BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1. Pengertian Data Deret Berkala
Suatu deret berkala adalah himpunan observasi yang terkumpul atau hasil observasi yang mengalami peningkatan waktu. Data deret berkala adalah serangkaian nilai-nilai variabel yang disusun berdasarkan waktu. Pada analisis data deret berkala terdapat variasi musim. Variasi musim merupakan gerakan suatu deret berkala yang diklasifikasikan ke dalam periode kurang dari satu tahun seperti kwartalan, bulanan atau harian, atau gerakan periodik yang berulang.
Data sebuah deret berkala dapat berupa variasi musim atau tidak memiliki variasi musim, oleh karena itu perlu dilakukan identifikasi terlebih dahulu untuk mengetahui apakah deret tersebut mempunyai variasi musim atau tidak sebelum dilakukan perhitungan. Metode paling sederhana untuk mengetahui adanya variasi
musim adalah dengan melihat pola yang ada pada plot time series. Pola variasi musim dapat diklasifikasikan dalam dua bentuk yaitu spesifik dan tipical. Pola spesifik menunjukkan variasi musim dalam periode kwartalan, sedangkan pola tipical menunjukkan rata-rata variasi musim dalam sejumlah periode seperti tahunan.
2.2. Stasioneritas
Data deret berkala dikatakan stasioner dalam rata-rata jika rata-ratanya tidak
berubah dari waktu ke waktu atau data bersifat stabil. Untuk melihat apakah suatu data sudah stasioner dalam rata-rata dapat digunakan alat bantu plot time series dan ACF. Apabila suatu data deret berkala tidak stasioner berdasarkan rata-rata maka dapat diatasi dengan melakukan pembeda (differencing). Differencing merupakan pengurangan data tertentu dengan data sebelumnya. Jika differencing ordo satu masih belum menghasilkan data yang stasioner, maka dapat dilakukan differencing ordo kedua, dan seterusnya hingga diperoleh data stasioner.
Menurut Makridakis, dkk (1993) notasi yang sangat bermanfaat dalam metode pembedaan adalah operator shift mundur (backward shift) yang disimbolkan dengan B dan penggunaanya adalah sebagai berikut:
(1)
Notasi B yang dipasangkan pada mempunyai pengaruh menggeser data satu periode ke belakang, dua penerapan B untuk akan menggeser data tersebut dua periode ke belakang, sebagai berikut:
(2)
Apabila suatu deret berkala tidak stasioner, maka data tersebut dapat dibuat lebih mendekati stasioner dengan melakukan pembedaan pertama dari deret data dan
persamaannya adalah sebagai berikut: 1. Pembedaan pertama
(3)
Menggunakan operator shift mundur, persamaan (6) dapat ditulis kembali menjadi:
(4) Pembedaan pertama dinyatakan oleh (1-B). Sama halnya apabila pembedaan orde kedua (yaitu pembedaan pertama dari pembedan pertama sebelumnya) harus dihitung.
2. Pembedaan orde kedua
Pembedaan orede kedua diberi notasi .
Tujuan menghitung pembedaan adalah untuk mencapai stasioneritas, dan secara umum apabila terdapat pembedaan orde ke-d untuk mencapai stasioneritas ditulis sebagai berikut:
(5)
Suatu deret berkala dikatakan stasioner dalam varians, jika plot deret berkala tidak memperlihatkan adanya perubahan varians yang jelas dari waktu ke waktu (Makridakis,
1993). Begitu pula sebaliknya, jika data deret berkala menunjukkan terdapat variasi fluktuasi data pada grafik maka data tersebut termasuk dalam deret berkala yang belum stasioner atau belum dalam varians, dapat menggunakan plot time series dan plot ACF.
Untuk menstasionerkan data yang belum stasioner dalam varians, dapat dilakukan dengan proses transformasi. Secara umum, untuk mencapai stasioneritas dalam varians dapat dilakukan dengan power transformation ( ) yaitu (Makridakis, 1993):
(6)
Tabel 1: Transformasi Box-Cox
Nilai Estimate Transformasi
-1
-0,5
0
0,5
1 (stasioner)
2.3. Model Fungsi Transfer
Fungsi transfer merupakan salah satu metode peramalan yang digunakan pada data deret waktu yang terhubung dengan satu atau lebih deret waktu lainnya. Model fungsi transfer merupakan gabungan beberapa karakteristik dari model-model ARIMA univariat dan beberapa karakteristik analisis regresi berganda. Model fungsi transfer memiliki deret berkala input ( ), dan input-input lain yang digabungkan dalam satu kelompok yang disebut gangguan (noise), dengan simbol . Fungsi transfer digunakan untuk
meramalkan nilai yang akan datang dari suatu deret output ( ) berdasarkan nilai yang lalu dari deret output tersebut dan deret-deret lain yang berhubungan, yang disebut deret input , dengan simbol .
