Buku Kalkulus II

Tahap Persiapan Bersama

INSTITUT TEKNOLOGI KALIMANTAN

BALIKPAPAN 2016

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, atas berkat rahmat Allah, buku Kalkulus II ini telah tersele- saikan. Terima kasih kepada Institut Teknologi Kalimantan yang telah mendukung dan mendanai pembuatan buku ini.

Buku Kalkulus ini mengambil materi dan menerjemahkan dari berbagai sumber dengan tujuan untuk memberikan pemahaman yang komprehensif kepada maha- siswa. Semoga buku ini bermanfaat untuk meningkatkan pemahaman mahasiswa dalam mempelajari Kalkulus.

Buku edisi pertama ini masih sangat jauh dari kesempurnaan. Karenanya, segala bentuk saran dan kritik untuk kemajuan buku ini sangat diharapkan dan dapat disampaikan melalui spancahayani@itk.ac.id dan retnowahyu@itk.ac.id.

Balikpapan, April 2016 Penulis

Daftar Isi

Daftar Isi ii

1 Fungsi Transenden 1

1.1 Fungsi Logaritma Alami . . . 1

1.2 Fungsi Invers dan Turunannya . . . 8

1.3 Fungsi Eksponensial Alami . . . 16

1.4 Fungsi Eksponensial dan Logaritma Umum . . . 25

1.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponensial . . . 34

1.6 Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya . . . 44

1.7 Fungsi Hiperbolik dan Inversnya . . . 54

2 Aplikasi Integral 61 2.1 Luas Daerah Bidang Rata . . . 61

2.2 Volume Benda-Pejal: Lempengan, Cakram, Cincin . . . 68

2.3 Volume Benda-Pejal Putar: Kulit Silinder . . . 73

2.4 Panjang Kurva . . . 79

2.5 Kerja dan Gaya Fluida . . . 86

2.6 Momen dan Pusat Massa . . . 91

3 Teknik Integrasi 97

iii

3.1 Aturan Dasar Integrasi . . . 97

3.2 Integrasi Parsial . . . 102

3.3 Beberapa Integrasi Trigonometri . . . 112

4 Integral Bentuk Tak Tentu dan Tak Wajar 119 4.1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0 . . . 119

4.2 Bentuk Fungsi Tak Tentu Lainnya . . . 122

4.2.1 Bentuk Tak Tentu Tipe∞/∞ . . . 122

4.2.2 Bentuk Tak Tentu Tipe 0· ∞ dan ∞ − ∞ . . . 124

4.2.3 Bentuk Tak Tentu Tipe 0⁰,∞⁰, dan 1^∞ . . . 125

4.3 Integral Tak Wajar: Limit Tak Hingga pada Integrasi . . . 127

4.3.1 Limit Tak Hingga pada Integral Tak Wajar . . . 127

4.3.2 Integral Tak Wajar dengan Integran yang Memuat Diskonti- nuitas . . . 131

Daftar Pustaka 137

Bab 1

Fungsi Transenden

1.1 Fungsi Logaritma Alami

Untuk menggali lebih dalam mengenai kalkulus, perlu mengenal lebih banyak jenis fungsi. Fungsi pertama yang dipilih adalahfungsi logaritma alami.

D_x(x²

2) = x¹, D_x(x) = x⁰, D_x(??) =x⁻¹, D_x(−1

x) = x⁻², D_x(−x⁻²

2 ) =x⁻³ Definisi 1.1.1. Fungsi Logaritma Alami, dinyatakan oleh ln, didefinisikan oleh

f(x) = lnx= Z x

1

1

t dt, x >0

Daerah asal fungsi logaritma alami adalah himpunan bilangan real positif.

Gambar 1.1 menunjukkan arti geometri dari lnx. Fungsi logaritma alami meng- ukur luas di bawah kurva y = 1/t di antara 1 dan x, jika x >1 maka f(x) bernilai positif, sedangkan jika 0< x <1 maka f(x) bernilai negatif.

1

Gambar 1.1:

Turunan Fungsi Algoritma Alami

Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus Pertama, kita dapatkan Dx

Z x 1

1

t dt=Dx lnx= 1

x, x >0

Hasil tersebut dapat dikombinaskan dengan Aturan Rantai. Misalkanu=f(x)>0 dan f terdeferensialkan, maka

D_x lnu= 1 uD_xu Contoh 1.1.1. Carilah D_xln(x²−x−2)

Jawab

Soal ini bisa diselesaikan jikax²−x−2>0. Karena x²−x−2 = (x−2)(x+ 1)>0 makax <−1 ataux >2. Jadi daerah asalln(x²−x−2)adalah (−∞,−1)S

(2,∞).

Pada daerah asal ini

D_xln(x²−x−2) = 1

x²−x−2D_x(x²−x−2) = 2x−1 x²−x−2

Teorema 1.1.1.

D_xln|x|= 1

x, x6= 0

1.1. FUNGSI LOGARITMA ALAMI 3 Setiap rumus diferensiasi, terdapat rumus integrasi yang berpadanan, yaitu

Z 1

x dx= ln|x|+C, x6= 0 Bukti

Pembuktiannya akan terbagi menjadi 2 kasus. Kita mulai dengan kasus I yaitu x >0, D_xln|x|=D_xlnx= ¹_x.

Selanjutnya, untuk kasus II yakni x <0, D_xln|x|=D_xln(−x) = _−x¹ (−1) = _x¹ Teorema 1.1.1 ini menjawabR

x^rdx=x^r+1/(r+ 1) kecuali untuk pangkat r=−1.

Contoh 1.1.2. Carilah R _x²_−x

x+1dx Jawab

x²−x

x+ 1 = (x−2) + 2 x+ 1 Z x²−x

x+ 1 dx= Z

(x−2)dx+ 2

Z 1 x+ 1dx

= x²

2 −2x+ 2

Z 1 x+ 1dx

= x²

2 −2x+ 2 ln|x+ 1|+C

Sifat-Sifat Logaritma Alami

Teorema 1.1.2. Jika a dan b bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilangan ra- sional, maka

(i) ln 1 = 0 (ii) lnab= lna+ lnb (iii) ln^a_b = lna−lnb (iv) lna^r =rlna

Contoh 1.1.3. Dapatkan turunan dari y= ln ³ q(x−1

x² x >1

Jawab menggunakan sifat logaritma alami untuk menyederhanakan y.

y= ln(x−1

x² )^1/3 = 1

3ln(x−1 x² ) y= 1

3[ln(x−1)−lnx²] = 1

3[ln(x−1)−2 lnx]

jadi,

dy dx = 1

3[ 1 x−1− 2

x] = 2−x 3x(x−1) Contoh 1.1.4. Dapatkan turunan dari y=

√1−x² (x+1)^2/3

Jawab Berdasarkan sifat logaritma alami didapatkan

lny= 1

2ln(1−x²)− 2

3ln(x+ 1) kemudian kita deferensialkan secara implisit terhadapx

1 y

dy

dx = −2

2(1−x²) − 2

3(x+ 1) = −(x+ 2) 3(1−x²) sehingga

dy

dx =−y(x+ 2)

3(1−x²) = −√

1−x²(x+ 2) 3(x+ 1)^2/3(1−x²)

= −(x+ 2)

3(x+ 1)^2/3(1−x²)^1/2

Grafik Logaritma Alami

Telah kita ketahui bahwa daerah asal dari f(x) = lnx adalah D_f = {x >

0|x ∈ R} dan daerah hasilnya adalah Rf = R. Akibatnya, Dx lnx = _x¹ > 0 dan D_x²lnx=−_x¹2 <0 pada (0,∞). Dengan demikian, Gambar 1.2 menunjukkan bahwa

1.1. FUNGSI LOGARITMA ALAMI 5 fungsi f(x) = lnxbersifat monoton naik dan cekung ke bawah. Sifat limit fungsi di sekitar 0 dan x membesar

x→∞lim lnx=∞ dan lim

x→0⁺lnx=−∞

Beberapa hal yang perlu diperhatikan adalah

Gambar 1.2:

d

dxln|x|= 1

x, x6= 0;

Z dx

x = ln|x|+C, x6= 0 d

dxln|u(x)|= u⁰(x)

u(x),dengan syarat u(x)6= 0 danu terdiferensialkan

Integral Trigonometri

Beberapa Integral Trigonometri dapat dihitung menggunakan fungsi logaritma alami.

