Integral Lipat Dua (Double Integral)

(1)

Pertemuan-18 & 19

Integral Lipat Dua

(Double Integral)

Fungsi:

Menghitung isi benda padat

Ambil bidang

y

=

y

o

,

y

=

y

o

⊥

pada poros y.

Penampang antara benda dan y mempunyai luas _o L (bidang arsir) _i

Jika ada bidang disamping maka luas bidang:

∫

∑

₌ ∞ → → Δ Δ = b a i n x X dx x f n 1 i 0 f(x) lim ) (

Sehingga dapat disimpulkan Isi benda tipis yang tebalnya Δ dan luas y_i L adalah _i L_i(x_i y_i)⋅Δy_i (luas x lebar),

(2)

Isi benda =

∫

b a L(x,y)dy

∫

=

( ) ) ( ) , ( 2 1

y)

F(x,

y g y g y x

dx

L

Sehingga Isi = ( )

(

,

)

dy

) ( 2 1

∫ ∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

b a y g y

g

F

x

y

dx

→ Integral berulang (Iterated Integral] Isi Benda padat = ( )

F(x,

y)

dy

) ( 2 1

∫

g y y g b a

dx

→ Double Integral Contoh: 1. 3 x2 ydydx 1 2 0

∫

⋅

∫

[

]

y dx 2 1 x dx dy y x 3 1 2 2 2 0 2 3 1 2 0 _⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = =

_∫

3 32 x 3 4 dx x 4 dx x 4 2 0 3 2 2 0 2 2 0 = = = =

_∫

2.

∫

₀π

∫

₀1 x sin ydx dy =

[ ]

sinydy 2 1 dy dx x y sin ₀1 ₀ 0

∫

π = π = cos y 1 2 1 0 = − π

3. Benda padat di bawah bidang z = x + y + 1 dibatasi oleh bidang x = 0, x = 1, y = 1, y = 3

Jawab: 1 x 0≤ ≤ ; 31≤y≤

dx

y

x

y

x

y x

2

1 y

dx

dy

)

1 (

Isi

1 0 x 3 1 2 3 1 1 0

∫

= = =

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

₊

=

+

=

(

)

∫

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

₋

₊

₋

₊

₋

=

= 1 0 1 0 x 2 2

dx

2

4 2x

)

1

3 (

)

1

3 (

2

1 )

1

3 (

dx

x

(

)

(

1

0 )

6 (

1

0 )

6 x

dx

6 2x

2 2 1 0 1 0 2

−

+

−

=

+

=

+

=

_∫

x

7 6 1+ = =

(3)

4.

_∫

₃5

_∫

₋x_x2 (4x+10y )dydx =

∫

5

[

+

₋

]

3 2 2

)

5

4 (

xy

y

x_x

dx

=

∫

5

[

+ + −

]

3 2 4 2 dx ) ( 5 ) ( 4x x x x x =

∫

5 + + − 3 2 4 2 3 ₄_x ₅_x ₅_x ₎_dx x 4 ( =

∫

5 + − = + − 3 5 3 3 4 5 2 3 4 3 1 dx ) 4 5 ( x x x x x x

(

) (

)

(

5

3 )

3

1

3

5

3

5

−

5

+

4

−

4

−

3

−

3

=

(

) (

)

(

125

27 )

3

27

125

81

625

243 3125

−

+

−

=

3

98

544 2882

+

−

=

3 10180

3

98 10278

3

98 3426

−

=

−

=

= 3393 3 1

5. Berikan tafsiran fisis dari

∫∫

+ R

y

x )dx dy

( 2 2 , R dibatasi oleh bidang y =x2, x = 2 dan y = 1 dan

hitunglah integrasinya!

Jawab

Penentuan daerah batas dari gambar di atas, dengan menganggap x konstan/dipegang tetap.

