐}2_𝑥 𝑐𝑜𝑡2𝑥 + 1 = 𝑐𝑠𝑐2𝑥

(11)

2. Penerapan Integral Tak Tentu

Integral tak tentu dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan di bawah ini :

1. Untuk menentukan suatu fungsi jika turunan dari fungsinya diberikan. 2. Untuk menentukan posisi, kecepatan, dan percepatan suatu benda

pada waktu tertentu. Misalnya s menyatakan posisi benda, kecepatan benda dinyatakan dengan v, dan percepatan benda dinyatakan dengan

a. Hubungan anatara s, v, dan a adalah sebagai berikut.

𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡sehingga 𝑠 = ∫ 𝑣 𝑑𝑡 dan 𝑎 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡 sehingga 𝑣 = ∫ 𝑎 𝑑𝑡

Agar lebih memahami aplikasi integral tak tentu, perhatikan contoh soal berikut ini!

1. Diketahui 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2_{− 10𝑥 + 3 dan 𝑓 −1 = 2. Tentukan 𝑓(𝑥).} Jawab : 𝑓′_{𝑥 = 6𝑥}2 _{− 10𝑥 + 3} 𝑓 𝑥 = 6𝑥2− 10𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 2𝑥3_{− 5𝑥}2 _{+ 3𝑥 + 𝐶} 𝑓 −1 = 2 2 = 2(−1)3− 5 −1 2+ 3 −1 + 𝐶 2 = −2 − 5 − 3 + 𝐶 𝐶 = 12 Jadi, 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 + 12

2. Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan percepatan a yang memenuhi persamaan 𝑎 = 2𝑡 − 1, 𝑎 dalam 𝑚/𝑠2 dan t dalam detik. Jika kecepatan awal benda 𝑣 = 5 𝑚/𝑠 dan posisi benda saat 𝑡 = 6 adalah 𝑠 = 92 𝑚, maka tentukan persamaan posisi benda tersebut saat t detik! Jawab :

𝑎 = 2𝑡 − 1 𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡 𝑣 = 2𝑡 − 1 𝑑𝑡

(12)

Kecepatan awal benda 5 𝑚𝑠−1_{, artinya saat t = 0 nilai v = 5} 𝑣_𝑡=0 = 5 02_{− 0 + 𝐶 = 5} 𝐶 = 5 Sehingga, 𝑣 = 𝑡2− 𝑡 + 5 𝑠 = 𝑣 𝑑𝑡 = 𝑡2 − 𝑡 + 5 𝑑𝑡 = 1 3𝑡 3 ₋1 2𝑡 2_{+ 5𝑡 + 𝑑} 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠_𝑡=6 = 92 1 3(6) 3₋1 2 6 2 _{+ 5 6 + 𝑑 = 92} 72 − 18 + 30 + 𝑑 = 92 84 + 𝑑 = 92 𝑑 = 8

Jadi, persamaan posisi benda tersebut saat t detik dirumuskan dengan

𝑠 =1 3𝑡 3 ₋1 2𝑡 2_{+ 5𝑡 + 8}

C. Integral Tertentu

Jika fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥 kontinu pada interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 _𝑎𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 𝑏

𝑎

dengan 𝐹 𝑥 adalah anti turunan dari 𝑓 𝑥 dalam 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Bentuk integral di atas disebut integral tertentu dengan 𝑎 sebagai batas bawah dan 𝑏 sebagai batas atas. Definisi integral di atas dikenal sebagai Teorema

(13)

Misalnya 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval tertutup 𝑎, 𝑏 , maka integral tertentu memenuhi sifat-sifat umum sebagai berikut. 1. ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0_𝑎𝑎 2.∫ 𝓀. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝓀 ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, 𝓀 = konstanta_𝑎𝑏 _𝑎𝑏 3.∫ 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 _𝑎𝑏 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 𝑥 _𝑎𝑏 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔 𝑥 _𝑎𝑏 𝑑𝑥 4.∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −_𝑎𝑏 ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑏𝑎 5. ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =_𝑎𝑏 _𝑏𝑐 ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑐

Untuk memahami integral tertentu lebih lanjut, marilah kita simak contoh-contoh berikut.