Contoh 1.1.5. Hitunglah R

tanx dx

Jawab karena tanx = ^sinx_cosx sehingga dapat membuat substitusi u = cosx, du =

−sinx dx untuk memperoleh Z

tanx dx=

Z sinx cosx dx=

Z −1

cosx(−sinx dx) = −ln|cosx|+C

Latihan 1.1

1. Carilah turunan fungsi ln berikut dengan mengasumsikan dalam setiap fungsi bahwax dibatasi sehingga fungsi ln terdefinisi

a. D_xln√ x

b. D_xln(x²+ 3x+π) c. D_xln(x−4)³

d. ^dy_dx jika y = sin(ln 2x) d. ^dy_dx jika y = ln(sin 2x)

e. ^dy_dx jika y = ln^1−x_1+x²2

f. ^dy_dx jika y = x²lnx²+ (lnx)³ g. ^dy_dx jika y = _x2^lnlnx^x2 + (ln_x¹)³ h. ^dy_dx jika y = ln(x+√

x²+ 1) i. ^dy_dx jika y = ln(x+√

x²−1) j. f⁰(81) jika f(x) = ln√³

x k. f⁰(^π₄) jika f(x) = ln cosx 2. Carilah integral-integral berikut

a. R _6v+9

3v²+9v dv b. R ₋₁

x(lnx)²dx c. R3

0 x⁴ 2x⁵+π dx d. Rπ/3

0 tanx dx e. R1

0 t+1 2t²+4t+3 dt f. R _cosx

1+sinx dx

1.1. FUNGSI LOGARITMA ALAMI 7 g. R _x²

x−1 dx h. R _x²_+x

2x−1 dx i. R _x⁴

x+4 dx j. R _x³_+x²

x+2 dx

3. Tuliskan ekspresi berikut sebagai logaritma suatu besaran tunggal a. 2 ln(x+ 1)−lnx

b. ¹₂ln(x−9) + ¹₂lnx

c. ln(x−2)−ln(x+ 2) + 2 lnx d. ln(x²−9)−2 ln(x−3)−ln(x+ 3)

4. Carilah ^dy_dx dengan menggunakan diferensiasi logaritmik a. y= ^√x+11

x³−4

b. y= (x²+ 3x)(x−2)(x²+ 1) c. y= ^(x2+3)√2/3_x+1^(3x+2)2

5. Manfaatkan grafik fungsi y = lnx yang telah diketahui untuk mensketsakan grafik persamaan-persamaan berikut

a. 2 ln|x|

b. ln¹_x c. ln√ x d. ln(x−2)

1.2 Fungsi Invers dan Turunannya

Salah satu cara mengkonstruksi fungsi baru dari fungsi yang telah ada adalah mem-”balik” (melakukan inversi) fungsi tersebut. Suatu fungsi f mengambil suatu nilai x dari daerah asalnya D dan memadankannya dengan nilai tunggal y dari daerah asalnya R. [!h] Perhatikan bahwa daerah asal f⁻¹ adalah R dan daerah

Gambar 1.3:

hasilnya adalah D. Fungsi ini disebut fungsiinvers (fungsi balikan)f. Gambar 1.3 adalahy =f(x) = 2x, maka x=f⁻¹(y) = ¹₂y. Begitu pula jika y =f(x) =x³−1, maka x=f⁻¹(y) = √³

y+ 1.

Keberadaan Fungsi Invers

Menjadi sebuah keuntungan apabila kita memiliki kriteria sederhana untuk memu- tuskan apakah suatu fungsif memiliki invers. Teorema berikut memberikan syarat keberadaan suatu fungsi kontinuf mempunyai invers.

Teorema 1.2.1. Jika f monoton murni pada daerah asal, maka f mempunyai invers.

Bukti Misalkan x1 dan x2 adalah dua bilangan dalam daerah asal f, dengan x₁ < x₂. Karena f monoton, f(x₁) < f(x₂) atau f(x₁) > f(x₂). Bagaimanapun

1.2. FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA 9 f(x₁)6=f(x₂). Jadi x₁ 6=x₂ berarti f(x₁)6=f(x₂) yang bermakna bahwaf adalah fungsi satu-satu dan karenanya mempunyai invers.

Berdasarkan Teorema 1.2.1 kita mempunyai cara mudah untuk menentukan apakah fungsi f monoton murni dengan cukup memeriksa tanda f⁰ serta kita perlu membatasi daerah asal fungsi agar fungsi tersebut monoton murni pada daerah tersebut, sehingga terdapat fungsi invers.

Contoh 1.2.1. Perhatikan bahwa f(x) =x⁵+ 2x+ 1 memiliki invers.

Jawab f⁰(x) = 5x⁴ + 2 > 0 untuk semua x. jadi f naik pada seluruh garis real (domainnya) sehingga f memiliki invers.

Terdapat cara untuk membuat suatu fungsi memiliki invers dari suatu fungsi yang awalnya tidak memiliki invers dalam daerah asalnya karena tidak monoton, kita cukup membatasi daerah asalnya pada suatu himpunan sehingga fungsi tersebut pada selang daerah asal yang baru akan turun atau akan naik saja (monoton).

Misalnya untuk y = f(x) = x² kita dapat membatasi pada daerah asal x ≥ 0 atau x≤ 0 sedangkan untuk y=g(x) = sinx, kita dapat membatasi pada interval [−π/2, π/2]. Maka kedua fungsi memiliki invers seperti yang terlihat pada gambar 1.4. [!h] Jika f memiliki invers f⁻¹ maka f⁻¹ juga memiliki invers, yakni f. Kita

Gambar 1.4:

boleh menyebut f dan f⁻¹ merupakan pasangan fungsi-fungsi invers.

f⁻¹(f(x)) =x dan f(f⁻¹(y)) =y

Contoh 1.2.2. Perhatikan bahwa f(x) = 2x+ 6memiliki invers, cari rumus untuk f⁻¹(y) dan periksa kebenarannya.

Jawab oleh karenaf fungsi naik, maka mempunyai invers. Untuk mencari f⁻¹(y), kita memecahkan f(x) = 2x+ 6 untuk x, sehingga x= (y−6)/2 =f⁻¹(y).

f⁻¹(f(x)) = f⁻¹(2x+6) = (2x+ 6)−6

2 =x dan f(f⁻¹(y)) =f(y−6

2 ) = 2(y−6

2 )+6 =y

Grafik Fungsi Invers

Misalkan f memiliki invers, maka

x=f⁻¹(y) ⇔ y =f(x).

