BAB II
BAB II
PEMBAHASAN
PEMBAHASAN
Turunan Berarah dan Vektor Gradien
Turunan Berarah dan Vektor Gradien
1.1
1.1 Turunan Berarah 2 variabelTurunan Berarah 2 variabel
T
Teo
eorrem
ema 1
a 1
Definisi: andai f suatu fungsi dari z f
Definisi: andai f suatu fungsi dari z f ariabel x dan y. bila ū adalah variabel x dan y. bila ū adalah vektorektor satuan cos Ɵi + sin Ɵj, maka turunan berarah dari f dalam arah
satuan cos Ɵi + sin Ɵj, maka turunan berarah dari f dalam arah ū ditentukanū ditentukan oleh :
oleh :
→→
,, = lim
= lim
→
→
ℎ
ℎ
Ɵ,Ɵ,
ℎ
ℎℎ
ℎƟƟ ,,
Contoh
Contoh
: tentukan : tentukan
→→
,,
jika jika f(x,y)= f(x,y)=3x3x22 – – y y22 + 4x dan + 4x dan ūū adalah vector adalah vector satuan arahsatuan arah
..Penyelesaian:
Penyelesaian:
⃗ ⃗ = co
= cossƟi
Ɵi sin
sinƟjƟj
⃗ ⃗ = c
= cooss ππ66isin
isinππ66jj
⃗ ⃗ = c
= cosos30
30
isin30
isin30
jj
⃗ ⃗ == 1 122√ √ 3
3 1122
→→
,, = lim
= lim
→
→
ℎ
ℎ
Ɵ,Ɵ,
ℎ
ℎℎ
ℎƟƟ ,,
= lim
= lim
→
→
1122√ √ 3ℎ3ℎ,,
1122ℎ
ℎℎ
ℎ ,,
√ √ 3ℎ
3ℎ,,
ℎ
ℎ
→→ ,, = =
3x 3x22 – – y y22 + 4x + 4x= 3
= 3
√ √ 3ℎ
3ℎ
22 – – ( (
ℎℎ
22 + 4( + 4(
√ √ 3ℎ
3ℎ
= 3(x2+
√ 3 ℎ
+
ℎ
2) – (y2 + yh +
ℎ
2) + (4 x + 2√ 3h
) = 3x2+ 3√ 3 ℎ
+
ℎ
2 – y2 - yh -
ℎ
2)+ 4 x + 2√ 3h
= 3x2+ 3√ 3 ℎ
+2ℎ
2 – y2 - yh + 4 x + 2√ 3h
√ 3ℎ,
ℎ,
=
3x2+ 3√ 3 ℎ
+2ℎ
2 – y2 - yh + 4 x + 2√ 3h
- 3x2 + y2 - 4x=
3√ 3 ℎ
+2ℎ
2 – yh+ 2√ 3h
=
h (3√ 3
+2ℎ
– y+ 2√ 3
) lim
→
+
√ ,+
−,
=
→
lim
√ + – y + √
= 3√ 3
+2.0
– y+ 2√ 3
= 3√ 3
– y + 2√ 3
Teorema 2
Definisi: andai f suatu fungsi dari z fariabel x dan y yang didiferensialkan dan
⃗ = cosƟi sinƟj
maka:
→
, =
f
x(x,y) cos
Ɵ
+ f
y(x,y) sin
Ɵ
Contoh
: tentukan
→
,
jika f(x,y) = 3x2 – y2 + 4x dan ū adalah vector satuan arah
.Penyelesaian:
Mula – mula cari turunanya dahulu; f(x,y)=3x2 – y2 + 4x
f’(x,y)=6x – 2y + 4
karena 4 turunan dari variabel x maka dapat di tulis 6x + 4 – 2y, maka penyelesainya:
→
, =
f x (x,y) cosƟ
+ f y (x,y) sinƟ
= (6x + 4) cos
+ (-2y) sin
. = (6x + 4)
√ 3
+ (-2y)
= 3√ 3
– y + 2√ 3
1.2 Turunan Berarah 3 variabelDefinisi misalkan f adalah fungsi 3 variabel x, y dan z dan
⃗
= cosαi + cosβ j + cosγ k. sebagai vector satuan, maka turunan berarah dari⃗
yang didefinisikan:
→
,, =
→
.,.,. ,,
Atau
→
,, = ,, ,, ,,
Contoh soal:
diketehui
,,
= 3x2 + xy – 2y2 – yz + z2. Carilah laju perubahan,,
pada titik (1, -2, -1) dalam arah vektor 2i - 2j – k.Penyelesaian:
Vektor satuan dalam arah vektor 2i - 2j – k.