Fungsi transfer memetakan deret input ke deret output dengan merupakan deret input yang terkendali. Upaya untuk mengatasi hal ini adalah melakukan pemutihan atau white noise yaitu penghilangan seluruh pola yang diketahui
2.3.1. Bentuk Dasar Model Fungsi Transfer
Model fungsi transfer bivariat ditulis dalam dua bentuk umum. Bentuk pertama adalah sebagai berikut:
(7)
dengan:
= deret output = deret input
= pengaruh kombinasi dari seluruh faktor yang mempengaruhi
= ( ), merupakan respons impuls dimana adalah orde fungsi transfer.
2.3.1.1. Menyiapkan Deret Input dan Output
Di dalam menyiapkan pemodelan fungsi transfer, perlu ditransformasikan atau melakukan pembedaan deret input dan output, terutama apabila terdapat ketidakstasioneran. Transformasi yang biasanya diterapkan adalah sebagai berikut:
apabila
dan
apabila
dengan m adalah faktor penambah yang konstan. Bila = 0,5 maka transformasi akar kuadrat diterapkan. Bila = 0, maka logaritma data dihitung dan faktor penambah yang
konstan ditetapkan sedemikian rupa sehingga nilai ( ) lebih besar dari nol.
deseasonalized. Langkah-langkah yang perlu dilakukan sebelum menyiapkan deret input dan output adalah sebagai berikut:
1. Apakah transformasi terhadap data input dan output perlu dilakukan
2. Berapa tingkat pembedaan (difference) yang seharusnya diterapkan untuk deret input dan deret output agar mereka menjadi stasioner.
3. Apakah deret input dan output perlu dihilangkan pengaruh musimannya
Deret data yang telah ditransformasi dan yang telah sesuai disebut dan .
2.3.1.2. Pemutihan Deret Input ( )
Mengubah deret input ( ) menjadi deret output ( ) dan meyederhanakannya akan
membantu mempermudah memahami sistem dari fungsi transfer. Dengan demikian suatu input yang terkendali dapat ditempatkan dan diperiksa outputnya secara berulang-ulang sampai sifat asli fungsi transfer jelas. Melakukan pemutihan terhadap deret input berfungsi untuk menghilangkan seluruh pola yang diketahui supaya yang tertinggal hanya model yang terkendali, white noise.
Suatu keadaan deret disebut white noise dengan suatu contoh nilai-nilai diambil dengan penarikan contoh acak yang bebas dengan distribusi peluang yang tetap. Dengan contoh sebagai berikut:
(8)
2.3.1.3. Pemutihan Deret Output ( )
Fungsi transfer yang ditetapkan adalah memetakan ke dalam . Seperti pada
persamaan (20), transformasi yang sama diterapkan terhadap supaya integritas
hubungan fungsional tetap dipertahankan.
Input Fungsi Transfer Output
Input
Fungsi Transfer Output
Transformasi pada tidak diubah menjadi white noise karena deret telah diputihkan sebelumnya. Deret yang telah diputihkan diberi simbol , dengan formulasi
deret sebagai berikut:
2.3.1.4 Penghitungan Crosscorrelation dan Autocorelation untuk Deret yang
telah diputihkan
Pada pemodelan ARIMA variabel tunggal (univariate ARIMA), koefisien autocorelation merupakan statistik kunci dalam membantu menetapkan bentuk model. Pada pemodelan MARIMA variabel ganda (fungsi transfer), autocorelation memiliki peran yang kedua setelah crosscorelation. Kenyataanya, terdapat perbedaan yang sangat kecil antara crosscorelation dengan apa yang biasa disebut korelasi, karena fungsi transfer berhubungan dengan dua deret, dan yang terpisah (dalam bentuk yang telah
diputihkan dan ).
