BUKU RANCANGAN PENGAJARAN
Mata Ajaran
Kalkulus II
Disusun oleh:
Kasiyah M Junus
Heru Suhartanto
Fakultas Ilmu Komputer
Universitas Indonesia
Agustus 2008
INFORMASI UMUM
Nama mata ajar : Kalkulus II Kode mata ajar : IKI 20081 Diberikan pada : Semester ke 3
Jumlah sks : 3 tatap muka
Jenis sks : 3 x 50 menit tatap muka, 50 menit tutorial,
100 menit latihan mandiri
Prasyarat : Kalkulus I
Kaitan dengan mata ajar lain : Persamaan Diferensial Grafika Komputer Pengolahan Citra Teori Informasi
Dosen : 1. Kasiyah M Junus
Ruang 1226
HP: 08 383 955 355
2. Wisnu Jatmiko, PhD
Asisten :
Bagan keterkaitan dengan mata ajar lain
Kalkulus IKalkulus II Persamaan Differensial – KI Grafika Komputer – TPL Pengolahan Citra – TPL / KI
Penjelasan umum
Kalkulus merupakan bagian matematika yang mempelajari gerak dan perubahan, hal ini yang membedakannya dengan Aljabar. Pertama kali
dipelajari orang secara intensif pada abad 17 untuk menjawab masalah-masalah laju perubahan dan luas daerah diantara kurva.
Dua masalah yang menjadi akar perkembangan Kalkulus adalah masalah garis singgung dan luas. Pembahasan kedua masalah tersebut berkembang ke dalam dua cabang Kalkulus yaitu Kalkulus Deferensial dan Kalkulus Integral.
Mata ajaran Kalulus di Fasilkom diberikan dalam dua semester berturut-turut. Materi dasar Kalkulus I adalah fungsi nyata dengan satu perubah bebas. Sedang pada mata ajar Kalkulus II, dibahas turunan parsial dan integral lipat unuk fungsi-fungsi dengan lebih dari satu perubah bebas. Kalkulus II juga mencakup fungsi bernilai vektor dan barisan dan deret yang merupakan fungsi dengan domain bilangan asli. Pada pembahasan deret, penekanan pada bagaimana menyajikan fungsi-fungsi tertentu dengan deret Taylor dan McLaurin. Deret Fourier diberikan untuk membekali mahasiswa dalam mengambil mata ajar lain terkait. Irisan kerucut pada bidang juga menjadi salah satu topik di Kalkulus II, disamping mengenalkan berbagai sistem koordinat.
Sebagaimana tujuan pemelajaran Matematika secara umum, mata ajar ini membekali mahasiswa dengan berbagai metode penyelesaian masalah dan mengenalkan pada penalaran matematis. Oleh karena itu, mata ajar ini menuntut keterlibatan aktif mahasiswa.
Untuk membantu mahasiswa fokus pada topik pemelajaran, pada setiap sesi pemelajaran, mahasiswa dilibatkan antara lain dengan mengerjakan lembar-lembar kerja. Pertanyaan-pertanyaan pada lembar-lembar kerja disusun sedemikian rupa sehingga membantu mahasiswa dalam mengkonstruksi pengetahuannya. Lembar kerja menpunyai fungsi-fungsi penting lain, seperti internalisasi, latihan, evaluasi, dan membantu mahasiswa dalammembuat catatan kuliah.
Dalam setiap sesi pemelajaran, mahasiswa diharuskan membawa lembar kerja yang sesuai. Mahasiswa diharapkan untuk terlibat aktif, mengerjakan tugas pada lembar kerja yang sesuai dengan sequence. Dalam mengerjakan tugas rumah, mahasiswa diperkenankan untuk bekerja sama, tidak diperkenankan menyalin buta. Kerja sama akan memperkaya wawasan.
Sasaran Pemelajaran
Dalam Kalkulus, mahasiswa tidak hanya mempelajari bagaimana menghitung dengan angka-angka, bagaimana menyederhanakan ekspresi aljabar, menghitung dengan perubah, bernalar tentang titik dan kurva serta mengenalkan konsep-konsep baru dengan lebih mendalam.
