T1 662011001 Full text

(1)

ESTIMASI BERBASIS MCMC UNTUK

RETURNS VOLATILITY

DI PASAR VALAS INDONESIA MELALUI MODEL ARCH

BERDISTRIBUSI NORMAL DAN

STUDENT-T

Oleh,

IMAM MALIK SAFRUDIN

NIM : 662011001

TUGAS AKHIR

Diajukan kepada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika

guna memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

v

MOTTO

Esensi hidup adalah shalat dan bertemu dengan Allah SWT.

(8)

vi

PERSEMBAHAN

Dipersembahkan untuk

(9)

vii

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim

,

Assalamualaikum wa Rahmatullah wa Barakatuh

,

Penulis mengucapkan rasa syukur kehadirat Allah SWT atas limpahan segala Rahmat

dan HidayahNya, sholawat serta salam semoga tercurahkan kepada junjungan Nabi besar

Muhammad SAW. Sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir (skripsi) sebagai syarat

menyelesaikan Studi Strata 1 (S1) di Program Studi Matematika pada Fakultas Sains dan

Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana.

Skripsi ini terdiri dari dua

makalah. Makalah pertama berjudul “

Estimasi Berbasis

MCMC untuk

Returns Volatility

di Pasar Valas Indonesia melalui Model ARCH

” dan

makalah kedua berjudul “

Estimasi MCMC untuk

Return Volatility

dalam Model ARCH

dengan

Return Error

berdistribusi

Student-t

” yang telah dipublikasikan dalam Seminar

Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema “Peran Matematika &

Pendidikan Matematika Abad 21” pada tanggal 9 Mei 2015

yang diselenggarakan oleh

Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Muhammadiyah Purworejo.

Penulisan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan dari berbagai pihak yang telah

memberikan dorongan kepada penulis baik itu berupa materil maupun spiritual. Untuk itu

dalam kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada:

1.

Dr. Suryasatriya Trihandaru, M.Sc.nat. selaku Dekan Fakultas Sains dan Matematika.

2.

Dr. Bambang Susanto, MS selaku Ketua Program Studi Matematika.

3.

Dra. Lilik Linawati, M.Kom. selaku Wali Studi yang selalu memberikan banyak

saran dan nasihat kepada penulis.

4.

Didit Budi Nugroho, D.Sc. selaku pembimbing utama dan Dr. Adi Setiawan, M.Sc.

selaku pembimbing pendamping yang dengan sabar membimbing, mengarahkan dan

memberikan motivasi kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini sehingga

laporan skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik.

5.

Dosen pengajar di Program Studi Matematika, Dr. Bambang Susanto, MS, Dra. Lilik

Linawati, M.Kom., Dr. Adi Setiawan, M.Sc, Tundjung Mahatma, M.Kom, Didit Budi

Nugroho, D.Sc., Dr. Hanna Arini Parhusip, M.Sc., Leopoldus Ricky Sasongko, M.Si

yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama studi di FSM

UKSW serta Pak Edy sebagai Laboran yang telah memberikan bantuan kepada

(10)

viii

6.

Staf TU FSM: Mbak Eny, Bu Ketut dan Mas Basuki.

7.

Family atas do’a yang telah diberikan.

8.

Teman-teman BSM (Basecamp Samping Masjid): Aziz, Azhar dan Icol.

9.

Teman seperjuangan Progdi Matematika 2011: Dewi, Daivi, Purwoto, Dwi, Titis,

Priska, dan Kevin.

Semoga Allah SWT memberikan balasan atas segala amal baik yang telah membantu penulis

dalam menyelesaikan skripsi.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh sebab itu

penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk penulis. Akhirnya

semoga Allah SWT meridhoi amal kita semua. Amin.

Salatiga, 17 Juni 2015

(11)

ix

DAFTAR ISI

Lembar Pengesahan ... ii

Lembar Pernyataan Keaslian ... iii

Lembar Pernyataan Bebas

Royalty

dan Publikasi ...iv

Motto ... v

Persembahan ...vi

Kata Pengantar ... vii

Daftar Isi ...ix

Daftar Lampiran ... x

Abstrak ...xi

Pendahuluan ... 1

Makalah I: Estimasi Berbasis MCMC untuk

Returns Volatility

di Pasar Valas

Indonesia melalui Model ARCH

Makalah II: Estimasi MCMC untuk

Return Volatility

dalam Model ARCH dengan

Return Error

Berdistribusi

Student-t

(12)

x

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1: Skema MCMC untuk model ARCH berdistribusi