(10)
Bentuk tersebut dapat digunakan untuk menetapkan dua ragam dan . Dengan
menggunakan subskrip waktu di bawah variabel X dan Y dengan memisalkan k sebagai waktu lag (lag time) atau beda waktu pada setiap pasang data, maka kita dapat menentukan peragam-silang (crosscovariance) dan sebagai berikut:
(11)
(12)
dengan k = 0, 1, 2, 3, ..., pada persamaan (22) X memberikan petunjuk pada Y berdasarkan periode k. Di dalam persamaan (23) Y memberikan petunjuk pada X berdasarkan periode k. Persamaan (22) dan (23) didefenisikan sebagai ekspektasi (yang diharapkan). Taksiran crosscorelation dihitung dengan rumus sebagai berikut:
(13)
dengan dan adalah rata-rata dari deret dan Y dan k = 0, 1, 2, ...
(14)
Rumus kesalahan standar berikut berguna untuk memeriksa apakah berbeda nyata dari nol dengan membandingkan nilai dengan kesalahan standar. (Makridakis, 1993)
(15)
Jika terdapat k negatif, diganti dengan nilai absolutnya pada sisi kanan persamaan (26).
Formula untuk memperoleh pendugaan langsung untuk masing-masing bobot respon impuls adalah:
(16)
dengan:
= bobot respon impuls
= korelasi silang antara dan
= simpangan baku (standard deviation) dari deret
= simpangan baku (standard deviation) dari deret
(makridakis, 1993)
2.3.1.6. Penetapan (r, s, b) untuk Model Fungsi Transfer
Nilai b menyatakan bahwa y tidak dipengaruhi oleh nilai sampai periode t+b. Nilai s menyatakan untuk beberapa lama deret output y secara terus menerus dipengaruhi oleh
nilai-nilai baru dari deret input. Nilai r menunjukkan bahwa berkaitan dengan nilai-nilai masa lalunya. Parameter utama dalam model fungsi transfer adalah (r, s, b), dengan r menunjukkan derajat fungsi , s menunjukkan derajat fungsi , dan b menunjukkan keterlambatan yang dicatat pada subskrip dari pada persamaan (3).
(Makridakis, 1993)
Berdasarkan persamaan (1), (2) dan (3) telah ditetapkan:
untuk
untuk
untuk
untuk
Secara intuitif arti (r, s, b) dapat diuraikan dengan aturan-aturan berikut. Pertama, nilai b menyatakan bahwa y tidak dipengaruhi oleh nilai sampai periode , atau dengan persamaan sebagai berikut:
berikutnya, nilai s menyatakan untuk beberapa lama deret output (y) secara terus-menerus dipengaruhi oleh nilai-nilai baru dari deret input (x), dipengaruhi oleh
. Nilai r menunjukkan bahwa berkaitan dengan nilai-nilai
masa lalunya yaitu y dipengaruhi oleh .
Tiga prinsip atau petunjuk untuk menentukan nilai yang tepat untuk (r, s, b) yaitu sebagai berikut:
1. Sampai lag waktu ke b, crosscorelation tidak akan berbeda dari nol secara signifikan.
2. Untuk s time lag selanjutnya, crosscorelation tidak akan memperlihatkan adanya pola yang jelas.
3. Untuk r time lag selanjutnya, crosscorelation akan memperlihatkan suatu pola yang jelas.
Bobot respons impuls diukur secara langsung dan ini memungkinkan perhitungan nilai
taksiran dari deret gangguan , dikarenakan:
dengan g adalah nilai praktis yang dipilih.
2.3.1.8. Penetapan untuk Model ARIMA ( ) dari Deret Gangguan
Autokorelasi, autokorelasi parsial ditetapkan dan selanjutnya nilai dan untuk autoregressive dan proses moving average, berturut-turut dipilih. Dengan cara seperti ini, fungsi dan untuk deret gangguan pada persamaan (38) diperoleh untuk mendapatkan:
2.3.1.9. Analisis Autokorelasi untuk Nilai Sisa Model (r, s, b) yang
Menghubungkan Deret Input dan Output
Pengujian kelayakan suatu model perlu dilakukan untuk mengetahui kesesuaian model yaitu sudah memenuhi syarat white noise. Caranya adalah dengan memeriksa autokorelasi dan korelasi residualnya. Pengujian autokorelasi untuk nilai sisa menggunakan hipotesis:
H0: Autokorelasi pada deret sisa tidak signifikan
H1: Autokorelasi pada deret sisa signifikan
dengan:
= banyak data pada gugus residual
= lag terbesar yang diperhatikan
(r, s, b) = parameter model fungsi transfer
= autokorelasi residual untuk lag k
Selanjutnya membandingkan hasilnya dengan tabel distribusi dengan taraf
signifikansi , derajat bebas (merupakan nilai autoregressive dan moving average dari deret noise) dan tolak H0 jika .