Setelah mengikuti kuliah Kalkulus II, mahasiswa diharapkan memiliki keterampilan dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan deret tak hingga, irisan kerucut, penurunan dan pengintegralan fungsi dengan dua atau lebih perubah bebas, dan fungsi bernilai vektor. Secara lebih rinci, sasaran pemelajaran terminal adalah sebagai berikut.
Sasaran Pemelajaran Terminal:
Setelah mengikuti mata ajaran ini diharapkan mahasiswa mempunyai kemampuan sebagai berikut.
1. Mahasiswa mampu menyajikan beberapa fungsi dalam suku banyak dan menghitung kesalahan atas pemenggalan suku banyak tersebut secara tepat.
2. Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah yang dapat dimodelkan dalam deret.
3. Mahasiswa mampu mengidentifikasi berbagai bentuk geometri dari persamaan kuadratnya.
4. Mahasiswa mampu menyajikan fungsi sederhana dalam bebagai sistem koordinat.
5. Jika menemui masalah yang terkait dengan fungsi perubah banyak, mahasiswa dapat menggunakan konsep turunan dan integral lipat untuk menyelesaikannya.
Sasaran Pemelajaran Penunjang
1. Jika diberikan barisan-barisan tak hingga, mahasiswa dapat menguji konvergensinya.
2. Mahasiswa dapat menyusun diagram alur uji konvergensi deret positif, dan mampu menerapkannya untuk deret-deret sederhana.
3. Jika diberikan fungsi sederhana, mahasiswa mampu menyajikannya dalam suku banyak Taylor dan deret McLaurin, dan mampu menentukan interval konvergensinya.
4. Mahasiswa mampu menerapkan deret-deret tertentu untuk menyelesaikan masalah terkait sederhana.
6. Mahasiswa mampu mengidentifikasi sifat-sifat irisan kerucut dua dimensi, dan menggambar grafiknya jika persamaan diberikan.
7. Mahasiswa mampu mengaitkan representasi grafik sederhana ke dalam berbagai system koordinat dan konversi dari satu
8. Mahasiswa mampu menjeaskan fungsi dalam bentuk polar, parametrik, dan vektor.
9. Jika diberikan fungsi dengan beberapa perubah bebas, mahasiswa
mampu menjelaskan secara geometris turunan parsialnya terhadap salah satu perubah.
10.Jika diberikan fungsi sederhana dengan beberapa bebas mahasiswa mampu menghitung luas permukaan, dan volume benda yang grafik fungsi tersebut dan bidang-bidang sejajar bidang koordinat.
11.Mahasiswa mampu menerapkan integral dengan koordinat kutub untuk menyeesaikan masalah-masalah sederhana yang sesuai.
12.Jika diberikan fungsi dengan dua perubah bebas, mahasiswa mampu menentukan domain naturalnya dan rangenya, menggambar grafiknya, menentukan limit fungsi di suatu titik, dan menentukan kontinuitas di suatu titik.
13.Jika diberikan fungsi dengan dua perubah bebas sederhana, mahasiswa mampu meninterpretasikan secara geometris turunan parsialnya
terhadap salah satu perubah, dan menghitung turunan parsial di suatu titik.
14.Jika diberikan fungsi dengan dua atau tiga perubah bebas, mahasiswa mamahami prosedur penentuan integral lipat tertentu, dan
menerapkannya pada penghitungan sederhana.
15.Jika diberikan fungsi tertentu, mahasiswa dapat menghitung integral dalam koordinat kutub.
