BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN

(1)

DAFTAR ISI

BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS

BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN

BAB I. MATRIKS

Matriks berupa sekelompok bilangan yang disusun empat persegi dan dibatasi tanda

     

terdiri dari baris dan kolom

Notasi matriks: Satu huruf besar atau huruf kapital : A, B, C Contoh:

 baris ke-1  baris ke-2 ↓ ↓ ↓

k1 k2 k3

Bilangan yang menyusun disebut elemen matrik. Elemen matrik : 2, 5, 7, 1, 3, 4

Ukuran matriks ditunjukkan dengan jumlah baris x jumlah kolom

Secara umum :

 

a A  _ij dimana : aij i = 1, 2, 3, …, m j = 1, 2, 3, …, n m : jumlah baris n : jumlah kolom        4 5 7 3 1 2 A

(2)

Penulisan :              mn m3 m2 m1 2n 23 22 21 1n 13 12 11 a a a a a a a a a a a a A         Macam-macam matrik 1. Matrik Bujur Sangkar

Jika m =n



2 2



2 1 1 2        



3 3



5 1 2 4 7 2 1 2 1              

2. Matrik Segitiga Atas Jika aij = 0 untuk i > j            5 0 0 4 7 0 1 2 1

3. Matrik Segitiga Bawah Jika aij = 0 untuk setiap i < j

          1 5 2 0 7 2 0 0 1 4. Matrik Dagonal Jika aij = 0 untuk i ≠ j

(3)

          5 0 0 0 7 0 0 0 1 5. Matrik Skalar

Jika aij = 0 untuk i ≠ j dan aij bernilai sama untuk i = j

          7 0 0 0 7 0 0 0 7

6. Matrik Satuan (Identitas)

Jika aij = 0 untuk i ≠ j dan aij = 1 untuk i = j

           1 0 0 0 1 0 0 0 1 I₃

In = matrik identitas dengan ukuran n x n

OPERASI MATRIKS

1. Kesamaan dua matrik A = [aij]

B = [bij]

A = B jika aij = bij untuk setiap i dan j dan kedua matrik mempunyai ukuran yang sama.

2. Penjumlahan A = [aij] B = [bij] C = [cij]

(4)

A + B = C jika aij + bij = cij untuk setiap i dan j dan kedua matrik mempunyai ukuran yang sama.

                    18 16 14 10 11 9 12 11 10 9 8 7 6 5 4 1 3 2 3. Perkalian

(a) Perkalian dengan bilangan skalar

              28 20 12 8 7 5 3 2 4 α = bilangan skalar A = [aij] B = [bij]

B = αA jika bij = α × aij untuk setiap i dan j

(b) Perkalian dua matrik A = [aij] B = [bij] C = [cij] C = A × B jika



   n 1 k kj ik ij a b

c untuk setiap i dan j

Syarat untuk dilakukan perkalian antar matrik adalah jumlah kolom matrik pertama = jumlah baris matrik kedua.

                        71 31 4 7 3 6 5 4 1 3 2 A(2×30) B(3×1) C(2×1)

(5)

c11 = a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31



   n 1 k kj ik ij a b

c ; n adalah jumlah kolom matrik I atau jumlah baris matrik II. Cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + ain bnj k=1 k=2 k=n                         57 38 20 71 23 19 9 31 4 1 1 4 5 4 2 7 2 3 1 3 6 5 4 1 3 2 Secara umum : AB ≠ BA 4. Matrik transpose A = [aij] B = [bij]

B = AT jika bij = aji untuk setiap i dan j

             4 1 3 2 4 3 1 2 T A B b11 = a11; b12 = a21; b21 = a12; b22 = a22                      9 6 3 8 5 2 7 4 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 T Soal! Hitunglah: a. 4A + AB b. ATB - BI3 c. A2 – I3 Dengan:

(6)