2 x y 1 2 x 1 ≤ ≤ ≤ ≤

Batas di atas dapat pula ditulis dalam y yang konstan

(4)

2 4 1 ≤ ≤ ≤ ≤ x y y

Pengintegrasian untuk x yang dipegang konstan. Batas : 2 x y 1 2 x 1 ≤ ≤ ≤ ≤

∫

= = =

+

=

+

2 1 x 1 3 2 2 2 1 2 1 2 2

)

3

1 (

dx

dy

)

(

dx

y

x

y

x

x x y x 2 1 3 7 5 6 2 4 2 1 x 6 2 2 2 1 3 1 3 1 21 1 5 1 dx 3 1 3 dx ) 1 ( 3 1 ) 1 ( x x x x x x x x x x x − − + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ ₊ ₋ =

∫

= =

(

)

(

) (

)

(

)

3

1

3

1

8

21

1

128

5

1

32

1

2

3

1

2

3

1

2

21

1

2

5

1

5 5 7 7 3 3

−

+

−

=

−

+

−

=

105

280

105

635

105

651

3

8

21

127

5

31

3

1

3

7

21

127

5

31 −

+

=

−

+

=

−

+

=

105 1006

=

(5)

2 x y 4 y 1 ≤ ≤ ≤ ≤

∫

= = =

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

=

+

4 1 y 2 2 3 2 2 2 4 1

3

1 dy

dx

)

(

dy

x

y

x

y

x

y y x y

( )

(

)

dy 2 3 3 8 dy 2 2 3 1 2 / 5 2 2 / 3 4 1 y 2 3 3 2 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₋ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − =

∫

= = y y y y y y y 4 1 3 3 2 4 1 1 2 5 1 2 1 2 3 y 7 2 3 2 15 2 3 8 1 1 1 2 2 1 1 3 1 3 8 ₂5 2 3 y y y y y y y y y − + − = + − + + + ⋅ − = + + +

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

) (

128

1 )

7

2

1

64

3

2

1

32

15

2

3

8

1

4

7

2

1

4

3

2

1

4

15

2

1

4

3

8

2 2 3 3 3 3

−

+

−

=

−

+

−

=

105 1006

105 3810

105 4410

105

434

105

840

7

254

3

126

15

62

8 =

−

+

−

=

−

+

−

=

Terlihat bahwa peninjauan x konstan atau y konstan adalah sama, sebab memang daerah yang dihitung adalah sama.

6. Hitung

∫∫

D dy dx y x

Jika D adalah daerah yang dibatasi antara lain y = x, y = 0 ; x = 1

Cara I:

Menentukan batas dengan x dipegang konstan

x y 0 1 x 0 ≤ ≤ ≤ ≤

(6)

[

]

6 1 0 1 6 1 6 1 2 2 1 dx dy xy 3 3 1 0 3 2 1 0 0 2 1 0 0 1 0 = − = = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ =

∫

x dx x dx y x x x Cara II:

Menentukan batas dengan y dipegang kontans

1 x y 1 y 0 2 _≤ _≤ ≤ ≤

(7)

(

)

(

)

(

)

6

1

6

1

6

3

2

1

6

1

2

1

2

1

0

1

6

1 )

0

1 (

2

1

2

1

6

1

2

1

2

1 dy

2

1 dy

1

2

1 dy

dx

y

x

6 6 2 2 1 0 6 2 5 1 0 4 1 0 1 2 1 0 1 1 0 2 ₂

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

−

=

−

=

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

=

⋅

∫

=

y

dy

x

y

y y y

Dalam mengerjakan soal-soal di atas serta perumusan isi benda padat kita menggunakan koordinat kartesian.

