TI 2001 or 1 - Pemrogr Bilangan Bulat - Kuliah 12 - 25 MAR 14

(1)

TI 2001 Penelitian Operasional I 1

Pemrograman Bilangan Bulat

(Integer Programming)

(2)

Materi Bahasan

①

_{Pengantar pemrograman bilangan bulat}

②

_{Beberapa contoh model pemrograman}

bilangan bulat

③

_{Metode pemecahan bilangan bulat}

 Metode cutting-plane

 Metode branch-and-bound (termasuk untuk pemrograman bilangan bulat biner)

(3)

①

_{Pengantar Pemrograman Bilangan}

(4)

Pemrograman Bilangan Bulat

• Pemrograman bilangan bulat (

integer

programming

) mensyaratkan bahwa beberapa

variabel keputusan harus mempunyai nilai

yang bulat (bukan pecahan)

• Pembahasan hanya ditujukan untuk masalah

pemrograman linier bilangan bulat (

integer

(5)

Jenis Pemrograman Bilangan Bulat

• Pemrograman linier bilangan bulat

murni

,

(

pure

integer linear programming, PILP

)

• Pemrograman linier bilangan bulat

campuran

,

(

mixed

integer linear programming, MILP

)

• Pemrograman linier bilangan bulat

biner

,

(6)

Fungsi Variabel Biner

• Penangangan pembatas

either-or

• Penanganan nilai lebih dari satu yang mungkin

dari suatu pembatas

• Representasi bentuk lain dari variabel bilangan

bulat

(7)

Pembatas

Either-Or

18

2

3 x

₁



x

₂



16

4

₂ 1



x



x

18 2 3x₁  x₂  M x x  2 18 3 ₁ ₂ 16 4 ₂ 1  x  x dan dan My x x  2 18 3 ₁ ₂ ) 1 ( 16 4 ₂ 1 x M y x     atau PL format: atau M x x₁  4 ₂ 16 bila y = 0

 

0,1  y bila y = 1

(8)

Fungsi dengan

N

Nilai yang Mungkin (1)



x x x_n



d d d_N

f ₁, ₂,,  ₁ atau ₂ atau atau





_

  N i i i n d y x x x f 1 2 1, ,, Perumusan PLBB: 1 1 



 N i i y

 

i N y_i  0,1 , 1,2,,

(9)

Fungsi dengan

N

Nilai yang Mungkin (2)

3 2 1 2 1 2 6 12 18 3x  x  y  y  y

maka perumusan PLBB-nya adalah :

1 3 2 1  y  y  y

 

0,1 , 1,2,3  i y_i

(10)

Representasi Biner untuk

Variabel Bilangan Bulat (1)

u

x



0 _dimana

₂

N



_u



₂

N1 Representasi biner:





N i i i

y

x

0

2  

i

N

y

_i



0 ,

1 ,



0 ,

1 ,

2 ,



,

(11)

Representasi Biner untuk

Variabel Bilangan Bulat (2)

5

1



x

Representasi biner:

5

4

2

₁ ₂ 0



y



y



y

 

0 ,

1 ,



0 ,

1 ,

2 

i

y

_i

30

3

2 x

₁



x

₂





2

4  

3

2

4

8 

30

2 y

₀



y

₁



y

₂



w

₀



w

₁



w

₂



w

₃



u untuk x₁ = 5  22  5  23 u untuk x₂ = 10  23  10  24

 

0 ,

1 ,



0 ,

1 ,

2 ,

3 

i

w

_i x₁, x₂ bil. bulat

(12)

②

_{Beberapa Contoh Model Pemrograman}

(13)

Beberapa Contoh Model-model Pemrograman

Bilangan Bulat

• Fixed charge problem

• Knapsack problem

• Set covering problem

– Set Partitioning Problem

• Traveling salesman problem

(14)

Fixed Charge Problem

(1)

Misalkan terdapat n jenis produk

p_j = harga satuan produk j

K_j = biaya tetap untuk memproduksi produk j (independen terhadap jumlah produksi, bila produk j yang dibuat > 0)

c_j = biaya variabel untuk memproduksi produk j (proporsional terhadap jumlah produksi)

b_i = kapasitas sumber i (i = 1, …m)

(15)

Fixed Charge Problem

(2)

Permasalahan :

Menentukan produk mana yang perlu diproduksi dan jumlah produksinya masing-masing agar diperoleh profit (selisih penjualan dengan biaya tetap dan variabel) total yang maksimum dengan memperhatikan kondisi:

- ketersediaan kapasitas

- jika suatu produk diputuskan untuk tidak diproduksi maka jumlah produksinya nol.