Pokok Bahasan dan Sub Pokok Bahasan
N o
Pokok Bahasan Subpokok bahasan Rujukan pertemu an 1 Deret dan barisan
tak hingga
1.1. Barisan tak hingga: penyaajian, konvergensinya
1.2. Deret tak hingga: konvergensi 1.3. Test konvergensi deret positif 1.4. Deret pangkat
1.5. Deret ganti tanda: konvergensi absolute, bersyarat
1.6. Deret dan suku banyak Taylor 1.7. Penyajian fungsi dengan deret
1.8. Deret-deret khusus: Deret Fourier
[1] chap 1, 2, 3, 4
2 Irisan kerucut 2.1.Geometri analitik dan irisan kerucut 2.2.lingkaran
2.3.parabola 2.4.ellips 2.5.hiperbola
2.6.translasi dan rotasi
[1] chap 5
3 Sistem koordinat 3.1. system koordinat Kertesius R2 dan R3 3.2. Sistem koordinat kutub, fungsi polar 3.3. Kalkulus dalam system koordinat kutub 3.4. Sistem koordinat tabung
3.5. Sistem koordinat bola 3.6. Konversi system koordinat
[1] chap 6, 7
4 Parametrisasi kurva
bidang 8
Test taking strategy dan Ujian 1 9
4 Vektor pada bidang dan ruang
4.1. Vektor pada bidang dan ruang 4.2. Fungsi bernilai vektor
4.3. Persamaan garis dan bidang pada ruang 4.4. Kurvatur dan percepatan
[1] Chap 10
5 Penurunan parsial 5.1. Fungi perubah banyak 5.2. limit dan kontinuitas
5.3. penurunan parsial
5.4. nilai maksimum dn minimum fungsi perubah banyak
5.5. increament dan differentials
5.6. aturan rantai dan penurunan implicit
6 Integral lipat 6.1. Integral lipat dua pada daerah sederhana 6.2. Luas dan volume dengan integral lipat dua 6.3. Integral lipat dua pada koordinat kutub 6.4. integral lipat tiga
[1] chap 13, 14, 15
Rujukan
Utama[1] Vargerg, Dale; Edwin J. Purcell; Steven E. Rigdon. Calculus, 8th Edition, Prentice Hall Inc, 2000
Penunjang
[2] Edwards, Henry C., Davis E Penney, Calculus with Analytic Geometry 5th Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 1998
[3] Finney, Ross L., Maurice D. Weir; Frank R. Giordano (ed),Thomas’ Calculus, Addison Wesley Publ. Co. 2001
BAB IV
MATRIKS KEGIATAN
Metode pembelajaran: 1. Kuliah Interaktif (KI) 2. Tutorial (T)
3. Diskusi Kelompok (DK) 4. Tugas Individu (TI) 5. Tugas Kelompok (TK) 6. Mengerjakan worksheet (WS) Sumber Pembelajaran 1. Buku Teks 2. Handout 3. Internet 4. Manual Matlab Media Instruksional 1. Whiteboard 2. OHP 3. Worksheet
Matriks Kegiatan Perkuliahan
Activity Matrix Sasaran Pemelajaran Metode Pemelajaran minggu Tanggal Terminal Penunjang O L U
pokok Bahasan Media
1 KI WS KI Barisan: konvergensi
1
1 KI, WS WS, T
T Uji konvergensi barisan 2 KI, DK TK TI Deret
2
2, 3 KI, WS WS WS Uji konvergensi deret positif 3 KI, WS WS WS, TK Deret Taylor dan
McLaurin
3
4 KI WS Quiz1 Deret Fourier 4
1
KI WS, TI
WS Irisan Kerucut: bentuk-bentuk dan persamaan,
essentrisitas
5
KI WS WS Irisan kerucut: dengan suku-xy 2 5 KI WS, TK WS, Quiz2 Affine geometry 5 3 6 KI WS KI WS KI Sistem koordinat
KI KI WS
WS Sistem koordinat
6
KI, WS KI WS Kakulus polar KI KI WS TI Fungsi polar 7 KI, WS KI WS TK
TK Quiz3 Fungsi parametrik
UTS
8
KI KI WS
WS Fungsi bernilai vektor 6
KI WS WS Kurvatur
9
7 KI WS WS TI Limit
KI, WS WS WS Limit, kontinuitas
10
KI, WS WS WS Differnsial dan increament
KI, WS WS WS Geometri Turunan parsial
11
KI, WS WS WS Turunan parsial KI, WS WS WS TK Maksimum minumum
12
KI, WS WS WS Aturan rantai dan Turunan implisit KI, WS WS WS Integral lipat 2
13
KI, WS WS WS Aplikasi Integral lipat 2 KI, WS WS WS Integral lipat 3 dan
aplikasinya
14
KI, WS WS WS Integral lipat kood kutub