Contoh :

1. Hitunglah hasil integral berikut! a. ∫ 6𝑥₀3 2𝑑𝑥 Jawab : 6𝑥2_𝑑𝑥 3 0 = 6 𝑥2_{𝑑𝑥 = 6.}1 3𝑥 3 0 3 3 0 = 6 1 3. 3 3₋1 3. 0 3 = 6 9 − 0 = 54 b. ∫ 𝑥₁3 2+ 2𝑥 − 3 𝑑𝑥 Jawab : 𝑥2_{+ 2𝑥 − 3 𝑑𝑥 = 𝑥}2_{𝑑𝑥 + 2𝑥𝑑𝑥} 3 1 3 1 3 1 − 3𝑑𝑥 = 1 3𝑥 3 1 3 3 1 + 𝑥2 1 3_{− 3𝑥} 1 3 = 1 3. 3 3₋1 3. 1 3_{+ 3}2_{− 1}2_{− 3.3 − 3.1} = 9 −1 3 + 9 − 1 − 9 − 3 = 26 3 + 8 − 6 = 32 3 = 10 2 3

(14)

2. Hitunglah hasil integral dari bentuk berikut!

(2 sin 𝑥 + 6 cos 𝑥)𝑑𝑥 𝜋 4 −𝜋₂ Jawab : (2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 6 𝑐𝑜𝑠 𝑥)𝑑𝑥 𝜋 4 −𝜋 2 = −2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 6 𝑠𝑖𝑛 𝑥 −𝜋₂ 𝜋 4 = −2 cos 𝜋 4 + 6 sin 𝜋 4 — 2 cos − 𝜋 2 + 6 sin − 𝜋 2 = − 2 + 3 2 − 0 − 6 = 6 + 2 2

3. Jika ∫ 2𝑥 − 5 𝑑𝑥 = 18₁𝓀 untuk 𝓀 > 0 maka tentukan nilai 𝓀 + 1! Jawab: 2𝑥 − 5 𝑑𝑥 = 18 𝓀 1 𝑥2_{− 5𝑥} 1𝓀 = 18 𝓀2_{− 5𝓀 − 1 − 5 = 18} 𝓀2_{− 5𝓀 + 4 − 18 = 0} 𝓀2− 5𝓀 − 14 = 0 (𝓀 − 7) 𝓀 + 2 = 0

𝓀 = 7 atau 𝓀 = −2 (tidak memenuhi) maka nilai 𝓀 + 1 = 7 + 1 = 8. 4.



x 2 0 2 cos  dx jawab: x



2 0 2 cos  dx = (1 cos2 ) 2 1 2 0 x 



 dx = 2 0 2 sin 4 1 2 1      _ x x

(15)

10 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI =     _ ) 2 ( 2 sin 4 1 2 . 2 1   = 4 ) 0 0 ( 4 1 ) 0 2 ( 2 1  _ _ _ _

D. Teknik-Teknik Pengintegralan

Sering kita jumpai fungsi-fungsi yang akan diintegralkan tidak sesuai dengan rumus dasar integral dan tidak sedikit fungsi tersebut diberikan dalam bentuk yang sangat rumit. Pada subbab ini kita akan membahas dua teknik pengintegralan untuk menyelesaikan integral dengan fungsi seperti itu, yaitu integral subtitusi dan integral parsial.

1. Integral Substitusi

a) Bentuk Subtitusi-1

Tidak semua bentuk pengintegralan bisa dikerjakan dengan menggunakan rumus ∫ 𝑎𝑥𝑛 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑛 +1𝑥

𝑛 +1_{+ 𝑐.Banyak bentuk-bentuk} yang kelihatannya rumit, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan rumus di atas. Karena itu dibutuhkan suatu cara lain untuk menyelesaikannya.Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana. Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut.

Contoh soal. 1. ∫(5𝑥 − 2)3 𝑑𝑥 2. ∫ 𝑥2− 1 (𝑥 + 3)5_𝑑𝑥 3.



2x(x2 3)4dx Jawab : 1. ∫(5𝑥 − 2)3 𝑑𝑥 Misal: 𝑢 = 5𝑥 − 2 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢

(16)

