Integral Rangkap (Lipat)

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Didalam suatu perhitungan matematika yang bisa digunakan salah satunya dengan. menggunakan suatu metode perhitungan apa yang namanya integral , dimana suatu integral ini dibagi menjadi beberapa bagian bagian yaitu integral tentu dan tak tentu, yang dimana integral tersebut bisa digunakan untuk menghitung benda benda ruang yang ada didalam kehidupan kita sehari hari dengan menggunakan metode integral tadi dengan menghitung luas dan volumenya. Integral juga adalah salah satu bagian dari suatu kalkulus yang bisa disebut juga sebagai anti differensial. Dalam pembahasan integral akan di bicarakan tentang fungsi intergral yang continue integral yang kita ketahui belum tentu dapat dipenuhi maksudnya, dalam definisi dari intergal yang dikait kan dengan limit . sehingga apabila fungsi integral tertutup yang terbatas, sudah jelas ada nya intergral selalu terjamin yang dimaksud dengan integral ganda / (multi integral) dalam pembahasan ini meliputi : integral berulang , berulang,tripple yang akan di bahas dalam bab ini. 1.2. Tujuan Materi 1. Mahasiswa dapat memahami dan mengenal apa itu integral rangkap 2 dan rangkap 3 2. Mahasiswa dapat menghitung luas dan volume suatu benda ruang dengan metode integral 3. Mahasiswa dapat mengerti konsep integral rangkap 2 dan rangkap 3 4. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan putar pada kurva. 5. Mahasiswa dapat menentukan nilai, bentuk integral, dan menggambar kurva untuk luas bidang rata. 1.3. Sistematika Penulisan. Kata Pengantar Daftar Isi Bab I. Pendahuluan 1.1 Latar Belakang 1.2 Tujuan Materi. 1.

1.3 Metodelogi Penulisan 1.4 Sistematika Penulisan Bab II. Materi 2.1 Integral Rangkap 2 2.2 Aplikasi Integral Rangkap 2 Bab IV. Kesimpulan Daftar Pustaka. 2.

BAB II Materi. 2.1 Integral Rangkap Dua Jika f ( x, y )  0 pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat dua sebagai volume dari benda pejal dibawah permukaan gambar 1 V=.  f ( x, y)dA , R = { ( x, y) : a  x  b, c  y  d } . R. a. b. a. Gb. 1. R b. Gambar 1.2. Iris : Iris benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar terhadap bidang xz (gb. 2a). 3.

z. y. LA(y). ` Gb. 2b. x. y. y Gb. 1.3 Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan ≈ A(y) y. Volume v dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh v ≈ A(y) y , diintegralkan ,. d. V=.  A( y)dy , untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa : c. A(y) =. b. d. b. a. c. a.  f ( x, y)dx , sehingga : V =  [ f ( x, y)dx]dy …….. (2). Dari (1) dan (2) :.  R. d. b. c. a. f ( x, y )dA =  [  f ( x, y )dx]dy begitu juga.  R. b d. f ( x, y )dA =  [  f ( x, y )dy ]dx a. c. 4.

2.1.1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegi Panjang Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas untuk fungsi banyak peubah. Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan integral lipat atau integral rangkap. Pada integral lipat satu, fungsi yang dipakai dibatasi, yaitu fungsi tersebut dibatasi pada selang tertutup di R1. Untuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah , pembatasannya adalah fungsi tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2. Berikut akan kita bahas tentang integral lipat dua juga integral lipat tiga.. z. c a. d. y. b. x Gambar 1.1 Tetapkan R berupa suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat, yakni misal : R : {(x,y) : a  x  b, c  x  d }. Bentuk suatu partisi dengan cara membuat garisgaris sejajar sumbu x dan y. Ini membagi R menjadi beberapa persegi panjang kecil yang jumlahnya n buah, yang ditunjukkan dengan k = 1,2,...n. Tetapkan x k dan y k adalah panjang sisi-sisi Rk dan. Ak = x k . y k adalah luas. Pada Rk ambil sebuah titik misal ( x k , y k ) dan bentuk penjumlahan Riemann. n.  f (x k 1. k. , y k )Ak .. Definisi : Integral lipat dua Andai suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R, jika :. 5.

