Materi Pemrograman Linier

Linear Programming

(Pemrograman Linier)

Program Studi Statistika

Semester Ganjil 2011/2012

Kasus Khusus (

Special

Case) LP

1.

Jumlah solusi optimal yang lebih

dari satu (

alternative or multiple

optimal solutions

)

2.

Tidak ada solusi feasibel

(

infeasible LP

)

3.

LP yang tidak terbatas

(

unbounded

): ada titik di dalam

LP dengan

Multiple optimal

Solution

Isoprofit line: Z=6 0

0

,

0

(CD)

1

(AB)

1

.

.

2

3

max

2 1 2 501 1 501 2 601 1 401 2 1

















x

x

x

x

x

x

t

s

x

x

z

60

2

3

₁



₂





x

x

LP dengan

Multiple optimal

Solution

Z=6 0

Titik sepanjang garis AE terkena isoprofit line paling akhir

Titik sepanjang garis AE adalah solusi optimal

Infeasible LP

Tidak ada

himpunan titik yang memenuhi semua kendala

Unbounded LP

Isoprofit line:

Tidak ada batas bagi isoprofit line di dalam daerah feasibel, Z→∞

0

,

0

(CD)

6

2

(AB)

1

.

.

2

max

2 1 2 1 2 1 2 1

















x

x

x

x

x

x

t

s

x

x

z

4

2

₁



₂





x

x

Contoh LP: Diet Problem



Aturan diet (

yang aneh

) hanya boleh

mengkonsumsi

◦

Brownies, Ice cream, soda, cheesecake



Setiap jenis makanan ada harga tertentu

per unit



Ingin dipenuhi kebutuhan harian: kalori,

coklat, gula dan lemak harian, dari

asupan ke-empat jenis makanan tersebut



Ingin diputuskan, berapa konsumsi setiap

jenis makanan tsb per hari,

◦

Sesuai kebutuhan

Tabel untuk Diet Problem

  Kalori Coklat (ons) (ons)Gula Lemak (ons) Harga (cent)

Brownies/potong 400 3 2 2 50

Chocolate Ice

cream/sendok 200 2 2 4 20

Soda/botol 150 0 4 1 30

Cheesecake/potong 500 0 4 5 80 Minimum Kebutuhan

harian 500 6 10 8

Apa peubah keputusanny a?

/hari

Cheesecake

#

:

Soda/hari

#

:

Cream/hari

Ice

Chocolate

#

:

ri

Brownie/ha

#

:

2 3 2 1

Apa fungsi obyektif? Meminimumkan biaya membeli makanan

  X1: #potong Brownies X2: #sendok Ice cream X3: #botol Soda X4: #potong cheesecake

Harga (cent) 50 20 30 80

Apa fungsi kendala? Kebutuhan minimum harian setiap nutrisi (kalori, coklat, gula dan lemak)

  X1: #potong Brownies X2: #sendok Ice cream X3: #botol Soda X4: #potong cheesecake Kebutuhan minimum

Kalori 400 200 150 500 500

Coklat(ons) 3 2 0 0 6

4 3

2

1

20

30

80

50

min

z



x



x



x



x

500

500

150

200

400

x

₁



x

₂



x

₃



x

₄



6

2

  X1: #potong Brownies X2: #sendok Ice cream X3: #botol Soda X4: #potong cheesecake Kebutuhan minimum

Gula(ons) 2 2 4 4 10

Lemak(ons) 2 4 1 5 8

Batasan tanda bagi peubah keputusan? Jumlah makanan yang dikonsumsi: harus non negatif

10

4

4

2

2

x

₁



x

₂



x

₃



x

₄



8

5

4

2

x

₁



x

₂



x

₃



x

₄



0

,

,

,

_{2 3 4}

1

x

x

x



LP untuk Diet Problem

s.t.

LP dengan lebih dari 2

peubah keputusan. Metode Grafis tidak dapat

digunakan.