11 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI 𝑑𝑢 = 5 𝑑𝑥 → 𝑑𝑥 =1 5 𝑑𝑢 Sehingga 5𝑥 − 2 3 𝑑𝑥 = 𝑢31 5 𝑑𝑢 = 1 5 𝑢 3_{𝑑𝑢 =}1 5 1 4𝑢 4_{+ 𝑐} = 1 20(5𝑥 − 2) 4_{+ 𝑐} Jadi,∫ 5𝑥 − 2 3 𝑑𝑥 = 1 20 5𝑥 − 2 4 _{+ 𝐶} 2. ∫ 𝑥2− 1 (𝑥 + 3)5_𝑑𝑥 Misal 𝑢 = 𝑥 + 3 → 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑥 = 𝑢 − 3 Sehingga ∫ 𝑥2− 1 (𝑥 + 3)5_{𝑑𝑥 = ∫((𝑢 − 3)}2_{− 1) 𝑢}5_𝑑𝑥 = 𝑢2 − 6𝑢 + 8 𝑢5 𝑑𝑥 = 𝑢7− 6𝑢6+ 8𝑢5 𝑑𝑥 =1 8𝑢 8₋6 7𝑢 7₊4 3𝑢 6_{+ 𝐶} =1 8(𝑥 + 3) 8₋6 7(𝑥 + 3) 7₊4 3(𝑥 + 3) 6_{+ 𝐶} Jadi, ∫ 𝑥2− 1 (𝑥 + 3)5𝑑𝑥 =1 8(𝑥 + 3) 8₋6 7(𝑥 + 3) 7₊4 3(𝑥 + 3) 6_{+ 𝐶} 3.



2x(x2 3)4dx Misalkan u = x23, maka x dx du 2  atau x du dx 2  Sehingga diperoleh,



2x(x2 3)4dx =



x du u x 2 2 4 =



u4du= u5 C 5 1 = (x2 3)5 C 5 1

(17)

b) Integral yang Memuat Bentuk 𝒂𝟐 _{− 𝒙}𝟐_,_𝒂𝟐 _{+ 𝒙}𝟐_,_𝒙𝟐 _{− 𝒂}𝟐

Untuk menyelesaikan pengintegralan yang memuat bentuk-bentuk 𝑎2 _{− 𝑥}2_{, 𝑎}2_{+ 𝑥}2_{dan 𝑥}2_{− 𝑎}2_{, kita menggunakan teknik} integral substitusi trigonometri. Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan dengan baik tabel berikut.

Bentuk Subsitusi Hasil

𝑎2_{− 𝑥}2 _{𝑥 = 𝑎 sin 𝜃} _𝑎2_{− 𝑥}2 _{= 𝑎 cos 𝜃} 𝑎2_{+ 𝑥}2 _{𝑥 = 𝑎 tan 𝜃} _𝑎2_{+ 𝑥}2 _{= 𝑎 sec 𝜃} 𝑥2_{− 𝑎}2 _{𝑥 = 𝑎 sec 𝜃} _𝑥2_{− 𝑎}2 _{= 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝜃}

Untuk lebih memahami teknik integral substitusi trigonometri, perhatikan contoh berikut.

1

4 − 𝑥2 𝑑𝑥 2

0

Misal 𝑥 = 2 sin 𝜃 , maka sin 𝜃 =𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 cos 𝜃 𝑑 𝜃 Batas Integral 𝑥 0 2 𝜃 0 𝜋 2 Sehingga 1 4 − 𝑥2 𝑑𝑥 2 0 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 4 − 4 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 𝜋 2 0

(18)

13 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI = 2 cos 𝜃 2 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 0 = 𝑑𝜃 = 𝜃 ₀ 𝜋 2 𝜋 2 0 = 𝜋 2 2. Integral Parsial

Apabila kamu menemukan bentuk integral yang tidak bisa diselesaikan dengan integral subtitusi, mungkin permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan subtitusi ganda yang lebih dikenal sebagai

integral parsial.

Perhatikan uraian berikut.

Misalnya, 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 dengan 𝑦, 𝑢, dan 𝑣 fungsi dari 𝑥, maka 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑢 ′ _{∙ 𝑣 + 𝑢. 𝑣′} 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑑𝑢 𝑑𝑥∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 1 𝑑𝑥(𝑣 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑣) 𝑑𝑦 = 𝑣 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑦 = 𝑣 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑣 𝑦 = 𝑣 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑣 𝑢𝑣 = 𝑣 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑣 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢

Jadi, dari uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa rumus integral parsial adalah sebagai berikut.