Akibatnya y = f(x) dan x = f⁻¹(y) menentukan pasangan (x, y) yang sama, se- hingga memiliki grafik yang identik. Dapat kita bayangkan bahwa dengan menukar peranan x dan y pada grafik tidak lain merupakan hasil pencerminan grafik ter- hadap garis y = x. Jadi grafik y = f⁻¹(x) adalah gambar cermin grafik y = f(x) terhadap garisy=x(Gambar 1.5) [!h] Dariy=f(x) ⇔ x=f⁻¹(y), aturan fungsi

Gambar 1.5:

invers dapat ditentukan dengan tiga langkah berikut

Langkah 1 Selesaikan persaman y=f(x) untuk x dalam bentuky.

1.2. FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA 11 Langkah 2 Gunakan f⁻¹(y) untuk menamai ekpresi yang dihasilkan dalam y.

Langkah 3 Gantikan y dengan x untuk mendapat rumus untukf⁻¹(x) Perhatikan bahwa pada saat y = f(x) = x² didapatkan x = ±√

y, yang segera memperlihatkan bahwa f⁻¹ tidak ada, tentu saja terkecuali kita membatasi daerah asal untuk menghilangkan salah satu tanda (+) atau (-)

Contoh 1.2.3. Carilah f⁻¹ jika y =f(x) = _1−x^x Jawab

Langkah 1 y= x

1−x (1−x)y=x

y−xy=x x+xy=y x(1 +y) = y

x= y 1 +y

Langkah 2 f⁻¹(y) = y

1 +y Langkah 3 f⁻¹(x) = x

1 +x

Turunan Fungsi Invers

Misalkan gradien garis g1 yang melalui titik (a, b) dan (c, d) adalah mg1 = ^b−d_a−c. Jika g₁ dicerminkan terhadap y = x sehingga diperoleh g₂, maka gradien g₂ yang

melalui titik (b, a) dan (d, c) adalah m_g2 = ^a−c_b−d. Dari sini diperoleh hubungan m_g2 = a−c

b−d = 1

b−d a−c

= 1 m_g1

Teorema 1.2.2. Teorema Fungsi Invers

Misalkan f adalah fungsi yang dapat diturunkan dan monoton murni pada interval I. Jika f⁰(x) 6= 0 di suatu x tertentu dalam I, maka f⁻¹ dapat diturunkan di titik yang berpadanan y=f(x) dalam daerah hasil f dan

(f⁻¹)⁰(y) = 1 f⁰(x) Kesimpulan Teorema 1.2.2 seringkali dituliskan dalam

dx

dy = 1 dy/dx Contoh 1.2.4. Tentukan turunan dari invers y=x³ Jawab Gunakan relasi

y=x³ ⇔ x=√³

y =y^1/3 maka

dx dy = 1

dy dx

= 1

3x² = 1

3(y^1/3)² = 1

3y^2/3 = 1 3p³

y²

Contoh 1.2.5. Misalkan y=f(x) = x⁵+ 2x+ 1, carilah (f⁻¹)⁰(4)

Jawab perhatikan bahwa y = 4 berpadanan dengan x = 1, dan karena f⁰(x) = 5x⁴+ 2

Berdasarkan Teorema Fungsi Invers maka,

(f⁻¹)⁰(4) = 1

f⁰(1) = 1

5 + 2 = 1 7

1.2. FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA 13 Latihan 1.2

1. Dalam setiap kasus dalam gambar 1.6, tentukan apakah f mempunyai invers.

[!h]

Gambar 1.6:

2. Perlihatkan bahwaf memiliki invers dengan memperlihatkanf monoton murni.

a. f(x) =−x⁵−x³ b. cosθ, 0≤θ ≤π

c. cotx= ^cos_sin^x_x, 0< x≤ ^π₂ d. f(z) = (z−1)², z≥1

e. f(x) =x⁷+x⁵

f. f(x) =x²+x−6, x≥2 3. Carilah rumus untuk f⁻¹(x)

a. f(x) =x+ 1 b. f(x) =−^x₃ + 1

c. f(x) =√ x+ 1 d. f(x) =−√

1−x e. f(x) =−_x−3¹

f. f(x) =q

1 x−2

g. f(x) = 4x², x≤0 h. f(x) = (x−3)², x≥3

i. f(x) = (x−1)³ j. f(x) =x⁵² k. f(x) = ^x−1_x+1

l. f(x) = (^x−1_x+1)³ m. f(x) = ^x_x³3⁺²+1

n. f(x) = (^x_x³₃⁺²₊₁)⁵

4. Batasi daerah asal f, agar f memiliki invers, tetapi tetap mempertahankan daerah hasil seluas mungkin. Kemudian carilah f⁻¹(x) dengan menggambar f terlebih dahulu

a. f(x) = 2x²+x−4 b. f(x) =x²−3x+ 1

1.2. FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA 15 5. Hitunglah (f⁻¹)⁰(b) jika f(x) =x³ +x+ 1 dan b= 1

6. Sketsakan grafik y =f⁻¹(x)dan estimasi nilai (f⁻¹)⁰(3). [!h]

Gambar 1.7:

1.3 Fungsi Eksponensial Alami

Gambar 1.8 menunjukkan grafiky=f(x) = lnx. Fungsi logaritma alami adalah fungsi yang diferensiabel (karenanya ia kontinu) dan naik pada domainD= (0,∞);

dengan daerah hasilR = (−∞,∞). Fungsi yang demikian telah kita pelajari pada subbab 2.2, dan karenanya y = f(x) = lnx memiliki invers ln⁻¹ dengan domain (−∞,∞) dan daerah hasil (0,∞).

Gambar 1.8:

[!h]

Definisi 1.3.1. Invers dari ln disebut fungsi eksponensial alami dan dinotasikan sebagai exp. Dengan demikian,

x= expy ⇔y= lnx

Berdasarkan definisi tersebut, kita dapatkan 1. exp(lnx) =x, x >0

2. ln(expy) =y, untuk semuay

Karena exp dan ln adalah fungsi yang saling invers, maka grafik dari y = expx adalah grafiky= lnxyang dicerminkan terhadap garis y=x, seperti terlihat pada Gambar 1.9.

[!h]

1.3. FUNGSI EKSPONENSIAL ALAMI 17

Gambar 1.9:

Sifat-Sifat Fungsi Eksponensial

Sebelum mempelajari lebih lanjut tentang fungsi eksponensial, pertama kita perkenalkan suatu bilangan baru, seperti halnya π, yang sangat berguna dalam matematika. Bilangan tersebut diperkenalkan oleh Leonhard Euler dan disimbolkan dengane.

Definisi 1.3.2. Hurufemenotasikan suatu bilangan real positif dan tunggal sedemikian sehingga terpenuhi lne= 1.

Pendefinisian bilangan Euler e sering muncul dalam banyak versi, di antaranya adalah

• e= ln⁻¹1

• e= limh→0(1 +h)^1h

• e= limn→∞ 1 + _1!¹ +_2!¹ +· · ·+ _n!¹ [!h]

Gambar 1.10 mengilustrasikan definisi bilangan Euler. Area di bawah kurva y = 1/x antara x = 1 dan x = e. Karena lne = 1, maka benar juga bahwa exp 1 =e. Bilangan e, sepertihalnya π, adalah bilangan irasional. Bilangane telah

Gambar 1.10:

dihitung hingga ribuan digit angka di belakang koma, beberapa angka pertama di belakang koma adalah

e≈2,718281828459045.

Berdasarkan fakta-fakta yang telah didemonstrasikan pada Teorema 1.1.2. Jika r adalah sebarang bilangan rasional,

e^r = exp(lne^r) = exp(rlne) = expr

Dengan demikian, untuk sebarang bilangan rasionalr, expridentik dengane^r yang merupakan invers dari logaritma alami. Namun, bagaimana jika r adalah bilangan irasional? Tidak pernah ada pangkat irasional yang didefinisikan dengan pendekatan atau cara tertentu.

Apabila kita ingin membicarakanD_xe^x, secara sederhana kita definisikan e^x un- tuk setiapx (baik rasional maupun irasional) sebagai

e^x = expx

Perhatikan bahwa persamaan (1) dan (2) pada awal subbab ini berubah menjadi

(1)’ e^lnx =x, x >0

1.3. FUNGSI EKSPONENSIAL ALAMI 19 (2)’ ln(e^y) =y, untuk setiap y

Dengan demikian kita sekarang dapat dengan mudah membuktikan dua dari sifat- sifat eksponen yang terkenal.

Teorema 1.3.1. Misalkan a danb adalah sebarang bilangan real, maka e^ae^b =e^a+b dan e^a/e^b =e^a−b.

Bukti Untuk membuktikannya, pertama kita tulis e^ae^b = exp(lne^ae^b) persamaan (1)

= exp(lne^a+ lne^b) Teorema 1.1.2

= exp(a+b) persamaan (2)’

=e^a+b karena expx=e^x Bagian kedua dibuktikan dengan cara yang hampir sama.

Turunan dari e

^x

Karena exp dan ln adalah dua buah fungsi yang saling invers, maka berdasarkan Teorema 1.2.2, expx=e^x dapat diturunkan. Untuk mendapatkan rumusDxe^x, kita bisa menggunakan teorema tersebut. Namun, kita juga bisa menggunakan alternatif lain dengan memisalkan y=e^x sehingga

x= lny

Sekarang kita turunkan kedua sisi terhadapx. Dengan menggunakan Aturan Rantai, kita peroleh:

1 = 1 yD_xy Dengan demikian,

D_xy=y=e^x

Kita telah membuktikan fakta bahwa e^x adalah turunan bagi dirinya sendiri; yaitu D_xe^x =e^x

Dengan demikian, y = e^x adalah solusi bagi persamaan diferensial y⁰ = y. Jika u=f(x) dapat diturunkan, maka Aturan Rantai menghasilkan

D_xe^u =e^uD_xu

Contoh 1.3.1. Dapatkan Dxe

√x

Jawab Dengan memisalkan u=√

x, kita dapatkan

D_xe

√x =e

√xD_x√ x=e

√x· 1

2x^−1/2 = e

√x

2√ x

Contoh 1.3.2. Dapatkan D_xe^x2lnx Jawab

D_xe^x2lnx =e^x2lnxD_x(x²lnx)

=e^x2lnx

x²· 1

x + 2xlnx)

=xe^x2lnx(1 + lnx²)

Contoh 1.3.3. Misalkanf(x) =xe^x/2. Dapatkan selang di manaf naik dan turun.

Dapatkan pula dimana ia cekung atas dan cekung bawah. Selanjutnya, identifikasi nilai-nilai ekstrim dan titik beloknya. Kemudian sketsakan grafiknya.

Jawab

f⁰(x) = xe^x/2

2 +e^x/2 =e^x/2

x+ 2 2

1.3. FUNGSI EKSPONENSIAL ALAMI 21 dan

f”(x) = e^x/2 2 +

x+ 2 2

e^x/2

2 =e^x/2

x+ 4 4

Perhatikan bahwa e^x/2 untuk setiap x dan f⁰(x) < 0 untuk x < −2, f(−2) = 0, sedangkanf⁰(x)>0untuk setiap x >−2. Dengan demikian, f turun pada [−2,∞), dan titik maksimumnya terjadi pada saat x = −2, yaitu f(−2) = −2/e ≈ −0,7.

Perhatikan pula, bahwa f⁰⁰(x) <0 untuk setiap x < −4, f⁰⁰(−4) = 0 dan f⁰⁰(x)>0 untukx >−4. Dengan demikian, grafik f cekung bawah pada (−∞,−4)dan cekung atas pada (−4,∞) dan titik belok terjadi pada (−4,−4e⁻²)≈ (−4,−0,54). Karena lim_x→−∞xe^x/2 = 0, maka garis y = 0 adalah asimptot datar bagi f. Gambar 1.11 memberikan sketsa grafik f =xe^x/2

Gambar 1.11:

[!h]

Formula D_xe^x = e^x secara otomatis memberikan formula integral R

e^x dx = e^x+C, atau dengan menggantikan x dengan u, kita peroleh

Z

e^u du=e^u+C.

Contoh 1.3.4. Hitung R

e^−4xdx

Jawab Misalkan u=−4x, maka du=−4 dx. Selanjutnya kita peroleh Z

e^−4xdx=−1 4

Z

e^udu=−1

4e^u+C =−1

4e^−4x+C Contoh 1.3.5. Hitung R2

1 6e^1/x

x² dx

Jawab Dengan memisalkan u= 1/x, kita dapatkan du = (−1/x²)dx. Selanjutnya, u= 1 untuk x= 1 dan u= 1/2 untuk x= 2. Kemudian,

Z 2 1

6e^1/x x² dx=

Z 1/2 1

−6e^udu

= Z 1

1/2

6e^udu

= [6e^u]¹_1/2

= 6(e−√ e)

Contoh 1.3.6. Hitung R3

1 xe^−3x2dx

Jawab Misalkan u=−3x², maka du=−6x dx, sehingga u=−3 untukx= 1 dan u=−27 untuk x= 3. Dengan demikian

Z 3 1

xe^−3x2dx=−1 6

Z −27

−3

e^udu

= 1

6[e^u]⁻³₋₂₇

= 1 6

1 e³ − 1

e²⁷

1.3. FUNGSI EKSPONENSIAL ALAMI 23 Latihan 1.3.1.

1. Dengan menggunakan kalkulator, dapatkan nilai-nilai berikut:

(a) e³ (b) e^2,1 (c) e

√2 (d) e^{cos(ln 4)}

2. Sederhanakan ekspresi berikut:

(a) e^{3 lnx} (b) e^{−2 lnx} (c) lne^cosx (d) ln(x³e^−3x) (e) e^{ln 3+2 lnx} (f) e^lnx2−ylnx 3. Dapatkan D_xy

(a) y =e^x+2 (b) y=e^2x2−x (c) y =e

√x+2 (d) y=

√

e^x2 +e

√ x²

(e) y =e^1/x2 + 1/e^x2 (f) y=e^x3lnx

(g) e^xy+xy= 2 Hint: Gunakan turunan implisit

4. Dapatkan daerah asal fungsi f yang diberikan. Kemudian tentukan selang di mana daerah asal naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah. Identi- fikasi semua nilai ekstrim dan titik beloknya. Kemudian sketsakan grafiknya

(a) f(x) =e^2x (b) f(x) = ln(x²+ 1) (c) f(x) = ln(2x−1) (d) f(x) =e^1−x2 (e) f(x) =Rx

0 e^−t2dt (f) f(x) = Rx 0 te^−tdt 5. Hitung masing-masing integral berikut:

(a) R

e^3x+1dx (b) R

xe^x2−3dx (c) R _e^x

e^x−1dx (d) R _e^−1/x

x² dx (e) Rx+e^x

e dx (f) R

(x+ 3)e^x2+6xdx (g)R1

0 e^2x+3dx (h)R2 1

e^3/x x² dx

6. Dapatkan volume benda padat yang didapatkan dengan cara memutar daerah yang dibatasi kurva y=e^x,y = 0, x= 0, dan x= ln 3 terhadap sumbu−x

7. Daerah yang dibatasi olehy=e^−x2,y = 0, x= 0, danx= 1 diputar terhadap sumbu−y. Dapatkan volume benda padat yang dihasilkan.

8. Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh kurvay=e^−xdan garis yang melalui titik (0,1) dan (1,1/e).

9. Tunjukkan bahwa f(x) = _ex^x−1 −ln(1−e^−x) turun padax >0.

1.4. FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA UMUM 25

1.4 Fungsi Eksponensial dan Logaritma Umum

Pada bagian ini kita akan memberikan definisi bagia^x untuka >0 dan sebarang bilangan real x. Misalkan r = p/q adalah sebuah bilangan rasional, maka a^r = (√^q

a)^p. Namun, kita juga telah tahu bahwa

a^r = exp(lna^r) = exp(rlna) =e^rlna

Hasil inilah yang akan mengantarkan kita pada definisi berikut:

Definisi 1.4.1. Untuk sebarang a >0 dan sebarang bilangan real x, a^x =e^xlna

Tentu pendefinisian ini akan lebih tepat jika sifat-sifat yang berlaku pada ekspo- nen juga valid dengan definisi tersebut. Selanjutnya, berdasarkan definisi di atas, kita dapatkan sifat sebagai berikut:

ln(a^x) = ln(e^xlna) =xlna

Sifat-Sifat a

^x

Pada bagian ini, kita akan mengetahui sifat-sifat eksponen dan bagaimana cara menurunkan dan mengintegralkan a^x.

Teorema 1.4.1. Sifat-sifat eksponen

Misalkan a >0, b >0 dan x dan y adalah bilangan real, maka (i) a^xa^y =a^x+y

(ii) ^a_a^xy =a^x−y

(iii) (a^x)^y =a^xy (iv) (ab)^x =a^xb^x (v) ^a_bx

= ^a_bx^x

Bukti

Kita akan membuktikan (ii) dan (iii), selebihnya ditinggalkan untuk latihan.

(ii) a^x

a^y =e^ln(ax/ay) =e^lnax−lnay

=e^xlna−ylna =e^{(x−y) lna}=a^x−y

(iii) (a^x)^y =e^ylnax =e^yxlna =a^yx=a^xy

Teorema 1.4.2. Aturan Fungsi Eksponen

D_xa^x =a^xlna Z

a^xdx= 1

lna

a^x+C, a6= 1 bukti

D_xa^x =D_x(e^xlna) = e^xlnaD_x(xlna) = a^xlna

Pembuktian formula integral secara langsung mengikuti dari formula turunan Contoh 1.4.1.

1. Dapatkan D_x(3

√x)

2. Dapatkan dy/dx jika y= (x⁴+ 2)⁵+ 5^x4+2 3. dapatkan R

2^x3x²dx

1.4. FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA UMUM 27 Jawab

1. Dengan Aturan Rantai dan misalkan u=√ x,

D_x(3

√x) = 3

√xln 3·D_x√ x

= 3

√xln 3 2√

x

2.

dy dx =

dh

(x⁴+ 2)⁵+ 5^x4+2i dx

= 5(x⁴+ 2)⁴·4x³+ 5^x4+2ln 5·4x³

= 20x³h

(x⁴+ 2)⁴+ 5^x4+1ln 5i

3. Misalkan u=x³ maka du= 3x² dx, sehingga Z

2^x3x²dx= Z 1

32^udu

= 1 3

1 ln 2

2^u+C

= 1 3

1 ln 2

2^x3 +C

= 2^x3 3 ln 2 +C

Fungsi log

_a

Perhatikan bahwa jika 0 < a < 1 maka f(x) = a^x merupakan fungsi turun dan menjadi fungsi naik jika a > 1. f(x) = a^x sebagaimana pemeriksaan dengan menggunakan turunan. Di lain pihak, f memiliki invers yang kita sebut sebagai fungsi logaritma dengan basis a. Hal ini ekuivalen dengan definisi berikut.

Definisi 1.4.2. Misalkan a adalah bilangan positif selain 1. Maka

y = log_ax⇔x=a^y

Secara umum, jika logaritma tersebut memiliki basis 10, maka kita sebut sebagai logaritma biasa. Namun, dalam kalkulus maupun ilmu matematika lanjut, basis signifikan yang dipakai adalahe. Perhatikan bahwa log_eadalah invers darif(x) =e^x yang merupakan bentuk lain dari ln; yaitu

log_ex= lnx Misalkan y= log_ax, sehingga x=a^y, maka

lnx=ylna Dengan demikian, kita simpulkan bahwa

log_ax= lnx lna

Dari bentuk di atas, terlihat bahwa log_a memenuhi sifat-sifat yang berhubungan dengan logaritma. Akibatnya, kita peroleh

D_xlog_ax= 1 xlna Contoh 1.4.2. jika y = log₁₀(x⁴+ 13), dapatkan ^dy_dx

Jawab Misalkan u=x⁴+ 13, maka du= 4x³ dx dan dengan Aturan Rantai, dy

dx = 1

(x⁴+ 13) ln 10 ·4x³ = 4x³ (x⁴+ 13) ln 10

1.4. FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA UMUM 29

Fungsi a

^x

, x

^a

, dan x

^x

Gambar 1.12:

[!h]

Bermula dari membandingkan tiga buah grafiky =a^x, y=x^a, dany =x^x pada Gambar 1.12. Lebih umum, misalkan a adalah sebuah konstanta. Turunan dari fungsi eksponensial y=a^x dan fungsi pangkat y=x^a masing- masing adalah

D_x(a^x) = a^xlna dan

D_x(x^a) = D_x(e^lnxa) = e^alnx· a

x =x^a· a

x =ax^a−1

Formula di atas berlaku untuk a rasional maupun irasional. Aturan integral pun berlaku untuk a irasional, yaitu

Z

x^adx= x^a+1

a+ 1 +C, a6=−1

Akhirnya, perhatikan f(x) = x^x, fungsi variabel pangkat variabel. Untuk men-

dapatkan formula D_x(x^x) perhatikan ilustrasi berikut

Contoh 1.4.3. Jikay =x^x, x > 0, dapatkan D_xydengan dua metode yang berbeda.

Jawab

Metode 1 Pertama, kita tulis

y =x^x =e^xlnx Dengan Aturan Rantai dan Aturan Perkalian,

Dxy=e^xlnxDx(xlnx) =x^x

x· 1

x + lnx

=x^x(1 + lnx) Metode 2 Ingat kembali teknik turunan logaritma pada subbab 1.1.

y=x^x lny=xlnx 1

yD_xy=x· 1

x + lnx

Dxy=y(1 + lnx) =x^x(1 + lnx)

Contoh 1.4.4. Jika y= (x²+ 1)^π +π^sinx, dapatkan dy/dx.

Jawab

Dengan menggunakan turunan logaritma, kita dapatkan lny= (sinx) ln(x²+ 1)

1 y

dy

dx = (sinx) 2x

x² + 1 + (cosx) ln(x²+ 1) dy

dx = (x²+ 1)^sinx

(sinx) 2x

x²+ 1 + (cosx) ln(x²+ 1)

1.4. FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA UMUM 31 Contoh 1.4.5. Hitung R1

1/2 5^1/x

x² dx Jawab

Misalkan u = 1/x, sehingga du = (−1/x²) dx. u = 2 untuk x = 1/2 dan u = 1 untuk x= 1. Dengan demikian,

Z 1 1/2

5^1/x x² dx=

Z 1 2

−5^udu

= Z 2

1

5^udu

= 5^u

ln 5 2

1

= 5² ln 5 − 5

ln 5

= 20 ln 5 Latihan 1.4.1.