n. lim. IpI 0.  f (x k 1. k. , y k )Ak ada . maka f dapat diintegralkan pada R, lebih lanjut.  f ( x, y)dA , yang R. disebut integral lipat dua dan pada R diberikan oleh. . n. f ( x, y )dA = lim. IpI 0. R.  f (x k 1. k. , y k )Ak. 2.1.2 Sifat-sifat Integral Lipat Dua : 1. Jika f(x,y) dan g(x,y) masing-masing kontinu dalam daerah R maka:.  kf ( x, y)dA  k  f ( x, y)dA R. R.  [ f ( x, y)  g ( x, y)]dA   f ( x, y)dA   g ( x, y)dA R. 2.. R. R.  f ( x, y)dA   f ( x, y)dA   f ( x, y)dA R. R1. R2. 3. Sifat pembanding berlaku jika f(x,y)  g(x,y) untuk semua (x,y) di R, maka :.  f ( x, y)dA   g ( x, y)dA R. R. 2.1.3 Perhitungan Integral Lipat dua Jika f(x,y) =1 pada R, maka integral lipat dua merupakan luas R, maka integral lipat dua merupakan luas R..  kf ( x, y)dA  k  f ( x, y)dA R. R. =k. 1dA R. = k.A(R) Contoh Soal. 6.

1. Andai f sebuah fungsi tangga yakni :. 1,0  x  3,0  y  1  f(x,y) = 2,0  x  3,1  y  2 3,0  x  3,2  y  3  hitung.  f ( x, y)dA dengan R = { ( x, y) : 0  x  3,0  y  3} R. jawab : misal persegi panjang R1, R2, R3 R1 = { ( x, y ) : 0  x  3,0  y  1} R2 = { ( x, y ) : 0  x  3,1  y  2} R3 = { ( x, y ) : 0  x  3,2  y  3} , lalu gunakan sifat penjumlahan di integral lipat dua, sehingga :.  f ( x, y)dA   f ( x, y)dA +  f ( x, y)dA +  f ( x, y)dA R. R1. R2. R3. = 1.A(R1) + 2. A(R2) + 3.A(R3) = 1.3 + 2.3 + 3.3 = 18. 2. Hampiri.  R. f ( x, y )dA dengan f ( x, y ) . 64  8 x  y 2 , 16. R = { ( x, y ) : 0  x  4,0  y  8} . Kerjakan dengan menghitung penjumlahan Riemann! Jawab :. 7.

Penjumlahan Riemann yang diperoleh dengan membagi atas 8 bujur sangkar yang sama dengan tiaptiap pusat bujur sangkar sebagi titik. Titik-titik contoh yang diperlukan dan nilai-nilai yang berpadanan dari fungsi itu adalah :. ( x1 , y1 ) = (1,1), f ( x1 , y1 ) =. 17 16. ( x 2 , y 2 ) = (1,3),f ( x 2 , y 2 ) =. 65 16. ( x5 , y 5 ) = (3,1),f ( x5 , y 5 ) =. 41 16. ( x6 , y 6 ) = (3,3),f ( x6 , y 6 ) =. 49 16. ( x3 , y 3 ) = (1,5), f ( x3 , y 3 ) =. 81 16. ( x7 , y 7 ) = (3,5),f ( x7 , y 7 ) =. 65 16. ( x 4 , y 4 ) = (1,7),f ( x 4 , y 4 ) =. 105 16. ( x8 , y8 ) = (3,7), f ( x8 , y8 ) =. 89 16. z. (0,8,8). (0,0,4) (4,8,6). (4,0,2). 8. y. 4 (4,8). x. Jadi karena Ak = 4, Ak = x k y k = 2.2 = 4.  R. 8. f ( x, y )dA ≈  f ( x k , y k )Ak k 1. 8.

