TRANSFER M OM ENTUM
ALIRAN DALAM ANULUS
Alir an dalam anulus adalah aliran di ant ara dua pipa yang segaris pusat . Jadi ada pipa besar dan ada pipa kecil. Pipa kecil ber ada dalam pipa besar . Ruang yang t erbent uk oleh dua pipa ini disebut anulus.
Unt uk keperluan analisis alir an, kit a t et apkan t erlebih dahulu jari-jar i pipa, yait u
ROI adalah jari-jar i pipa luar bagian dalam . RIO adalah jari-jar i pipa dalam bagian luar . Sket sa alir an fluidanya adalah seper t i pada gam bar ber ikut . Di sini fluida ber ger ak ke ar ah kanan (arah x posit if).
Pipa besar
Pipa kecil
Ruang anulus
R
OIadalah jari-jari pipa luar bagian dalam.R
IOadalah jari-jari pipa dalam bagian luar.Fluida mengalir di antara
R
IO danR
OI.R
OIUnt uk mem udahkan analisis, sist em pada gam bar di at as ini masih harus dijelaskan lebih lanjut dalam bent uk volume at ur (Cont rol Volume) agar kit a bisa mem buat neraca moment umnya. Gambarannya seper t i berikut .
Pipa luar Pipa dalam
ROI
RIO
r
∆
r Volum e atur berbentukgelang dengan ketebalan dr dan berjari-jarir r. Tekanan pada sisi yg m enghadap pembaca sebesar p1 dan sebesar p2
pada sisi penampang yang m enembus halaman ini. Fluida m engalir dari arah pem baca menuju ke arah belakang halaman ini.
L
r
x
ROI
p
2p
1Fluida: ρ , μ
Fluida: ρ , μ
p
1p
2
RIO
Analisis Terhadap Volume Atur
Neraca Gaya:
1.
Ada gaya (tekanan) pada posisi x = 0 sebesar
F
1= p
1A;
A = 2
π
r
∆
r
Jadi F
1= p
1[2πr∆r]
2.
Ada gaya (tekanan) pada posisi x = L sebesar
F
2= -p
2A;
Jadi F
2= -p
2[2πr∆r]
3.
Ada gaya
(viskous)
masuk
ke elem en volume melalui
perm ukaan dalam pada posisi r, yait u:
[ 2
.
]
4.
Ada Gaya
(viskous)
keluar
dari elemen volume melalui
perm ukaan luar pada posisi r+
∆r, yaitu:
[ 2
∆
.
]
∆
5.
Ada gaya
(inersia)
masuk
pada penam pang 1, (pada x = 0),
sebesar:
[
2
∆
.
]
6.
Ada momentum
(gaya inersia)
keluar
pada penampang 2,
(pada x = L), sebesar:
Sekarang kit a jum lahkan sem ua gaya:
p
1[2πr∆r]
- p
2[2πr∆r]
+
[ 2
π
r L.
τ
]
-
[ 2
π
r L.
τ
]
∆+
[
2
π
r
∆
r v
x.
ρ
v
x]
-
[
2
π
r
∆
r v
x.
ρ
v
x]
= 0 (keadaan st edi)
Di sini suku ke-5 dan ke-6 saling meniadakan kar ena vx-nya sama (A sama).
Sehingga kit a peroleh:
p
1[2πr∆r]
- p
2[2πr∆r]
+ [
.
]
−
[
.
]
+∆= 0
At au:
[
.
]
∆
−
[
.
]
=
[2πr∆r]
(p
1
-p
2
)
Kit a bagi dengan
2π
∆
rL
2
π
L r
τ
r x|
r +∆r– r
τ
r x|
r2
π∆
r L
=[ 2
π
r
∆
r ]( p1
−
p2)
2
π∆
r L
Kit a per oleh:
r
τ
r x|
r +∆r– r
τ
r x|
r∆
r
=r ( p1
−
p2)
L
(
) =
∆
dan
∆
= (
−
)
.At au:
(
) =
∆
Unt uk mem peroleh dist ribusi fluks moment um, persamaan ini kit a ingt egralkan:
(
) =
∆
Kit a peroleh:
=
∆
1
2
+
at au
=
∆
2
+
Ber apakah nilai C1 ?? Sayang sekali, t idak ada infor masi sedikit pun t ent ang nilai fluksi moment um baik pada r = RIO maupun pada r = ROI. Namun masih bisa
Pada jar ak r =
ξ
ROI, fluksi moment umnya adalah no l. Sehingga, per samaan=
∆
2
+
dengan memasukkan r =
ξ
ROI, menjadi:0 =
∆
2
ξ
ROI+
ξ
ROIAt au C1-nya adalah:
=
−
∆
2
(
ξ
ROI)
Dengan demikian:
=
∆
2
+
− ∆
2
(
ξ
ROI)
=
∆
ROI2
ROI−
ξ
ROIIngat bahw a
ξ
masih belum diket ahui. Tujuan menggant ikan konst ant a int egr asi C1 denganξ
semat a-mat a karenaξ
memiliki art i fisis yang cukup ber makna.ROI
RIO
r
∆
rTerapkan hukum New t on t ent ang viskosit as:
=
−
maka:
=
−∆
ROI
2
ROI−
ξ
2 ROI
At au:
=
−∆
ROI
2
ROI−
ξ
2 ROI
Int egrasikan:
=
−∆
ROI
2
ROI−
ξ
2 ROI
Diper oleh:
=
−∆
ROI
4
2
ROI
−
2
ξ
2ROI ln + C2At au:
=
−∆
ROI2
4
2
ROI2
−
2
ξ
2 ln + C2=
−∆ ROI2
4 ROI 2
−
2ξ
2ln
ROI
+
3(* )
Unt uk menent ukan
ξ
dan C3, kit a pergunakan syarat bat as, yait u:Pada r = RIO , Vx = 0
M asukkan ke pers (* ) dan kit a per oleh dua per samaan serent ak (simult an), yait u:
0 =
∆ ROI 2 RIO
ROI
−
2ξ
ln
RIOROI
+
0 =
∆ ROI2 ROIROI
−
2ξ
ln
ROIROI
+
At au:
0 =
RIOROI
−
2ξ
ln
RIOROI
+
0 =
ROIROI
−
2ξ
ln
ROIROI
+
Dikur angi dan didapat :
0 =
RIOROI
−
1
−
2ξ
ln
RIO ROI RIOROI
−
1 =
2ξ
ln
RIO ROI2
ξ
=
RIOROI
−
1
ln
RIOROI
Dan dengan memasukkan nilai 2
ξ
t er sebut ke salah sat u per samaan bat as t sb, kit a dapat kan unt uk C3:0 =
RIOROI
−
2
ξ
ln
RIO0 =
RIOROI
−
RIO ROI
RIO ROI
ln
RIOROI
+
0 =
RIOROI
−
RIO
ROI
+ 1 +
Sehingga
=
−
1
Kem udian masukkan
ξ
=
RIO
ROI
−
1
2 ln
RIOROI
kepersamaan fluksi moment um ini :
=
−∆
ROI2
ROI−
ξ
ROI=
−∆
ROI2
ROI−
RIO
ROI
−
1
2 ln
RIOROI
ROI
Unt uk profil kecepat an, masukkan nilai
2
ξ
=
RIOROI
−
1
ln
RIOROI
dan
=
−
1
ke dalam per samaan ini:
=
−∆ ROI24 ROI 2
−
2ξ
2ln
ROI
+
3=
−∆
ROI2
4
ROI2
−
RIO ROI
2
−
1
ln
RIOROI
ln
ROI
−
1
Dengan bat asan:
R
IO
≤ r ≤ R
OI
Gam bar berikut adalah plot vs unt uk nilai-nilai:
∆ ROI2
= 100 satuan
;
RIOROI
= 0,4
; at au R
IO= 4 sat uan
dan R
OI= 10 sat uan.
Kecepat an maksimum t er jadi pada r =
ξ
ROI; yait u:0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 2 4 6 8 10 12
K
e
c
e
p
a
ta
n
, V
x
=
ξ
R=
R R2
−
1
2 ln
RR
.R
OI
=
ξ
R=
0,4
2
−
1
2 ln 0,4
.10 =
−
0,84
−
1,833
.10 = 6,77 satuan
yang kecepat an maksimumnya adalah:
18,436
sat uan.Unt uk menent ukan kecepat an maksimum sebenar nya juga bisa diper oleh dengan
menur unkan sat u kali t er hadap dar i per samaan:
=
−∆
ROI2
4
ROI2
−
RIO ROI
2
−
1
ln
RIOROI
ln
ROI
−
1
hingga
= 0
yait u pada :
=
ξ
R
Denganξ
=
R R
2
−
1
2 ln
RRSekar ang perhat ikan sekali lagi persamaan profil kecepat an yang sudah kit a per oleh:
=
−∆
ROI2
4
ROI2
−
RIO ROI 2
−
1
ln
RIOROI
ln
ROI
−
1
at au
=
∆
ROI2
4
1
−
ROI2
+
RIO ROI 2−
1
ln
RIOROI
ln
ROI
at au
=
∆
ROI2
4
1
−
ROI2
+
(
ट
)
2
−
1
ln
(
ट
)
ln
ROIat au
=
∆
ROI2
4
1
−
ROI2
+
1
−
ट
2ln
ट
1
ln
ROIdengan
ट
=
RIO ROI=
∆
ROI2
4
1
−
ROI2
yang sama saja dengan profil kecepat an dalam suat u pipa ber jari-jar i R
sebagaimana dapat dilihat pada halaman 38 (Handout No.04), yait u:
=
∆
4
1
−
=====================
Hingga tahap ini, untuk aliran dalam anulus kita sudah
memperoleh:
Profil Shear Stress:
=
−∆
ROI2
ROI−
ट
−
1
2 ln
ट
ROI
Profil Kecepatan:
=
∆
ROI2
4
1
−
ROI2
+
1
−
(
ट
)
2ln
ट
1
ln
ROI
Kecepatan M aksimum terjadi pada
=
ξ
R
dengan
ξ
=
(
ट
)
(
ट
)
dan
ट
=
RIO
