Analisis Respon Spektrum Pada Bangunan Yang Menggunakan Yielding Damper Akibat GayaGempa

(1)

Helmy Iskandasyah : Analisis Respon Spektrum Pada Bangunan Yang Menggunakan Yielding Damper Akibat GayaGempa, 2009.

Analisis Respon Spektrum Pada Bangunan

Yang Menggunakan Yielding Damper

Akibat GayaGempa

Tugas Akhir

Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi Syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil

Disusun oleh:

HELMY ISKANDARSYAH 04 0404 046

SUB JURUSAN STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN

(2)

ABSTRAK

Kerusakan bangunan akibat gempa secara konvensional dapat dicegah dengan memperkuat struktur bangunan terhadap gaya gempa yang bekerja padanya. Namun, hasil ini sering tidak memuaskan karena kerusakan elemen baik struktural maupun nonstruktural umumnya disebabkan adanya perbedaan simpangan antar tingkat (interstory drift). Untuk memperkecil interstory drift dapat dilakukan dengan memperkaku bangunan dalam arah lateral. Tetapi , hal ini akan memperbesar gaya gempa yang bekerja pada bangunan. Metode yang lebih baik adalah dengan meredam energi gempa sampai pada tingkat yang tidak membahayakan bangunan. Sejalan dengan perkembangan teknologi bahan/sistem untuk anti gempa, telah ditemukan bahan anti seismik (seismic device) yang disebut juga dengan Damper dalam hal ini yaitu Yielding Damper. Metode perencanaan struktur tahan gempa dapat dibagi menjadi dua, yaitu metode konvensional yang mengutamakan bentuk-bentuk struktur yang kaku dan daktailitas yang yang tinggi metode teknologi dengan menambahkan alat-alat seismic devices ke struktur.

Yielding damper / metallic yielding damper bekerja dengan mendissipasi energi melalui pelelehan bahan damper yaitu adalah pelat lentur, yaitu jenis damper dengan dissipasi energi melalui lenturaan pelat. Hubungan gaya dan displacement pelat damper. Pada tugas akhir ini akan digunakan metode respon spektrum dengan bantuan perhitungan program SAP 2000 versi 11. Pada analisa ini akan diperoleh nilai perioda getar struktur, displacement, momen, gaya lintang, dan gaya normal. Dimana struktur yang digunakan adalah struktur baja profil WF. Struktur yang dianalisa adalah struktur konvensional, dengan menggunaka bracing dan yielding damper. Dimana, struktur dengan menggunakan yielding damper ini dapat memperkecil periode getar struktur bangunan dibandingkan kedua struktur lainnya. Sehingga simpangan antar struktur akan menjadi lebih kecil dan struktur akan lebih aman.

Perbandingan periode getar, gaya – gaya yang bekerja (momen, gaya lintang (geser), gaya normal dan simpangan pada struktur dengan menggunakan yielding damper yang didapatkan dari hasil analisa akan akan memperoleh maksimal 38.02 %

atau sampai 40% lebih kecil bila dibandingkan dengan struktur konvensional dan

(3)

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji dan syukur kepada Allah SWT, yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya hingga selesainya Tugas Akhir ini dengan judul Analisa

Respon Spektrum Pada Bangunan Yang Menggunakan Yielding Damper Akibat Gaya Gempa”

Tugas Akhir ini disusun untuk diajukan sebagai salah satu syarat yang harus dipenuhi dalam Ujian Sarjana Teknik Sipil Bidang Studi Struktur pada Departemen Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara (USU). Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini yang masih banyak kekurangan. Hal ini disebabkan keterbatasan pengetahuan dan kurangnya pemahaman penulis. Dengan tangan terbuka dan hati yang tulus penulis menerima saran dan kritik bapak dan ibu dosen serta rekan mahasiswa demi penyempurnaan Tugas Akhir ini.

Penulis juga menyadari bahwa selesainya Tugas Akhir ini tidak lepas dari bimbingan, dukungan dan bantuan semua pihak. Untuk itu, pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa terima kasih yang tulus dan tidak terhingga kepada kedua orang tua yang selalu penulis muliakan yang telah memberikan segalanya hingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahan ini.

Ucapan terima kasih juga penulis ucapkan kepada :

1. Bapak Prof. DR. Ing. Johannes Tarigan, selaku Ketua Departemen Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara.

2. Bapak IR.Teruna Jaya, M.Sc., selaku Sekretaris Departemen Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara.

3. Bapak Ir. Daniel Rumbi Teruna, MT dan Bapak Ir. Robert Panjaitan selaku pembimbing dan Co- pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu, tenaga

(4)

dan pikiran dalam memberikan bimbingan yang tiada hentinya kepada penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini.

4. Bapak/Ibu Dosen Staf Pengajar Jurusan Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara. 5. Kedua orang tua penulis tersayang yang tak pernah lelah berdo’a, memberikan

segala yang terbaik dan kasih sayang yang tak berkesudahan, serta seluruh saudara-saudara saya semuanya.

6. Rekan – rekan mahasiswa Jurusan Teknik Sipil, terutama teman – teman Angkatan 2004,. Adik- adik angkatan 2005, 2006, 2007, dan Abang / kakak stambuk 2003, 2002, 2001, 2000, terima kasih atas masukan nya selama ini.

Medan, 2009

HELMY ISKANDARSYAH

(5)

Helmy Iskandasyah : Analisis Respon Spektrum Pada Bangunan Yang Menggunakan Yielding Damper Akibat GayaGempa, 2009. DAFTAR ISI KATA PENGANTAR …….. ... i ABSTRAK ……….. ... iv DAFTAR ISI ... ... v

DAFTAR NOTASI ……….. ... xvi

BAB 1. PENDAHULUAN ... 1 1.1. Latar Belakang………….. ... 1 1.2. Permasalahan ... 2 1.3. Tujuan Penulisan ... 5 1.4. Pembatasan Masalah ... 5 1.5. Metode Pembahasan ... 6

BAB 2. TEORI DASAR ... 7

2.1. Umum ……….. ... 7

2.2. Karakteristik Struktur Bangunan ... 13

2.2.1 Massa ... 13

2.2.1 Model Lumped Mass ... 13

2.2.1 Model Consistent Mass Matrix ... 14

2.2.2 Kekakuan ... 15

2.2.3 Redaman ... 15

2.3. Simpangan Drift Akibat Gaya Gempa ... 16

2.4. Derajat Kebebasan (Degree Of Freedom, DOF...17

(6)

2.4.2 Pers. Diferensial SDOF akibat base motion ... 19 2.4.3 Pers. Diferensial Struktur MDOF ………..21 2.4.3.1 Matriks Massa, Matriks Kekakuan dan Matriks Redaman………....21 2.4.3.2 Matriks Redaman………..24 2.4.3.3 Non Klasikal / Non Proporsional

Damping………... 25 2.4.3.4 Klasikal / Proporsional Damping………. 26 2.4.4 Getaran Bebas Pada Struktur MDOF ……… 28 2.4.4.1 Nilai Karakteristik (Eigenproblem)……... 28 2.4.4.2 Frekuensi Sudut (ω) dan Normal Modes…30 2.4.5 Getaran Bebas Pada Struktur MDOF... … 32 2.4.5.1 Persamaan Difrensial Independen

( Uncoupling)……….32 2.4.5.2 Getaran Bebas Tanpa Redaman…………..37

2.4.5.3 Getaran Bebas Dengan Redaman………...40

2.4.5.4 Persamaan Difrensial Dependen

( Coupling)……….42 2.4.5.5 Penyelesaian Persamaan Difrensial

Gerakan……….….43

2.4.5.6 Metode β- Newmark………...43

2.4.6 Persamaan Difrensial Struktur MDOF Akibat Base Motion……… 46 2.5. Respon Spektrum ... 48

(7)