= 4. 8.  f (x k 1. =. k. , yk ). 4(57  65  81  105  41  49  65  89 16. = 138. 2 3. 2.1.4 Perhitungan Volume Contoh soal : Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 – x2 –y dan dibawah persegi panjang R = { ( x, y ) : 0  x  1,0  y  2} Jawab :. z. (0,0,4). (0,2,2) (1,0,3). 2 (1,2,1). y. 1 (1,2). x. Jawab : V=.  f ( x, y)dA R. 9.

=. 2  (4  x  y)dA = R. 2.   (4  x. = [[4 x  x 3  yx]10 ]dy = 0. =. 2.  y )dxdy. 0 0. 2. 1 3. . 2 1. 1.  (4  3  y)dy 0. 16 satuan volum 3. 2.1.5 Integral Lipat Dua Atas Daearah Bukan Persegi Panjang. S. z = f(x,y). S. Gb.2. Gb.1. S f(x,y)=0 Gb.3. Gambar 2.1 Himpunan S terrtutup dan terbatas di bidang (Gb.1) keliling S oleh suatu persegi panjang R dan sisinya sejajar sumbu-sumbu koordinat (Gb.2). andai f(x,y) terdefinisi pada S dan didefinisikan f(x,y)=0 pada bagian R diluar S (Gb.3), f dapat diintegralkan pada S jika dapat diintegralkan pada R..  f ( x, y)dA =  f ( x, y)dA S. R. 2.1.6 Perhitungan Integral Lipat Dua Atas Himpunan-himpunan Umum Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu 1 dan  2 pada [a,b] sedemikian sehingga :. 10.

S : {( x, y ) : 1 ( x)  y   2 ( x), a  x  b}. y. y. y=  2 (x). x= 1 ( y ). x=  2 ( y ). d. y= 1 (x). 0. S. x. S. a. b. c 0. Gb.2.2. Gb. 2.3. Sebuah himpunan y sederhana. x. sebuah himpunan x sederhana. S. Bukan himpunan x sederhana Atau y sederhana. y y=  2 (x) Gb.2.4. S. 0. y= 1 (x). R. a. x. b. x. Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu  1 dan  2 pada [a,b] sedemikian sehingga : S : {( x , y ) : 1 ( x )  y   2 ( x ), a  x  b} . Sedangkan suatu himpunan S adalah x sederhana (gb.5) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu 1 dan 2 pada [c,d] sedemikian sehingga : S : {( x, y ) : 1 ( y )  x   2 ( y ), c  y  d } . Jika kita ingin menghintung. 11.

integral lipat dua dari suatu fungsi f(x,y) atau suatu himpunan S yang y sederhana. Kita lingkungi S di dalam suatu persegi panjang R (gb.6) dan membuat f(x,y)=0 di luar S, maka :. . f ( x, y )dA =. S. . b d. f ( x, y )dA =  [  f ( x, y )dy ]dx a. R. c. b 2.   f ( x, y)dy]dx , secara ringkas. = [. a 1.  S. b 2 ( x). f ( x, y )dA =.   f ( x, y)dydx a 1 ( x ). Dalam integral sebelah dalam, x dipertahankan tetap. Pengintegralan itu adalah sepanjang garis tebal dari gambar 6. pengintegralan menghasilkan luas A(x) dari gambar tersebut, akhirnya A(x) diintegralkan mulai dari a sampai b. Jika himpunan S adalah x sederhana, maka d 2 ( y ).  f ( x, y)dA =   f ( x, y)dxdy S. c 1 ( y ). z z=f(x,y). Gb.2.5. A(x). y. a. b x. y= 1 (x). y=  2 (x). 12.

2.1.7 Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Kutub Jika z = f(x,y) menentukan suatu permukaan atas R dan andaikan f adalah kontinu dan tak negatif, maka volume V dari benda pejal dibawah permukaan ini dan diatas R adalah V=.  f ( x, y)dA ....... (1). R. Dalam koordinat kutub, suatu persegi panjang kutub R berbentuk : R = { ( r ,  ) : a  r  b,      }. z. z=f(x,y)=F(r,  ). y  . r=b. x r=a. R Gb.2.7. R.  . Gb.2.6. 13.