15
4
BAB V
EVALUASI HASIL PEMELAJARAN
Bentuk/jenis instrumen
1. Tugas individu
2. Tugas Kelompok (laporan hasil diskusi)
3. Kuis (isian singkat, pilihan ganda, Benar/Salah)
4. Ujian Tertulis (essay, jawaban singkat, pilihan ganda, Benar/Salah)
Skema Penilaian Akhir
No Komponen Bobot
1. Tugas Individu/Kelompok (3-5) 5%
2. Kuis (2-3 kali) 20%
5. Ujian Tengah Semester 30% 6. Ujian Akhir Semester (komprehensip) 35%
Total 100%
Materi Ujian 1: Barisan dan Deret
Materi Ujian 2: Irisan Kerucut, Sistem Koordinat, Vektor Materi Ujian 3: Penurunan Parsial, Integral Lipat
Materi Ujian Akhir Semester: mencakup semua materi untuk Ujian 1, 2, 3
Kisi-kisi naskah Ujian 1, 2, dan 3
Ranah Kognitif Instrumen Jumlah soal bobot K5 – K6 Extended response essay
(membuat/ mengajukan prosedur penyelesaian, mengaitkan bebera -pa sifat penting, memformulasikan rumus untuk menyelesaiakan masalah yang diberikan,
menentukan prosedur yang paling efektif)
3-4 50%
K4 Restricted response essay
(menerapkan prosedur, analisis
sifat-sifat sederhana)
K3 Pilihan ganda, BENAR/SALAH dengan alasan, isian singkat
5-10 20%
Jumlah 10-18 100%
Kisi-kisi naskah Ujian Sumatif
Ranah Kognitif Instrumen Jumlah soal bobot
K6 Extended response essay
(memilih/ menilai prosedur-prosedur penyelesaian, memberi argumentasi)
1-3 20%
K6 Restricted response essay
(menghitung, mengidentifikasi, mengklasifikasi)
8-10 40%
K5 Pilihan ganda, BENAR/SALAH (dengan alasan), isian singkat
10-15 40%
BAB VI
CONTOH SOAL UJIAN
Waktu : 90 menitSifat : closed book, tanpa kalkulator, open Worksheets Dosen : Kasiyah M. Junus
Petunjuk:
• Baca baik-baik soal dan bobot nilainya. Ketelitian amat diperlukan. • Manfaatkan waktu dengan baik.
• Pergunakan sifat-sifat penting yang mempermudah perhitungan /evaluasi. • Nilai nol diberikan pada mahasiswa yang melakukan kecurangan.
• JAWABAN langsung ditulis di LEMBAR SOAL.
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat. Perhatikan bobot nilainya. 1. [Bobot 5] Jelaskanlah titik manakah dari parabola yang paling dekat ke garis
direktriknya? Jawab:
2. [Bobot 10] Apakah r1(t) = (cost, sint) dan r2(t) =(cos 2t, sin 2t) menyajikan
kurva yang sama? Berikan alasanmu. Jawab:
Alasan:
3. [Bobot 15] Untuk nilai-nilai k berapakah irisan kerucut 2x2 + 3y2 +4x –12 y = k terdegenerasi? Identifikasi bentuk grafiknya untuk setiap kasus
Jawab:
4. [Bobot 10] Diketahui bahwa essentrisitas bumi adalah 0.017. Hitunglah rasio b/a yaitu hasil bagi semi sumbu minor terhadap semi sumbu mayor.
5. [bobot 10] Buatlah sketsa kurva parametrik x = t5 + 5, y = 4t5 –5 Jawab
6. [Bobot 10] Diberikan kurva polar r + 3 = 4 sin(5t). Tentukan persamaan vektornya.
Jawab:
7. [bobot 15] Misalkan sebuah partikel bergerak sepanjang helix
r(t) = cost i + sint j + 2t k, z menyajikan ketinggian dari permukaan tanah. a .Apakah partikel pernah bergerak turun? Kapan?
b. Kapan partikel mencapai 10 unit di atas tanah?
c. Berapa kecepatannya ketika benda berada 10 unit di atas permukaan tanah?
8. [bobot 15] Hitunglah luas oval limacon r = 4 + 2 cos t.
2 4 6 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 180 0 Jawab:
9. [Bobot 15] (a). Hitunglah kurvatur irisan kerucut r = 3 cos t di titik tertinggi. (b).Tentukan persamaan irisan kerucut yang bentuknya sama dan pusatnya juga sama, tetapi di titik tertingginya kurvaturnya setengah dari jawaban di (a). Jawab:
