Posisi&Orientasi dan Transformasi

Posisi&Orientasi dan

Transformasi

Transformasi

Pengantar

• Robot, sebagaimana definisi dan fungsinya

adalah suatu sistem yang bergerak baik dalam gerak 2 dimensi maupun 3 dimensi

• Robotika membahas hal yang terkait dengan • Robotika membahas hal yang terkait dengan

gerak ini

• Suatu benda dinyatakan bergerak jika benda tersebut atau bagian dari benda tersebut

Pengantar

• Karena pada umumnya pergerakan robot

adalah perpindahan dari satu lokasi ke

lokasi yang lain, maka “lokasi” ini harus

dapat dinyatakan dengan pasti dan

konsisten

konsisten

• Kaitannya dengan robot,informasi

mengenai lokasi adalah terdiri dari:

Planar (2D) Location

• Menggunakan sistem koordinat 2 sumbu (2 Dimensi)

• Terdapat satu sistem Koordinat Acuan(Frame of reference/world Acuan(Frame of reference/world reference) F_0. • Terdapat sistem koordinat lain yg “ditempelkan” pada suatu benda tertentu(robot), F₁ dan F₂

Planar Location

• Pada gambar sebelumnya,lokasi Robot 1

ditunjukkan oleh posisi koordinat frame

F

₁

terhadap F

₀

serta sudut orientasi

θ

₁

,

yaitu sudut yg dibentuk antara x

₁

dan x

₀

.

yaitu sudut yg dibentuk antara x

₁

dan x

₀

.

• Lokasi Robot 2 ditunjukkan oleh posisi

koordinat frame F

₂

terhadap F

₀

serta

sudut orientasi

θ

₂

, yaitu sudut yg dibentuk

antara x

dan x

.

Planar Location

• Posisi robot 1

dinyatakan sebagai (a₁, b₁) yang

menunjukkan letak

titik asal dari F

[

]

a

₁









titik asal dari F₁ terhadap F₀

• Sehingga lokasi dari Robot 1 dapat dinyatakan sebagai

[

]

T

b

a

b

_{1 1 1} 1 1

θ

θ

=

















Planar Location

• Posisi robot 2

dinyatakan sebagai (a₂, b₂) yang

menunjukkan letak

titik asal dari F

[

]

a

₂









titik asal dari F₂ terhadap F₀

• Sehingga lokasi dari Robot 2 dapat dinyatakan sebagai

[

]

T

b

a

b

_{2 2 2} 2 2 2

θ

θ

=

















Planar Location

• Matriks yang menyatakan lokasi

(posisi&orientasi) robot1 dan robot 2 di

atas disebut Pose Matrix, Matriks Pose

• Makna dari matriks tersebut adalah sbb:

• Makna dari matriks tersebut adalah sbb:

– Frame F₁ sebenarnya adalah suatu frame yang diturunkan dari frame of reference F₀ – Frame F₁ diperoleh dari F₀ melalui suatu

vektor translasi (pergeseran) [ a₁ b₁]T dan rotasi(peputaran) sebesar θ₁

Transformasi Koordinat 2D

• Pada contoh di atas disebutkan Frame F

₁

diperoleh dari F

₀

melalui suatu vektor

translasi (pergeseran) [ a

₁

b

₁

]

T

dan

rotasi(perputaran) sebesar

θ

₁

rotasi(perputaran) sebesar

θ

₁

• Maka dikatakan F

₁

mengalami

transformasi 2D

Transformasi Koordinat 2D

• Transformasi 2D adalah pergerakan dalam suatu bidang(making a movement in

plane),sedangkan yg melakukan pegerakan bisa berupa object,ataupun frame(sistem koordinat) yg bergerak secara relatif terhadap fixed

yg bergerak secara relatif terhadap fixed

reference frame(sistem koordinat referensi yg tetap)

• Bentuk transformasi:

– Translasi(pergeseran)/pure translation 2D – Rotasi (perputaran)/pure rotation 2D

Matriks Translasi 2D

• Matriks yang menyatakan pergeseran yang

terjadi antar frame, dalam contoh di atas adalah [ a₁ b₁]T

• Bentuk umumnya • Bentuk umumnya

• Pada contoh di atas dx=a dan dy=b

[

]

T

dy

dx

dy

dx

=













Matriks Rotasi 2D

• Perputaran/rotasi ini dapat dinyatakan sebagai matriks dengan bentuk





−

=

cos(

θ

1

)

sin(

θ

1

)

• Yang disebut matriks rotasi 2D













−

=

)

cos(

)

sin(

)

sin(

)

cos(

1 1 1 1

θ

θ

θ

θ

R

Transformasi Homogenous 2D

• Matrik translasi dan rotasi dapat digabungkan menjadi suatu matriks 3x3 yang disebut matriks transformasi homogenous 2D dengan bentuk





















−

1

0

0

)

cos(

)

sin(

)

sin(

)

cos(

1 1 1 1

dy

dx

θ

θ

θ

θ

Aplikasi

• Pada contoh di atas Matriks Transformasi

Homogenous 2D menyatakan hubungan

antara robot 1 dengan F

₀

, atau dengan

kata lain hanya menyatakan posisi ujung

kata lain hanya menyatakan posisi ujung

robot1(titik asal F

₁

) terhadap F

_0.

• Bagaimana cara menyatakan letak suatu

titik lain pada badan robot 1,misalnya letak

roda robot 1 terhadap F

₀

?

Aplikasi

• Sebut saja suatu titik W pada Frame F₁ dinyatakan sebagai (x₁, y₁), maka titik tersebut jika direferensikan terhadap F₀ dinyatakan sebagai

                    − =           1 1 0 0 ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( 1 1 1 1 1 1 1 0 0 y x dy dx y x θ θ θ θ

Posisi & Orientasi 3D

• Kuliah ini akan

membahas secara dalam vektor posisi yang menunjukkan lokasi suatu titik pada lokasi suatu titik pada ruang 3D

• Orientasi dalam ruang 3D yang dinyatakan dalam bentuk Matriks

Posisi & Orientasi 3D

• Komponen matriks orientasi adalah

vektor satuan yang diproyeksikan

terhadap arah satuan terhadap arah satuan dari frame reference • Transpose dari

Matriks rotasi sama dengan inversenya

Sistem Koordinat 3D

• Posisi dan orientasi yang ditentukan

hanya akan berarti jika direference

terhadap sistem terhadap sistem kooordinat tertentu

Frames of Reference

• Suatu Frame of Reference menentukan

suatu sistem koordinat relatif terhadap

suatu titik pada ruang

• Dapat ditunjukkan dengan posisi&orientasi

• Dapat ditunjukkan dengan posisi&orientasi

relatif terhadap frame lain

• Frame Inisial diambil dari suatu titik yang

dianggap tetap pada ruang

Catatan Penting ttg Notasi

• Secara umum suatu variabel yg dituliskan dgn huruf besar adalah suatu vektor atau suatu

matriks.Variabel yg dituliskan dgn huruf kecil adalh skalar.

• Subskrip atau Superskrip memberikan • Subskrip atau Superskrip memberikan

informasi mengenai sistem koordinat yg diacu.