Dengan   0 dan     2 . Persamaan permukaan diatas dapat ditulis sebagai z = f(x,y) = f (r cos  , r sin  )  f (r ,  ). Partisi R dalam persegi panjang kutub yang lebih kecil R1, R2 Rk. R. , …. Rn. dengan menggunakan suatu kisi kutub. k. pada gambar diatas luas A(Rk) dapat ditulis : Rk. A( Rk )  r k rk  k dengan r k adalah radius rata-rata Rk. Jadi V . Gb.2.8. n.  f (r k 1. k. ,  k )r k rk  k. Sehingga : V=.  f (r , )rdrd   f (r cos  , r sin  )rdrd R. ........ (2). R. Dari (1) dan (2) :.  f ( x, y )dA =  f (r cos  , r sin  )rdrd  R. R. Jika pada integral lipat dua diatas daerah bidang yang telah kita pelajari yang lalu kita mengenal istilah himpunan x sederhana dan himpunan y sederhana, pada pengintegralan kutub ini, kita mengenal istilah istilah himpunan r sederhana dan himpunan  sederhana. Himpunan r sederhana berbentuk S : {( r ,  ) :  1 ( )  r   2 ( ),      } dan disebut  sederhana jika berbentuk :. 14.

 . =  2 ( r ). r=  2 ( ) S. S.  . =  1 ( r ). r=  1 ( ). r=a Gb.2.10. Gb.2.9. Himpunan  sederhana. Himpunan r sederhana. 2.1.8. r=b. Penerapan Integral Dua Penerapan integral dua selain untuk mencari volume benda pejal, penerapan lain yaitu. mencari massa, pusat massa dan momen inersia. a. Massa Andai suatu lamina mencakup daerah s di bidang xy dan jika kerapatan (massa/ satuan luas) di (x,y) dinyatakan oleh  ( x , y ) . Partisikan s dalam persegi panjang kecil titik ( xk , yk ) pada. R1, R2 ,...Rk. Ambil. Rk . Massa Rk secara hampiran  (x, y) ARk dan massa total lamina. secara hampiran m . n.  ( x , y k 1. k. k. ) A( Rk ). Massa (m) diperoleh dengan mengambil limit rumus diatas untuk norma partisi mendekati nol, sehingga : n. lim   ( x k , y k ) A( Rk ) P 0 k 1. Limit jumlah tersebut membentuk integral rangkap 2:. 15.

m.   ( x , y ) dA s. b. Pusat Massa Jika. m1, m2 ,...mn. adalah kumpulan titik massa yang masing-masing ditempatkan di (. x 1 , y 1 ) ,( x 2 , y 2 ) ,.......,( xn , yn ) pada bidang maka momen total terhadap sumbu y dan. sumbu x. M y . n. n. k 1. k 1.  xk mk , M x   yk mk . Koordinat ( x, y)dari pusat massa:. Koordinat ( x, y) dari pusat massa..  x ( x, y )dA. My. Mx dan y  x  s  m m  ( x , y ) dA  s.  y ( x, y )dA s.   ( x, y )dA s. Pusat massa diatas jika lamina tersebut tak homogen (kerapatan tak sama), tapi jika kerapatannya sama (homogen), maka pusat massa menjadi:. x.   xdA s.   dA. dan y . s.   ydA s.   dA s. c. Momen Inersia Definisi: Momen inersia dari suatu partikel adalah hasil kali massa dan kuadrat jarak terpendek dari partikel terhadap sumbu. Jika m adalah massa dan r adalah jarak, sehingga : n. I  m1r1  m2 r2  ....mn rn   mk rk 2. 2. 2. 2. k 1. Suatu lamina tak homogen dengan kerapatan  ( x , y ) yang mencakup suatu daerah s dari bidang xy, lalu dipartisi seperti pada gambar 1, hampiri momen inersia tiap keping. Rk , ambil 16.