Variabel keputusan :

x_j = jumlah produk j yang diproduksi

y_j = keputusan untuk memproduksi produk j atau tidak; y_j = 1 jika produk j diproduksi

(16)

Fixed Charge Problem

(3)







     n j j j j j n j j jx K y c x p Z 1 1 Maksimasi dengan pembatas-pembatas: m i b x a _i n j j ij , 1, , 1   



 n j My x_j  _j, 1,, n j x_j  0, 1,,

 

j n y_j  0,1 , 1,...,

(17)

Knapsack Problem

(1)

Misalkan terdapat n item.

w_j = berat item j

v_j = nilai item j

W = kapasitas muatan (berat) dari kantong

Permasalahan :

Menentukan banyaknya setiap item yang perlu dimasukkan ke dalam kantong agar diperoleh nilai total yang maksimum dengan memperhatikan kondisi kapasitas muatan (berat) dari kantong Variabel keputusan :

(18)

Knapsack Problem

(2)





n j j j

x

v

Z

1 Maksimasi dengan pembatas-pembatas:

W

x

w

n j j j





1

bulat

bilangan

dan

0 

j

x

(19)

Set Covering Problem

(1)

Jalan C Jalan D Jalan B Jalan A Jalan E Jal an G Jal an K Jal an J Jal an I Jal an H 1 2 6 7 4 8 5 3

Contoh masalah set covering problem dalam menentukan lokasi pendirian pos siskamling

(20)

Set Covering Problem

(2)

Misalkan terdapat n lokasi pendirian pos dan m jalan.

c_j = biaya mendirikan pos di lokasi j a_ij = konstanta biner (0-1)

a_ij = 1 jika jalan i dilayani oleh pos yang berlokasi di j a_ij = 0 jika sebaliknya

Pertanyaan:

Menentukan lokasi pendirian pos dimana tiap jalan dapat dilayani minimal oleh satu pos sehingga diperoleh biaya total pendirian yang minimum

Variabel keputusan

x_j = variabel biner (0-1) yang menentukan keputusan untuk mendirikan pos di lokasi j (x_j = 1 jika pos dididikan di lokasi j, x_j = 0 sebaliknya)

(21)

Set covering problem

(3)





n j j j

x

c

Z

1 Minimasi dengan pembatas-pembatas:

m

i

x

a

n j j ij

1 ,

1 ,...,

1









 

j

n

x

_j



0 ,

1 ,



1 ,...,

(22)

Set Partitioning Problem





n j j j

x

c

Z

1 Minimasi dengan pembatas-pembatas:

m

i

x

a

n j j ij

1 ,

1 ,...,

1







 

j

n

x

_j



0 ,

1 ,



1 ,...,

Tiap jalan tepat dilayani oleh satu pos

(23)

Traveling Salesman Problem

(1)

1 2 3 4 5 5 6 3 4 3 8 2 6 1 7 (jarak)

(24)

Traveling Salesman Problem

(2)

Misalkan terdapat n titik.

c_ij = jarak antara titik i ke titik j (c_ij =  untuk i = j) Permasalahan

Menentukan rute salesman yang berangkat dari suatu titik dan mengunjungi setiap titik yang lain paling banyak sekali, serta kembali ke titik asal agar diperoleh jarak total yang minimum Variabel keputusan

x_ij = keputusan untuk melintasi atau tidak busur (i, j) x_ij = 1 jika busur (i, j) dilintasi

(25)

Traveling Salesman Problem

(3)



   n j n j ij ijx c Z 1 1 Minimasi dengan pembatas-pembatas: n i x n j ij 1, 1, , 1   



 n j x n i ij 1, 1, , 1   



 j i n j n i n nx u u_i  _j  _ij  1,  2,, ;  2,, ; 

 

i n j n x_ij  0,1 , 1,, ; 1, n i u_i  0, 1,..., Subtour breaking constraint

(26)

Traveling Salesman Problem

(4)

1 2 3 4 5 Subtour

Subtour breaking constraint bertujuan untuk mengeliminasi terjadinya solusi subtour

(27)

Traveling Salesman Problem

(5)

1 2 3 4 5 Tour

Suatu solusi traveling salesman problem yang layak (terbentuknya suatu tour).

(28)

Job Scheduling Problem

(1)

Misalkan

-terdapat n job dengan operasi-tunggal -terdapat satu mesin tunggal

p_j = waktu pengerjaan job j

w_j = bobot kepentingan job j

Permasalahan:

Menentukan saat awal (juga secara implisit menentukan saat akhir) pengerjaan job agar diperoleh waktu penyelesaian

tertimbang total (total weighted completion time) yang minimum dengan memperhatikan bahwa pada suatu saat mesin hanya dapat mengerjakan satu operasi (job)

(29)

Job Scheduling Problem

(2)

Variabel keputusan:

B_j = saat awal pengerjaan job j C_j = saat akhir pengerjaan job j

y_ij = keputusan apakah job i mendahului job j y_ij = 1 jika job i mendahului job j

y_ij = 0 jika sebaliknya

0

3 1 4 5 2

p₃ p₁ p₄ p₅ p₂

(30)