ǀaǀ =
=√
= 3Jadi vektor satuannya
→
,, = 6 4 2cos
=
=
=
Pada (1, -2, -1)
→
,, = .
. 2
=
=
=
1.3 Gradien Fungsi 2 VariabelDefinisi : Andaikan f adalah fungsi dari 2 variabel x dan y, fx dan f y ada
maka gradien f ditulis
∇
dengan definisi :∇ =
,
∇ =
,
,
atau∇ =
,
,
Contoh Soal :
Diketahui, =
1) Carilah gradien f dititk (4,3)
2) Carilah laju perubahan
,
dalam arah
pada titik (4,3)Penyelesaian :
a), =
∇ =
pada titik (4,3)∇ = 18.4
2
9.3
∇ = 12
2
3
b).
ū, =
,
,
v
ū, = 18
1
4
29
1
4
ū, = 18
1
2√ 2
2
9
1
2√ 2
ū , =
√ 2
√ 2
Pada titik (4,3)
ū, = 116√ 2.4
1
9√ 2 .3
ū, = 14√ 2
1
3√ 2
ū, = 712√ 2
14. Gradien Fungsi 3 Variabel
Definisi : Misalkan f adalah fungsi ari 3 variabel yaitu x, y dan z, dan turunan-turunan parsial pertamanya maka gradien f ditentukan oleh
∇
dengan definisi :∇ =
,,
,,
,,
Contoh Soal :
Diketahui
,, =
4
P(-2, 1, 3) dan ū=
a) Carilah gradien f pada P(-2, 1, 3)
b) Tentukan laju perubahan pada P dalam arah ū
Penyelasaian :
∇ = 4 2 4 2
Pada P(-2, 1, 3)∇ = 4.1 (2.1 42) 2.3
∇ = 4 10 6
b)
ū,, =
,,
,,
,,
ū,, = 4272 4
6
7 2
3
7
ū,, = 87
12
7
24
7
6
7
ū,, = 207
24
7
6
7
Pada P(-2, 1, 3)
ū,, = 207.1
24
7 2
6
7.3
ū,, = 207
48
7
18
7
ū,, = 687
18
7
ū,, = 507
BAB III PENUTUP
a. Kesimpulan
Adapun kesimpulan dari makalah ini adalah: 1. Turunan berarah 2 variabel
Teorema 1
Definisi: andai f suatu fungsi dari z fariabel x dan y. bila ū adalah vektor satuan cos Ɵi + sin Ɵj, maka turunan berarah dari f dalam arah ū ditentukan oleh :
→
, = lim
→
ℎƟ, ℎƟ ,
ℎ
Teorema 2
Definisi: andai f suatu fungsi dari z fariabel x dan y yang didiferensialkan dan
⃗ = cosƟi sinƟj
maka:
→
, =
f
x(x,y) cos
Ɵ
+ f
y(x,y) sin
Ɵ
2. Turunan berarah 3 variabel
Definisi misalkan f adalah fungsi 3 variabel x, y dan z dan
⃗
= cosα i + cosβ j + cosγ k. sebagai vector satuan, maka turunan berarah dari⃗
yang didefinisikan:
→
,, =
→
.,.,. ,,
Atau
→
,, =
,,
,,
,,
3. Gradien fungsi 2 variabel
Definisi : Andaikan f adalah fungsi dari 2 variabel x dan y, fx dan f y
ada maka gradien f ditulis
∇
dengan definisi :∇ =
,
∇ =
,
,
Atau
∇ =
,
,
4. Gradien fungsi 3 variabelDefinisi : Misalkan f adalah fungsi ari 3 variabel yaitu x, y dan z, dan turunan-turunan parsial pertamanya maka gradien f ditentukan oleh
∇
dengan definisi :∇ =
,,
,,
,,
5. Turunan berarah menggunakan aturan rantaiReview aturan rantai,
Teorema Aturan Rantai
Misalkan fungsi V adalah fungsi dari x dan y yang terdeferensial dan didefinisikan oleh V = f(x,y) misalkan pula x = F (r,s) , y = G (r,s)
dan
,
,
semuanya ada maka V suatu fungsi r dan sserta: 1.