10

4

4

2

2

x

₁



x

₂



x

₃



x

₄



8

5

4

2

x

₁



x

₂



x

₃



x

₄



0

,

,

,

_{2 3 4}

1

x

x

x



x

4 3

2

1

20

30

80

50

min

z



x



x



x



x

500

500

150

200

400

x

₁



x

₂



x

₃



x

₄



6

2

Contoh LP: Penjadwalan

(

Schedulling

)



Sebuah kantor pos, membutuhkan

karyawan

full time

dengan jumlah yang

berbeda setiap hari dalam satu minggu.



Aturan serikat kerja:

◦

Setiap karyawan full time: 5 hari

berturut-turut bekerja, 2 hari libur.

◦

Mis: bekerja Senin – Jumat, Sabtu dan

Minggu libur



Masalah penjadwalan: minimum jumlah

karyawan yang sesuai kebutuhan,

Tabel Kebutuhan Karyawan

Kantor Pos per hari

    #Karyawan full time yang diperlukan Hari ke-1 Senin 17

Hari ke-2 Selasa 13 Hari ke-3 Rabu 15 Hari ke-4 Kamis 19 Hari ke-5 Jumat 14 Hari ke-6 Sabtu 16 Hari ke-7 Minggu 11

Apa peubah keputusanny

a? Jumlah karyawan yang memulai bekerja pada hari ke- i

7

,...,

1

,

i



    Bekerja Mulai Hari

    Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu

Bekerja pada

hari

Senin      

Selasa      

Rabu      

Kamis      

Jumat      

Sabtu      

Minggu      

On On On On On Of Of On On On On On Of Of On On On On On Of Of On On On On On Of Of On On On On On Of Of On On On On On Of Of On On On On On Of Of #KYW 17 13 15 19 14 16 11

Jika Jumlah karyawan yang memulai bekerja pada hari ke- i

Kendala jumlah kebutuhan karyawan per hari:

Senin:

    X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

Selasa: Rabu: Kamis:

7

,...,

1

,

i



x

_i

17

_{4 5 6 7}

1  x  x  x  x 

x

13

_{5 6 7}

2

1  x  x  x  x 

x 15 _{6 7} 3 2

1  x  x  x  x 

x 19 ₇ 4 3 2

1  x  x  x  x 

Jumat: Sabtu: Minggu:

Fungsi obyektif? Meminimumkan jumlah karyawan

Batasan tanda? Jumlah karyawan non negatif

14

5 4

3 2

1  x x x  x 

x

16 x₂  x₃  x₄  x₅  x₆ 

11 x₃  x₄  x₅  x₆ x₇ 

7 6

5 4

3 2

1

min z x  x  x  x  x  x  x

7

,...,

1

,

0





i

LP Masalah Penjadwalan

s.t:

LP lebih dari satu peubah, metode grafis tidak sesuai

Harus diselesaikan dengan Metode Simpleks 7 6 5 4 3 2 1

min z x  x  x  x  x  x  x 17

_{4 5 6 7}

1  x  x  x  x 

x

13

_{5 6 7}

2

1  x  x  x  x 

x 15 _{6 7} 3 2

1  x  x  x  x 

x 19 ₇ 4 3 2

1  x  x  x  x 

x 14 5 4 3 2

1 x x x  x 

x

16 x₂  x₃  x₄  x₅  x₆ 

11 x₃ x₄ x₅ x₆  x₇ 

Latihan Soal

Tentukan termasuk kasus manakah

masalah LP berikut:

1.

Max z = x

₁

+x

₂

s.t x

₁

+x

₂

≤ 4

2. Max z=4x

₁

+x

₂

s.t 8x

₁

+2x

₂

≤ 16

5x

₁

+2x

₂

≤ 12

3. Petani Joni memiliki 45 are

tanah. Dia Akan menanami

tanahnya tersebut dengan gandum

atau jagung. Setiap are tanah yang

ditanami gandum menghasilkan

keuntungan sebesar 200 dollar,

dan setiap are tanah yang

Gandum Jagung

Tenaga

Kerja

Pupuk

3 tenaga kerja 2 Tenaga

Kerja

2 ton 4 Ton

Tersedia 100 tenaga kerja dan

120 ton pupuk. Gunakan

pemrograman linier untuk