1. Dapatkan nilai x. Hint: log_ab=c⇔a^c =b (a) log₂8 =x

(b) log_x64 = 4 (c) 2 log₉ ^x₃ = 1 (d) log_{4 2x}¹ = 3

(e) log₂(x+ 3)−log₂x= 2 (f) log₅(x+ 3)−log₅x= 1

2. Dapatkan turunan atau integral dari (a) Dx(6^2x)

(b) D_x(3^2x2−3x)

(c) D_xlog₃e^x

(d) D_xlog₁0(x³+ 9) (e) D_z[3^zln(z+ 5)]

(f) R

x2^x2dx (g) R

10^5x−1dx (h) R4

1 5

√x

√xdx (i) R1

0(10^3x+ 10^−3x)dx 3. Dapatkan dy/dx

(a) y= 10^(x2)+ (x²)¹⁰ (b) y= sin²x+ 2^sinx

(c) y=x^π+1+ (π+q)^x (d) y= (x²+ 1)^lnx

4. Jika f(x) =x^sinx, dapatkan f⁰(1)

5. Dapatkan daerah asal dari setiap fungsi f yang diberikan, kemudian cari se- lang naik, turun, cekung atas, dan cekung bawah. Identifikasi juga nilai-nilai ekstrim dan titik beloknya. Selanjutnya sketsakan grafiky=f(x)

(a) f(x) = 2^−x

(b) f(x) = log₂(x²+ 1) (c) f(x) =Rx

1 2^−t2dt (d) f(x) =Rx

0 log₁₀(t²+ 1) dt

6. Didefinisikan f(x) = ^a_a^xx⁻¹+1 untuk suatu a yang tetap, a >0, a6= 1. Tunjukkan bahwaf punya invers dan dapatkan formula untukf⁻¹(x).

1.4. FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA UMUM 33 7. Untuk suatu a >1 tetap, misalkan f(x) =x^a/a^x pada [0,∞). Tunjukkan:

(a) limx→∞f(x)=0 Hint: Pelajari lnf(x);

(b) f(x) mencapai nilai maksimumnya pada x₀ =a/lna;

(c) x^a = a^x memiliki dua buah solusi jika a 6= e dan hanya satu solusi jika a =e;

(d) π^e < e^π

1.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponensial

Pada permulaan tahun 2004, populasi dunia mencapai sekitar 63 miliar. Men- jelang tahun 2020, diperkirakan populasi akan mencapai 7,9 miliar. Pertanyaannya adalah bagaimana prediksi itu dibuat? Untuk medapatkan prediksi tersebut, per- tama kita misalkany =f(t) menotasikan besarnya populasi pada waktu t, dimana t adalah banyaknya tahun setelah 2004. Sebenarnya, f(t) adalah sebuah bilangan bulat dan grafiknya ”melompat” saat seseorang terlahir atau meninggal. Namun, untuk populasi yang besar, lompatan-lompatan ini terhitung kecil terhadap total populasi, yakni kita tidak akan salah jauh jika kita menganggap f sebagai fungsi yang bisa diturunkan.

Cukup masuk akal jika kita memisalkan kenaikan populasi ∆y (kelahiran dikurangi kematian) selama selang waktu tertentu ∆x sebanding dengan besarnya populasi pada permulaan periode waktu dan panjangnya periode tersebut. Dengan demikian,

∆y=ky∆t, atau

∆y

∆x =ky

Dalam bentuk limit, kita dapatkan bentuk persamaan diferensial dy

dx =ky

Jikak >0, maka populasi akan naik. Jika k <0, maka populasi akan turun. Untuk populasi dunia, sejarah mengindikasikan nilai k sekitar 0,0132(dengan mengasum- sikant yang diukur dalam tahun)

Menyelesaikan Persamaan Diferensial

Pada permulaan Bab 1, kita telah mempelajari beberapa masalah persamaan diferensial. Sekarang kita akan menyelesaikan dy/dt = ky dengan syarat y = y₀

1.5. PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN EKSPONENSIAL 35 saat t= 0. Dengan memisahkan variabel dan mengintegralkan, kita dapatkan

dy

y =k dt Z dy

y = Z

k dt lny=kt+C

Syaraty =y₀ pada saat t= 0 memberikan C = lny₀. Dengan demikian, lny−lny₀ =kt⇔ y

y₀ =e^kt atau

y=y₀e^kt (1.1)

Saat k > 0, tipe persamaan (1.1) disebut pertumbuhan eksponensial, dan saat k < 0, disebut sebagai peluruhan eksponensial. Kembali ke permasalahan populasi dunia, kita coba untuk menghitung t sebagai waktu dalam satuan tahun setelah 1 Januari 2004, danydalam satuan miliar orang. Dengan demikian,y₀ = 6,4 dan kita pilih k= 0,0132, maka

y= 6,4e^1,0132t

Menjelang tahun 2020, saatt= 16, kita bisa memprediksikan bahway akan sekitar y= 6,4e^0,0132(16) ≈7,9 miliar orang

Contoh 1.5.1. Berdasarkan asumsi di atas, berapa lama jumlah populasi dunia menjadi dua kali dari jumlah sekarang?

Jawab

Pertanyaan tersebut ekivalen dengan menanyakan ”dalam berapa tahun setelah 2004, populasi akan mencapai 12,8 miliar?” Dengan demikian, kita perlu menye- lesaikan

12,8 = 6,4e^0,0132t 2 = e^0,0132t ln 2 = 0,0132t t= ln 2

0,0132 ≈53 tahun

Jika populasi dunia akan menjadi dua kali lipat pada 53 tahun pertama setelah 2004, maka populasi tersebut akan menjadi empat kali lipat pada 106 tahun berikutnya.

Secara umum, jika sebuah kuantitas tumbuh secara eksponensial dari y₀ menjadi 2y₀ dalam suatu interval sepanjang T, maka ia juga akan menjadi dua kali lipat pada sebarang interval sepanjang T, karena

y(t+T)

y(t) = y₀e^k(t+T)

y₀e^kt = y₀e^kT

y₀ = 2y₀ y₀ = 2 Kita sebut t sebagaiwaktu ganda

Peluruhan Radioakif

Dalam berbagai kasus, tidak semuanya mengalami pertumbuhan. Namun, ada beberapa yang mengalami penurunan atau pengurangan sehingga jumlahnya men- jadi lebih kecil dari jumlah awal. Sebagai contoh, elemen radioktif mengalami pelu- ruhan dengan laju yang sebanding dengan jumlah saat ini. Dengan demikian, laju perubahannya juga memenuhi persamaan diferensial

dy dx =ky

1.5. PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN EKSPONENSIAL 37 tetapi dengan nilai k negatif dan y = y₀e^kt tetap menjadi solusi bagi persamaan diferensial tersebut.

Contoh 1.5.2. Carbon 14 bersifat radioaktif dan meluruh pada sebuah laju yang sebanding dengan jumlah awalnya. Waktu paruhnya adalah 5730 tahun, yakni, ia membutuhkan 5730 tahun untuk meluruh setengah dari jumlah aslinya. Jika saat ini terdapat 10 gram Carbon, berapakah massanya setelah 2000 tahun?