2.3.1.10. Analisi Korelasi Silang antara Nilai Sisa dengan Deret Ganguan yang
Telah Diputihkan
Pada proses perkiraan langsung bobot fungsi transfer dibuat asumsi bahwa deret input ( ) yang disesuaikan adalah bebas dari komponen noise ( ) random. Karena itu bagian penting dari proses diagnostik adalah untuk membuktikan asumsi ini. Untuk menguji
kesimpulan ini secara formal, akan digunakan uji Box-Pierce sekali lagi. Pengujian crosscorelation antara nilai sisa dengan deret gangguan yang telah diputihkan menggunakan statistik uji dengan hipotesis:
H0: Crosscorelation antara deret dan tidak signifikan
H1: Crosscorelation antara deret dan signifikan
Formula yang sesuai untuk uji keterikatan dan , adalah sebagai berikut:
dengan:
= banyak data pada deret (x yang telah white noise)
= lag maksimum
= jumlah parameter AR pada model ARIMA dengan deret input ( )
s dan b adalah parameter yang diperoleh dari hasil perhitungan.
Hasilnya dibandingkan dengan tabel dengan derajat bebas dengan kriteria keputusan, tolak H0 jika .
2.4. Prosedur Menentukan Model Fungsi Transfer Multivariat
Pemodelan fungsi transfer multi input (multivariate models) untuk deret input dan
deret output memiliki beberapa tahapan. Pertama, mengidentifikasi deret input tunggal terlebih dahulu supaya mendapatkan orde model ARIMA. Setelah diperoleh model ARIMA untuk deret input tunggal dan deret output, dilakukan pemutihan terhadap deret tersebut. Selanjutnya, dilakukan perhitungan korelasi silang untuk
masing-masing deret untuk menentukan nilai . Setelah estimasi bobot-bobot respon inpuls, dilanjutkan dengan mengidentifikasi bentuk model fungsi transfer dan noise gabungan. Berikut adalah tahap-tahap pemodelan fungsi transfer multi input. (Makridakis 1993)
2.4.1. Tahap Pertama: Identifikasi Bentuk Model Input Tunggal
1) Mempersiapkan deret input dan output
Mengidentifikasi kestasioneran deret input dan output dilakukan dengan melakukan transformasi atau melakukan differencing terhadap deret input dan output. Deret data input dan output yang telah stasioner disebut dan .
Pemutihan deret input dilakukan untuk memperoleh model yang white noise. Pemutihan
deret input dengan proses ARIMA adalah:
Mengubah deret input menjadi deret adalah sebagai berikut:
3) Pemutihan deret output
Rumusan deret output yang telah diputihkan adalah:
Suatu transformasi pemutihan yang dilakukan terhadap diterapkan juga terhadap
deret supaya fungsi transfer dapat memetakan terhadap .
4) Perhitungan korelasi silang dan autokorelasi deret input dan deret output yang telah diputihkan
Kovarian antara dua variabel dan adalah sebagai berikut:
dan diperoleh dua ragam yaitu dan . Dengan memisalkan sebagai time lag. Kovarians silang dan didefenisikan sebagai berikut:
(
(
dengan
persamaan di atas didefinisikan sebagai ekspektasi. Dalam praktek, taksiran kovarians-silang dihitung dengan rumus berikut:
Kovarians silang kemudian diubah menjadi korelasi silang dengan membagi kovarians tersebut oleh dua standar deviasi sebagai berikut:
Rumus standar error berikut berguna untuk memeriksa apakah berbeda nyata dari nol, dengan membandingkan nilai dengan standar error.
Di dalam model fungsi transfer multivariat, perhitungan korelasi silang pada masing-masing input terhadap output digunakan untuk mengetahui nilai yang
diidentifikasi dari plot korelasi silang. Setelah diperoleh nilai pada masing-masing input, maka dilakukan korelasi silang serentak antara nilai terhadap seluruh variabel inputnya.