           2 4 3 -3 1 -2 1 2 1 A dan            5 1 -1 1 3 2 2 1 1 B Penyelesaian: a.                                                                               16 23 5 30 8 11 13 14 10 8 7 7 18 4 3 9 6 6 8 16 12 12 4 8 4 8 4 5 1 1 1 3 2 2 1 1 2 4 3 3 1 2 1 2 1 2 4 3 3 1 2 1 2 1 4 AB 4A b.                                                                                        10 9 8 22 8 2 13 9 1 5 1 1 1 3 2 2 1 1 15 8 9 23 5 4 11 10 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 1 1 1 3 2 2 1 1 5 1 1 1 3 2 2 1 1 2 3 1 4 1 2 3 2 1 BI B AT ₃ c.

(7)

                                                                             12 2 1 5 16 9 9 4 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 13 2 1 5 17 9 9 4 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 1 4 1 2 3 2 1 2 3 1 4 1 2 3 2 1 I A 3 2

(8)

BAB II

DETERMINAN

Determinan matrik A diberi lambang atau notasi det A atau |A| Nilai determinan suatu matrik merupakan bilangan skalar. Determinan didefinisikan pada matriks bujur sangkar.

Cara menghitung nilai determinan:

I. Ukuran 2  2        d c b a A

Nilai |A| = det A = ad – bc Contoh: 2 3 2 4 1 4 3 2 1             II. Ukuran 3  3

Perkalian elemen searah diagonal

           i h g f e d c b a A

(9)

bdi -afh -ceg -cdh bfg aei h g i h g e d f e d b a c b a                    Keterangan: = dijumlahkan = dikurangkan

Catatan: Menghitung nilai determinan dengan cara ini hanya berlaku untuk matrik 3x3, tidak dapat dilakukan bila ukuran 4x4 atau lebih.

SOAL 7 5 3 4 3 2 3 2 1 = ? Penyelesaian: 1 2 3 1 2 2 3 4 2 3 21 24 30 27 20 28 0 3 5 7 3 5       

Matrik yang determinannya = 0 disebut matrik singular

          7 5 3 4 3 2 3 2 1

(10)

Sifat determinan:

1. Nilai determinan suatu matriks tidak berubah jika matriks tersebut ditranspose |AT| = |A|

2. Nilai determinan akan berubah tanda bila salah satu baris atau kolom dipertukarkan dengan baris atau kolom lain.

0 5 2 4 2 1 1 2 3 4 2 1 0 5 2 1 2 3 4 2 1 1 2 3 0 5 2   

3. Nilai determinan akan berubah menjadi k kali jika setiap elemen suatu baris atau kolom dikalikan dengan k.

4 7 2 1 1 7 2 3 0 7 5 2 4 2 1 1 2 3 0 7 5 7 2 7 7 4 2 1 1 2 3 0 5 2         

MINOR DAN KOFAKTOR

Minor

Minor dari matrik A  [aij] = Mij

Mij adalah matrik yang berasal dari matrik yang baris ke-I dan kolom ke-j dihilangkan. Misal:            33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A ; M12 = ?

M12 : dari matrik A, baris ke-1 dan kolom ke-2 dihilangkan.

       33 31 23 21 12 a a a a M

(11)

       32 31 12 11 23 a a a a M        23 22 13 12 31 a a a a M Kofaktor Aij = (-1)i+j |Mij|

Dengan i : nomor baris j : nomor kolom Misal:            33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A Maka:





33 21 31 23 31 23 33 21 33 31 23 21 2 1 12 a a a a a a a a a a a a ) 1 ( A             12 13 3 1 31 22 23 12 23 13 22 a a A ( 1) a a a a a a       

Nilai determinan matrik A dapat dihitung dengan menggunakan minor Mij dan kofaktor Aij

(12)

23 23 22 22 21 21 13 13 12 12 11 11 A a A a A a A A a A a A a A      

 Ekspansi kolom pertama

32 32 22 22 12 12A a A a A a A    CONTOH SOAL

1. Hitung determinan matriks di bawah ini dengan minor dan kofaktor

          1 5 1 4 3 2 3 2 1 Penyelesaian:  Cara 1

Mengitung nilai minor dan kofator dilanjutkan dengan ekspansi baris

1 4 3 3 2 A 13 1 5 3 2 A 17 1 5 4 3 A 31 21 11            

8

1

13

2 )