Jawab

Karena waktu paruh Carbon 14 adalah 5730 tahun, maka kita dapat menentukan nilai k dari

f rac12 = 1e^k(5730)

−ln 2 = 5730k k = −ln 2

5730 ≈0,000121 y= 10e^0,000121t Padat = 2000, kita dapatkan

y= 10e0,000121(2000) ≈7,85 gram

Hukum Pendinginan Newton

Hukum Pendinginan Newton menyatakan bahwa laju perubahan pada sebuah benda yang mendingin atau memanas sebanding dengan selisih antara suhu benda tersebut dengan suhu lingkungan. Lebih khusus, misalkan sebuah benda yang ditem- patkan di dalam sebuah ruang bersuhu T memiliki suhu awal T₀. Jika T(t) meno-

tasikan suhu benda pada waktut, maka Hukum Pendinginan Newton menyatakan dT

dt k(T −T₁)

Persamaan diferensial ini bisa diselesaikan dengan pemisahan variabel sebagaimana masalah pertumbuhan dan peluruhan pada subbab ini.

Contoh 1.5.3. Sebuah benda diambil dari oven pada suhu 350^◦F kemudian dit- inggalkan agar mendingin pada suatu ruang yang bersuhu 70^◦F. Jika suhu benda tersebut turun menjadi 250^◦F dalam waktu satu jam, menjadi berapakah suhunya pada tiga jam berikutnya?

Jawab

Kita bisa menulis persamaan diferensial sebagai dT

dt =k(T −70) dT

T −70 =k dt Z dT

T −70 = Z

kdt ln|T −70|=kt+C

Karena suhu awalnya lebih besar dari 70, maka cukup masuk akal jika benda tersebut akan mandingin hingga suhunya mencapai 70, dengan demikianT−70 akan bernilai positif dan nilai mutalknya tidak dibutuhkan. Akibatnya

T −70 =e^kt+C T = 70 +C1e^kt

denganC₁ =e^C. Sekarang kita substitusikan nilai T(0) = 350 untuk mendapatkan

1.5. PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN EKSPONENSIAL 39 C₁:

350 =T(0) = 70 +C₁e^k·0 280 =C₁

Dengan demikian, solusi dari persamaan diferensial adalah T(t) = 70 + 280e^kt

Untuk mendapatkank kita masukkan syarat batas bahwa pada waktu t= 1, benda tersebut bersuhu T(1) = 250.

250 =T(1) = 70 + 280e^k·1 280e^k = 180

e^k = 180 280 k = ln180

280 ≈ −0,44183 Akibatnya, kita peroleh solusi

T(t) = 70 + 280e^−0,44183t

Bunga Majemuk

Jika kita menabung di bank Rp 100 juta dengan suku bunga majemuk bulanan 12%, maka tabungan tersebut akan bernilai Rp 100(1,01) juta pada akhir bulan pertama, Rp 100(1,01)² juta pada akhir bulan kedua, dan setelah satu tahun atau pada akhir bulan keduabelas besarnya tabungan adalahRp100(1,01)¹²juta. Secara umum, jika kita menabung sebesarA₀ rupiah di bank dengan suku bunga majemuk

100rpersen selamantahun, maka tabungan tersebut akan bernilaiA(t) rupiah pada akhir tahun ke t dengan

A(t) = A₀ 1 + r

n nt

Contoh 1.5.4. Misalkan Karina menabung di bank sebesarRp500 juta dengan suku bunga majemuk harian 4%. Berapakah uang Karina setelah akhir tahun ketiga?

Jawab

Dalam kasus ini, r= 0,04 dan n= 365, sehingga

A= 500

1 + 0,04 365

365(3)

≈Rp 563,74 juta.

Sekarang, perhatikan apa yang terjadi apabila suku bunganya terhitung secara kontinu, yakni saatn, banyaknya peroide yang terhitung dalam satu tahun, menuju tak hingga. Maka,

A(t) = lim

n→∞A0

1 + r

n nt

=A0 lim

n→∞

1 + r

n

n/trt

=A₀h

h→0lim(1 +h)^1/hirt

=A₀e^rt

Di sini kita mengganti r/n dengan h dan perhatikan bahwa n → ∞ bersesuaian dengan h → 0. Namun, langkah besarnya adalah memahami bahwa pernyataan yang ada di dalam kurung adalah bilangane. Hasil ini cukup penting dan karenanya disebut dalam sebuh teorema sebagai berikut

Teorema 1.5.1.

h→0lim(1 +h)^1/h=e Bukti

Pertama ingat kembali bahwa jika f(x) = lnx, maka f(x) = 1/x dan f⁰(1) = 1.

1.5. PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN EKSPONENSIAL 41 Kemudian, berdasarkan definisi turunan dan sifat-sifat dari ln, kita dapatkan

1 = f⁰(x) = lim

h→0

f(1 +h)−f(1)

h = lim

h→0ln(1+h)−ln 1 h

= lim

h→0

1

h(1 +h) = lim

h→0ln(1 +h)^1/h

Dengan demikian, limh→0ln(1 +h)^1/h = 1, sebuah hasil yang akan kita gunankan nanti. Sekarang, g(x) = e^x = expx adalah sebuah fungsi yang kontinu dan oleh karenanya ia dapat mencapai limit pada fungsi eksponensial dalam argumen berikut:

h→0lim(1 +h)^1/h = lim

h→0exp[ln(1 +h)^1/h] = exph

h→0limln(1 +h)^1/hi

= exp 1 =e

Contoh 1.5.5. Misalkan bank pada contoh 1.5.4 memberlakukan suku bunga ma- jemuk kontinu, Berapa banyak unag Karin yang akan diterima setelah akhir tahun ketiga?

Jawab

A(t) = A0e^rt = 500.000.000e^(0,04)(3) ≈ Rp 563.750.000

Berikut ini adalah cara lain untuk menghitung pembayaran suku bunga majemuk yang dibayarkan secara kontinu. Misalakan A adalah besarnya modal pada waktu t dariA0 rupiah yang diinvestasikan dengan suku bunga r. Pernyataan suku bunga dibayarkan secara kontinu setara dengan mengatakan bahwa laku perubahanAter-

hadap waktu adalah rA, dengan demikian, dA

dt =rA

Persamaan diferensial ini mempunyai solusiA=A₀e^rt. Latihan 1.5.1.

Pada soal nomor 1 sampai 4, selesaikan persamaan diferensial dengan syarat batas yang diberikan. Perhatikan bahwa y(a) menotasikan nilai dari y pada saat t=a.

1. ^dy_dt =−6y, y(0) = 4 2. ^dy_dt = 0,005y, y(10) = 2 3. ^dy_dt = 0,003y, y(−2) = 3 4. ^dy_dt = 6y, y(0) = 1

5. a. Populasi awal bakteri sebanyak 10.000 dan setelah inkubasi selama 10 hari menjadi 20.000. Berapakah banyaknya bakteri dalam populasi tersebut setelah 25 hari?

b. Berapa waktu inkubasi yang dibutuhkan agar populasi tersebut menjadi dua kali lipat dan tiga kali lipat?

6. Massa sebuah tumor tumbuh dengan laju yang sebanding dengan ukurannya.

Saat pertama kali diukur, massanya 4 gram. Empat bulan kemudian massanya menjadi 6,76 gram. Berapa besar tumor tersebut saat enam bulan sebelum pertema kali diukur?

7. Cesium 137 dan strontonium 90 merupakan dua bahan kimia yang besifat radioaktif dan dilepas pada reaktor nuklir Chernobyl pada bulan April 1986.