Job Scheduling Problem

(3)



  n j j jC w Z 1 Minimasi dengan pembatas-pembatas: n i p C_j  _j, 1,,



y



p i n j n i j M C C_j  _i  1 _ij  _i, 1,, ; 1, ,  n i C_j  0, 1,..., j i n j n i p My C C_i  _j  _ij  _j, 1,, ; 1, ; 

 

i n j n y_ij  0,1 , 1,..., , 1, n i p C B_j  _j  _j, 1,, Disjunctive constraint (Either-or constraint)

(31)

③

_{Metode Pemecahan Model}

(32)

Metode Pemecahan Model Pemrograman

Bilangan Bulat

• Cutting method

– Cutting Plane

• Search method

(33)

Algoritma

Cutting Plane

• Dikembangkan oleh R.E. Gomory

• Algoritma

– Fractional algorithm untuk masalah pemrograman bilangan bulat murni (PILP)

– Mixed algorithm untuk masalah pemrograman bilangan bulat campuran (MILP)

(34)

Ilustrasi Suatu Masalah PLBB

Maximasi : Z = 7x₁ + 9x₂

s/t : –x₁ + 3x₂  6 7x₁ + x₂  35

(35)

Daerah layak

x₂

(36)

Solusi Optimal Kontinyu

(dengan mengabaikan kondisi integralitas)

x₂ x₁



₂1



2 1 2 1, ) 4 ,3 (x x  63  Z

(37)

Ide Dasar dari

Cutting Plane

• Mengubah

convex set

dari daerah daerah

feasible (

solution space

) sehingga titik ekstrem

yang diperoleh berupa bilangan bulat

• Perubahan dibuat tanpa memotong (

slicing off)

daerah layak sehingga menghilangkan

bilangan bulat yang ada.

• Perubahan dilakukan dengan penambahan

beberapa

secondary constraint

.

(38)

Penambahan Pembatas Sekunder

x₂ x₁ secondary constraint

 

4 3 2 1, ) , (x x  55  Z

(39)

Fractional Algorithm

(1)

• Digunakan untuk memecahkan masalah

pemrograman linier bilangan bulat murni (PILP). • Mensyaratkan bahwa semua koefisien teknologi dan

konstanta ruas kanan adalah bilangan bulat.

• Pada awalnya, masalah PILP dipecahkan sebagai PL

reguler, yaitu dengan mengabaikan persyaratan bilangan bulat (= PL relaksasi).

2 13 3 1 2 1  x  x

6 x

₁



2 x

₂



39

(40)

Fractional Algorithm

(2)

Basis x₁ x_i x_m w₁ w_j w_n Solusi X₁ 1 0 0 ₁1  1j 1n 1 X_i 0 1 0 _i1  ij in i x_m 0 0 1 _m1  mj mn m 0 0 0 ₀ j c c₁ cj c_n

(41)

Fractional Algorithm

(3)

Variabel x_i (i = 1, …, m) menunjukkan variabel basis

Variabel w_j (j = 1, …, n) menunjukkan variabel non basis Misalkan persamaan ke-i dimana variabel x_i diasumsikan bernilai bilangan bulat

bulat bilangan bukan , _i 1









   n j j j i i i w x (baris sumber)

(42)

Fractional Algorithm

(4)

Misal:



_i



 



_i



f

_i

 

ij j i j i 



 f



dimana :

N = [a] adalah bilangan bulat terbesar sehingga N  a

0 < f_i < 1 0  f_ij < 1

(43)

Fractional Algorithm

(5)

Dari baris sumber diperoleh:

 

_

 



      n j j j i i i n j i ij i f w x w f 1 1  

Agar semua x_idan w_j adalah bilangan bulat,

maka ruas kanan dari persamaan harus bilangan bulat

 Akibatnya, ruas kiri harus bilangan bulat

bulat bilangan bukan , _i 1









   n j j j i i i w x

 

f } {

 

f }w ; bukanbilangan bulat { x _i n j j ij j i i i i









     1

(44)

Fractional Algorithm

(6)

Karena f_ij  0 dan w_j  0 untuk semua i dan j maka

0

1





 n j j ij

w

f

Akibatnya i n j j ij i

f

w

f







1

(45)

Fractional Algorithm

(7)

1







 n j j ij i

f

w

f

Karena f_i < 1 maka

Karena ruas kiri harus bilangan bulat, maka syarat perlu untuk memenuhi integralitas adalah:

0

1







 n j j ij i

f

w

f

(46)

Fractional Algorithm

(8)

Pertidaksamaan terakhir dapat dijadikan sebagai pembatas dalam bentuk: i n j j ij i f w f S 



 1 (fractional cut) 0 1   



 i n j j ij i f w S f

(47)

Fractional Algorithm

(9)

Basis x₁ x_i x_m w₁ w_j w_n S_i Solusi x₁ 1 0 0 ₁1  1j 1n 0 1 x_i 0 1 0 _i1  ij in 0 i x_m 0 0 1 _m1  mj mn 0 m S_i 0 0 0 -f_i1 _-f ij -fim 1 -fi 0 0 0 0 ₀ j c c₁ cj c_n

(48)

Fractional Algorithm

(10)

• Dengan penambahan

fractional cut

, tabel

terakhir menjadi tidak layak walaupun optimal

sehingga metode

dual simplex

diterapkan

untuk meniadakan ketidaklayakan.