17 (

1 A

a

A

a

A

a

A

₁₁ ₁₁ ₂₁ ₂₁ ₃₁ ₃₁





















(13)

8 1 10 1 3 2 2 1 1 4 2 3 1 5 4 3 3 2 1 A        

2. Hitung determinan dari (4x4)

            2 0 3 1 3 1 1 2 5 2 0 1 1 3 1 2 Penyelesaian                               2 0 3 1 3 1 1 2 5 2 0 1 1 3 1 2

Ekspansi baris ke-2

1 3 1 2 3 1 2 1 1 2 1 3 A 1 1 1 3 0 2 1 3 2 2 1 3 5 2 1 1 3 0 2 1 0 2 1 3 2 1 3 0 1 3 1 1 3 2 1 1 2 1 2 1 3 2 1 1 1 3 1 1 2 2 1 3 2 1 5 2 1 1 2 1 3 0 2 3 0 1 3 2 1 3 1 3 0 1 3 (1 1 2 3 3 3 1 1 3 3 1 2) 2(2 1 2 1 3 1 1 2 3 1 1 1 2 3 3 1 2 2) 5(1 1 1 3 2 3 3 1 1 2 1 3) (2                                                            27 3 6) 2(4 3 6 1 18 4) 5(1 18 3 6) 20 20 50 50                  

(14)

            2 1 3 2 3 2 0 1 1 1 2 2 0 1 3 0 Penyelesaian:                               2 1 3 2 3 2 0 1 1 1 2 2 0 1 3 0

 Ekspansi baris ke-1

2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 A 0 0 2 3 3 1 2 3 1 1 0 3 0 1 0 2 3 1 2 2 1 2 2 3 2 2 3 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 3 1 2 3 1 2 1 1 0 3 1 0 2 1 2 2 1 2 3 2 2 3 3(2 2 2 1 3 2 1 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 2) 1(2 3 2 1 1 3 2 3 3 2 1 2) 3(8 6 1 4 6 2) 1(12 3 18 4) 9 7 16                                                            

(15)

2 1 1 3 1 0 3 1 0 3 1 0 A 0 0 2 3 2 0 2 3 1 2 1 1 2 2 1 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 0 2 3 3 1 0 3 1 3 1 0 3 1 3 1 0 3 1 2 0 2 3 0 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 0 2 3 0 2 2(3 2 2 1 3 3 3 3 1) (3 1 2 1 1 3 3 1 1 1 2 2) 2(3 1 3 3 1 2 1 2 3) 2(12 9 9) (6 3 3 4) 2(9 6                                                         6) 24 2 6 16       

OPERASI BARIS ATAU KOLOM

Nilai determinan tidak berubah jika salah satu baris / kolom, elemennya ditambah dengan suatu bilangan skalar dikalikan elemen baris atau kolom yang lain.

Contoh:           7 5 1 4 3 2 3 2 1 Hitung determinannya!

Operasi baris: Ob(21)(-2)  elemen baris ke-2 ditambah dengan (-2) kali elemen baris pertama

(16)

7 5 1 2 1 0 3 2 1 7 5 1 3 ) 2 ( 4 2 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 2 3 2 1 7 5 1 4 3 2 3 2 1             

 Dengan determinan biasa 1 2 3 1 2 0 1 2 0 1 [1 ( 1) 7 2 ( 2) 1 3 ( 1) 1 1 ( 2) 5) 1 5 7 1 5 2                    

 Dengan ekspansi kolom ke-1

2 ) 15 14 ( ) 10 7 ( 7 5 3 2 1 7 5 3 2 0 7 5 2 1 1 7 5 1 2 1 0 3 2 1                

 Dengan Ob (31)(-1) untuk hasil (matrik) Ob (21)(-2)

