BAB 2 LANDASAN TEORI. Himpunan fuzzy adalah bentuk umum himpunan biasa yang memiliki tingkat

LANDASAN TEORI

2.1 Himpunan Fuzzy

Himpunan fuzzy adalah bentuk umum himpunan biasa yang memiliki tingkat keanggotaan dari tiap-tiap elemen yang dibatasi dengan interval [ 0, 1 ]. Oleh karena itu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy memetakan setiap elemen dari semesta dalam batas ruang yang diasumsikan sebagai unit interval.

Definisi 2.1.1 .

Anggap X ruang titik-titik, dengan setiap elemen X secara umum dinya-takan dengan x , sehingga X = x . Himpunan Fuzzy A dalam X dinyadinya-takan dengan fungsi keanggotaan µ_A˜(x) yang menghubungkan setiap titik bilangan re-al pada [ 0,1 ] , dengan nilai µ_A˜(x) pada x menyatakan derajat keanggotaan dari x dalam A. Nilai terdekat dari µ_A˜ pada 1 adalah derajat keanggotaan terbesar x dalam A.

Himpunan fuzzy dinyatakan sebagai berikut:

˜

A = { (x, µ_A˜) | x ∈ X }

2.2 Notasi fuzzy

Notasi yang berlaku untuk Himpunan Fuzzy ketika semesta pembicaraan X adalah diskrit dan terbatas, dinyatakan sebagai berikut :

˜ A =

{

µA˜(x1) x₁

+

µ_A˜(x2) x₂

+ · · · }

=

{

P

µ_A˜(x_i) x_i

}

˜ A =

{

µA˜(x1) x₁

,

µ_A˜(x2) x₂

, · · · }

Ketika semesta pembicaraan X adalah kontinu dan tidak terbatas, himpunan fuzzy dinyatakan dengan:

˜

A =

R

µA˜(x) x

2.3 Normalisasi

Suatu normalisasi fuzzy adalah suatu fungsi keanggotaan yang memiliki seti-daknya 1 elemen x pada semesta X, dengan nilai keanggotaannya adalah 1 dinya-takan dengan :

µN ORM(x) = µA(x)/max(µA(x)) x ∈ X

2.4 Intensifikasi

Operasi ini membawa himpunan fuzzy yang ternormalisasi mendekati tegas de-ngan meningkatkan nilai keanggotaan diatas 0,5 dan mengurangi keanggotaan elemen yang mempunyai keanggotaan dibawah 0,5.

2.5 Operasi Himpunan Fuzzy

Union µ_{A∪ ˜}˜ _B(x) = µ_A˜(x) ∨ µ_B˜(x) Intersection µ_{A∩ ˜}˜ _B(x) = µ_A˜(x) ∧ µ_B˜(x) Complement µ_A˜ = 1- µ_A˜

Sebarang himpunan fuzzy µ_A˜didefinisikan pada semesta X adalah subhim-punan dari semesta. Nilai keanggotaan dari sebarang element x pada himsubhim-punan null φ adalah 0 dan nilai keanggotaan dari sebarang elemen x pada himpunan X adalah 1, dinyatakan sebagai berikut:

˜

A ⊆ X ⇒ µ_A(x)˜ ≤ µ_{X (x)}˜ Untuk semua x ∈ X, µ_φ(x)˜ = 0 Untuk semua x ∈ X, µ_{X (x)}˜ = 1

Hukum De Morgan untuk himpunan crisp juga berlaku untuk himpunan fuzzy:

˜

A ∩ ˜B = ˜A ∪ ˜B ˜

A ∪ ˜B = ˜A ∩ ˜B

Hukum Excluded middle (A ∪ A = X) dan hukum kebalikan (A ∩ A = φ) tidak berlaku untuk himpunan fuzzy maka:

˜

A ∪ ˜A 6= X ˜

2.6 Sifat-Sifat dari Himpunan Fuzzy

Himpunan fuzzy memiliki sifat yang sama seperti himpunan crisp (non fuzzy):