2.5.1 Modal amplitude Zj dan modal displacement uj….51

2.5.2 Modal Seismic Force Fj ... 54

2.5.3 Modal story Shear Vij ... 56

2.5.4 Modal story Drift, ∂i ... 57

2.5.5 Modal Lateral Displacement ... 57

2.5.6 Modal Overtuning Moment ... 57

2.5.7 Modal Base Shear Vi ... 58

2.5.8 Modal Effective Weight ... 58

BAB 3. Analisa Metallic Yielding Damper Pada Bangunan...60

3.1. Umum………. ... 60

3.2. Konsep perencanaan struktur tahan gempa………..61

3.3. Peran Damper Terhadap Getaran………..63

3.4 Metallic Yielding Damper ………...64

3.5. Kekakuan Dan Daktailitas Pelat Damper ...…...68

3.5.1 Daktailitas Bahan Pelat………...69

3.5.2 Pengaruh Bentuk Pelat...…...71

3.6 Model Analisa Damper Terhadap Suatu Bangunan…… 78

3.7 Pengaruh Damping Terhadap Response Spektrum Gempa………84

3.8 Aplikasi Yielding Damper Pada Bangunan………...86

BAB 4. APLIKASI... ... ..88

4.1. Pendahuluan……. ... ..88

4.2. Pengerjaan Model Struktur……. ... ..89

(8)

4.2.2. Pembebanan Pada Struktur………90

4.3. Prosedur Perencanaan Bangunan Tahan Gempa Dengan

MetallicYielding Damper...95

4.4. Prosedur Analisa SAP 2000 Versi …11………..97 4.5 Analisa Data Struktur Bangunan………...105 4.5.1. Analisa Struktur Bangunan Biasa (Konvensional)..105

4.5.2. Analisa Struktur Bangunan Dengan

Menggunakan Bracing………..107

4.5.3. Analisa Struktur Bangunan Dengan Damper……….109 4.6. Hasil Analisa Momen , Gaya Lintang , Dan Gaya Normal…112

4.6.1. Hasil Analisa Pada Struktur Biasa Pada Balok……112 4.6.2. Hasil Analisa Pada Struktur Dengan

Menggunakan Bracing Pada Balok………...114

4.6.3. Hasil Analisa Pada Struktur Dengan

Menggunakan Damper Pada Balok………115

4.6.4. Hasil Analisa Pada Struktur Biasa Pada Kolom...117 4.6.5. Hasil Analisa Pada Struktur Dengan.

Menggunakan Bracing Pada Kolom………..118 4.6.6. Hasil Analisa Pada Struktur Dengan

Menggunakan Damper Pada Kolom……...120

4.7. Perbandingan Gaya-Gaya Maksimum Struktur Biasa Dengan Struktur Dengan Menggunakan Yielding Damper…………..121 4.7.1.Perbandingan Gaya-Gaya Maksimum Pada

(9)

Balok Struktur Biasa Dengan Struktur

Dengan Menggunakan Yielding Damper…………121 4.7.2.Perbandingan Gaya-Gaya Maksimum Pada Kolom

Struktur Biasa Dengan Struktur Dengan Struktur Menggunakan Yielding Damper………...122 4.8. Perbandingan Gaya-Gaya Maksimum Struktur Menggunakan Bracing Dengan Struktur Dengan StrukturYang Menggunakan Yielding Damper………123 4.8.1. Perbandingan Gaya-Gaya Maksimum Pada Balok …..123

4.8.2 .Perbandingan Gaya-Gaya Maksimum Pada Kolom…..124 4.9. Kinerja Batas Layan Pada Struktur Bangunan Dengan Atau

pun Tanpa Menggunakan Metallic Yielding Damper……125

4.9.1. Kinerja Batas Layan Untuk Struktur Bangunan Biasa (Konvensional)……….125

4.9.2. Kinerja Batas Layan Untuk Struktur Bangunan

Dengan Menggunakan Bracing………127.. 4.9.3. Kinerja Batas Layan Untuk Bangunan

Yang Menggunakan Yielding Damper…………..128

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN... ...133

5.1. Kesimpulan ...133. 5.2. Saran ……… ... ...135

(10)

DAFTAR NOTASI

b lebar pelat damper h tinggi pelat damper

ccr damping kritis ( critical damping gaya lateral pelat )

g gravitasi sebesar 980 cm/detik2 cd konstanta damping dari damper

m Massa k Kekakuan

k1 kekakuan awal ( jumlah kekakuan struktur dan kekakuan damper)

k2 kekakuan struktur kd kekakuan damper

kdp kekakuan damper pelat

kp kekakuan pelat

kpe kekakuan pelat keadaan elastic

kpp kekakuan pelat keadaan plastis

fp gaya lateral pelat

u Simpangan up deformasi pelat

upy deformasi pelat keadaan permulaan leleh

um simpangan maksimum keadaan leleh

ue simpangan maksimum keadaan elastic

(11)

u(t) simpangan pada waktu t u(0) simpangan pada waktu t =0 v(0) kecepatan awal pada waktu t = 0 E modulus elastika bahan pelat

Ed dissipasi energi getaran akibat damping Ehys dissipasi energi dari pelelehan bahan struktur

F gaya dalam struktur Fd gaya damping

I momen inersia pelat t tebal pelat damper

Mp momen pelat diujung atau di tumpuan

Mpy momen pelat saat serat paling ujung mulai meleleh

Mpp momen plastis pelat

H tinggi bangunan

SDOF Single Degree Of Freedom

Sa percepatan spectral response gempa

Sa5 percepatan spectral response gempa zone 5 SNI

Sv kecepatan spectral response gempa

Sv5 kecepatan spectral response gempa zone 5 SNI

Sd simpangan spectral response gempa

Sd5 simpangan spectral response spektrum gempa zone 5

T waktu getar

T1 waktu getar awal struktur dengan damping

(12)

α d perbandingan kekakuan damper dengan kekakuan struktur

) (ζ

β factor damping

µ daktilitas bahan pelat σ tegangan pelat

σ y tegangan leleh bahan pelat ζ persen damping , , u Percepatan getaran , ,

u g Percepatan gerakan tanah

,

(13)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Gempa bumi merupakan suatu gerakan tiba – tiba dari tanah yang berasal dari gelombang pada suatu tempat dan menyebar dari daerah tersebut ke segala arah. Gempa bumi dalam hubungannya dengan suatu wilayah berkaitan dengan gerakan muka bumi dan pengaruhnya terhadap daerah yang bersangkutan. Masing – masing daerah mempunyai prilaku yang berbeda terhadap gempa, karena tiap daerah mempunyai bentuk maupun jenis wilayah yang berbeda.

Pada perencanaan bangunan, parameter gempa bumi yang langsung mempengaruhi perencanaan adalah percepatan tanah yang ditimbulkan gelombang seismic yang bekerja pada massa bangunan. Kedalaman pusat gempa bumi, jarak episenter ke daerah yang dituju, sistem pondasi, massa dan geometri bangunan dan lain sebagainya.

Seperti yang dijelaskan tadi pengaruh gempa juga tergantung daerah/wilayah yang mengalami gempa. Untuk wilayah Indonesia dibagi dalam 6 (enam) wilayah gempa dengan masing-masing tingkat kerawanan terjadinya gempa dan wilayah Indonesia merupakan wilayah yang sering dilanda gempa karena terletak pada 4 (empat) lempeng tektonik yaitu lempeng Australia-India, lempeng Euro-Asia, lempeng Pasifik dan Philipine. Gempa bumi tidak mungkin di cegah dan sulit sekali di ramalkan kapan terjadi, dimana lokasinya dan berapa magnitudenya. Jadi yang

(14)

harus dilakukan adalah bagaimana mengatasi atau memperkecil pengaruh kerusakan yang ditimbulkan oleh gempa bumi pada suatu struktur bangunan.

Kerusakan bangunan akibat gempa secara konvensional dapat dicegah dengan memperkuat struktur bangunan terhadap gaya gempa yang bekerja padanya. Namun, hasil ini sering tidak memuaskan karena kerusakan elemen baik struktural maupun nonstruktural umumnya disebabkan adanya interstory drift (perbedaan simpangan antar tingkat). Untuk memperkecil interstory drift dapat dilakukan dengan memperkaku bangunan dalam arah lateral. tetapi , hal ini akan memperbesar gaya gempa yang bekerja pada bangunan. Metode yang lebih baik adalah dengan meredam energi gempa sampai pada tingkat yang tidak membahayakan bangunan.

Sejalan dengan perkembangan teknologi bahan/sistem untuk anti gempa, telah ditemukan bahan anti seismik yang disebut juga dengan Damper dalam hal ini yaitu Yielding Damper.