Student-t

Lampiran 2: Kode Matlab

(13)

xi

ABSTRAK

Studi ini membangun suatu algoritma Markov chain Monte Carlo (MCMC) untuk

mengestimasi

returns volatility

dalam model ARCH dengan

returns error

berdistribusi

normal dan

student-t

. Metode Metropolis

–

Hastings digunakan dalam MCMC untuk

memperbarui nilai-nilai parameter model. Model dan algoritma diaplikasikan menggunakan

data harian kurs beli yen Jepang, dolar Amerika, dan euro Eropa terhadap rupiah Indonesia

pada periode 5 Januari 2009 sampai dengan 31 Desember 2014 yang diambil dari laman Bank

Indonesia. Studi empiris menunjukkan bahwa metode yang dibangun sangat efisien dan

memberikan hasil estimasi yang serupa dengan hasil Matlab untuk kasus model berdistribusi

normal. Sementara itu untuk kasus model dengan

returns error

berdistribusi

student-t

ditunjukkan adanya bukti sangat kuat untuk penggunaan distribusi

student-t

pada ketiga data

di atas.

(14)

1

PENDAHULUAN

1.

Latar Belakang

Menurut Hady (seperti yang dirujuk dalam Nurjanah (2005)), pasar valuta asing dapat

diartikan sebagai suatu wadah atau sistem dimana perorangan, perusahaan, dan bank dapat

melakukan transaksi keuangan internasional dengan jalan melakukan pembelian atau

permintaan, penjualan dan penawaran. Dalam referensi keuangan ekonomi internasional,

valuta asing (

foreign exchange

atau disingkat

forex

) adalah mata uang asing atau alat

pembayaran lainnya yang didasarkan pada kurs resmi yang telah ditetapkan oleh bank sentral

(Khalwaty dalam Nurjanah (2005)). Sementara itu harga/nilai dimana mata uang suatu negara

dipertukarkan dengan mata uang negara lain disebut nilai tukar (kurs).

Pada umumnya, para pelaku ekonomi di pasar valuta asing dan pasar modal memerlukan

pengukuran

volatiy

harga aset (Aklimawati dan Wahyudi, 2013). Taksiran

volatility

diperlukan dalam strategi keuangan, misalnya untuk penghitungan harga opsi (kontrak jual

beli aset). Secara khusus,

volatility

adalah akar kuadrat dari variansi (besaran yang

menunjukkan besarnya penyebaran data pada suatu kelompok data).

Kebanyakan studi keuangan melibatkan

return

(perubahan logaritma harga aset)

daripada harga aset. Campbell dkk. (seperti dirujuk dalam Tsay (2010)), memberikan dua

alasan mengapa menggunakan

return

. Salah satunya yaitu runtun

return

lebih mudah untuk

ditangani dari pada runtun harga, karena

return

memiliki sifat statistik yang lebih menarik.

Pemodelan

volatility

pada

return

aset diawali dengan klas

autoregressive conditional heteroscedasticity

(ARCH) yang diperkenalkan oleh Engle (1982). Nastiti (2012) dan

Aklimawati

–

Wahyudi (2013) mendiskusikan

volatility

yang mengikuti model ARCH

berturut-turut pada saham dan komoditas kakao yang mengasumsikan

returns error

berdistribusi normal dan model diselesaikan dengan metode pengali Lagrange. Dalam studi

ini akan difokuskan pada model

volatility

menggunakan ARCH model dengan

mengasumsikan bahwa

returns error

berdistribusi normal dan

student-t

. Selanjutnya model

akan diselesaikan dengan menggunakan metode

Markov chain Monte Carlo

(MCMC). Carlin

dan Chib (1995) menjelaskan bahwa metode MCMC dapat memudahkan pemodelan yang

cukup kompleks dalam analisis Bayes.

Studi empiris terhadap

volatility

dilakukan dengan menggunakan data kurs beli

Euro

(EUR),

Japanese Yen

(JPY), dan

US Dollar

(USD) terhadap rupiah Indonesia (IDR) atas

periode 5 Januari 2009 sampai dengan 31 Desember 2014 yang diambil dari laman Bank

(15)

2

2.

Rumusan Masalah

Bagaimana menganalisis

returns volatility

dalam pasar valuta asing Indonesia dengan

menggunakan model ARCH.

3.

Tujuan

Untuk mencapai analisis di atas, studi ini secara khusus bertujuan untuk:

(i)

Menyajikan model ARCH untuk

volatility

dengan

asset returns error

berdistribusi

normal dan

student-t

.

(ii)

Menyediakan algoritma MCMC untuk mengestimasi

volatility

dalam model ARCH.

(iii)

Mendapatkan analisis

volatility

untuk kurs beli valuta asing terhadap IDR menggunakan

data nyata.

4.

Batasan Masalah

Studi ini mempunyai batasan-batasan seperti berikut:

(i)

Analisis difokuskan pada data kurs beli

yen Jepang (JPY),

Dolar Amerika

(USD) dan

euro Eropa (EUR), dan terhadap rupiah periode 5 Januari 2009

–

31 Desember 2014 yang

diambil dari arsip Bank Indonesia (BI).

(ii)

Penghitungan menggunakan alat bantu Matlab R2012a.

5.

Hasil Penelitian

Hasil penelitian ini dituangkan dalam dua makalah yang telah dipublikasikan dalam

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema “Peran Matematika

& Pendidikan Matematika Abad 21” pada tanggal 9 Mei 2015 yang

diselenggarakan oleh

Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Muhammadiyah Purworejo, dan termuat

dalam prosiding ber-ISSN 2459-962X Vol. 1 No. 1 2015. Kedua makalah tersebut berjudul:

1.

“

Estimasi Berbasis MCMC untuk

Returns Volatility

di Pasar Valas Indonesia melalui

Model ARCH

”,

halaman 29



33.

2.

“

Estimasi MCMC untuk

Return Volatility

dalam Model ARCH dengan

Return Error

Berdistribusi

Student-t

”

, halaman 34



39.

6.

Kesimpulan

Berdasarkan bahasan dari kedua makalah dapat disimpulkan sebagai berikut:

1.

Algoritma MCMC yang dibangun menghasikan simulasi yang sangat efisien.

2.

Hasil empiris menunjukkan bukti yang sangat kuat untuk penggunaan distribusi

(16)

3

7.

Hasil Review

Paper 1: Di halaman kedua kolom 1 baris ke-26

tertulis “=”, seharusnya

“

∝”.

tertulis “

”, seharusnya “ ”.

Paper 1 dan 2:

Kata “

return

” seharusnya “

returns

”.

tertulis “

� = �, � , … , �_� ”

,

seharusnya “

� =

� , � , … , �� ”.

Paper 2: halaman kedua kolom 2 baris ke-20

tertulis “=”, seharusnya “

∝”.

Paper 2: Ditambahkan daftar pustaka:

Safrudin, I., M., Nugroho, D., B., dan Setiawan, A. (2015).

Estimasi Berbasis MCMC untuk Returns Volatility di Pasar Valas Indonesia melalui Model ARCH

,

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMP, 1(1),

29



33.

Notasi:

�

: Menyatakan distribusi normal

�

[ , ]

: Menyatakan distribusi normal terpotong pada [

a

,

b

]

�

: Menyatakan distribusi

inversegamma

: Menyatakan distribusi

gamma

Daftar Pustaka

Aklimawati, L. dan Wahyudi, T. 2013. Estimasi Volatilitas Return Harga Kakao

Menggunakan Model ARCH dan GARCH,

Pelita Perkebunan

29 (2), pp. 142



158.

Carlin, B. P., dan Chib, S. (1995). Bayesian model choice via Markov chain Monte Carlo

methods,

Journal of The Royal Statistical Society,

57 (3), pp. 473

–

484.

Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates

of the variance of the united kingdom inflation.

Econometrica

, 50, pp. 987

–

1007.

Nastiti, K. L. A. dan Suharsono A. (2012). Analisis volatilitas saham perusahaan go public

dengan metode ARCH



GARCH.

Jurnal Sains dan Seni ITS

, 1, (1), pp. D259



D264.

Nurjanah, E. (2005).

Pengaruh Nilai Tukar Rupiah atas Dollar AS Terhadap Tingkat Inflasi

di Indonesia pada Periode

1999-2004 (

Data Diperoleh Pada Bank Indonesia

). Skripsi,

UNIKOM, Bandung.

(17)

(18)

(19)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015

langkah (Nugroho, 2014), yaitu

membangun rantai Markov dan menggunakan metode Monte Carlo untuk meringkas

distribusi posterior pada parameter sebagai

keluaran MCMC.