• Algoritma berhenti jika solusi optimal

bilangan bulat diperoleh.

(49)

Fractional Algorithm

(11)

i n j j ij

w

f





1 k n j j kj

w

f





1

Cut (1) dikatakan lebih kuat dari cut (2) jika

f_i  f_k dan f_ij  f_kj untuk semua j dengan strict inequality

terpenuhi paling sedikit satu Kekuatan fractional cut

………..(1) ………..(2)

(50)

Fractional Algorithm

(12)

Aturan :

 

i i

f

max























 n j ij i i

f

1

max

(51)

Contoh Penerapan

Fractional Algorithm

(1)

Maximasi Z = 7x₁ + 9x₂

s/t :

–x₁ + 3x₂  6 7x₁ + x₂  35

(52)

Contoh Penerapan

Fractional Algorithm

(2)

Basis x₁ x₂ x₃ x₄ Solusi

x₂ 0 1 7/22 1/22 3 1/₂

x₁ 1 0 -1/22 3/22 4 1/₂

c_j – z_j 0 0 -28/11 -15/11 Z = 63 Tabel optimal kontinyu

(53)

Contoh Penerapan

Fractional Algorithm

(3)

2 7 22 1 22 7 4 3 2  x  x  x                         2 1 3 22 1 0 22 7 0 ₃ ₄ 2 x x x 2 1 22 1 22 7 4 3 1  x  x   S Fractional cut:

(54)

Contoh Penerapan

Fractional Algorithm

(4)

Basis x₁ x₂ x₃ x₄ S₁ Solusi x₂ 0 1 7/22 1/22 0 7/2 x₁ 1 0 -1/22 3/22 0 9/2 S₁ 0 0 -7/22 -1/22 1 -1/2 c_j – z_j 0 0 -28/11 -15/11 0 Tabel setelah penambahan fractional cut

(55)

Contoh Penerapan

Fractional Algorithm

(5)

Basis x₁ x₂ x₃ x₄ S₁ Solusi

x₂ 0 1 0 0 1 3

x₁ 1 0 0 1/7 -1/7 4 4/₇

x₃ 0 0 1 1/7 -22/7 1 4/₇

c_j – z_j 0 0 0 -1 -8 Z = 59 Tabel yang diperoleh dengan dual simplex:

(56)

Contoh Penerapan

Fractional Algorithm

(6)

7 4 4 7 1 7 1 1 4 1  x  S  x              _ _          7 4 4 7 6 1 7 1 0 ₄ ₁ 1 x S x 7 4 7 6 7 1 1 4 2  x  S   S Fractional cut:

(57)

Contoh Penerapan

Fractional Algorithm

(7)

Basis x₁ x₂ x₃ x₄ S₁ S₂ Solusi x₂ 0 1 0 0 1 0 3 x₁ 1 0 0 1/7 -1/7 0 4 4_/ 7 x₃ 0 0 1 1/7 -22/7 0 1 4/₇ S₂ 0 0 0 -1/7 -6/7 1 -4/7 c_j – z_j 0 0 0 -1 -8 0

(58)

Contoh Penerapan

Fractional Algorithm

(8)

Basis x₁ x₂ x₃ x₄ S₁ S₂ Solusi x₂ 0 1 0 0 1 0 3 x₁ 1 0 0 0 -1 1 4 x₃ 0 0 1 0 -4 1 1 x₄ 0 0 0 1 6 -7 4 c_j – z_j 0 0 0 -2 -7 0 Z = 55

Solusi bilangan bulat optimal, x₁ = 4, x₂ = 3; Z = 55 Tabel yang diperoleh dengan dual simplex:

(59)

TI 2001 Penelitian Operasional I 59 2 1 22 1 22 7 4 3 1  x  x   S

Ilustrasi

Fractional Cut

secara Grafis (1)









2 1 7 35 22 1 3 6 22 7 2 1 2 1 1   x  x   x  x   S 3 2 1  x  S 3 2  x Fractional cut 1:

(60)

Ilustrasi

Fractional Cut

secara Grafis (2)

x₂ x₁ 3 2  x Dg.fractional cut 1, solusi optimal integer belum diperoleh

(61)

TI 2001 Penelitian Operasional I 61 7 4 7 6 7 1 1 4 2  x  S   S

Ilustrasi

Fractional Cut

secara Grafis (3)



 



7 4 3 7 6 7 35 7 1 2 2 1 2   x  x   x   S 7 2 1 2  x  x  S 7 2 1  x  x Fractional cut 2:

(62)

Ilustrasi

Fractional Cut

secara Grafis (4)

x₂ x₁ 3 2  x 7 2 1  x  x Dg.ditambah fractional cut 2, diperoleh solusi optimal integer

(63)

Mixed Algorithm

(1)

• Digunakan untuk memecahkan masalah

pemrograman linier bilangan bulat campuran

(

MILP

)

• Pada awalnya, masalah MILP dipecahkan sebagai PL

reguler, yaitu dengan mengabaikan kondisi integralitas.