1.2 Permasalahan

Yielding damper ini dipasang pada struktur bangunan baja, karena alat ini diletakkan antara balok suatu struktur dan struktur pengaku (Braced Frame). Yielding damper adalah suatu sistem unik yang mengkombinasikan regangan dan kekakuan rangka (kekakuan baja) dengan karakteristik momen.Yielding Damper bekerja pada daerah yang mengalami leleh pada struktur rangka pengaku, baik pada pengakunya ataupun pada link pada struktur rangka pengaku. Anti seismik yielding damper ini erat kaitannya dengan rangka pengaku karena alat ini diletakkan di atas pada eksentrisitas brace frame (link) maupun pada pengakunya. Karena elemen inilah yang menerima gaya lateral yang paling besar dari struktur. Sehingga elemen

(15)

ini harus mendapat perhatian yang lebih khusus, dalam hal perencanaannya. Oleh sebab itu, untuk daerah tersebut perlu disiasati agar tidak terjadi deformasi yang terlalu besar atau melebihi kapasitas terhadap gaya gempa.

Yielding Damper ini dapat berupa Added Damping and Stiffness Damper (ADAS Damper) dan Reinforced Buckling Restrained Brace Damper (RBRB Damper) yang memiliki system yang memberikan kekakuan untuk mereduksi respon akibat gempa dari perpindahan lateral, bahaya tingkat, dan torsi dari struktur bangunan selama gempa terjadi. Damper ini juga menghamburkan kapasitas energi maksimum saat puncak energi akibat gaya gempa pada struktur. Yielding damper sudah dapat digunakan pada suatu struktur dengan struktur pengaku seperti yang telah dijelaskan di atas. Damper ini terdiri dari bahan campuran baja murni sesuai dengan peraturan building code di Taiwan. Metalic Yielding Damper adalah Sistem alat anti gempa atau Seismic device.Seismic devices bekerja dengan merubah kekakuan, damping dan menambah massa ke struktur. Yielding damper disebut juga hysterestic-yield damper bekerja dengan mendissipasi energi melalui pembentukan sendi plastis atau pelelehan bahan damper, Yielding damper yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah damper pelat dengan kekakuan bi-linier , yaitu jenis damper dengan dissipasi energi melalui pelelehan lenturan pelat.

Untuk yielding damper yang diletakkan pada struktur pengaku baik pada link ataupun pada struktur pengaku, karena bila terjadi gaya yang sangat besar pada struktur, maka yang akan mengalami deformasi hanya elemen linknya saja dan bagian leleh pada struktur pengaku. Maka yielding damper ini efektif digunakan untuk gaya gempa yang melebihi kapasitas bangunan hanya dengan struktur pengaku tanpa damper.

(16)

Damper atau disebut sistem anti seismic, merupakan suatu system yang kuat untuk perencanaan bangunan. Sebaiknya bangunan yang mempunyai kapasitas tahanan terbatas terhadap gempa bumi setelah menggunakan struktur pengaku merupakan bangunan yang semestinya menggunakan damper.

Selama gempa terjadi damper ini meredam energi gempa dengan daktilitas pada pelat baja dan mereduksi deflection yang berlebihan. Di Taiwan banyak bangunan menggunakan yielding damper yang mengalami gempa dengan kekuatan rata-rata 6.5 SR dan damper ini menunjukkan kerja yang baik selama gempa terjadi tanpa ada kerusakan berarti. Pemasangan, perawatan, dan pengamatan terhadap damper ini termasuk mudah.

Dalam perencanaan bangunan, beban akibat gempa sangat diperhitungkan dalam analisanya sehingga walaupun bangunan tersebut terkena gempa tidak langsung rubuh melainkan timbul keretakan yang akan memperkecil korban jiwa. Pada analisa beban gempa sangat tergantung kepada struktur dari bangunan tersebut dimana bentuk dari denah dan ketinggian bangunan tersebut adalah factor utama dalam memperhitungkan gaya akibat dan guncangan gempa tersebut. Oleh sebab itu, bila telah direncanakan bangunan dengan struktur pengaku masih tidak aman maka solusi yang dianjurkan adalah dengan yielding damper untuk mereduksi gaya gempa dan deformasi yang bias mengakibatkan kerusakan pada struktur yang menyebabkan bangunan rubuh.

Untuk itu analisa yang dipakai dalam menganalisis struktur bangunan tersebut adalah Analisa Respon Spektrum yang akan memperhitungkan pengaruh torsi, momen dan perpindahan pusat massa dari pusat kekakuan. Analisis respon spectrum adalah analisa yang akan memberikan suatu diagram yang akan memberikan

(17)

hubungan antara percepatan respon maksimum suatu system satu derajat kebebasan (SDK) akibat suatu masukan gempa tertentu sebagai fungsi dari faktor redaman C dan waktu getar alami T sistem tersebut. Perhitungan gaya gempa yang menggunakan ragam respon spectrum bahwa gempa rencana akan dikalikan dngan faktor koreksi gempa I/R, dimana I adalah factor reduksi gempa representative dari struktur gempa yang direncanakan. Dalam hal ini, jumlah ragam vibrasi yang ditinjau dalam penjumlahan respon ragam menurut metode ini sedemikian rupa.

1.3 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan dari tugas akhir ini adalah:

1. Menghitung respon struktur bangunan dimana struktur yang dianalisa adalah struktur biasa (konvensional), struktur dengan bracing, dan struktur dengan menggunakan damper dalam hal ini adalah Yielding Damper.

2. Menghitung momen, gaya lintang, gaya normal, displacement atau perpindahan antar lantai akibat gaya gempa pada bangunan tersebut

3. Untuk mengetahui efektifitas damper pada struktur bangunan dengan membandingkan struktur biasa (konvensional), struktur dengan bracing, dan struktur dengan menggunakan damper dalam hal ini adalah Yielding Damper.

1.4 Pembatasan Masalah

Yang menjadi batasan masalah adalah:

1. Analisa gaya gempa berdasarkan analisa respon spektrum dari SNI 03-1726-2002.

(18)

3. Material struktur yang digunakan adalah material baja dengan material struktur yang digunakan adalah profil baja WF.

4. Damper yang digunakan adalah yielding damper dengan jenis metallic yielding damper bentuk X.

5. Bangunan yang ditinjau bangunan bertingkat 5.

6. design struktur dihitung oleh struktur olh program SAP 2000 versi 11

1.5 Metode Pembahasan

Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah studi literatur yaitu dengan mengumpulkan data-data dan keterangan dari literatur yang berhubungan dengan pembahasan pada tugas akhir ini serta masukan dari dosen pembimbing. Penganalisaan struktur dilakukan dengan program komputer yaitu Program SAP 2000 versi 11 untuk mempercepat perhitungan.

(19)

BAB 2

TEORI DASAR

2.1 Umum

Getaran sering dirasakan oleh manusia pada kehidupan sehari-hari. Suatu benda akan bergetar apabila terdapat sumber energi yang diteruskan sampai ke benda yang bersangkutan. Gempa bumi misalnya, walaupun tidak termasuk kejadian sehari-hari juga dapat menimbulkan getaran. Energi mekanik akibat rusaknya struktur batuan pada peristiwa gempa bumi selanjutnya akan diubah menjadi energi gelombang yang menggetarkan batuan sekelilingnya. Getaran batuan akibat gempa bumi selanjutnya diteruskan oleh media tanah sampai pada permukaan tanah. Tanah yang bergetar akibat gempa akan mengakibatkan bangunan yang berada di atas tanah ikut bergetar. Kerusakan bangunan sering terjadi akibat peristiwa gempa bumi seperti ini, khususnya pada daerah-daerah tertentu.

Gempa bumi merupakan salah satu bagian daripada jenis beban yang dapat membebani struktur selain beban mati, beban hidup dan beban angin. Beban gempa memang tidak selalu diperhitungkan dalam perencanaan atau analisa struktur. Namun bagi struktur yang dibuat pada suatu lokasi dimana gempa bumi dapat terjadi maka analisa ini harus dibuat.

Besarnya tingkat pembebanan gempa berbeda-beda dari suatu wilayah ke wilayah lain tergantung pada keadaan seismotektonik geografi dan pada geologi setempat. Analisa gempa terutama pada bangunan perlu dilakukan karena pertimbangan. Kerusakan bangunan akibat gempa bumi dapat diantisipasi dengan

(20)

beberapa metode, baik secara konvensional maupun secara teknologi sekarang ini para ahli telah menemukan sistem seismic devices.

Seismic devices bekerja dengan merubah kekakuan, damping dan menambah massa ke struktur. Salah satu system seismic device adalah dengan menggunakan alat yielding damper disebut juga hysterestic-yield damper bekerja dengan mendissipasi energi melalui pembentukan sendi plastis atau pelelehan bahan damper, Yielding damper yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah damper pelat dengan kekakuan bi-linier , yaitu jenis damper dengan dissipasi energi melalui pelelehan lenturan pelat. Bila gaya yang bekerja pada damper adalah gaya siklik atau gempa, hubungan gaya dan simpangan akan berbentuk loop jajaran genjang yang disebut juga dengan hysteristic loop. Luas hysteristic loop merupakan energi yang didissipasi oleh damper . Struktur yang memakai metallic damper akan merubah persamaan dinamis menjadi persamaan non-linier, Untuk menghindari kesulitan perencanaan dengan metode riwayat waktu gempa yang lebih kompleks dan memerlukan waktu yang lebih lama , dipakai model pendekatan linier viscous damping untuk menggantikan model non-linier . Model pengganti linier equivalent tersebut memakai konsep equivalent viscous damping dengan menyamakan luas loop bilinier dengan luas loop bentuk ellips dari linier viscous damping. Dari hasil analisa, respons simpangan model pengganti equivalent tidak selalu memberikan hasil yang sama dengan model dinamis non-linier, untuk itu dipakai faktor koreksi untuk menyamakan atau mendekati kedua hasil perhitungan dalam batas toleransi tertentu.

Gaya gempa tidak dapat diprediksi kapan datangnya, sehinga ketika gempa menimpa struktur bangunan maka ada hal yang dapat dilihat. Bangunan itu tetap kokoh tanpa ada korban jiwa, bangunan rusak tanpa ada korban jiwa, dan bisa juga

(21)

bangunan rusak serta terdapat korban jiwa. Gaya gempa adalah goncangan alamiah bersumber bumi. Goncangan alamiah yang mengguncang bumi beserta apa saja yang ada di atasnya pada hakekatnya adalah perambatan energi berwujud gelombang. Energi yang merambat di dalam bumi atau lapisan tanah atau di dalam air laut menciptakan goncangan pada bumi yang di kenal gempa bumi atau tsunami. Pada dasarnya telah diketahui bahwa bagian permukaan bumi kita ini terdiri dari lempeng-lempeng bumi yang disebut lempeng-lempeng tektonik (tectonic plate). Oleh energi yang terdapat di dalam bumi (hotspot, arus konveksi dll.), lempeng-lempeng itu digerakkan satu dengan lainnya. Lempeng-lempeng tektonik tadi bergerak satu terhadap lainnya dengan kecepatan antara 2 cm/tahun sampai 15 cm/tahun. Pergerakkan lempeng-lempeng itu ada yang saling menjauh (berpisah), ada yang saling berpapasan berlawanan arah. Ada pula yang saling bertemu atau bertubrukkan. Semua jenis pergerakkan lempeng tektonik telah menciptakan daerah bergempa, yang berbeda adalah kekuatan gempa yang tersimpan di dalam bumi pada batas-batas pertemuan lempeng bumi itu. Energi gempa yang paling besar terdapat pada batas pertemuan atau perbenturan lempeng tektonik. Energi yang tersimpan pada jalur perbenturan lempeng bumi itu telah menimbulkan gempa bumi besar. Proses tekan menekan dan desak mendesak diantara massa bumi pada lempeng-lempeng tektonik telah menciptakan pengumpulan dan penimbunan energi di dalam bumi. Jangka waktu proses penimbunan dan pelepasan energi yang menimbulkan gempa bumi itu berlangsung antara 30-600 tahun. Terdapat variasi siklus perulang gempa antara satu kawasan dengan kawasan lain, ada siklus kejadian gempa bumi 30-50 tahunan, ada 100 tahun, 200 tahun dan 600 tahun. Energi yang terkumpul atau tersimpan di dalam bumi / massa batuan pada suatu saat tidak mampu lagi ditahan oleh massa bumi dan

(22)

akhirnya bumi / batuan itu pecah / remuk / patah atau sobek (rupture). Pada saat bumi itu remuk atau pecah disaat itulah energi dilepaskan dan bergerak dalam wujud gelombang. Energi yang bergerak dalam wujud gelombang yang merambat di dalam tanah di daratan disebut gempa bumi. Dan yang merambat di dalam air laut disebut tsunami, sedangkan yang merambat di dalam danau disebut ’seische’.

Permasalahan gaya gempa ini berbeda dengan pembebanan- pembebanan statis, sehingga dalam perhitungannya gaya gempa tidak mempunyai solusi tunggal seperti pada gaya statis karena respon dan beban berubah menurut waktu.

Besarnya tingkat pembebanan gempa berbeda-beda dari satu wilayah kewilayah lain, yang tergantung pada keadaan seismetektonik, geografi dan geologi setempat. Analisa gempa terutama pada bangunan tinggi perlu dilakukan karena pertimbangan keamanan struktur dan kenyaman penghuni bangunan. Beban gempa yang terutama dalam arah mendatar akan menimbulkan simpangan (driff) yang perlu dikontrol.

Dalam perencanaan struktur atau bangunan yang mempunyai ketahanan terhadap gempa dengan tingkat keamanan yang memadai, struktur yang harus dirancang dapat memikul gaya horizontal atau gaya gempa. Yang harus diperhatikan adalah bahwa struktur dapat memberikan layanan yang sesuai dengan perencanaan. Menurut T. Paulay (1988), tingkat layanan dari struktur gaya gempa terdiri dari tiga, yaitu:

1. Serviceability.

Jika gempa dengan intensitas percepatan tanah yang kecil dalam waktu ulang yang besar mengenai struktur, disyaratkan tidak mengganggu fungsi bangunan, seperti aktivitas normal didalam bangunan dan perlengkapan yang ada. Artinya tidak

(23)

dibenarkan ada terjadi kerusakan pada struktur baik pada komponen struktur maupun dalam elemen non-struktur yang ada. Dalam perencanaan harus diperhatikan control dan batas simpangan (driff) yang dapat terjadi semasa gempa, serta menjamin kekuatan yang cukup bagi komponen struktur untuk menahan gaya gempa yang terjadi dan diharapkan struktur masih berprilaku elastis.

2. Kontrol kerusakan.

Jika struktur dikenai gempa dengan waktu ulang sesuai dengan umur atau, masa rencana bangunan, maka struktur direncanakan untuk dapat menahan gempa ringan atau gempa kecil tanpa terjadi kerusakan pada komponen struktur ataupun maupun komponen non-struktur, dan diharapkan struktur dalam batas elastis.

3. Survival

Jika gempa kuat yang mungkin terjadi pada umur / masa bangunan yang direncanakan membebani struktur, maka struktur direncankan untuk dapat bertahan dengan tingkat kerusakan yang besar tanpa mengalami kerusakan dan keruntuhan (collapse). Tujuan utama dari keadaan batas ini adalah untuk menyelamakan jiwa manusia.

Pengaruh gempa bumi yang sangat merusak struktur bangunan adalah load pad dari komponen gaya atau getaran horizontal. Getaran horizontal tersebut menimbulkan gaya reaksi yang besar, bahkan di lokasi puncak atau ujung bangunan dapat mengalami pembesaran hingga dua kalinya. Bila aliran gaya pada bangunan itu lebih besar daripada kekuatan struktur maka bangunan itu akan rusak parah.Untuk daerah yang rawan gempa bumi dibutuhkan ekstra kewaspadaan dan solusi teknologi tepat guna yang mampu meminimalkan korban jiwa dan harta benda. Untuk itu betapa pentingnya penerapan teknologi yang tepat guna. Salah satu cara untuk

(24)

menghindari hal tersebut di atas maka bisa kita gunakan teknologi yang akan kita bahas pada tugas akhir ini yaitu Yielding Damper khususnya Metalic Yielding Damper.

2.2 Karakteristik Struktur Bangunan

Pada persamaan difrensial melibatkan tiga properti utama suatu struktur yaitu massa, kekakuan dan redaman. Ketiga properti struktur itu umumnya disebut

dinamik karakteristik struktur. Properti-properti tersebut sangat spesifik yang tidak semuanya digunakan pada problem statik. Kekakuan elemen / struktur adalah salah satu-satunya karakteristik yang dipakai pada problem statik, sedangkan karakteristik yang lainnya yaitu massa dan redaman tidak dipakai.

2.2.1 Massa

Suatu struktur yang kontinu kemungkinan mempunyai banyak derajat kebebasan karena banyaknya massa yang mungkin dapat ditentukan. Banyaknya derajat kebebasan umumnya berasosiasi dengan jumlah massa tersebut akan menimbulkan kesulitan. Hal ini terjadi karena banyaknya persamaan differensial yang ada.

Terdapat dua permodelan pokok yang umumnya dilakukan untuk mendeskripsikan massa struktur.

2.2.1.1 Model lumped mass

Model pertama adalah model diskretisasi massa yaitu massa diangggap menggumpal pada tempat-tempat (lumped mass) join atau tempat-tempat tertentu.

(25)

Dalam hal ini gerakan / degree of freedom suatu join sudah ditentukan. Untuk titik model yang hanya mempunyai satu derajat kebebasan / satu translasi maka nantinya elemen atau struktur yang bersangkutan akan mempunyai matriks yang isinya hanya bagian diagonal saja. Clough dan Penzien (1993) mengatakan bahwa bagian off-daigonal akan sama dengan nol karena gaya inersia hanya bekerja pada tiap-tiap massa. Selanjutnya juga dikatakan bahwa apabila terdapat gerakan rotasi massa ( rotation degree of freedom ), maka pada model lumped mass ini juga tidak akan ada rotation moment of inertia. Hal ini terjadi karena pada model ini massa dianggap menggumpal pada suatu titik yang tidak berdimensi (mass moment of inertia dapat dihitung apabila titik tersebut mempunyai dimensi fisik). Dalam kondisi tersebut terdapat matriks massa dengan diagonal mass of moment inertia sama dengan nol.

Pada bangunan gedung bertingkat banyak, konsentrasi beban akan terpusat pada tiap-tiap lantai tingkat bangunan. Dengan demikian untuk setiap tingkat hanya ada satu tingkat massa yang mewakili tingkat yang bersangkutan. Karena hanya terdapat satu derajat kebebasan yang terjadi pada setiap massa / tingkat, maka jumlah derajat kebebasan pada suatu bangunan bertingkat banyak akan ditunjukkan oleh banyaknya tingkat bangunan yang bersangkutan. Pada kondisi tersebut matriks massa hanya akan berisi pada bagian diagonal saja.

2.2.1.2 Model consistent mass matrix.

Model ini adalah model yang kedua dari kemungkinan permodelan massa struktur. Pada prinsip consistent mass matrix ini, elemen struktur akan berdeformasi menurut bentuk fungsi (shape function) tertentu. Permodelan massa seperti ini akan sangat bermanfaat pada struktur yang distribusi massanya kontinu.

(26)

Apabila tiga derajat kebebasan (horizontal, vertikal dan rotasi) diperhitungkan pada setiap node maka standar consistent mass matrix akan menghasilkan full-populated consistent matrix artinya suatu matri yang off-diagonal matriksnya tidak sama dengan nol. Pada lumped mass model tidak akan terjadi ketergantungan antar massa (mass coupling) karena matriks massa adalah diagonal. Apabila tidak demikian maka mass moment of inertia akibat translasi dan rotasi harus diperhitungkan.

Pada bangunan bertingkat banyak yang massanya terkonsentrasi pada tiap-tiap tingkat bangunan, maka penggunaan model lumped mass masih cukup akurat. Untuk pembahasan struktur MDOF seterusnya maka model inilah (lumped mass) yang akan dipakai.

2.2.2 Kekakuan

kekakuan adalah salah satu dinamik karakteristik struktur bangunan yang sangat penting disamping massa bangunan. Antara massa dan kekakuan struktur akan mempunyai hubungan yang unik yang umumnya disebut karakteristik diri atau

Eigenproblem. Hubungan tersebut akan menetukan nilai frekuensi sudut ω, dan

periode getar struktur T. Kedua nilai ini merupakan parameter yang sangat penting dan akan sangat mempengaruhi respon dinamik struktur.

Pada prinsip bangunan geser ( shear building ) balok pada lantai tingkat dianggap tetap horizontal baik sebelum maupun sesudah terjadi pergoyangan. Adanya plat lantai yang menyatu secara kaku dengan balok diharapkan dapat membantu kekakuan balok sehingga anggapan tersebut tidak terlalu kasar. Pada prinsif desain bangunan tahan gempa dikehendaki agar kolom lebih kuat

(27)

dibandingkan dengan balok, namun demikian rasio tersebut tidak selalu linear dengan kekakuannya. Dengan prinsif shear building maka dimungkinkan pemakaian lumped mass model. Pada prinsif ini, kekakuan setiap kolom dapat dihitung berdasarkan rumus yang telah ada.

2.2.3 Redaman

Redaman merupakan peristiwa pelepasan energi ( energi dissipation) oeh struktur akibat adanya berbagai macam sebab. Beberapa penyebab itu antara lain adalah pelepasan energi oleh adanya gerakan antar molekul didalam material, pelepasan energi oleh gesekan alat penyambung maupun system dukungan, pelepasan energi oleh adanya gesekan dengan udara dan pada respon inelastic pelepasan energi juga terjadi akibat adanya sendi plastis. Karena redaman berfungsi melepaskan energi maka hal ini akan mengurangi respon struktur.

2.3 Simpangan (Drift) Akibat Gaya Gempa

Simpangan (drift) adalah sebagai perpindahan lateral relative antara dua tingkat bangunan yang berdekatan atau dapat dikatakan simpangan mendatar tiap-tiap tingkat bangunan (horizontal story to story deflection).

Simpangan lateral dari suatu system struktur akibat beban gempa adalah sangat penting yang dilihat dari tiga pandangan yan berbeda, menurut Farzat Naeim (1989):

1. Kestabilan struktur (structural stability)

2. Kesempurnaan arsitektural (architectural integrity) dan potensi kerusakan bermacam-macam komponen bukan struktur

(28)

3. Kenyaman manusia (human comfort), sewaktu terjadi gempa bumi da sesudah bangunan mengalami gerakan gempa.

Dalam pada itu juga, Richard N. White (1987) berpendapat bahwa dalam perencanaan bangunan tinggi selalu dipengaruhi oleh pertimbangan lenturan (deflection), bukannya oeh kekuatan (strength).

Simpangan antar tingkat dari suatu titik pada suatu lantai harus ditentukan sebagai simpangan horizontal titik itu, relative terhadap titik yang sesuai pada lantai yang berada dibawahnya. Perbandingan antar simpangan antar tingkat dan tinggi tingkat yang bersangkutan tidak boleh melebihi 0.005 dengan ketentuan dalam segala hal simpangan tersebut tidak boleh lebih dari 2 cm. Terhadap simpangan antar tingkat telah diadakan pembatasan-pembatasan untuk menjamin agar kenyamanan bagi para penghuni gedung tidak terganggu dan juga untuk mengurangi momen-momen sekunder yang terjadi akibat penyimpangan garis kerja gaya aksial didalam koom-kolom (yang lebih dikenal dengan P-delta).

Berdasarkan UBC 1997 bahwa batasan story driff atau simpangan antar tingkat adalah sebagai berikut:

Untuk periode bangunan yang pendek T< 0.7 detik, maka simpangan antar tingkat Δm ≤ 0.0025Ih atau 2.5%dari tinggi bangunan.

Untuk periode bangunan yang pendek T> 0.7 detik, maka simpangan antar tingkat Δm ≤ 0.002Ih atau 2.0% dari tinggi bangunan.

(29)

Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu system pada setiap saat. Pada masalah dinamika, setiap titik atau massa pada umumnya hanya diperhitungkan berpindah tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal. Karena simpangan yang terjadi hanya terjadi dalam satu bidang atau dua dimensi, maka simpangan suatu massa pada setiap saat hanya mempunyai posisi atau ordinat tertentu baik bertanda negative ataupun bertanda positif. Pada kondisi dua dimensi tersebut, simpangan suatu massa pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu U(t). Struktur seperti itu dinamakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal (SDOF system).