Macam-macam koordinat yang ada:

1. Koordinat Kartesian

dxdA=dy⋅ A = daerah luas

Sehingga

Isi = luas alas . tinggi Isi =

∑

= ∞ → → Δ ⋅Δ n 1 i 0 F(x,y) lim A n A Isi =

F

(

x

,

y

)

dA

F

(

x

,

y

)

dy

dx

y x A

∫

=

(8)

ϕ ⋅ ⋅ = ϕ ⋅ ⋅ = ⋅ = ϕ = π ⋅ π ϕ = ∩ = d dr r d r dr dA dz dr dA d r r 2 2 d ab dz Isi =

∫

_A F(x,y)dA=

∫

_r

∫

_ϕ F(x,y)r⋅dϕdr

3. Koordinat Umum [Curvilinier Coordinates] Pada bahasan selanjutnya akan dibuktikan:

dv

du

v

u

y

x

dA

⋅

∂

=

)

,

(

)

,

(

Atau

dv

du

y

x

v

u

dA

⋅

∂

=

)

,

(

)

,

(

1

Contoh:

1. Tentukan volume bidang Tetrahedron (segi empat) yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 3x + 6y + 4z = 12 !

Jawab:

Untuk lebih mudah menentukan batas, kita harus gambar bentuk fisisnya: Langkah menggambar: z = 0 3x + 6y = 12 → x 2 2 1 y=− +

(9)

Dibatasi bidang koordinat yang berarti x = 0 dan y = 0 Untuk menentukan z ; x = 0 dan y = 0

4z = 12 → z = 3 fungsi 4 y 6 x 3 12 z= − −

batas x dan y untuk x dipegang konstan

2 x 2 1 y 0 4 x 0 + − ≤ ≤ ≤ ≤

(10)

(

)

4

16

12

64

4

3

4

12

1

4

3 dx

4

2

4

1

4

3 dx

4

2

4

1

2

1

8

2

4

3 dx

2

1

2

1

2

1

4

3

4

3 dx

dy

)

2

4 (

4

3 dx

dy

4

6

3

12

4 0 2 3 2 4 0 2 2 4 0 2 4 0 2 2 1 0 2 4 0 2 2 1 0 4 0 2 2 1 0 4 0

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₋

₊

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

₊

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

₊

₋

₊

₋

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

₊

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

₊

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

₊

=

−

=

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

∫

+ − + − + − = =

x

dx

y

xy

y

x

y

x

Isi

x x x y x

2. Hitung volume bagi yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang x = 5 dan y + 2z-4=0 !

Jawab:

2

4 y

z

=

−

(11)

(

5

0 )

20

4 x

4 dx

8

2

1

2

1

4

2

1 dx

dy

)

4 (

2

1 dx

dy

2

4

5 0 5 0 5 0 4 0 2 4 0 5 0 4 0 5 0

=

−

=

−

=

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

∫

=

dx

y

Isi

x 3. Hitung ex2 y2dA A +

∫

; jika A dibatasi oleh r = 1 dan r = 3 , 0 = ϕ dan 4 π = ϕ ! Jawab: ϕ =rdr d dA 3 r 1≤ ≤ _r2₌_x2₊_y2 4 0≤ϕ≤ π

( )

r

e

(

e

)

d

e

dr

e

r

d

dr

e

dA

e

r r r r y x

−

=

⋅

=

⋅

=

∫

+ 9 3 1 2 3 1 3 1 4 / 0 r 3 1 4 / 0 3 1 4 / 0 3 1

8

2

4

4 e

r

d

dr

r

2 2 2 2 2 2 2

π

ϕ

π π π 4. Hitung

∫∫

+

D

y

x

2 2

dA

; jika D adalah bidang yang dibatasi: r = 0dan rsin ϕ, ϕ=0 dan ϕ=π !

Jawab: 2 2 _y x r d dr r dA + = ϕ = π ≤ ϕ ≤ ϕ ≤ ≤ 0 sin r 0 dr r d d dr r r ₀sin 2 0 sin 0 0

∫

π ϕ ⋅ ϕ= π ϕ ϕ

ϕ

π π ϕ π

d

sin

)

cos

1 (

3

1 d

sin

3

1

3

1

2 0 0 3 0 sin 0 3

⋅

−

=

∫

r

d

∫

(

)

(

ϕ

)

ϕ

(

ϕ

)

ϕ

π π π

cos

3

1 cos

3

1 cos

)

cos

1 (

3

1

2 0 0 2 0

d

∫

+

−

=

−

=

(12)