Komutatif ˜ A ∪ ˜B = ˜B ∪ ˜A ˜ A ∩ ˜B = ˜B ∩ ˜A Assosiatif ˜ A ∪ ( ˜B ∪ ˜C) = ( ˜A ∪ ˜B) ∪ ˜C ˜ A ∩ ( ˜B ∩ ˜C) =( ˜A ∩ ˜B) ∩ ˜C Distributif ˜ A ∪ ( ˜B ∩ ˜C) = ( ˜A ∪ ˜B) ∩ ( ˜A ∪ ˜C) ˜ A ∩ ( ˜B ∩ ˜C) =( ˜A ∩ ˜B) ∪ ( ˜A ∩ ˜C) Idempotent ˜ A ∪ ˜A = ˜A dan ˜A ∩ ˜A = ˜A Identitas ˜ A ∪ φ = ˜A dan ˜A ∩ X = ˜A ˜ A ∩ φ = φ dan ˜A ∪ X = X

Transitif Jika ˜A ⊆ ˜B ⊆ ˜C, maka ˜A ⊆ ˜C

Involution A = ˜˜ A

2.7.1 Operasi Pada Relasi fuzzy.

Anggap suatu relasi fuzzy ˜R dan ˜S pada ruang cartesian X × Y. Maka operasi berikut berlaku untuk nilai keanggotaan pada operasi himpunan yang berbeda:

Union

µ_{R∪ ˜}˜ _S(x, y) = max (µ_R˜(x, y), µ_S˜(x, y)) Intersection

µ_{R∩ ˜}˜ _S(x, y) = min (µ_R˜(x, y), µ_S˜(x, y)) Complement

µ_R˜(x, y) = 1- µ_R˜(x, y) Containment

˜

R ⊂ ˜S ⇒ µ_R˜(x, y) ≤ µ_S˜(x, y)

2.7.2 Sifat-Sifat Relasi Fuzzy.

Pada relasi fuzzy memenuhi sifat komutatif, asosiatif, distributif, involusi, dan idempotent, demikian juga hukum De Morgan, relasi null 0 dan relasi kelengka-pan E. Hukum yang tidak memenuhi pada relasi fuzzy adalah hukum excluded middle. Karena relasi fuzzy juga merupakan himpunan fuzzy, maka ada perbe-daan antara relasi dan complementnya, yaitu:

˜

R ∪ ˜R 6= E ˜

2.7.3 Fuzzy Cartesian Product dan Composisi.

Secara umum relasi fuzzy merupakan himpunan fuzzy, sehingga cartesian pro-duct merupakan relasi antara dua atau lebih himpunan fuzzy. Anggap ˜A suatu himpunan fuzzy pada semesta X dan ˜B menjadi suatu himpunan fuzzy pada semesta Y, maka Cartesian Product antara himpunan ˜A dan ˜B adalah relasi fuzzy ˜R yang berada dalam ruang cartesian product, yaitu:

˜

A × ˜B = ˜R ⊂ X × Y

dengan fungsi keanggotaan dari relasi ˜R, yaitu:

µ_R˜(x, y) = µ_{A× ˜}˜ _B(x, y) = min(µ_A˜(x), µ_B˜(y))

Cartesian Product ˜A × ˜B dapat dinyatakan dengan bentuk yang sama seper-ti perkalian 2 vektor. Maka seseper-tiap himpunan fuzzy dapat dinyatakan sebagai suatu vektor yang terdiri dari nilai keanggotaan yang merupakan elemen dari himpunan tersebut.

Anggap ˜R adalah relasi fuzzy pada ruang cartesian X × Y , ˜S adalah relasi fuzzy pada Y × Z, dan ˜T adalah relasi fuzzy pada X × Z, maka komposisi max - min fuzzynya dinyatakan sebagai berikut:

˜

2.8 Vektor Fuzzy

Suatu vektor ˜a = (a1,a2,· · · ,an) dikatakan suatu vektor fuzzy jika untuk sebarang

elemen 0 ≤ ai≤ 1 ,untuk i = 1, 2, · · · , n. Dengan cara yang sama transpose

vek-tor fuzzy ˜a yang dinotasikan dengan ˜at_{adalah suatu vektor kolom jika ˜a adalah}

suatu vektor baris, yaitu :

˜ at=    a1 a2 .. . an    2.9 Model Peramalan

Terdapat dua jenis model peramalan yang utama, yaitu :

1. Model Time Series (Deret Berkala)

Pada model ini pendugaan masa depan dilakukan berdasarkan nilai data masa lalu. Tujuan metode ini adalah menemukan pola dalam deret da-ta historis dan memanfaatkan pola deret tersebut untuk peramalan masa depan, keuntungan dari model ini adalah dapat meramalkan dengan cara yang lebih singkat dibandingkan model regresi.