Dalam model system SDOF atau berderajat kebebasan tunggal, ssetiap massa m, kekakuan k, mekanisme kehilangan atau redaman c, dan gaya luar yang dianggap tertumpu pada elemen fisik tunggal. Struktur yang mempunyai n-derjat kebebasan atau struktur dengan derajat kebebasan banyak disebut multi degree of freedom (MDOF). Akhirnya dapat disimpulkan bahwa jumlah derajat kebebasan adalah jumlah koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu massa pada saat tertentu.

2.4.1 Persamaan differensial pada struktur SDOF

System derajat kebebasan tunggal (SDOF) hanya akan mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang ditinjau. Bangunan satu tingkat adalah salah satu contoh bangunan derajat kebebasan tunggal.

Pada gambar 2.1 tampak model matematik untuk SDOF system. Tampak bahwa P(t) adalah beban dinamik yaitu beban yang intensitasnya merupakan fungsi

(30)

dari waktu. Struktur seperti pada gambar 2.1.a kemudian digambar secara ideal seperti tampak pada gambar 2.1.b yaitu gambar yang telah dimodelkan. Notasi m, k, dan c seperti yang tampak pada gambar berturut-turut adalah massa, kekakuan kolom dan redaman.

Gambar 2.1 Permodelan struktur SDOF

Apabila beban dinamik P(t) bekerja ke arah kanan, maka akan terdapat perlawanan pegas, damper dan gaya redaman seperti pada gambar 2.1.c. gambar-gambar tersebut umumnya disebut free body diagram. Berdasarkan prinsif keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut, maka dapat diperoleh hubungan,

p(t) – fS – fD = mu atau mu + fD + fS = p(t) (2.4.1)

dimana: fD = c.u

(31)

Apabila persamaan (2.4.1) disubtitusikan kepersamaan (2.4.2), maka akan diperoleh :

mu + cu+ ku = p(t) (2.4.3)

Persamaan (2.4.3) adalah persamaan differensial gerakan massa suatu struktur SDOF yang memperoleh pembebanan dinamik p(t). pada problema dinamik, sesuatu

Yang penting untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam persamaaan tersebut adalah u(t).

2.4.2 Persamaan difrensial struktur SDOF akibat base motion

Beban dinamik yang umum dipakai pada anlisis struktur selain beban angin adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah menjadi bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk aselogram. Tanah yang bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah akan ikut bergetar termasuk struktur bangunan. Di dalam hal ini masih ada anggapan bahwa antara fondasi dan tanah pendukungnya bergerak secara bersama-sama atau fondasi dianggap menyatu dengan tanah. Anggapan ini sebetulnya tidak sepenuhnya benar karena tanah bukanlah material yang kaku yang mampu menyatu dengan fondasi. Kejadian yang sesungguhnya adalah bahwa antara tanah dan fondasi tidak akan bergerak secara bersamaan. Fondasi masih akan bergerak horizontal relative terhadap tanah yang mendukungnya. Kondisi seperti ini cukup rumit karena sudah memperhitungkan pengaruh tanah terhadap analisis struktur yang umumnya disebut soil-structure interaction analysis.

(32)

Untuk menyusun persamaan difrensial gerakan massa akibat gerakan tanah maka anggapan di atas tetap dipakai, yaitu tanah menyatu secara kaku dengan kolom atau kolom dianggap dijepit pada ujung bawahnya. Pada kondisi tersebut ujung bawah kolom dan tanah dasar bergerak secara bersamaan. Persamaan difrensial gerakan massa struktur SDOF akibat gerakan tanah selanjutnya dapat dirturunkan dengan mengambil model seperti pada gambar 2.2.

Gambar 2.2 Struktur SDOF akibat base motion

Berdasarkan pada free body diagram seperti gambar di atas maka deformasi total yang terjadi adalah

utt (t) = u(t) + ug (t) (2.4.4)

Dari free body diagram yang mengandung gaya inersia f1 tampak bahwa

(33)

fI + fD + fS = 0 (2.4.5)

dimana inersia adalah,

fI = mut (2.4.6)

Dengan mensubstisusikan persamaan (2.4.2) dan (2.4.5) ke (2.4.5) dan (2.4.4),sehingga diproleh persmaaannya sebagai berikut,

mu + cu + ku = - mug (t) (2.4.7)

Persamaan tersebut disebut persamaan difrensial relative karena gaya inersia, gaya redam dan gaya pegas ketiga-tiganya timbul akibat adanya simpanganrelative. Ruas kanan pada persamaan (2.4.7) disebut sebagai beban gempa efektif atau beban gerakan tanah efektif. Ruas kanantersebut seolah menjadi gaya dinamik efektif yang bekerja pada elevasi lantai tingkat. Kemudian gaya luar ini akan disebut sebagai faya efektif gempa:

Peef (t) - mug (t). (2.4.8)

2.4.3 Persamaan difrensial struktur MDOF

2.4.3.1 Matriks massa, matriks kekakuan dan matriks redaman

Untuk menyatakan persamaan diferensial gerakan pada struktur dengan derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF. Anggapan seperti prinsip shear building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak (MDOF). Untuk memperoleh persamaan diferensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik (dynamic equilibrium) pada suatu massa yang ditinjau. Untuk memperoleh persamaan tersebut maka diambil model struktur MDOF.

(34)

Struktur bangunan gedung bertingkat 3, akan mempunyai 3 derajat kebebasan. Sering kali jumlah derajat kebebasan dihubungkan secara langsung dengan jumlahnya tingkat. Persamaan diferensial gerakan tersebut umumnya disusun berdasarkan atas goyangan struktur menurut first mode atau mode pertama seperti yang tampak pada garis putus-putus. Masalah mode ini akan dibicarakan lebih lanjut pada pembahasan mendatang. Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free body diagram. maka akan diperoleh :

0 ) ( ) ( ) ( . 1 1 . 2 . 2 1 2 2 1 . 1 1 1 1 .. 1u +k u +c u − k u −u −c u +u −F t = m (2.4.9) 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ₂ . 3 . 2 1 2 3 1 . 2 . 2 1 2 2 2 .. 2u +k u −u + c u −u −k u −u −c u −u F t = m (2.4.10) 0 ) ( ) ( ) ( 3 2 1 .. 3 1 2 3 3 .. 3u +k u −u +c u −u −F t = m (2.4.11)

Pada persamaan-persamaan tersebut diatas tampak bahwa keseimbangan dinamik suatu massa yang ditinjau ternyata dipengaruhi oleh kekakuan, redaman dan simpangan massa sebelum dan sesudahnya. Persamaan dengan sifat-sifat seperti itu umumnya disebut coupled equation karena persamaan-persamaan tersebut akan tergantung satu sama lain. Penyelesaian persamaan coupled harus dilakukan secara simultan artinya dengan melibatkan semua persamaan yang ada. Pada struktur dengan derajat kebebasan banyak, persamaan diferensial gerakannya merupakan persamaan yang dependent atau coupled antara satu dengan yang lain.

Selanjutnya dengan menyusun persamaan-persamaan di atas menurut parameter yang sama (percepatan, kecepatan dan simpangan) selanjutnya akan diperoleh : ) ( ) ) ( . ) ( 2 ₁ ₂ ₁ ₂ ₂ ₁ . 2 1 2 1 1 .. 1u c c u c u k k u k u F t m + + − + + − = (2.4.12)

(35)

Helmy Iskandasyah : Analisis Respon Spektrum Pada Bangunan Yang Menggunakan Yielding Damper Akibat GayaGempa, 2009. ) ( ) ( ) ( 3 1 2 3 2 3 3 2 . 3 2 . 3 2 1 . 2 2 .. 2u c u c c u c u u k k u k u F t m − + + − + + − = (2.4.13) ) ( 3 3 3 2 3 3 . 3 2 . 3 3 .. 3u c u c u k u k u F t m − + − + = (8.2) (2.4.14)

Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :

          =                     − − + − − + +                         − − + − − + +                         ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 3 2 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 3 .. 2 .. 1 .. 3 3 3 3 2 2 2 2 1 3 .. 2 .. 1 .. 3 2 1 t F t F t F u u u k k k k k k k k k u u u c c c c c c c c c u u u m m m

(Pers. 2.4.14 dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompleks,

[M]{U} + [C]{U} + [K]{U} = {F(t)} (2.4.15)

Yang mana [M], [C] dan [K] berturut-turut adalah mass matriks, damping matriks dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,