(

) (

)

9

4

9

2

3

2

1

9

1

3

1 cos

9

1 cos

3

1

0 3 0

=

−

=

−

+

−

+

−

=

π π

ϕ

5. Perhatikan gambar ϕ = sinr y Hitung dAy s

∫∫

! Jawab: 2 0 ) cos (1 2 r 2 π ≤ ϕ ≤ ϕ + ≤ ≤ ϕ =rdsd dA

∫

∫∫

=

= = +

⋅

) cos 1 ( 2 2 /2 0

r

dr

d

dA

π ϕ ϕ r

ϕ

s

y

dr r sin ) cos 1 ( 2 2 2 / 0 ⋅ ⋅ =

∫

+ =

ϕ

ϕ π r d r dr r d r 2 ) cos 1 ( 2 2 2 / 0 sin

∫

=+ = π

ϕ

ϕ π

d

r

3

1 sin

) cos 1 ( 2 2 3 2 / 0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

+

∫

[

+ ϕ −

]

ϕ ϕ =

_∫

π (2 2cos ) 8 d 3 sin 3 2 / 0 = π

[

ϕ

]

d

ϕ

π

8 sin

ϕ

d

ϕ

3

1 )

(cos

cos

2

3

1

/2 0 3 2 / 0

∫

+

−

(

)

2 2 0 0 4

cos

3

8 cos

2

4

1

2

1

3

1

π π

ϕ

+

⋅

−

=

(

)

(

)

{

}

[

]

[

cos

0 ]

3

8

0 cos

2

2 cos

2

24

1

2 4 4 2

−

+

−

+

−

=

π π

(

) (

)

{

}

[

]

[

cos

0 ]

3

8

1

2

0

2

24

1

2 4 4

₋

₊

_⋅

₊

₋

⋅

+

−

=

π

(13)

[

] [ ]

1

3

8

256

16

24

1 −

+

−

=

3

22

3

8

3

30

3

8

10

3

8

24

240 =

−

=

−

=

−

=

6. Tentukan Isi benda pada di aktan I dibawah paraboloid _z₌_x2₊_y2_{dan didalam tabung}

9

2 2

+ y

=

x

! Jawab:

Karena kita tahu

3 r 9 r y x2 2 2 = = = +

∫∫

= D z Isi dA

( )

81₈ 2 4 81 4 81 d 4 81 d r 4 1 dr r d drd r ) y x ( Isi 2 / 0 2 / 0 2 / 0 3 0 4 3 3 0 2 / 0 2 2 3 0 r 2 / 0 π = π ⋅ = ϕ = ϕ = ϕ = ϕ = ϕ ⋅ + = π π π π = π = ϕ

∫

Soal: 1. Hitung

F

x

ds

s

⋅

∫∫

(

)

jika

F

(

x

)

=

2

pada 1≤x≤3 dan 0≤y≤2! Jawab: 8

(14)

2 x

0≤ ≤ , untuk x dipegang tetap x

2 y x≤ ≤

Atau untuk y dipegang konstan

y x 2 y 2 y 0 2 ≤ ≤ ≤ ≤ Luas = 3 2

3. Hitung isi benda padat dibatasi oleh bidang z = x + y + 1 dan x = 0, x = 1, y = 1 dan y = 3 . Jawab: Isi = 7

4. Hitung isi benda padat antara z₌x2₊y2₊2_{dan z = 1 dan terletak antara}

1 y

0 ,

1

1 ≤

≤

−

x

! Jawab: Isi = 3 10 5. Diberikan 4 ( )dx dy 1 3 0 x y y x y

∫

+

∫

= =−

a. Gambarkan tafsiran fisis bendanya ! b. Ubah dalam x dipegang konstan ! Jawab:

1 ≤

x

≤

2 ;

0 ≤

y

≤

−

x

2

+

9

c. Hitung Integrasi! Jawab: 60 241 6. Hitung x2 y2dx dy R +

∫∫

, di mana R adalah bidang daerah _x2₊_y2 _≤_a2_!