(64)

Mixed Algorithm

(3)

s/t :

–x₁ + 3x₂  6 7x₁ + x₂  35

x₁ ≥ 0 dan bilangan bulat

(65)

Mixed Algorithm

(3)



   n j j j k k k w x 1  

Misal x_k adalah variabel bilangan bulat dari masalah MILP.

Persamaan-x_k dalam solusi kontinyu optimal:

 

_

    n j j j k k k k f w x 1  

 

_

    n j j j k k k k f w x 1   (baris sumber)

(66)

Mixed Algorithm

(4)

Untuk x_k adalah bilangan bulat, maka

 

atau



 



1 

_k _k _k k

x



harus dipenuhi k n j k j k

w



f



1



Dari baris sumber :

1







 k n j k j k

w

f



(1) (2) kondisi 1) :

 

_

    n j j j k k k k f w x 1     



 n j j j k k α w f 1 0 ekivalen dengan :

 

_k k

β

x



2) :

x

_k



 

β

_k



₁

ekivalen dengan :   



 n j j j k k α w f 1 1

(67)

Mixed Algorithm

(5)

Misal : J+ = himpunan subscripts j untuk



_kj  0 J- = himpunan subscripts j untuk



_kj < 0 Dari (1) diperoleh : _k n J j k j k

w



f



 



k n J j k j k k k

_w

_f

f

_





_ 



1

(3) (4)

1







 k n j k j k

w

f







 1   k n J j k j kw f α

(68)

Mixed Algorithm

(6)

Karena (1) dan (2) tidak dapat terjadi secara simultan, maka : k n J j k j k k k n J j k j k α w f f f w α           



  _  1 k n J j k j k

w



f



 



_{(3) dan} k n J j k j k k k

f

w

f

_





_ 



1

(4)

(69)

Mixed Algorithm

(6)

k n J j k j k k k n J j k j k k

w

f

w

S





























  _ 



1

(mixed cut) k k n J j k j k k k n J j k j k α w S f f f w α            



  _  1

(70)

Contoh Penerapan

Mixed Algorithm

(1)

Maksimasi : Z = 7x₁ + 9x₂

dengan pembatas-pembatas: –x₁ + 3x₂  6

7x₁ + x₂  35

x₁ ≥ 0 dan bilangan bulat

(71)

Contoh Penerapan

Mixed Algorithm

(2)

Basis x₁ x₂ x₃ x₄ Solusi

x₂ 0 1 7/22 1/22 7/2

x₁ 1 0 -1/22 3/22 9/2

c_j – z_j 0 0 -28/11 -15/11 Z = 63 Tabel optimal kontinyu:

(72)

Contoh Penerapan

Mixed Algorithm

(3)

          2 1 4 22 3 22 1 4 3 1 x x x 2 1 22 1 1 22 3 3 2 1 2 1 4 1                        x x S 2 1 22 3 22 1 4 3 1  x  x   S Mixed cut:

Baris sumber  persamaan-x₁

 

₂1 1 , 4 , 3      f J J

(73)

Contoh Penerapan

Mixed Algorithm

(4)

Basis x₁ x₂ x₃ x₄ S₁ Solusi

x₂ 0 1 7/22 1/22 0 7/2

x₁ 1 0 -1/22 3/22 0 9/2

S₁ 0 0 -1/22 -3/22 1 -1/2

c_j – z_j 0 0 -28/11 -15/11 0 Tabel setelah penambahan mixed cut

(74)

Contoh Penerapan

Mixed Algorithm

(5)

Basis x₁ x₂ x₃ x₄ S₁ Solusi x₂ 0 1 10/33 0 -1/3 10/3 x₁ 1 0 -1/11 0 1 4 x₄ 0 0 1/3 1 -22/3 11/3 c_j – z_j 0 0 -23/11 -10 0 Z= 58 Tabel yang diperoleh dengan dual simplex:

(75)

Algoritma

Branch-and-Bound

(1)

• Metode yang paling banyak digunakan dalam

praktek untuk memecahkan masalah

pemrograman bilangan bulat baik murni

maupun campuran.

• Digunakan sebagian besar

software

komersial

• Pada dasarnya merupakan prosedur enumerasi

yang efisien untuk memeriksa semua solusi

layak yang mungkin.