[M] =           3 2 1 0 0 0 0 0 0 m m m , [C] =           − − + − − + 3 3 3 3 2 2 2 2 1 0 0 c c c c c c c c c , [K] =           − − + − − + 3 3 3 3 2 2 2 2 1 0 0 k k k k k k k k k (2.4.16)

Sedangkan {Ÿ}, {Ỳ} dan {Y} dan {F(t)} masing-masing adalah vektor percepatan, vektor kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban, atau,

{ .. U } =               3 .. 2 .. 1 .. u u u , { . U } =               3 . 2 . 1 . u u u , {U} =                 3 2 1 u u u dan {F(t)} =           ) ( ) ( ) ( 3 2 1 t F t F t F (2.4.17)

(36)

Secara visual Chopra (1995) menyajikan keseimbangan antara gaya dinamik, gaya pegas, gaya redam dan gaya inersia seperti pada gambar 2.3

Displacement u Diplacement u Velocity u Acceleration u Velocity u

Acceleration u

(a) (b) (c) (d)

Gambar 2.3 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan fS, fD, dan f1 (Chopra, 1995)

2.4.3.2 Matriks redaman

Pada persamaan diferensial di atas, maka tersusunlah berturut-turut matriks massa, matriks redaman dan matriks kekakuan. Sebagaimana telah dibahas sebelumnya bahwa kekakuan kolom sudah dapat dihitung secara lebih pasti. Kekakuan kolom dapat dihitung berdasarkan model kekakuan balok yang dipakai. Dengan demikian matriks kekakuan sudah dapat disusun dengan jelas. Pada bagian lain yang sudah dibahas adalah massa struktur. Apabila model distribusi massa struktur sudah dapat dikenali dengan baik, maka massa setiap derajat kebebasan juga dapat dihitung dengan mudah. Akhirnya matriks massa juga dapat disusun secara jelas. Maka sesuatu yang perlu dibahas lebih lanjut adalah matriks redaman. Sebelum menginjak matriks redaman maka akan dibahas terlebih dahulu jenis dan sistem redaman.

(37)

2.4.3.3 Non klasikal / non proporsional damping.

Apabila matriks massa dan matriks kekakuan telah dapat disusun, maka selanjutnya tinggalah matriks redaman. Pada struktur SDOF, koefisien redaman c dapat dihitung yaitu merupakan produk antara rasio antara redaman-redaman kritik. Pada Bab III telah dibahas tentang sistem redaman yaitu redaman klasik (clasiccal damping) dan redaman non-klasik (non clasiccal damping). Damping non-klasik dapat tergantung pada frekuensi (frequency dependent). Clough dan Penzien (1993) memberikan contoh damping non-klasik.

Pada gambar 2.4.a tampak kombinasi antara struktur beton di bagian bawah misalnya dan struktur baja pada bagian atas. Jenis bahan akan mempengaruhi rasio redaman. Antara struktur beton dan struktur baja akan mempunyai perbedaan rasio redaman yang cukup signifikan. Oleh karena itu sistem struktur mempunyai rasio redaman yang berbeda. Prinsip non-klasikal damping akan berlaku pada struktur tersebut. Pada gambar 2.4.b adalah sistem struktur yang memperhitungkan efek / pengaruh tanah dalam analisis struktur. Analisis struktur seperti itu biasanya disebut analisis interaksi antara tanah dengan bangunan (soil-structure interaction analysis). Struktur tanah umumnya mempunyai kapasitas meredam energi atau mempunyai rasio redaman yang jauh lebih besar daripada bangunan atas. Disamping itu interaksi antara tanah dan fondasi sebenarnya adalah interaksi frequency dependent, artinya kualitas interaksi akan dipengaruhi oleh frekuensi beban yang bekerja.

(38)

Gambar 2.4 Struktur dengan damping non-klasik (Clough & Pensien, 1993)

Apabila interaksi antara tanah dengan struktur dipengaruhi frekuensi, maka kekakuan dan redaman interaksi juga frequency dependent. Pada kondisi tersebut sistem struktur tidak akan mempunyai standar mode shapes (akan dibahas kemudian). Dengan memperhatikan kenyataan-kenyataan seperti itu maka ada empat hal yang perlu diperhatikan. Pertama rasio redaman struktur atas yang dipengaruhi oleh level respon, kedua rasio redaman pada stuktur atas dan bawah sangat berbeda, ketiga rasio redaman struktur bawah tergantung pada frekuensi beban dan keempat sistem struktur tidak akan mempunyai standar mode shapes. Apabila analisis struktur akan memperhatikan hal itu semua, maka problemnya tidak hanya terletak pada redaman tetapi penyelesaian yang komprehensif terhadap sistem struktur. Penyelesaian soil-structure interaction pada bangunan bertingkat banyak sungguhlah tidak sederhana. Oleh karena itu memperhitungkan redaman non-klasik ini memerlukan kemampuan yang sangat khusus.

(39)

Damping dengan sistem ini relatif sederhana bila dibanding dengan non-klasikal damping. Namun demikian penggunaan sistem damping seperti ini juga terbatas, yaitu hanya dipakai pada analisis struktur yang tidak memperhatikan interaksi antara tanah dengan bangunan. Ada juga yang memakainya, namun hal itu disertai dengan anggapan-anggapan. Analisis struktur yang menggunakan damping jenis ini adalah analisis struktur elastik maupun inelastik yang mana struktur bangunan dianggap dijepit pada dasarnya.

Pada analisis dinamik yang menggunakan superposisi atas persamaan independen (uncoupled modal superposition method) maka masih dapat dipakai prinsip ekivalen damping rasio, yaitu yang dinyatakan dalam bentuk,

Cj= 2 ξj Mjωj (2.4.18)

yang mana Cj, Mj adalah suatu simbol yang berasosiasi dengan mode j, ξ dan ωj

berturut-turut adalah rasio redaman dan frekuensi sudut mode ke-j.

Untuk menyederhanakan persoalan umumnya dipakai rasio redaman yang konstan, artinya nilai rasio redaman diambil sama untuk semua mode. Apabila hal ini telah disepakati maka analisis dinamik struktur dengan modal analis tidak memerlukan matriks redaman. Cara ini mempunyai kelemahan, karena pada mode yang lebih tinggi umumnya frekuensi sudut ω dan rasio redaman ξ akan lebih besar.

Pada analisis dinamik yang melakukan integrasi secara langsung dan analisis dinamik inelastik, maka konsep ekivalen damping ratio sebagaimana tercantum pada persamaan 2.4.18 tersebut tidak dapat dipakai. Pada kedua analisis ini diperlukan suatu matriks redaman, dan oleh karenanya matriks redaman perlu disusun. Didalam analisis tersebut damping matriks disusun berdasarkan satu dan dua nilai

(40)

proporsional damping. Terdapat beberapa sistem redaman proporsional yang dapat disusun yang secara skematis ditunjukkan oleh gambar 2.5

Gambar 2.5 Jenis-Jenis Proporsional Damping

2.4.4 Getaran bebas pada struktur MDOF

2.4.4.1 Nilai karakteristik (eigenproblem)

Sebagaimana disebut di atas bahwa walaupun getaran bebas (free vibration system) pada kenyataannya jarang terjadi pada struktur MDOF, tetapi membahas jenis getaran ini akan diperoleh suatu besaran/karakteristik dari struktur yang bersangkutan yang selanjutnya akan sangat berguna untuk pembahasan-pembahasan respon struktur berikutnya. Besaran-besaran tersebut terutama adalah frekuensi sudut ω, periode getar T, frekuensi alam f dan normal modes.

Pada getaran bebas di struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF), maka matriks persamaan diferensial gerakannya adalah seperti pada persamaan 8.8), dengan nilai ruas kanan sama dengan nol atau,

[M]{

..

U } + [C]{

.

(41)

Telah dibahas sebelumnya bahwa frekuensi sudut pada struktur dengan redaman (damped frequency) ωd nilainya hampir sama dengan frekuensi sudut pada

struktur yang dianggap tanpa redaman ω. Hal ini akan diperoleh apabila nilai

damping ratio ξ relatif kecil. Apabila hal ini diadopsi untuk struktur dengan derajat

kebebasan banyak, maka untuk nilai C = 0, pers. 2.4.19 akan menjadi,

[M]{

..