Jawab: Dengan koordinat tabung dy dx y x2 2 R +

∫∫

= 3

3

2 a

π

7. Hitung isi bidang–4 yang dibatasi bidang-bidang koordinat dan bidang z = 6 – 2x – 3y ! Jawab: Isi = 6

(15)

Aturan-aturan turunan fungsi berlaku untuk turunan vektor 1. dt B d dt A d dt d(A± )B ₌ _± 2. dt B d A dt A d B dt d(A⋅ )B ₌ ₊ 3.

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

dt

B

d

A

x

B

x

dt

A

d

dt

d

x

)

B

x

A

(

4. dt A d u A dt du A u dt d t ⋅ )= ⋅ + ⋅ ( ₍₎ ) (t

u

= fungsi skalar

Kita pakai salib sumbu system kanan (aturan tangan kanan)

(

)

(

)

(

) (

)

sekalar]

[menjadi

B

A

B

A

B

A

B

,

B

,

B

A

,

A

,

A

B

A

B

,

B

,

B

k

B

i

B

A

,

A

,

A

k

A

z z y y x x z y x z y x z y x z y x z y x z y x

→

⋅

+

⋅

+

⋅

=

• =

+

=

+

=

j

i

A

Aturan Cross Vector (menggunakan kaidah ‘sekrup’]

j

k

x

i

j

i

x

k

i

j

x

k

i

k

x

j

k

i

x

j

k

j

x

i

0 k

x

k

0 j

x

j

0 i

x

i

−

=

−

=

( )

(

)

( )

i

A

B

( )

A

B

( )

k

B

A

k

i

B

A

i

B

A

i

B

A

)

B

k

B

i

(

x

)

A

k

A

(

B

x

z y y y x y z x y x x x z y x z y x

+

×

+

×

+

×

+

×

+

×

+

×

=

+

=

j

i

A

(16)

( )

A B

( )

A B

( )

0 B A B A 0 B A k B A B A k B A 0 B A ) B k B B i ( x ) A k A A ( B x z z y z x z z y y y x y z x y x x x z y x z y x r r r + − + + + + − + − + + = + + + + = i j i j j j i A

(

)

(

)

(

)

y x y x z x z x z y z y x y y x x z z x y z z y

B

A

k

B

A

B

A

B

A

B

A

k

B

A

B

A

B

A

B

A

B

x

+

−

=

−

+

−

=

j

i

j

i

A

Atau dapat ditulis dalam bentuk determinan matriks,

z y x z y x

B

A

k

B

x

j

i

A

=

Koordinat Umum:

(17)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ _⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _⋅ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = + = + = dv dx dv dy k dv dx k dv dy k dv dy j i du dy j i x du s d dv dy j i dv s d du dy j i du r d du dy du dx du dy du dx dv dx x du dx dv s d dv dx du dx Harga mutlak:

du

dy

du

dx

du

dr

dv

dx

dv

dy

dv

dr

x

=

⋅

−

⋅

Dapat dibuat bentuk matrik:

) , ( ) , ( dv dx du dx v u y x dv dy du dy ∂ ∂ =

dv

du

)

,

(

)

,

(

_⋅

∂

=

∴

v

u

y

x

dA

Pada rumus di atas terlihat bahwa x dan y harus diubah ke variabel u dan v, perubahan x dan y ke u dan v tidak selalu mudah, sehingga terkadang lebih mudah mengubah u dan v menjadi x dan y.