4 3 0 2 1 0 3 2 1 3 ) 1 ( 7 2 ) 1 ( 5 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 0 3 2 1 7 5 1 2 1 0 3 2 1                  

(17)

Penyelesaian:

Dengan ekspansi kolom ke-1

2 ) 6 4 ( 1 4 3 2 1 1 4 3 0 2 1 0 3 2 1            SOAL 1.             2 1 3 2 3 2 0 1 1 1 2 2 0 1 3 0 Hitunglah determinannya! Penyelesaian:             2 1 3 2 3 2 0 1 1 1 2 2 0 1 3 0

Dengan Operasi kolom: Ok (23)(-3)

Jawab:                         2 1 1 ) 3 ( 3 2 3 2 1 ) 3 ( 0 1 1 1 1 ) 3 ( 2 2 0 1 1 ) 3 ( 3 0                2 1 0 2 3 2 6 1 1 1 1 2 0 1 0 0

(18)

2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 6 3 1 1 6 3 1 6 2 0 2 2 0 2 2 0 1 [2 ( 6) 2 ( 1) 3 2 1 ( 6) 2 ( 1) 1 2] 24 6 12 2 16                                 

2. Dari soal contoh setelah Ob (310(-1) dilakukan Ob(32)(3)

            4 3 0 2 1 0 3 2 1 Penyelesaian:                                   2 0 0 2 1 0 3 2 1 ) 2 ( ) 3 ( 4 ) 1 ( 3 3 0 ) 3 ( 0 2 1 0 3 2 1

Dengan sifat matrik segitiga atas |A| : elemen diagonal Maka:

|Matrik di atas| = 1(-1)(-2) = 2

3. Hitunglah determinan dari

             2 3 2 4 4 2 3 1 2 5 4 2 3 3 2 3

dengan Ok (13)(-1) dan Ok(43)(-1)

(19)

                                                       1 3 2 2 2 3 3 3 5 4 3 0 3 2 0 3 ) 1 ( 2 3 2 3 ) 1 ( 4 2 ) 1 ( 4 2 3 2 ) 1 ( 1 5 ) 1 ( 2 5 4 5 ) 1 ( 2 3 ) 1 ( 3 3 2 3 ) 1 ( 3

Dengan ekspansi baris ke-1

3 5 3 3 4 3 3 5 3 3 5 3 4 3 3 4 2 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 3 3 3 2 3 3 1 3 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 28                              

(20)

BAB III

INVERS MATRIKS

A = [aij] B = [bij]

B dikatakan invers A jika AB = BA = I Invers matrik A diberi simbol A-1 atau

A 1 Misal: A = 2 B = ½ AB = 2 · ½ = 1 BA = ½ ·2 = 1 Ax = B x = B/A Ax = B x = A-1B Sifat: 1. (A-1)-1 =A 2. (AB)-1 = B-1A-1

Cara menghitung matrik invers

A det A adjoin 1   A

(21)

Contoh: Jika               5 1 1 2 4 0 4 3 2 A , maka A-1 = ? Jawab: Menghitung kofaktor 18 5 1 2 4 A₁₁ _          = -4.5 - 2.(-1) = -20 +2 =-18 2 5 1 2 0 A₁₂ _        4 1 1 4 0 A13           11 5 1 4 3 A₂₁ _          14 5 1 4 2 A₂₂ _         5 1 1 3 2 A₂₃ _         10 2 4 4 3 A₃₁ _          4 2 0 4 2 A32           8 4 0 3 2 A₃₃ _         Menghitung adjoin A:                                       8 5 4 4 14 2 10 11 18 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A Adjoin 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 T

(22)

46 -40 -4 -10 5(-8) (-1)(-4) 1(-10) A det                                          46 8 46 5 46 4 46 4 46 14 46 2 46 10 46 11 46 18 8 5 4 4 14 2 10 11 18 46 1 A-1 Cek! 3 I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 1 1 2 4 0 4 3 2 46 8 46 5 46 4 46 4 46 14 46 2 46 10 46 11 46 18                                           Contoh:

1. Berapa matrik invers untuk matrik

      4 3 2 1 Jawab:        1 3 -2 -4 A adjoint A11 = 4 A21 = -2

(23)

A12 = -3 A22 = 1 Det A = -2 Maka:                        2 1 2 3 1 2 1 3 2 4 2 1 A 1 Cek!                         1 0 0 1 4 3 2 1 2 1 2 3 1 2

Rumus sederhana untuk 2x2:

                   a c b d bc ad 1 d c b a A 1 1

2. Berapa invers matrik dari

          7 5 2 6 4 1 2 3 1 Jawaban 1 7 5 2 6 4 1 2 3 1           

(24)

11 4 6 A 2 5 7    _ _    2 7 5 6 4 A11         5 7 2 6 1 A₁₂ _        3 5 2 4 1 A₁₃ _        11 7 5 2 3 A21          3 7 2 2 1 A₂₂ _         1 5 2 3 1 A23         10 6 4 2 3 A₃₁ _        4 6 1 2 1 A₃₂ _        1 4 1 3 1 A33          det A = 1(-2) + 3(5) + 2(-3) = 7 maka:                33 32 31 23 22 21 13 12 11 1 a a a a a a a a a A det 1 A adjoint A det 1 A Maka: 7 1 7 1 7 3 7 4 7 3 7 5 7 10 7 11 7 8 1 1 3 4 3 3 10 11 2 7 1 A 1            

(25)

Cek! A-1 A = I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 7 5 2 6 4 1 2 3 1 7 1 7 1 7 3 7 4 7 3 7 5 7 10 7 11 7 8      

3. Berapa invers matrik dari

           7 5 1 4 3 2 3 2 1 B Jawaban            7 5 1 4 3 2 3 2 1 B 1 7 5 4 3 B11   10 7 1 4 2 B₁₂   7 5 1 3 2 B13   1 7 5 3 2 B₂₁   4 7 1 3 1 B₂₂   3 5 1 2 1 B23   1 4 3 3 2 B₃₁  2 4 2 3 1 B₃₂   1 3 2 2 1 B₃₃  

(26)

1 3 7 2 4 10 1 1 1 b b b b b b b b b B adjoint 33 23 13 32 22 12 31 21 11       2 21 20 1 5 1 3 2 3 7 1 4 2 2 7 5 4 3 1 A Det           2 1 2 3 2 7 1 2 5 2 1 2 1 2 1 1 3 7 2 4 10 1 1 1 2 1 B adjoint B det 1 B 1               Cek! B-1 B = I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 7 5 1 4 3 2 3 2 1 2 1 2 3 2 7 1 2 5 2 1 2 1 2 1      

Metode Operasi Baris

           33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A

(27)

             33 32 31 23 22 21 13 12 11 1 b b b b b b b b b A B             A I3 33 32 31 23 22 21 13 12 11 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a a a a a a a a a

Dengan operasi baris diupayakan agar terbentuk matrik sebagai berikut

          33 32 31 23 22 21 13 12 11 b b b b b b b b b 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Dengan demikian matrik B = [bij] merupakan invers dari matriks A = [aij] Contoh:

Hitunglah nilai invers dari matriks berikut

            7 5 1 4 3 2 3 2 1 Jawab:             A I3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 7 5 1 4 3 2 3 2 1

Langkah Operasi baris

1. Membentuk matriks segitiga atas. 2. a21 dijadikan nol.

3. Baris ke-2 ditambah dengan (-2) baris ke-1 (baris ke-2 + baris ke-1 kali –2 atau O21(-2))

(28)

                                         1 0 ) 1 ( 0 1 ) 1 ( 0 3 ) 1 ( 4 2 ) 1 ( 5 1 ) 1 ( 1 0 0 ) 2 ( 1 1 ) 2 ( 0 3 ) 2 ( 4 2 ). 2 ( 3 1 ) 2 ( 2 0 0 1 3 2 1 ) 1 ( O II. ) 2 ( O I. II II II II II I I I I I 31 21               1 0 1 4 3 0 0 1 2 2 1 0 0 0 1 3 2 1 (ii)

 

                                 1 ) 1 ( ) 3 ( 0 ) 2 ( ) 3 ( ) 1 ( 4 ) 1 ( ) 3 ( 3 0 0 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( 4 ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( 0 0 0 1 3 2 1 ) 3 ( O IV. ) 1 ( O III. IV IV IV 2 1 IV III III III III 32 2              1 3 7 2 0 0 0 1 2 2 1 0 0 0 1 3 2 1 (iii)

 

                            VI 2 1 VI 2 1 VI 2 1 VI 2 1 V V V V 2 1 3 23 ) ( 1 ) ( ) 3 ( ) ( ) 7 ( (-2) 0 0 ) 1 )( 1 ( 0 3 ) 1 ( ) 1 ( ) 7 ( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 1 ( 2 1 0 0 0 1 3 2 1 ) ( O VI. ) 1 ( O V.               2 1 2 3 2 7 1 0 0 1 2 5 0 1 0 0 0 1 3 2 1 (iv)                             2 1 2 3 2 7 VII VII VII VII 21 1 0 0 1 2 5 0 1 0 1 ) 2 ( 0 2 ) 2 ( 0 ) 5 ( ) 2 ( 1 3 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( O VII.

(29)

                2 1 2 3 2 7 1 0 0 1 2 5 0 1 0 2 4 11 3 0 1 (v)                              2 1 2 3 2 7 VIII 2 1 VIII 2 3 VIII 2 7 VIII 13 1 0 0 1 2 5 0 1 0 ) )( 3 ( ) 2 ( ) )( 3 ( ) 4 ( ) )( 3 ( 11 1 ) 3 ( 3 0 1 ) 3 ( O VIII.                2 1 2 3 2 7 2 1 2 1 2 1 1 0 0 1 2 5 0 1 0 0 0 1 SOAL

Hitung matrik invers dari

          7 5 2 6 4 1 2 3 1

(30)

BAB IV

PENYELESAIAN PERSAMAAN

LINEAR SIMULTAN

Persamaan Linear

Persamaan yang memunyai pangkat tertinggi variabel = 1

Contoh: ax b 0 (1.1) axbyczd _(1.2) 1 1 2 2 n n a x a x  ... a x b (1.3) x : variabel  persamaan 1.1 x, y dan z : variabel  persamaan 1.2

1 2 n 1 2 n

x , x , , x : variabel

a , a , , a : koefisien persamaan 1.3 b : konstanta (ruas kanan)

      

Persamaan Linear Simultan:

Beberapa persamaan linier yang penyelesaiannya harus dilakukan secara serentak (simultan).

Penulisan persamaan linear simultan secara umum:

11 1 12 2 n n 1 21 1 22 2 2n n 2 n1 1 n 2 2 nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                

(31)

Dapat ditulis 11 12 1n 1 1 21 22 2n 2 2 n1 n 2 nn n n a a a x b a a a x b a a a x b                  _ _                            AX = B Keterangan: A = Matrik koefisien X = Matrik variabel B = Matrik konstanta

Macam persamaan linear AX =B Jika: B = 0  homogen

B ≠ 0  non homogen Penyelesaian persamaan linear simultan:

Menghitung nilai masing-masing variabel yang memenuhi semua persamaan yang ada.

Metode penyelesaian:

1. eliminasi dan substitusi 2. cramer

3. invers matrik 4. iterasi

Macam penyelesaian: Jika (det ≠ 0) persamaan mempunyai jawab tunggal. Jika (det = 0) persamaan bisa mempunyai jawab banyak atau bisa tidak punya jawab.