(76)

Algoritma

Branch-and-Bound

(2)

• Algoritma BB untuk PLBB (Murni &

Campuran)

(77)

Algoritma BB untuk PLBB (1)

Misalkan diberikan suatu masalah pemrograman bilangan bulat sebagai berikut:

Maksimasi Z = cx

dengan pembatas

Ax = b x  0

x_j bilangan bulat untuk j  I

(78)

Algoritma BB untuk PLBB (2)

• Langkah pertama adalah memecahkan masalah PLBB sebagai PL dengan mengabaikan pembatas bilangan bulat (langkah ini disebut langkah bounding)

• Misalkan masalah PL ini dinyatakan sebagai PL-1 dan mempunyai nilai optimal dg. nilai fungsi tujuan

Z₁. PL-1 Maksimasi Z = cx dengan pembatas Ax = b x  0

(79)

Algoritma BB untuk PLBB (3)

• Asumsikan bahwa solusi optimal dari PL-1 mengandung beberapa variabel yg.seharusnya

bernilai bulat tetapi nilai optimum kontinu saat ini adalah pecahan.

• Oleh karena solusi optimal bilangan bulat untuk

PLBB belum diperoleh, Z₁ menjadi batas atas (upper bound) dari nilai maksimum Z untuk PLBB.

• Langkah berikutnya adalah membagi daerah layak dari PL-1 dengan mencabangkan (branching) salah satu variabel bilangan bulat yang nilainya saat ini pecahan

(80)

Algoritma BB untuk PLBB (4)

• Misalkan variabel

x

_j

dipilih untuk dicabangkan

dengan nilai pecahan



_j

dalam PL-1.

• Misalkan dibuat dua masalah pemrograman

linier baru, PL-2 dan PL-3 dengan

memasukkan masing-masing pembatas baru

(81)

Algoritma BB untuk PLBB (5)

Maksimasi Z = cx dengan pembatas Ax = b x_j  [



] x  0 Maksimasi Z = cx dengan pembatas Ax = b x_j  [



]+1 x  0 PL-2 _PL-3

(82)

Algoritma BB untuk PLBB (6)

PL-1 PL-2 PL-3 Solusi pecahan Z₁ Solusi pecahan Z₂ ] [ _j j x   x_j ≥[β_j]+1 Solusi pecahan Z₃

(83)

Algoritma BB untuk PLBB (7)

• Memecahkan (

bounding

) PL-2 dan PL-3

• Asumsikan solusi PL-2 dan PL-3 masih

pecahan

• Langkah berikutnya adalah memilih

node

(84)

Algoritma BB untuk PLBB (8)

• Setelah masalah PL sdh dipilih untuk dicabangkan lebih lanjut, langkah selanjutnya adalah

– memilih variabel bilangan bulat dengan nilai pecahan yang akan dicabangkan untuk membentuk 2 masalah PL baru (proses branching)

– memecahkan masalah PL yang baru (proses bounding)

• Jika solusi bilangan bulat telah diperoleh dari suatu masalah PL maka nilai Z-nya menjadi batas bawah

(lower bound) dari nilai maksimum Z untuk masalah PLBB.

(85)

Algoritma BB untuk PLBB (9)

• Proses branching dan bounding berlanjut hingga semua node dalam kondisi fathomed.

• Fathoming suatu node (masalah PL):

– Solusi optimal PL merupakan bilangan bulat – Masalah PL adalah tak layak

– Nilai optimal Z dari masalah PL tidak lebih baik daripada

• batas bawah (lower bound) saat ini untuk masalah maksimisasi • batas atas (upper bound) saat ini untuk masalah minimisasi

(86)

Algoritma BB untuk PLBB (10)

PL-1 PL-2 PL-3 Solusi pecahan Z₀ = Z₁ Solusi pecahan Z₂ ] [ _j j x   x_j ≥[β_j]+1 Solusi pecahan Z₃ PL-4 PL-5 Tidak layak Solusi bulat Z₄ ] [ _i i x   xi ≥[βi]+1

(87)

Algoritma BB untuk PLBB (11)

PL-1 PL-2 PL-4 PL-5 PL-3 PL-6 PL-7 Solusi pecahan Z₀ = Z₁ Solusi pecahan Z₂ Tidak layak Solusi bulat Z₄ Solusi pecahan Z₆ < Z₄ ] [ _j j x   ] [ _i i x   x_k [_k] Solusi pecahan Z₃ Solusi pecahan Z₇>Z₄ 1 β + ≥_[ _j_] j x 1 β ≥[ _k]+ k x 1 β ≥_[ _i_]₊ i x

(88)

Algoritma BB untuk PLBB (12)

• Esensi dari algoritma BB

– Bounding

– Branching

(89)

Contoh Penerapan Algoritma BB (1)

s/t :

5x₁ + 7x₂  35 4x₁ + 9x₂  36

(90)