U } + [K]{U} = 0 (2.4.20) Karena pers. 2.4.20 adalah persamaan diferensial pada struktur MDOF yang dianggap tidak mempunyai redaman, maka sebagaimana penyelesaian persamaan diferensial yang sejenis pada pembahasan-pembahasan di depan, maka penyelesaian persamaan tersebut diharapkan dalam fungsi harmonik menurut bentuk,

U = {Ф}isin (ωt) .

U = - ω{Ф}icos (ωt) ..

U = - ω2{Ф}isin (ωt) (2.4.21)

Yang mana {Ф}i adalah suatu koordinat masa pada mode yang ke-i. Substitusi pers.

2.4.21 ke dalam pers. 2.4.20 selanjutnya akan diperoleh, - ω2[M] {Ф}isin (ωt) + [K] sin (ωt) = 0

{[K] - ω2[M]}{Ф}i = 0 (2.4.22)

Pers.2.4.22 adalah suatu persamaan yang sangat penting dan biasa disebut persamaan eigenproblem atau karakteristik problem atau ada juga yang menyebut eigenvalue problem. Pers. 2.4.22 tersebut adalah persamaan simultan yang harus dicari penyelesaiannya. Salah satu cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan simultan tersebut adalah dengan memakai dalil Cramer (1704-1752). Gabriel Cramer

(42)

adalah salah satu ahli matematika yang berasal dari Swiss. Dalil tersebut menyatakan bahwa penyelesaian persamaan simultan yang homogen akan ada nilainya apabila determinan dari matriks yang merupakan koefisien dari vektor {Ф}i

adalah nol, sehingga,

|[K] - ω2 [M]| = 0 (2.4.23) Jumlah mode pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat dihubungkan dengan jumlah massa. Mode itu sendiri adalah jenis / pola / ragam getaran/ goyangan suatu struktur bangunan. Mode ini hanya merupakan fungsi dari properti dinamik dari struktur yang bersangkutan (dalam hal ini adalah hanya massa dan kekakuan tingkat) dan bebas dari pengaruh waktu dan frekuensi getaran. Dengan adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah massa struktur, maka bangunan yang mempunyai 5 tingkat misalnya, akan mempunyai 5 derajat kebebasan dan akan mempunyai 5 jenis ”mode” gerakan dan akan mempunyai 5 nilai frekuensi sudut yang berhubungan langsung dengan jenis / nomor mode nya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah n, maka persamaan 9.5) akan menghasilkan suatu polinomial pangkat n yang selanjutnya akan menghasilkan ω12 untuk i = 1, 2,3 ...n. Selanjutnya,

substitusi masing-masing frekuensi ω1 ke dalam persamaan 9.4 akan diperoleh

nilai-nilai Ф1, Ф2,... Фn.

2.4.4.2 Frekuensi sudut (ω) dan normal modes

Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, didalam menghitung frekuensi sudut untuk struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF), diambil suatu anggapan bahwa struktur tersebut dianggap tidak mempunyai redaman atau C = 0.

(43)

Untuk menghitung dan sekaligus menggambar normal modes maka diambil suatu model struktur seperti pada gambar berikut:

Gambar 2.6 Bangunan 2-DOF dan model matematika

Setiap struktur yang dibebani dengan beban dinamik akan mengalami goyangan. Untuk struktur derajat kebebasan banyak, maka struktur yang bersangkutan akan mempunyai banyak ragam / pola goyangan. Normal modes adalah suatu istilah yang sering dipakai pada problem dinamika struktur, dan kata tersebut diterjemahkan sebagai ragam/pola goyangan.

Kembali pada persoalan inti, suatu persamaan diferensial gerakan dapat diperoleh dengan memperhatikan free body diagram seperti pada gambar 9.1. c dan diperoleh, 0 ) ( 2 1 2 1 1 1 .. 1u +k u −k u −u = m 0 ) ( 2 1 2 2 .. 2u +k u −u = m (2.4.24) Pers 2.4.24 dapat ditulis dalam bentuk yang sederhana yaitu,

0 ) ( ₁ ₂ ₂ ₂ ₂ 1 .. 1u + k +k u −k u = m 0 2 2 1 2 2 2u − k u +k u = m (2.4.25)

(44)

Pers 2.4.25 dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu,

      =             + − +               0 0 0 ) ( 0 0 2 1 2 2 2 1 2 .. 1 .. 2 1 u u k k k k u u m m (2.4.26)

Selanjutnya persamaan Eigenproblem atas pers. 2.4.26 adalah,

      =               − − − − + 0 0 ) ( 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 θ θ ω ω m k k k m k k (2.4.27)

Dengan Ф1 adalah suatu nilai / ordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada

ragam / pola goyangan massa ke-i. Seperti dijelaskan sebelumnya bahwa pers. 2.4.27 akan ada penyelesaiannya apabila dipenuhi nilai determinan,

2 2 2 2 2 1 2 2 1 ) ( m k k k m k k ω ω − − − − + = 0 (2.4.28)

Apabila 2.4.28 tersebut diteruskan maka nilai determinannya adalah,

m1 m2ω4 – {(k1 + k2) m2 – k2m1} ω2 + (k1 + k2) k2 – k22 = 0 (2.4.29)

Struktur dianggap tidak mempunyai redaman sehingga periode getar dicari sebenarnya adalah merupakan undamped free vibration periods. Sebagaimana disampaikan pada pembahasan struktur SDOF bahwa periode getar ini akan sedikit lebih kecil dibanding dengan periode getar yang mana redaman struktur diperhitungkan (ingat ωd < ω, sehingga T < Td).

Selain daripada itu nilai-nilai mode shapes juga tidak dipengaruhi oleh waktu, artinya nilai-nilai tersebut akan tetap asal nilai-nilai massa dan kekakuan tingkatnya tidak berubah. Karena nilai kekakuan tingkat ki tidak berubah-ubah maka mode

(45)

Helmy Iskandasyah : Analisis Respon Spektrum Pada Bangunan Yang Menggunakan Yielding Damper Akibat GayaGempa, 2009. n nn n n n n n n n n n n Z Z Z Z Y Z Z Z Z Y Z Z Z Z Y Z Z Z Z Y φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3 3 2 2 1 1 2 3 33 2 23 1 31 3 2 3 32 2 22 1 21 2 1 3 13 2 12 1 11 1

shapes merupakan nilai untuk struktur yang bersifat elastik, atau hanya struktur yang elastiklah yang mempunyai nilai mode shapes. Juga tampak bahwa nilai mode shapes tidak dipengaruhi oleh frekuensi beban. Dengan demikian apabila disimpulkan bahwa nilai-nilai mode shapes adalah :

a. bebas dari pengaruh redaman, b. bebas dari pengaruh waktu

c. bebas dari pengaruh frekuensi beban dan d. hanya untuk struktur yang elastik

2.4.5 Getaran bebas pada struktur MDOF

2.4.5.1 Persamaan difrensial independen (uncoupling)

Pada kondisi standar shear building, struktur yang mempunyai n-derajat kebebasan akan mempunyai n-modes atau pola/ragam goyangan. Pada prinsip ini, masing-masing modes akan memberikan kontribusi pada simpangan horizontal tiap-tiap massa seperti ditunjukkan secara visual pada gambar 2.8 (Clough dan Penzien, 1993). Pada prinsip ini, simpangan massa ke-i atau Yi dapat diperoleh dengan

menjumlahkan pengaruh atau kontribusi tiap-tiap modes. Kontribusi mode ke-j terhadap simpangan horizontal massa ke-i tersebut dinyatakan dalam produk antara φij dengan suatu modal aplitudo Zj atau seluruh kontribusi tersebut kemudian

(46)

[ ]

                                = nn nn n n n n n Z Z Z Z Y .. .. .. .. 3 2 1 ... 3 2 1 3 ... 33 32 31 11 ... 23 22 21 1 13 12 11 φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ (2.4.40)

Pers. 2.4.40 juga dapat ditulis menjadi,

(2.4.41)

Suku pertama, kedua, ketiga dan seterusnya sampai suku ke-n pada ruas kanan pers. 2.4.40 diatas adalah kontribusi mode pertama, kedua, ketiga dan seterusnya sampai kontribusi mode ke-n. sebagai perjanjian, massa struktur MDOF diberi indeks m, dengan i = 1,2,3,… m, sedangkan mode diberi indeks shape φij adalah ordinat mode

ke-j untuk massa ke-i.

Pers. 2.4.41 tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih kompak.