(19)

14 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI Contoh soal: 1. ∫ 𝑥2cos 𝑥 𝑑𝑥 Jawab: 1. ∫ 𝑥2cos 𝑥 𝑑𝑥 Misal 𝑢 = 𝑥2 → 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = cos 𝑥 → 𝑣 = sin 𝑥 Sehingga

𝑥2cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2sin 𝑥 − (sin 𝑥) 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2sin 𝑥 − 𝑠 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥2sin 𝑥 − 2(−𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 + sin 𝑥) + 𝑐

= 𝑥2sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 + 𝑐

E. Beberapa Penggunaan Integral Tertentu

1. Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X

Misalkan S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑓 𝑥 , sumbu X, garis 𝑥 = 𝑎, dan garis 𝑥 = 𝑏 Dengan 𝑓(𝑥) ≥ 0 pada 𝑎, 𝑏 maka luas daerah S dapat ditentukan dengan rumus :

Apabila 𝑓(𝑥) ≤ 0 atau daerahnya di bawah sumbu X, maka

Gambar 1. Daerah antara kurva sumbu x

𝑆 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑆 = − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎

(20)

15 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI 2. Luas Daerah antara Dua Kurva

Misalkan daerah S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦1 = 𝑓(𝑥), 𝑦₂ = 𝑔(𝑥), garis 𝑥 = 𝑎, dan garis 𝑥 = 𝑏 seperto pada gambar di samping maka luas daerah 𝑆 = 𝐿𝑇𝑈𝑅𝑆 − 𝐿𝑇𝑈𝑄𝑃.

Luas daerah S dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.

𝑆 = 𝐿_{𝑇𝑈𝑅𝑆} − 𝐿_{𝑇𝑈𝑄𝑃} = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦₁ = 𝑓(𝑥),𝑦₂ = 𝑔(𝑥),dari 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑏 ditentukan dengan rumus

𝐿 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Dengan 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) dalam interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

Untuk memahami cara menentukan luas daerah, perhatikan contoh berikut ini! 1. Tentukan luas daerah antara kurva y x2 3x dan y = 2x + 2

Penyelesaian :

Titik potong kedua kurva yaitu :

x23x2x2 



x2



(x1)0x2atau x1 Y

-2 0 1 X

(21)





2 1 4 ) 2 ( ) 3 ( ) 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 _ _ _ _ _   



  dx x x dx x x x L satuan luas.

2. Tentukan luas daerah antara kurva y = 3

x , sumbu X , x = -1 dan x = 1 ! Penyelesaian : Y -1 0 1 X



 _ _ _ _          1 0 1 0 4 0 1 4 3 0 1 3 2 1 ) 0 4 1 ( ) 4 1 0 ( 4 1 4 1 x x dx x dx x L satuan luas

3. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X

Volume benda putar dari daerah yang diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu X

V =  b a dx x f( ))2 (  atau V =  b a dx y2 

Volume benda putar dari daerah yang diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu Y V =  d c dy y g( ))2 (  atau V =  d c dy x2 

(22)

17 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI -1

Volume benda putar dari daerah antara dua kurva kurva yang diputar360∘_{terhadap sumbu}

Y. 𝑉 = _  b a dx x g x f ( ) ( )} {( 2 2  atau 𝑉 = _  b a dx y y ) ( ₁2 ₂2 

Volume benda putar dari daerah antara dua kurva kurva yang diputar 360∘ terhadap sumbu X. 𝑉 = _  d c dy y g y f ( ) ( )} { 2 2  atau 𝑉 = _  d c dy x x ) ( ₁2 ₂2  Contoh Soal :

1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika yang daerah dibatasi kurva y = x + 1, x = 0 , x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o Penyelesaian :

1

(23)

18 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI V =



2 0 2 ) (x f  dx =



 2 0 2 ) (x dx  =



  2 0 2 ) 1 2 (x x dx  = 2 0 2 3 3 1     _ _ x x x  =     _ _ _ _ _ ) 0 0 0 . 3 1 ( ) 2 2 2 . 3 1 ( 3 2 3 2  = ) 3 26 (  =  3 26 satuan volume

2. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi y=(x - 2)2, sumbu y , y = 0 dan y = 3 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360o.

Penyelesaian: dimana (x - 2)2 = y menjadi x = y+2 𝑉 =



3 0 2 dy x  =



 



  3 0 2 3 0 ) 4 4 ( ) 2 ( y dy  y y dy  =        _ _      _ _      _ _ 12 3 8 2 9 3 . 4 3 3 . 3 8 3 . 2 1 4 3 8 2 1 2 3 0 2 y y y y 3 y = (x - 2)2 0 2

3. Tentukan volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik f (x) = 4 – x2, sumbu–x, dan sumbu–y diputar 360o terhadap :

a. Sumbu–x b. Sumbu–y

(24)

19 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI Jawab : a. Volumenya adalah V = π (4 − x2)2dx = π 16 − 82+ x4 dx 2 0 2 0 = 𝜋 16𝑥 −8 3𝑥 3₊1 5𝑥 5 0 2 = π 16 . 2 −8 3 . 2 3 ₊1 5 . 2 5_{− 0} = 𝜋 32 −64 3 + 32 5 =  15 256

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu–x adalah 

15 256

satuan volume.

b. Untuk menentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-y, nyatakan persamaan kurva y = f (x) = 4 – x2 menjadi persamaan x2 dalam variabel y. y = 4 – x2x2 4y

Volume benda putar tersebut adalah 𝑉 = 𝜋 4 − 𝑦 𝑑𝑦 4 0 = 𝜋 4𝑦 −1 2𝑦 2 0 4 = 𝜋 4 . 4 −1 2 . 4 2_{− 0} = 𝜋(16 − 8) = 8 𝜋

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-y adalah 8 𝜋 satuan volume.

(25)

1 Aplikasi Integral dalam Kehidupan Sehari-hari

Definisi Integral adalah kebalikan dari diferensial. Apabila kita mendiferensiasi kita mulai dengan suatu pernyataan dan melanjutkannya untuk mencari turunannya. Apabila kita mengintergrasikan,kita mulai dengan turunannya dan kemudian mencari peryataan asal integral ini. Lambang integral adalah

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶

Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cangkupannya seperti digunakan di bidang teknologi,fisika,ekonomi,matematika,teknik dan bidang-bidang lain. Adapun uraiannya sebagai berikut :

A. Bidang Teknologi

Integral sering digunakan untuk memecahkan persoalan yang berhubungan dengan volume, panjang kurva, memperkirakan populasi, keluaran kardiak, usaha, gaya dan surplus konsumen.

B. Bidang Ekonomi

Penerapan integral dalam bidang ekonomi yaitu:

 Untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi.

 Untuk mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal. C. Bidang Matematika

Penerapan integral dalam bidang matematika yaitu:

 Untuk menentukan luas suatu bidang.

 Untuk menentukan volume benda putar dan menentukan panjang busur.

D. Bidang Fisika

Penerapan integral dalam bidang fisika yaitu:

 Untuk menganalisis rangkaian listrik arus AC.

 Untuk menganalisis medan magnet pada kumparan.

(26)

E. Bidang Teknik

Penerapan integral dalam bidang teknik yaitu:

 Untuk mengetahui volume benda putar

 Untuk mengetahui luas daerah pada kurva.

Contoh integral dalam kehidupan sehari-hari, dapat kita ketahui dari kecepatan sebuah motor pada waktu tertentu, dan posisi perpindahan benda itu pada setiap waktu. Untuk menemukan hubungan ini kita memerlukan proses integral (antidiferensial), contoh lain yaitu setiap gedung Petronas di Kuala Lumpur atau gedung-gedung bertingkat di Jakarta. Semakin tinggi bangunan semakin kuat angin yang menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan harus dirancang berbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan yang tepat, dipakailah integral.

(27)

UJI KOMPETENSI

Kerjakan dengan teliti !

1. Selesaikan tiap integral berikut ini!























                   dx x x x x j dx x x x i dx x x h dx x x g dx x f dx x x x e dx x x x x d dx x c dx x b dx x a 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 4 4 5 1 . 4 5 . 1 . 6 . 3 2 . 8 3 2 6 . 7 5 2 4 3 . 1 . 5 . 2 .

2. Selesaikan integral tak tentu fungsi trigonometri berikut ini!



















     dx x x e dx x x d dx x x c dx x x b dx x a sin 2 . sin 2 . sin 6 cos 8 . cos sin . sin 5 . 2

3. Selesaikan integral tak tentu fungsi trigonometri berikut ini! 𝑎. 2 sin 4𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥

𝑏. ∫ 4 sin 5𝑥 sin 𝑥 dx 𝑐. cos 3𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

(28)

4. Tentukan nilai integral di bawah ini :







           2 1 2 1 1 2 4 0 1 2 2 3 0 1 . 6 2 5 . 12 . 6 . 4 . dx x x e dx x x d dx x x c dx x b dx x a

5. Tunjukkan dengan arsiran, luas daerah yang dinyatakan dengan integral berikut :







    2 2 3 3 3 2 3 2 2 4 0 . 4 . . 3 . dx x d dx x c dx x b dx x a

6. Tentukan integral dari fungsi –fungsi berikut dengan menggunakan metode substitusi !



















     dx x x e dx x x d dx x x c dx x b dx x a 2 4 3 2 6 2 4 5 6 6 . 5 12 . 4 4 . 1 5 2 3 2 .

(29)

7. Tentukan integral berikut dengan metode parsial !















     dx x x g dx x x f dx x x e dx x x d dx x x c dx x x b dx x x a 2 sin 1 2 . cos . sin . 1 . 4 2 . 2 1 8 . 2 6 . 2 3 5

8. Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :

a. b. y = x + 2 y = 2 x -2 0 2 Y y = 3 x c. 4 X -4 ₄ 0 3 _X Y X Y

(30)

9. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva 3 2

3x x

y   , sumbu X, x = -1 dan x = 3

10. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :

a.

0

11. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang diketahui diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 ! a. 𝑦 = 𝑥, 𝑥 = 1 dan 𝑥 = 10

b. 𝑦 = 𝑥2_{, sumbu 𝑋, sumbu 𝑌 dan 𝑥 = 6} c. 𝑦 = 𝑥, sumbu 𝑋, sumbu 𝑌 dan 𝑥 = 9 d. 𝑦 = 𝑥2+1, 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 1

e. 𝑦 = 𝑥3_{, sumbu 𝑋, 𝑥 = −3 dan 𝑥 = 3}

12. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2 _{+ 1 dan𝑦 = 3diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360º adalah …} satuan volum a. 2 c. 3 e. 5 b. 2 2 1_ _{d. 4} 3 1_ 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 2𝑥 2 _𝑋 𝑌

(31)

13. Volume benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh

parabola𝑦 = 𝑥2_{dan 𝑦}2 _{= 8diputar 360º mengelilingi sumbu Y adalah ….} satuan volum a. 2 5 4 _ _{c. 4} 5 4 _ _{e. 9} 5 4 _ b. 3 5 4_ _{d. 5} 5 4 _

(32)

DAFTAR PUSTAKA

E.,S. Pesta, Cecep Anwar H.F.S. 2008. Matematika Aplikasi Jilid 3. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Martono, K. 1992. Kalkulus. Bandung: Fakultas IPA Jurusan Matematika ITB. Purcell, Edwin. J. 1992. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta: Erlangga. Ayres, Frank J.R. 1964. Calculus.McGraw Hill.

Herynugroho, dkk. 2006. Matematika SMA Kelas XII. Jakarta: Yudhistira www.soalmatematik.com. Diakses pada 9 Oktober 2014.

Download dokumen Matem teknik. Diakses pada 9 Oktober 2014.

(33)

Deskripsi Kerja Kelompok

Dalam pembuatan project buku ajar ini kami

mengerjakannya dengan berbagi tugas dengan tujuan agar project buku ajar ini selasai tepat waktu, akan tetapi bukan berarti kami mengerjakannya secara terpisah dan

masing-masing, kami tetap setiap hari berkumpul dan bertukar pendapat. Banyak sekali masalah yang kami temui saat pembuatan buku ajar ini, namun dengan rasa kerja sama dan tanggungjawab dari masing-masing anggota kelompok kami, masalah yang kami hadapi dapat terselesaikan. Kami berharap buku ajar yang kami buat ini dapat memberikan manfaat bagi semua pembacanya, khususnya bagi pendidik dan peserta didik dalam proses pembelajaran.

Isna Silvia

Nama : Isna Silvia

Tempat, tanggal lahir : Majalengka,

02September 1996 Jenis kelamin : Perempuan

Agama : Islam

Alamat : Lingk.Ganjar Asih, RT/05, RW/06Kel.Cikasarung,Kec./Kab. Majalengka, Prov.Jawa Barat Facebook : Isna Silvia

Twitter:@isna_silvia

e-mail :isna_silvia@yahoo.com Selly Erawati Sudarja

Nama: Selly Erawati Sudarja

Tempat, Tanggal Lahir : Indramayu, 13 Desember1996 Jenis kelamin : Perempuan

Agama : Islam

Alamat : Jl. Raya Limpas No.59 Patrol-Indramayu

Facebook : Selly Erawati Sudarja Twitter : @sellyerawati_13

e-mail:sellyerawatisudarja@yahoo.com Ima Tarsimah

Nama : Ima Tarsimah

Tempat, tanggal lahir : Majalengka, 25 Maret 1995 Jenis Kelamin : Perempuan

Agama : Islam

Alamat : Blok Leuwiorok RT/03 RW/01 Ds. Jatimulya kec. Kasokandel kab. Majalengka

Facebook :イマ

Twitter : @ImaTarsimah