PL1

Maximasi Z = 2x₁ + 3x₂ dengan pembatas-pembatas: 5x₁ + 7x₂  35 4x₁ + 9x₂  36 x₁, x₂ ≥ 0 Feasible Solution Area 7 9 4 5 X1 X2 0 6 12 1 17 2 17 8 17 3 , 2 14 x x Z   

(91)

Solusi Grafis (Kontinyu)

7 9 4 5 X1 X2 0

(92)

Contoh Penerapan Algoritma BB (2)

PL-1 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3    Z x x

(93)

PL2

Maximasi Z = 2x₁ + 3x₂ dengan pembatas-pembatas: 5x₁ + 7x₂  35 4x₁ + 9x₂  36 x₂< 2 x₁, x₂ ≥ 0 Feasible Solution Area 7 9 4 5 X1 X2 0 1 1 5 2 2 5 4 , 2 14 x x Z   

(94)

PL3

Maximasi Z = 2x₁ + 3x₂ dengan pembatas-pembatas: 5x₁ + 7x₂  35 4x₁ + 9x₂  36 x₂> 3 x₁, x₂ ≥ 0 Feasible Solution Area 7 9 4 5 X1 X2 0 1 1 4 2 1 2 2 , 3 13 x x Z   

(95)

Contoh Penerapan Algoritma BB (3)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3    Z x x 2 2  x x2  3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2    Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4    Z x x

(96)

PL4

Maximasi Z = 2x₁ + 3x₂ dengan pembatas-pembatas: 5x₁ + 7x₂  35 4x₁ + 9x₂  36 x₂< 2 x₁ < 4 x₁, x₂ ≥ 0 Feasible Solution Area 7 9 4 5 X1 X2 0 1 4, 2 2 14 x x Z   

(97)

PL5

FSA 7 9 4 5 X1 X2 0 3 1 2 7 2 7 5, 1 14 x x Z    Maximasi Z = 2x₁ + 3x₂ dengan pembatas-pembatas: 5x₁ + 7x₂  35 4x₁ + 9x₂  36 x₂< 2 x₁ > 5 x₁, x₂ ≥ 0

(98)

Contoh Penerapan Algoritma BB (4)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3    Z x x 2 2  x x2  3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2    Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4    Z x x PL-4 PL-5 4 1  x x₁  5 14 2 , 4 ₂ 1    Z x x 7 2 7 3 2 1 14 1 , 5    Z x x

(99)

Contoh Penerapan Algoritma BB (5)

(100)

Contoh Penerapan Algoritma BB (6)

(101)

Contoh Penerapan Algoritma BB (7)

Fathomed karena perbedaan nilai Z dengan lower bound < 1 dan semua koefisien fungsi tujuan adalah bulat

Solusi bilangan bulat optimal

x₁ = 4, x₂ = 2

(102)

Solusi Optimal

7 9 4 5 X1 X2 0 1 4, 2 2 14 x x Z   

(103)

Contoh Penerapan Algoritma BB (8)

PL-1 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3    Z x x Jika pencabang- annya dipilih dari PL-3 (bukan dari PL-2)

(104)

Contoh Penerapan Algoritma BB (9)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3    Z x x 2 2  x x2  3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2    Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4    Z x x

(105)

Contoh Penerapan Algoritma BB (10)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3    Z x x 2 2  x x2  3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2    Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4    Z x x PL-5 PL-4 2 1  x x₁  3 Tidak layak 3 1 9 1 2 1 13 3 , 2    Z x x

(106)

Contoh Penerapan Algoritma BB (11)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3    Z x x 2 2  x x2  3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2    Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4    Z x x PL-5 PL-4 2 1  x x₁  3 Tidak layak 3 1 9 1 2 1 13 3 , 2    Z x x

(107)

Contoh Penerapan Algoritma BB (12)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3    Z x x 2 2  x x2  3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2    Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4    Z x x PL-5 PL-4 2 1  x x₁  3 Tidak layak 3 1 9 1 2 1 13 3 , 2    Z x x PL-6 PL-7 13 3 , 2 ₂ 1    Z x x 3 2  x x₂  4 12 4 , 0 ₂ 1    Z x x

(108)

Contoh Penerapan Algoritma BB (13)

(109)

Contoh Penerapan Algoritma BB (14)

(110)

Contoh Penerapan Algoritma BB (15)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3    Z x x 2 2  x x2  3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2    Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4    Z x x PL-5 PL-4 2 1  x x₁  3 Tidak layak 3 1 9 1 2 1 13 3 , 2    Z x x PL-6 PL-7 13 3 , 2 ₂ 1    Z x x 3 2  x x₂  4 12 4 , 0 ₂ 1    Z x x PL-8 PL-9 4 1  x x₁  5 14 2 , 4 ₂ 1    Z x x 7 2 7 3 2 1 14 1 , 5    Z x x

(111)

Contoh Penerapan Algoritma BB (16)

(112)

Contoh Penerapan Algoritma BB (17)

Fathomed karena perbedaan nilai Z dengan lower bound < 1 dan semua koefisien fungsi tujuan adalah bulat

(113)

Aturan Pencabangan (1)

• Aturan-aturan pencabangan variabel adalah sebagai berikut:

– Pilih variabel bilangan bulat yang mempunyai nilai pecahan terbesar dalam solusi PL.