Sehingga dalam hal ini kita perlu invers Determinan Jacoby.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

=

∂

)

,

(

)

,

(

1 )

,

(

)

,

(

y

x

v

u

v

u

y

x

didapat dari aturan rantai determinan Jacoby

dv

du

y

x

v

u

dA

⋅

∂

=

∴

)

,

(

)

,

(

1 dx

dv

dx

du

dy

du

dx

du

)

,

(

)

,

(

dy

dv

dy

du

dy

dv

dx

dv

y

x

v

u

₌

∂

Contoh:

(18)

Jawab :

Dengan menggunakan koordinat kartesian sebenarnya kita bisa memecahkannya dengan terlebih dulu membagi menjadi 3 bagian, dan ini memakan waktu yang lama. Lebih cepat menggunakan koordinat umum. Misal: 2 v 1 3 u 1 v y x u y x ≤ ≤ − ≤ ≤ ⎭ ⎬ ⎫ = − = +

2

1

4

1

4

1

2

1

2

1

2

1

2

1 dv

dy

dv

dx

du

dy

du

dx

)

,

(

)

,

(

dv

du

)

,

(

)

,

(

−

=

−

=

−

=

∂

⋅

∂

=

v

u

y

x

v

u

y

x

dA

2 v u y 2 v u x v u x 2 v y x u y x − = + = + = = − = + + dv du 2 1 dv du 2 1 dA= − ⋅ = ⋅

( )

[

]

[

81

1 ]

30

8

3

1

3

8

3

8

3

2

3 v

2

1 du

2

1 )

(

4 4 3 1 4 3 3 1 2 1 3 3 1 3 2 1 3 1 3

=

−

=

−

=

⋅

=

+

∫

∫∫

− − = =

u

du

u

du

u

dv

u

dxdy

y

x

v u D

(19)

3 y x 1 y x = ⋅ = ⋅ 4 y x 2 y x 2 2 2 2 = − = − Pada kuadran I Jawab: v y x u xy 2 2₋ ₌ =

x dan y akan dinyatakan dalam fungsi u dan v.

) (x 2 2x -2 2y -x 2x y dy du dx du ) , ( ) , ( 1 ) , ( ) , ( 2 2 2 2 y y dy dv dx dv y x v u v u y x + = − = = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ dv du ) y (x 2 1 dy x ₂ ₂ ⋅ ⋅ + = ⋅ ∂

[ ]

∫

∫∫

= = = = =

=

−

=

−

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

+

3 1 3 1 3 1 3 1 4 2 4 2 3 1 2 2 2 2

2

1

3 )

2

4 (

2

1

2

1

2

1 dv

du

)

(x

2

1 )

(

u u u v u D

u

du

v

du

dv

y

x

Soal: 1.

_∫

π

_∫

sinθ θ 0 2 0 r drd

(20)

2. Tentukan luas dari benda/bidang s, yang adalah daerah di dalam lingkaran r= cos4 θ dan luar lingkaran r = z. [Catatan: Transformasikan

A

=

∫∫

dx

dy

→

A

=

∫∫

r

dr

d

θ

Jawab: L= + π 3 4 3 2

3. Cari luas daerah yang dibatasi oleh xy = 4, xy = 8, xy3_{= , !}5 _xy3 ₌₁₅

Jawab: L=2ln3

4. Cari luas daerah di dalam kuadran I yang dibatasi oleh _{y =}_x3_,_{y =}₄_x3_,_{x =}_y3_,_{x =}₄_y3

Jawab: L= 8 1

5. Misal R adalah daerah yang dibatasi x + y = 1, x = 0, y = 0. Perlihatkanlah bahwa:

∫∫

_⎥

=

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

R

2

1 sin

dy

dx

y)

(x

y)

-(x

cos

(Misal x – y = u dan x + y = v}

6. Benda padat di kuadran I yang dibatasi oleh tabung _{z =}_tg_x2_{dan bidang-bidang x = y, x = 1 dan y =}

0. Cari Isi !

Jawab: Isi = ln sec1 2 1 7. Buktikan:

2

1 e

dx

1 0 1 0 ) (

=

−

∫ ∫

= − = + x x y

e

dy

y x y

Dengan transformasi x + y = u, y = u.v

Catatan: Soal ini ada baiknya jika dikerjakan sesudah membahas koordinat umum.

8. Benda dikuadran I yang dibatasi oleh persamaan ₉_z₌₃₆₋₉_x2₋₄_y2_{dan bidang-bidang koordinat. Cari}

Isinya !

Jawab: Isinya = π3