limit dan dbawa ke rumus diatas, sehingga momen inersia terhadap sumbu x, y dan z adalah. I x , I y , dan. Iz. n. I x  lim  mk y k   y 2 ( x, y )dA P 0. 2. k 1. s. n. I y  lim  mk y k   x 2 ( x, y )dA P 0. 2. k 1. Iz  Ix  Iy . s.  ( x. 2.  y 2 ) ( x , y ) dA. s. Cotoh soal:. Sebuah lamina dengan kerpatan  ( x , y )  xy dibatas sumbu x, garis x =8 , kurva. y  x2 / 3 .. Tentukan : a.. Massa. b.. Pusat massa. c.. Momen inersia terhadap sumbu x, y dan z Jawab : a.. m.   ( x , y ) dA s. =. 8 x2 / 3.   xydydx 0. 0. 8.  . =. 1 xy 2  20. =. 1 7/3 x dx 2 0. 2/3. 0. dx. 8. 17.

8. . 1 3 10 / 3 =  x 2 0 10. . 8 0. 2.2 Integral Rangkap Tiga 2.2.1. Integral Rangkap Tiga Pada Koordinat Kartesius z. y. (xk , y k , z k ). x. B ∆z ∆x Gb. 3.1. ∆y. Bk. Perhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didefinisikan atas suatu daerah berbentuk balok B dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat. Bentuk suatu partisi P dari B dengan meletakkn bidang-bidang melalui B sejajar bidang koordinat, jadi memotong B ke dalam balok-balok bagian, yaitu:. B1 , B2, ....,Bk ,....,Bn . Pada Bk , ambil satu titik contoh ( x k , y k , z k ) dan dengan penjumlahan. Riemann diperoleh: n.  f (x k 1. k. , y k , z k ) Vk 18.

Vk = xk , yk , zk adalah volum Bk . Jika. Dengan. P adalah panjang diagonal terpanjang dari. setiap balok bagian, maka kita definisikan integral lipat tiga sebagai berikut:. . n. f ( x, y , z ) dV  lim  f ( x k , y k , z k ) Vk P 0. B. k 1. Jika limitnya ada, seperti halnya pada integral lipat dua. Pengertian integral lipat tiga mempunyai urutan pengintegralan serupa seperti pada integral lipat dua. Sehingga integral lipat di fungsi f(x,y,z) atas daerah B ditulis sebagai berikut:.    f ( x, y , z )dV , misalnya kita tuliskan    f ( x, y, z )dxdydz , yang mempunyai arti: B. B. a. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap x dengan menganggap y dan z sebagai konstanta b. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap y dengan menganggap z sebagai konstanta c. Terakhir, hasil dari b, diintegrasikan terhadap z. Begitu juga jika pengintegralannya ditulis dalam bentuk yang lain ururtan pengintegralannya menyesuaikan. Sebagaimana pada integral lipat dua, jika f adalah fungsi pada daerah tertutup maka untuk menghitung integral tentu digunakan integral berulang dua kali, demikian pula untuk menghitung integral lipat tiga, digunakan tiga kali, asalkan f kontinu. Sehingga bila B balok persegi panjang yang dibatasi. B  {( x , y , z ) : a  x  b , c  y  d , e  z  f } z. f. e. a b x. c. d. y Gb. 3.2. 19.

Bila B  {( x , y , z ) : a  x  b , c  y  d , e  z  f }, maka untuk menghitung integral lipat tiga atas benda B adalah:.  B. b. d. f. a. c. e. f ( x , y , z ) dV   { (  f ( x , y , z ) dz ) dy}dx }. Merupakan bentuk perhitungan integral lipat tiga. 2.2.2 Penerapan Integral Rangkap 3 Andai f(x,y,z) terdefinisi pada S dan f(x,y,z) bernilai nol, bila diluar S. Andai S himpunan z sederhana dan. S xy adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy, untuk lebih jelasnya perhatikan. gambar berikut:. z. Sxy. y. x. Gb. 3.3. y. Gb. 3.4 Sxy. 20. x.