– Pilih variabel bilangan bulat yang mempunyai prioritas paling tinggi.

• Menunjukkan keputusan yang terpenting dalam model • Mempunyai koefisien profit/biaya paling besar

• Mempunyai nilai yang kritis yang didasarkan pengalaman pengguna

– Aturan pemilihan bebas, misal, pilih variabel bilangan bulat dengan indeks paling kecil

(114)

Aturan Pencabangan (2)

• Aturan penentuan masalah PL yang hendak

dicabangkan:

– Nilai optimal dari fungsi tujuan

– LIFO (Last-In First-Out), yaitu masalah PL yang dipecahkan paling belakangan.

(115)

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (1)

Maximasi Z = 9x₁ + 5x₂+ 6x₃ + 4x₄ dengan pembatas-pembatas: 6x₁ + 3x₂+ 5x3 + 2x4  10 x₃ + x₄  1 -x1 + x3 +  0 -x2 + x4  0 x₁, x₂, x₃, x₄ = {0, 1}

(116)

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (2)

PL-1 ) ; , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ Z



2



1 6 5 _,₁_,₀_,₁_;₁₆

(117)

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (3)

PL-1 PL-2 PL-3 ) ; , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ Z



2



1 6 5 _,₁_,₀_,₁_;₁₆ 0 1  x 1 1  x



0,1,0,1;9





1, ₅4 ,0, ₅4;16 1₅



(118)

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (4)

PL-1 PL-2 PL-3 ) ; , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ Z



2



1 6 5 _,₁_,₀_,₁_;₁₆ 0 1  x 1 1  x



0,1,0,1;9





1, ₅4 ,0, ₅4;16 1₅



(119)

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (5)

PL-1 PL-2 PL-3 ) ; , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ Z



2



1 6 5 _,₁_,₀_,₁_;₁₆ 0 1  x 1 1  x



0,1,0,1;9





1, ₅4 ,0, ₅4;16 1₅



PL-4 _PL-5 0 2  x x₂ 1



₅4



5 4 _,₀_;₁₃ , 0 , 1





16 ; , 0 , 1 , 1 ₂1

(120)

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (6)

PL-1 PL-2 PL-3 ) ; , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ Z



2



1 6 5 _,₁_,₀_,₁_;₁₆ 0 1  x 1 1  x



0,1,0,1;9





1, ₅4 ,0, ₅4;16 1₅



PL-4 _PL-5 0 2  x x₂ 1



₅4



5 4 _,₀_;₁₃ , 0 , 1





16 ; , 0 , 1 , 1 ₂1 PL-6 _PL-7 0 3  x x₃ 1



1,1,0, 1₂;16



Tidak layak

(121)

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (7)

PL-1 PL-2 PL-3 ) ; , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ Z



2



1 6 5 _,₁_,₀_,₁_;₁₆ 0 1  x 1 1  x



0,1,0,1;9





1, ₅4 ,0, ₅4;16 1₅



PL-4 _PL-5 0 2  x x₂ 1



₅4



5 4 _,₀_;₁₃ , 0 , 1





16 ; , 0 , 1 , 1 ₂1 PL-6 _PL-7 0 3  x x₃ 1



1,1,0, 1₂;16



Tidak layak PL-8 _PL-9



1,1,0,0;14



0 4  x x₄ 1 Tidak layak

(122)

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (8)

PL-1 PL-2 PL-3 ) ; , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ Z



2



1 6 5 _,₁_,₀_,₁_;₁₆ 0 1  x 1 1  x



0,1,0,1;9





1, ₅4 ,0, ₅4;16 1₅



PL-4 _PL-5 0 2  x x₂ 1



₅4



5 4 _,₀_;₁₃ , 0 , 1





16 ; , 0 , 1 , 1 ₂1 PL-6 _PL-7 0 3  x x₃ 1



1,1,0, 1₂;16





1,1,0,0;14



(123)

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (9)

PL-1 PL-2 PL-3 ) ; , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ Z



2



1 6 5 _,₁_,₀_,₁_;₁₆ 0 1  x 1 1  x



0,1,0,1;9





1, ₅4 ,0, ₅4;16 1₅



PL-4 _PL-5 0 2  x x₂ 1



₅4



5 4 _,₀_;₁₃ , 0 , 1





16 ; , 0 , 1 , 1 ₂1 PL-6 _PL-7 0 3  x x₃ 1



1,1,0, 1₂;16





1,1,0,0;14