– A_{P adalh suatu titik/posisi yg dinyatakan dlm sistem}

koordinat {A}. – A_P

B adalah suatu operasi vektor yg menyatakan titik

asal sistem koordinat {B} terhadap sistem koordinat {A}

Catatan Penting ttg Notasi

• Matriks rotasi yg menyatakan hubungan

antara sistem koordinat {A} dan {B} dituliskan sebagai

R

A

B

• Fungsi trigonometri dituliskan mengikuti aturan sbb:

– sinθ₁ = sθ₁ = s₁ – cosθ₁ = cθ₁ = c₁

R

Transformasi Koordinat 3D

• Transformasi 3D dalam konteks kinematika robot adalah pergerakan dalam suatu

ruang(making a movement in space),sedangkan yg melakukan pegerakan bisa berupa

object,ataupun frame(sistem koordinat) yg object,ataupun frame(sistem koordinat) yg

bergerak secara relatif terhadap fixed reference frame(sistem koordinat referensi yg tetap)

• Bentuk transformasi:

– Translasi(pergeseran)/pure translation 3D – Rotasi (perputaran)/pure rotation 3D

Transformasi Koordinat 3D

• Jika {B} di translasi terhadap {A} tanpa rotasi, maka kita peroleh

Pure Translation

• Pada pure translation scr sederhana bisa

dikatakan bahwa arah masing-masing

sumbu x,y,z utk kedua frame yg dibahas

adalah sama.Sehingga matriks

adalah sama.Sehingga matriks

translasinya

• Translasi adalah operasi pemindahan/

penggeseran dlm tiga arah vektor satuan

Translasi 3D













=

dy

dx

P

A

















=

dz

dy

P

_B A

Transformasi Koordinat 3D

• Jika {B} di rotasi terhadap {A} tanpa translasi, maka kita peroleh

Rotasi 3D

• Rotasi adalah operasi pemutaran terhadap sumbu tertentu sebesar θ           − = θ θ θ θ θ c s s c x R A B 0 0 0 0 1 ) , (   cθ 0 sθ

• Ada tiga tipe rotasi yaitu terhadap sb X, sb Y, dan sb Z           − = θ θ θ θ θ c s s c y R A B 0 0 1 0 0 ) , (     − = 0 θ θ θ θ θ s c A

Koordinat Transformasi 3D

• Jika {B} ditranslasi& dirotasi terhadap {A} , maka kita peroleh

Transformasi Koordinat3D

• Representasi yang singkat dari Translasi dan Rotasi 3D disebut Transformasi

Homogenous 3D Homogenous 3D

• Operasi Translasi dan Rotasi digabung jadi satu matriks

Transformasi Koordinat 3D

• Transformasi Orthonormal dasar dapat dinyatakan dalam bentuk

Transformasi Koordinat 3D

• Transformasi Koordinat dapat digabungkan

Catatan tentang Orientasi

• Orientasi dinyatakan dalam tiga vektor

orthonormal

• Hanya tiga nilai dari vektor-vektor ini yang

unik dan adakalanya kita nyatakan suatu

unik dan adakalanya kita nyatakan suatu

rotasi dengan tiga nilai

• Tidak ada metode yg unik untuk memilih

sudut yg menentukan

Sudut Tetap X-Y-Z

• Satu metode untuk menunjukkan orientasi dari frame {B} adalah dengan cara:

• Mulai dari frame yg koinsiden dengan reference yg diketahui{A}. Rotasikan{B} terhadap X_A dgn sudut γ, terhadap Y_Adgn sudut β dan terhadap Z_A dgn sudut α.

Sudut Tetap Z-Y-X

• Metode lain untuk menunjukkan orientasi dari frame {B} adalah dengan cara:

• Mulai dari frame yg koinsiden dengan reference yg diketahui{A}. Rotasikan{B} terhadap Z_B dgn sudut α, terhadap Y_Bdgn sudut β

Referensi

• Yoram Koren,”Robotics for Engineers”, McGrawHill International halaman 83-126

• J.J. Craig,”Introduction to Robotics Mechanics & Control”, Addison Wesley Publ. Co.

halaman 15-96 halaman 15-96

• Saeed B Niku, Introduct. To Robotics Analysis, Systems, Appl.”, Prentice Hall halaman 29-94

• R.J. Schilling, Fundamental of Robotics Analysis & Control”, Prentic Hall halaman 25-115