1.5. PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN EKSPONENSIAL 43 Waktu paruh cesium 137 adalah 30,22 tahun dan waktu paruh strontonium 90 adalah 28,8 tahun. Pada tahun berapakah masing-masing Cesium dan Strontonium menjadi 1% dari pertama kali dilepaskan?

8. Seseorang yang telah meninggal ditemukan pada 10 P.M. Saat itu bersuhu 82^◦F. Satu jam berikutnya, suhunya menjadi 76^◦F. Ruangan bersuhu kon- stan 70^◦F. Apabila tubuh orang tersebut saat masih hidup bersuhu 98,6^◦F, perkirakan berapa lama orang tersebut telah meninggal?

9. Selesaikan persamaan diferensial Hukum Pendinginan Newton untuk sebarang T0, T1,dankdengan mengasumsikan bahwaT0 > T1.Tunjukan bahwa limt→∞T(t) = T₁

10. Jika $375 ditabung di bank hari ini, menjadi berapakah tabungan tersebut pada akhir tahun kedua jika suku bunganya 3,5% dibayarkan:

a. setiap setahun sekali b. setiap sebulan sekali c. setiap hari

d. kontinu

11. Diberikan persamaan untuk pertumbuhan logistik sebagai berikut:

dy

dx =ky(L−y).

Tunjukkan bahwa persamaan diferensial ini memiliki solusi

y= Ly₀

y₀+ (L−y₀)e^−Lkt Hint: _y(L−y)¹ = _Ly¹ +_L(L−y)¹ .

1.6 Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya

Keenam fungsi trigonometri dasar (sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant, dan cosecant) telah didefinisikan di awal materi Matematika Dasar 1. Dalam hal mendapatkan invers, fungsi trigonometri tergolong fungsi yang rumit, karena un- tuk setiap y akan terdapat banyak x yang berkorespondensi dengan y. Meskipun demikian, kita akan memperkenalkan notasi invers untuk fungsi-fungsi trigonometri tersebut dengan cara membatasi domain (restricting domain).

Invers Sinus dan Cosinus

Perhatikan Gambar 1.13 dan 1.14. Grafik dari invers fungsi sinus dan cosinus didapatkan dengan cara mencerminkan terhadap garis y =x. Namun, sebelumnya kita perlu menentukan domain mana yang berlaku agar masing-masing fungsi sinus dan cosinus memiliki invers. Pada sinus pembatasan domain dilakukan pada [−^π₂,^π₂] sedangkan pembatasan domain untuk cosinus dilakukan pada [0, π]

Gambar 1.13:

[!h]

[!h] Secara formal, invers dari sinus dan cosinus dituangkan dalam definisi berikut

Definisi 1.6.1. Batasan domain dari masing-masing invers fungsi sinus dan cosinus

1.6. FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI DAN TURUNANNYA 45

Gambar 1.14:

adalah [−π/2, π/2] dan [0, π], sedemikian sehingga x= sin⁻¹y⇔y= sinx,−π

2 ≤x≤ π 2 x= cos⁻¹y⇔y= cosx,0≤x≤π

Gambar 1.15:

[!h]

Simbol arcsin seringkali digunakan untuk sin⁻¹ dan arccos seringkali digunakan untuk cos⁻¹. x = arcsiny bermakna ”besarnya busur atau sudut (arc or angle) x sehingga sinus dari x bernilai y”.

Contoh 1.6.1. Hitung (a) sin⁻¹(√

2/2) (b) cos⁻¹ −¹₂

(c) cos(cos⁻¹0,6) Jawab

(a) sin⁻¹(√

2/2) = ^π₄ (b) cos⁻¹ −¹₂

= ^2π₃ (c) cos(cos⁻¹0,6) = 0,6

Invers Tangent dan Secant

Gambar 1.16 menunjukkan grafik fungsi tangent, batasan domain, dan grafik y= tan⁻¹x.

Gambar 1.16:

[!h]

Untuk mendapatkan invers dari secant, kita gambarkan y = secx, batasi do- mainnya secara tepat, kemudian gambarkany= sec⁻¹x (lihat Gambar 1.17).

[!h]

Definisi 1.6.2. Untuk mendapatkan invers untuk tangent dan secant, kita batasi domain untuk invers tangen pada (−π/2, π/2), sedangkan batasan domain untuk inverse secant adalah [0, π/2)∪(π/2, π], sedemikian sehingga

1.6. FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI DAN TURUNANNYA 47

Gambar 1.17:

x= tan⁻¹y ⇔y= tanx,−π

2 ≤x≤ π 2 x= sec⁻¹y⇔y= secx,0≤x≤π, x6= π

2

Untuk memudahkan kita mengingat formula invers secant, perhatikan bahwa secx= 1/cosx, sehingga bisa kita dapatkan bahwa

sec⁻¹y= cos⁻¹(1/y).

Beberapa Identitas Trigonometri

Teorema 2.6.1 dan Gambar 1.18 memberikan ilustrasi yang cukup mudah untuk memahami formula fungsi invers trigonometri. [!h]

Teorema 1.6.1. (i) sin(cos⁻¹x) =√ 1−x² (ii) cos(sin⁻¹x) = √

1−x² (iii) sec(tan⁻¹x) =√

1 +x²

(iv) tan(sec⁻¹x) =







√x²−1, untukx≥1;

−√

x²−1, untukx≤ −1.

Gambar 1.18:

Contoh 1.6.2. Hitung sin

2 cos^{−1 2}₃ Jawab

Dengan menggunakan formula sudut ganda pada sinus, 2 sin 2θ = 2 sinθcosθ, kita bisa menghitung sin

2 cos^{−1 2}₃

sebagai berikut:

sin

2 cos⁻¹ 2

3

= 2 sin

cos⁻¹ 2

3

cos

cos⁻¹ 2

3

= 2· s

1− 2

3 2

· 2 3 = 4√

5 9

Turunan Fungsi Invers Trigonometri

Pada Matematika Dasar I, kita telah belajar turunan dari keenam fungsi trigonometri, yaitu

D_xsinx= cosx D−xcosx=−sinx D_xtanx= sec²x D_xcotx=−csc²x D_xsecx= secxtanx D_xcscx=−cscxcotx

1.6. FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI DAN TURUNANNYA 49 Sekarang, kita bisa mengkombinasikan dengan aturan rantai. Misalkan u = f(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka

D_xsinu= cosu·D_xu

Berdasarkan Theorema Fungsi Invers, kita dapat menarik kesimpulan bahwa sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹, dan sec⁻¹ adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan. Tujuan kita adalah untuk mendapatkan formula untuk turunan fungsi-fungsi tersebut. Tu- runan dari keempat fungsi invers trigonometri disajikan dalam Teorema berikut.

Teorema 1.6.2. Turunan dari Empat Fungsi Invers Trigonometri

(i) D_xsin⁻¹x= ^√_1−x¹ ₂ −1< x < 1 (ii) D_xcos⁻¹x=−^√_1−x¹ ₂ −1< x <1 (iii) Dxtan⁻¹x= _1+x¹ 2

(iv) D_xsec⁻¹x= _|x|^√1

x²−1 |x|>1

Contoh 1.6.3. Dapatkan D_xsin⁻¹(3x−1).

Jawab

Kita gunakan Teorema 1.6.2 dan aturan rantai.

Dxsin⁻¹(3x−1) = 1

p1−(3x−1)²Dx(3x−1)

= 3

√−9x²+ 6x

Setiap formula turunan akan mengantarkan kita ke sebuah formula integral. Se- cara khusus,

1. R ₁

√1−x²