CONTOH SOAL

Persamaan linier simultan terdiri dari 2 persamaan dengan 2 variabel Selesaikan persamaan linier simultan

(32)

3x + 5 y = 13 x + y = 3 Penyelesaian:  Eliminasi 3x 5y = 13 1 x + y = 3 3 3x 5y = 13 3x 3y = 9 2y = 4 y = 2 x = 1      _  Subtitusi 3x 5y = 13 x + y = 3 x = 3 - y 3 (3 y) 5y = 13 9 3y 5y 13 2y 4 y 2 x 1          

 Cramer : untuk determinan ≠ 0. 3x 5y 13 x y 3 3 5 x 13 1 1 y 3                        

(33)

13 5 3 1 2 x 1 3 5 2 1 1      3 13 1 3 4 y 2 3 5 2 1 1       Invers Matrik Ax = B  x = A-1 B 1 1 5 5 1 1 5 1 3 1 ₂ ₂ A 3 5 2 1 3 1 3 2 2 1 1       _  _ _ _ _ _   _ _    _ _{ }     _  _ 5 1 x ₂ ₂ 13 y 1 3 3 2 2 13 15 2 2 13 9 2 2 1 2 _ _    _ _       _ _     _  _   _ _      _          

Persamaan linier simultan terdiri dari 3 persamaan dengan 3 variabel 1. Selesaikanlah: 2x 5y 2z 7 x 2y 4z 3 3x 4y 6z 5          Eliminasi: 2x 5y 2z 7 1 2x 5y 2z 7 2x 4y 8z 6 x 2y 4z 3 2 ... (iv) 9y + 10z = 1                  

(34)

x 2y 4z 3 3 3x 6y 12z 9 3x 4y 6z 5 3x 4y 6z 5 1 ... (v) 10y 6z = 4                   9y 10z 1 10 90y ( 100)z 10 90y 54z 36 10y 6z 4 9 46z = 46 z 1                    Substitusi nilai z ke dalam persamaan

10y 6z 4 10y 6 1 4 10y 10 y 1       

Substitusi nilai z dan y ke dalam persamaan x 2y 4z 3 x 2 1 4 1 3 x 2 4 3 x 5            

Jadi penyelesaian persamaan di atas, x = 5; y = 1 dan z = 1. Contoh beberapa macam penyelesaian:

1. Selesaikan 3x 2y 5 x y 2     Penyelesaian 3x 2y 5 1 3x 2y 5 x y 2 2 2x 2y 4 x 1 y 1                Jawab tunggal

Dua garis lurus saling berpotongan. 2. Selesaikan

(35)

2x 3y 7 4x 6y 13     Penyelesaian 2x 3y 7 2 4x 6y 14 4x 6y 13 1 4x 6y 13 0x 0y 1               

Tidak punya jawab Dua garis lurus sejajar. 3. 3x 2y 8 2 6x 4y 16 6x 4y 16 1 6x 4y 16 0x 0y 0                   

Jawab banyak nilai x dan y yang memenuhi. Dua garis berimpit.

3x2y8 x y 0 4 8 ₀ 3  Maka dimisalkan: x p 8 3p y 2    

Cramer, syaratnya determinan ≠ 0 3x 2y 5 det 1 x y 2        _ 2x 3y 7 det 0 4x 6y 13       _{ }

Dalam koordinat x - y, persamaan linear dapat digambarkan sebagai garis lurus.

(36)

 garis lurus berimpit dengan satu bidang datar  garis lurus pada koordinat x - y

5 2 1 2 x y 0 1 1 2  x y 0 2 1 1 2 0 Contoh: 1. Selesaikanlah x 2y 3z 12 3x 6y z 42 det 0 y z 5         _     _ (1) ... x 2y 3z 12 3 (2) ... 3x 6y z 42 1         3x 6y 9z 36 3x 6y z 42 8z 6 3 z 4           

(37)

 

y3 z 5 y 5 4 3 y 5 4 23 4        

   

23 x 2y 33z 12 x 2 3 12 4 4 23 9 x 12 2 12 11 x 4           