Bila f kontinu dan terintegral pada benda pejal S, maka diperoleh: z2 ( x , y ).  f (x, y, z)dV  [  f (x, y, z)dz]dA S. Dimana. S xy z1 ( x, y ). Sxy. adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy. Selanjutnya jika Sxy daerah pada. bidang xy yang berbentuk y sederhana, seperti pada gambar 3.4 . yang dibatai oleh:. S xy  {(x, y) : y1 (x)  y  y2 (x), a  x  b}, sehingga dengan integral berulang diperoleh: z2 ( x , y ).  f (x, y, z)dV  [  f (x, y, z)dz]dA S. S xy z1 ( x, y ). b. y2 ( x ) z2 ( x , y ). a. y1 ( x ). = [. . (.  f ( x, y , z ) dz ) dy ]dx. z1 ( x , y ). Dari rumus di atas perlu diperhatikan bahwa batasan integrasi harus sesuai dengan urutan-urutan pengintegralannya.. 21.

3.1.3 Kumpulan Soal. 1. Hitunglah luas suatu daerah yang dibatasi oleh y = x2 + 4x dan garis y = 2x + 6 menggunakan integral yang dilakukan y terlebih dahulu kemudian ke-x. Jawaban : = ∫ ∫. =. =[ ( ) +. =[. , +. −(. +. −. =. +. −. =[. +. −. ) −. ]−[. + ). ]. ( ) −[ ( ) +( ) − +. −. ]=. ,. ( ). 2. Hitunglah Volume suatu benda dengan fungsi f(x)= 4x2y + xy2 yang dibatasi oleh y= 3x+2 dan garis y=x-3 dengan batas y=2 dan y=1? = =. 4 2. +. =. 2. +. =. 2. +. =. 2. +. 1 2 1 2 1 2. (4. +. ). 1 2. 3 +2 −3. 3 +2 −3. . (3 + 2) ( − 3) . (3. + 7 − 6). 22.

=. 6. 6 5. =. + +. 31 2. 31 8. − −. 1 4. 1 2. −3 −. 3 2. 2 1. 6 31 1 (2) + (2) − (2) − 2 (2) 5 8 4. =. −. 6 31 1 (1) + (1) − (1) − 2 (1) 5 8 4. = [(38,4 + 62 − 2 − 8)] − [(1,2 + 3,87 − 0,25 − 2)] = [ 90,4 − 2,82] = 87,18. 3. Tentukan massa dari suatu kubus yang rusuknya = 6, bila kerapatannya = 0,5 pada setiap. titiknya sebanding dengan kuadrat jarak titik itu kesalah satu rusuk kubus =. =. =. (. =. =. (. =. +. ). +. ). +. =. (. =. 6 [ ] ( 0. ). + +. ). 6. +. 6. 6 6 + 3 3. 6 3 0. =. 6. = =. (. ). +. = 0,5 6. 6 = 0. .6. 6 6 + 3 3. 6 0. 6 6 + = 3 [ 432 + 432] = 2592 3 3. 23.

BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Integral dapat disimpulkan dalam beberapa kesimpulan, yaitu: . Hampir semua materi dalam matematika, langsung kita ketahui penerapannya dalam kehidupan sehari-hari, seperti integral yang kegunaannya untuk menghitung luas daerah. . Matematika Itu bersifat hirarkis,sama seperti menghitung integral,untuk menghitung integral tingkat lanjut, kita harus memahami lebih jauh tentang integral-integral dasar. . Dalam mengerjakan/menyelesaikan soal-soal integral yang tingkatannya tinggi, diharapkan untuk terlebih dahulu memahami soal2 integral dasar.. . Cara paling ampuh dan paling jitu agar kita dapat mengerjakan integral dengan cepat dan baik adalah "banyak berlatih", karena integral itu mempunyai banyak "tipe" dan setiap tipe hanya dapat dikerjakan dengan metode yang tertentu pula. 24.

Daftar Pustaka. Ayres, Jr. Frank ; 1964 ; Differential and Integral Calculus ; New York ; Schaum’s Outline Series Mc Graw-Hill Book Company Anonim. Integral. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/08/fr-bab-14-riemann.pdf Anonim. Notasi Sigma.http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0004.pdf. Ayres, Jr. Frank, Lea Prasetio; 1985 ; Teori dan Soal-soal Diferensial dan Integral Kalkulus ; Jakarta ; Penerbit Erlangga. 25.