Dimisalkan � = � , � , … , �_� dan � =

� , � , … , �� . Berdasarkan Teorema Bayes

(lihat Koop dkk. (2007)), distribusi gabungan untuk model di atas yaitu

� , , �|� = � �|� ∙ � , ,

dimana � �|� adalah fungsi likelihood dan

� , adalah distribusi prior pada , .

Untuk memenuhi kendala parameter a dan b,

ditetapkan prior seperti berikut:

~�xp dan ~� , ,

maka dipunyai distribusi gabungan yaitu

� , , �|�

∝ ∏ ��− �xp {−�_��_�} �

�= ∙ �xp{− }

∙ − ₋ −

= ( − ) �xp {− − � }

∏ + ��− − ∙ �xp {− _{( + �}�� − )} �

�=

∙ �xp{− } ∙ − ₋ − _.

atau dengan pengambilan logaritma natural diperoleh

ln � , |�

∝ ln − − − �

− ∑ ln + ��−

� �= − ∑ �� + ��− � �= −

+ − ln + − ln − . (1)

Pembangkitan nilai parameter a

Berdasarkan persamaan (1), log distribusi

posterior untuk a dinyatakan oleh

= ln � | , �

∝ − ln − − �

− ∑ ln + ��−

� �= − ∑ �� + ��− � �= − .

Masalah yang muncul di sini yaitu

posterior tersebut tidak mengikuti suatu

distribusi tertentu. Karena itu a dibangkitkan

menggunakan metode Independence Chain

Metropolis–Hastings (IC-MH) yang

diperkenalkan oleh Tierney (1994) seperti berikut:

Langkah 1: Menentukan proposal untuk a,

yaitu ∗~� _{, ]} ∗, � ∗

Langkah 2: Menghitung rasio

� , ∗ ₌� ∗| , � � | , � .

Langkah 3: Membangkitkan dari distribusi seragam [ , ].

Langkah 4: Jika < min{ , � , ∗ }, maka proposal diterima, jika tidak, maka proposal ditolak.

Rata-rata ∗ dan variansi � ∗ dicari

dengan menggunakan metode yang didasarkan pada tingkah laku distribusi di sekitar modus

(lihat Albert (2009)). Modus ̂ dari ,

artinya ′ ̂ = , dicari menggunakan

metode bagi dua. Selanjutnya diambil ∗ = ̂

dan � ∗= −[ ′′ ̂ ]− . Masalahnya adalah

′′ ̂ bisa bernilai positif, karena itu diambil

� ∗= −[� ̂ ]− dengan

� ̂ = min {− . , ′′ ̂ }.

Pembangkitan nilai parameter b

posterior untuk b dinyatakan oleh

= ln � | , �

∝ − ln − − − �

− ∑ ln + ��−

� �= − ∑ �� + ��− � �=

+ − ln + − ln − ,

yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu.

Karena itu nilai parameter b dibangkitkan

menggunakan cara yang sama seperti pada

pembangkitan nilai parameter a.

Metode MCMC mensimulasi suatu nilai baru untuk setiap parameter dari distribusi posteriornya dengan mengasumsikan bahwa nilai saat ini untuk parameter lain adalah benar. Sacara ringkas skema MCMC yaitu

(i)

Inisialisasi a dan b.

(ii)

Membangkitkan sampel a dengan metode

IC-MH.

(iii)

Membangkitkan sampel b dengan metode IC-MH.

(iv)

Menghitung variansi (volatility kuadrat):

(20)

1. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Data Pengamatan

Selanjutnya model dan metode di atas

diaplikasikan pada data kurs beli Euro (EUR),

Japanese Yen (JPY), dan US Dollar (USD) terhadap Rupiah atas periode 5 Januari 2009 sampai dengan 31 Desember 2014 yang terdiri dari 1472 observasi. Dalam penelitian ini penghitungan dilakukan dengan alat bantu

software Matlab 2012a. Gambar 1

menampilkan plot runtun waktu untuk returns

dan Tabel 1 menyajikan statistik deskriptif.