=
.
+
+
2.
=
.
.
b. PenutupDemikian makalah yang dapat penulis berikan. Penulis menyadari, makalah ini tidaklah sempurna karena masih banyak kekurangan. Untuk itu penulis mengharapakan kritik dan saran yang sifatnya membangun, guna memperbaiki di masa mendatang. Ucapan terimakasih penulis sampaikan kepada rekan-rekan kerja, dan dosen pembimbing yang telah membantu dalam proses penyusunan makalah ini. Semoga makalah ini bermanfaat, menginspirasi dan memperluas pengetahuan kita.
BAB 1
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pembelajaran pada saat ini tidak hanya diberikan oleh guru, tetapi dengan kemajuan teknologi mahasiswa diharapkan bisa mandiri dan bermotivasi mencari bahan pembelajaran dan mendiskusikannya. Oleh karena itu, Mata Kuliah Kalkulus 3 ini pembelajarannya dilakukan dengan model diskusi presentasi kelompok. Makalah ini dibuat sebagai hasil diskusi kelompok kami tentang materi Turunan Berarah Dan Vektor Gradien yang dipresentasikan.
Makalah ini akan menyajikan materi tentang Turunan Berarah Dan Vektor Gradien. Dalam Turunan Berarah Dan Vektor Gradien akan dibahas 2 masalah beserta penyelesaiannya.
Makalah ini akan membahas secara detail materi- materi yang disebutkan diatas. Tidak hanya definisi atau penjelasannya saja yang akan dibahas, tetapi makalah ini juga akan memberikan beberapa contoh dan penyelesaiannya serta beberapa latihan sehingga pembaca dapat paham betul
tentang materi tersebut.
B. Prasyarat
Materi prasyarat yang dibutuhkan agar dapat memahami makalah ini adalah sebagai berikut :
1. Kalkulus 1 2. Kalkulus 2
C. Ruang Lingkup Pembahasan Dan Batasan
Dalam makalah ini pembahasan hanya dibatasi pada “Turunan Berarah Dan Vektor Gradien”.
D. Maksud Dan Tujuan Penulisan
Pada dasarnya tujuan penulisan makalah ini dibagi menjadi dua, yaitu tujuan umum dan tujuan khusus. Tujuan umum dari penulisan makalah ini
yaitu untuk memenuhi tugas mata kuliah “Kalkulus 3”. Sedangkan tujuan khusus dari penulisan makalah ini diantaranya:
1. Mahasiswa dapat menyelesaikan tugas kelompok mata kuliah Kalkulus 3. 2. Mahasiswa dapat menjelaskan kembali definisi serta konsep Turunan
Berarah Dan Vektor Gradien.
3. Mahasiswa dapat mengetahui ketentuan dan teorema-teorema dalam Turunan Berarah Dan Vektor Gradien.
4. Mahasiswa mampu menyelesaikan soal-soall yang berkaitan dengan Turunan Berarah Dan Vektor Gradien.
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ... ii
DAFTAR ISI ... iii
BAB 1 PENDAHULUAN ... iv
Latar Belakang ... iv
Prasyarat ... iv
Ruang Lingkup Pembahasan Dan Batasan ... iv
Maksud Dan Tujuan Penulisan ... v
BAB II PEMBAHASAN ... 1
Turunan Berarah dan Vektor Gradien ... 1
Turunan Berarah 2 variabel ... 1
Turunan Berarah 3 variabel ... 3
Gradien Fungsi 2 Variabel ... 4
Gradien Fungsi 3 Variabel ... 5
BAB III PENUTUP ... 7
Kesimpulan ... 7