5) Penaksiran langsung bobot respon impuls
Bobot respon impuls ini berguna untuk menghitung deret noise. Untuk penaksiran bobot respon impuls secara langsung, rumusnya adalah sebagai berikut:
dengan
= nilai dari korelasi silang lag ke-k
= standar deviasi dari deret input yang telah diputihkan
6) Penetapan untuk model fungsi transfer yang menghubungkan deret input dan deret output
Tiga parameter kunci dalam model fungsi transfer adalah dengan
menunjukkan derajat fungsi , menunjukkan derajat fungsi , dan
menunjukkan keterlambatan yang dicatat pada pada persamaan berikut:
Besarnya dapat ditentukan dari lag yang pertama kali signifikan pada plot
korelasi silang. Nilai ini merupakan nilai yang paling mudah ditentukan. Apabila korelasi silang diperoleh dari tetapi ,
maka dapat ditentukan , dengan kata lain terdapat tiga periode sebelum runtun waktu input mulai mempengaruhi runtun waktu output .
b. Nilai menyatakan seberapa lama deret terus dipengaruhi
, sehingga dapat dikatakan bahwa nilai adalah bilangan
pada lag plot korelasi silang sebelum terjadinya pola menurun. c. Nilai menyatakan bahwa dipengaruhi oleh nilai masa lalunya
, dengan ketentuan:
bila ada beberapa lag plot pada korelasi silang yang terpotong.
bila plot pada korelasi silang menunjukkan suatu pola eksponensial menurun. bila plot pada korelasi silang menunjukkan suatu pola eksponensial menurun dan pola sinus.
Bobot respon impuls diukur secara langsung, ini memungkinkan dilakukan perhitungan
nilai taksiran dari deret gangguan dengan rumusan:
8) Penetapan untuk model ARIMA dari deret gangguan
Sesudah menggunakan persamaan deret gangguan , nilai-nilai dianalisis dengan cara ARIMA biasa untuk menentukan model ARIMA yang tepat sehingga diperoleh
nilai dan . Dengan cara ini, fungsi dan untuk deret gangguan dapat diperoleh untuk mendapatkan persamaan berikut:
2.4.2. Tahap Kedua: Penaksiran Parameter-parameter Model Fungsi Transfer
Berikut adalah model fungsi transfer dan ARIMA untuk deret noise:
Pada tahap ini, akan dilakukan penaksiran nilai-nilai , , dan . Nilai taksiran diperoleh dengan cara mensubstitusikan persamaan khusus seperti berikut:
untuk
untuk
untuk
Dengan pembobotan impuls, maka akan diperoleh nilai-nilai parameter yang diperlukan dengan cara mensubstitusikannya.
2.4.3. Tahap Ketiga: Uji Diagnosis Model Fungsi Transfer Tunggal
Pada tahap ini diperlukan pengecekan deret gangguan dan hubungan deret dengan . Deret yang sudah diperoleh melalui tahap 1 dan 2, secara umum bentuknya adalah:
Dikalikan dengan . Selanjutnya, mencari nila parameter yang diatur kembali untuk digunakan pada model peramalan.
2.4.4. Tahap Keempat: Penentuan Model Fungsi Transfer Multi Input
Pemodelan fungsi transfer multi input dilakukann dengan cara memodelkan secara serentak seluruh variabel yang sudah diidentifikasi sebelumnya. Identifikasi nilai-nilai bobot respon impuls dan korelasi silang dijadikan dasar dalam pemodelan serentak yang menghasilkan fungsi transfer multi input. Langkah-langkah penentuan model fungsi transfer multi input adalah sebagai berikut:
1) Mengidentifikasi deret input dan output untuk mengetahui kestasioneran dan menentukan orde model ARIMA.
3) Mencari nilai korelasi silang untuk masing-masing deret input terhadap deret
output, yang berguna untuk menghitung deret noise dan juga menentukan orde model fungsi transfer dengan mengidentifikasi plot korelasi silang.
4) Menentukan nilai pada masing-masing deret dan menghitung nilai gangguan
( ) sehingga model fungsi transfer multi input tunggal selesai.
5) Nilai masing-masing deret input yang telah diperoleh, dilakukan estimasi
secara serentak.
6) Penentuan nilai gabungan fungsi transfer multi input
Nilai-nilai yang telah diidentifikasi dalam model fungsi transfer input tunggal, dijumlahkan sehingga model multi input mejadi:
dengan:
= operator moving average orde untuk variabel ke-j
= operator autoregressive orde untuk variabel ke-j
= operator moving average orde
= operator autoregressive orde