2. Model Regresi (Kausal)

Model ini merupakan suatu model yang mengasumsikan faktor yang dira-malkan menunjukkan suatu hubungan sebab akibat dalam satu atau lebih variabel bebas dan menggunakannya untuk meramalkan nilai mendatang dari suatu variabel tak bebas. Keuntungan dari model ini adalah memiliki keberhasilan yang lebih besar untuk pengambilan keputusan yang bijak-sana.

2.10 Fuzzy Time Series

Definisi 2.1.2

Diasumsikan Y(t) ⊂ < (garis real), t = · · · , 0, 1, 2, · · · menjadi semesta pembicaraan yang dinyatakan oleh himpunan fuzzy fi(t). F(t) terdiri dari fi(t), t = · · · , 0, 1, 2,· · · didefinisikan sebagai fuzzy time series pada Y(t). Pada saat itu F(t) dapat dimengerti sebagai variabel linguistik, untuk fi(t), i = 1, 2, · · · adalah nilai linguistik dari F(t).

2.11 Variabel Linguistik

Variabel linguistik diartikan sebagai variabel yang nilainya dalam bentuk ka-ta aka-tau kalimat, dalam bahasa sebenarnya aka-tau dalam bahasa yang dibuat-buat, sebagai contoh: Age adalah variabel linguistik jika nilainya adalah linguistik daripada numerik, misalnya: young, not young, very young, quite young, old, not very old, and not very young daripada 20,21,...,yang merupakan nilai umur sebenarnya.

2.12 Relasi Fuzzy Logic

Definisi 2.1.3

Jika ada relasi fuzzy R(t,t-1) sehingga F(t) = F(t-1) × R(t, t-1) dengan simbol × adalah suatu operator maka F (t) disebabkan oleh F (t−1). Relasi yang ada antara F (t) dan F (t − 1) dinotasikan dengan F (t − 1) → F (t).

2.13 Grup Relasi Fuzzy Logic

Definisi 2.1.4

Relasi fuzzy logic dengan sisi kanan yang sama, menjadi suatu grup yang sama yaitu relasi grup fuzzy logic.

Contoh:

Untuk sisi kanan Ai yang sama, grupnya dinyatakan sbb:

Ai → Aj1

Ai → Aj2

· · · · )

⇒ Ai → Aj1, Aj2

2.14 Operator Komposisi Pada Time Invariant Fuzzy Time Series

Definisi 2.1.5

Jika F (t) disebabkan oleh F (t − 1) dinotasikan dengan F (t − 1) → F (t) maka relasinya dinyatakan dengan F (t) = F (t − 1) ◦ R(t, t − 1) simbol ”◦” merupakan Max-Min operator komposisi, R(t, t − 1) disebut sebagai model orde pertama dari F (t) .

2.15 Time Invariant Fuzzy Time Series

Time Invariant Fuzzy Time Series merupakan suatu metode peramalan yang relasinya tidak bergantung pada waktu t, dengan memanfaatkan himpunan data fuzzy yang berbentuk diskrit sebagai data historisnya.

Definisi 2.1.6

Anggap F (t) merupakan suatu fuzzy time series dan anggap R(t, t − 1) menjadi model pertama dari F (t). Jika R(t, t−1) = R(t−1, t−2) untuk sebarang

2.16 Defuzzifikasi

Defuzzifikasi adalah cara untuk memperoleh nilai tegas (crisp) dari himpunan fuzzy, adapun prosesnya yaitu:

1. Jika nilai keanggotaan outputnya adalah 0, maka z = 0

2. Jika nilai keanggotaan outputnya memiliki 1 maximum, maka titik tengah interval dimana nilai ini dicapai adalah z.

3. Jika nilai keanggotaan dari outputnya memiliki lebih dari 2 maximum yang berurutan, maka titik tengah interval dimana nilai ini dicapai adalah z.

Contoh:

Jika u1 = [ 0, 20 ], u2 = [ 20, 40 ], u3 = [ 40, 60 ] dan misalkan outputnya adalah [ 1 1 0,5 ].

Penyelesaian:

Karena nilai maximumnya adalah 1 dan berada pada interval u1 = [ 0, 20 ] dan u2 = [ 20, 40 ] ,maka:

y = 40−0₂

= 20

sehingga z = 0 + y = 20

4. Jika outputnya selain dari hal diatas maka digunakan Metode Centroid, yaitu :

z =

P ˆ xA P A ,