Gambar 1. Plot runtun waktu returns harian untuk kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

Tabel 1. Statistik deskriptif dari returns harian untuk kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadar Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

Mata

Uang Mean SD JB Test

(normali tas)

LB Q test (auto korelasi) JPY –0.004 0.363 tidak

normal

tidak ada korelasi USD –0.004 0.215 tidak

normal ada korelasi

EUR 0.000 0.294 tidak normal

tidak ada korelasi

4.2 Pengaturan MCMC

Algoritma MCMC dijalankan dengan menggunakan 15000 iterasi, dimana 5000

iterasi pertama dihilangkan dan sisanya, N =

10000, disimpan untuk menghitug rata-rata

posterior, simpangan baku, interval Bayes,

numerical standard error (NSE), dan diagnosa

konvergensi. Di sini, dipilih interval highest

posterior density (HPD) yang disajikan oleh Chen dan Shao (1999) sebagai pendekatan

untuk interval Bayes. Diagnosa konvergensi

dilakukan dengan menghitung integrated

autocorrelation time (IACT), lihat Geweke (2005), untuk mengetahui berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel yang saling bebas

(seberapa cepat konvergensi simulasi).

Sementara itu konvergensi rantai Markov

diperiksa berdasarkan pada uji z-score Geweke

(1992) dan NSE dihitung menggunakan

metode yang disajikan oleh Geweke (2005). Dalam aplikasi algoritma MCMC, model

dilengkapi dengan prior dimana = , =

. , dan = . Untuk nilai-nilai awal

parameter ditetapkan = = . .

4.3 Estimasi Parameter

Tabel 2, 3 dan 4 meringkas hasil simulasi

posterior parameter dalam model ARCH(1) berturut-turut untuk data kurs beli JPY, USD,

dan EUR terhadap Rupiah. p-value yang

berasosiasi dengan Geweke’s convergence diagnostic (G-CD) mengindikasikan bahwa semua rantai Markov sudah konvergen. Nilai-nilai IACT menunjukkan bahwa metode IC-MH adalah sangat efisien.

Tabel 2. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli JPY terhadap Rupiah. LB dan UB menyatakan berturut-turut batas bawah dan batas atas interval HPD 95%.

Parameter

a b

Matlab

0.0994

0.2619

Mean

0.1022

0.2548

SD

0.0050

0.0464

LB

0.0928

0.1648

UB

0.1121

0.3446

IACT

1.4620

1.2613

NSE

0.0000

0.0005

G-CD

0.0036

0.0648

p-value

0.9971

0.9484

CPU

time

(detik): 131.14

Tabel 3. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli USD terhadap Rupiah.

Parameter

a b

Matlab

0.0237

0.6532

Mean

0.0244

0.6255

SD

0.0012

0.0682

LB

0.0220

0.4903

UB

0.0267

0.7547

IACT

1.0000

0 500 1000 1500

-2 0 2 JPY k u rs b e li

0 500 1000 1500

-2 0 2 USD k u rs b e li

0 500 1000 1500

(21)

NSE

0.0000

0.0006

G-CD

–

0.0036

–

0.0260

p-value

0.9971

0.9792

CPU

time

(detik): 137.72

Tabel 4. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli EUR terhadap Rupiah

Parameter

a B

Matlab

0.0704

0.1878

Mean

0.0713

0.1900

SD

0.0030

0.0372

LB

0.0650

0.1186

UB

0.0771

0.2630

IACT

1.0000

NSE

0.0000

0.0004

G-CD

–

0.0159

0.0047

p-value

0.9873

0.9962

CPU

time

(detik): 148.27

Plot sampel posterior dan histogram

distribusi posterior parameter-parameter a dan

b ditampilkan berturut-turut pada Gambar 2

dan Gambar 3. Plot sampel mengindikasikan

bahwa sampel berfluktuasi disekitar rata-rata

posterior, yang berarti bahwa sampel telah

bercampur dengan baik (good mixing).

Gambar 2. Plot sampel untuk parameter a dan b pada model ARCH(1) untuk returns kurs beli JPY (atas), USD (tengah), dan EUR (bawah) terhadap Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

Gambar 3. Histogram distribusi posterior parameter a

dan b pada model ARCH(1) untuk returns kurs beli JPY (atas), USD (tengah), dan EUR (bawah) terhadap Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

Terkait dengan estimasi parameter, hasil

menunjukkan bahwa nilai estimasi a dan b

serupa dengan hasil yang diperoleh dari penggunaan fungsi garch(p,q) di Matlab.

Rata-rata posterior untuk variansi (volatility

kuadrat) returns disajikan dalam Gambar 4.

Diperoleh bahwa variansi untuk returns kurs

beli JPY, USD, dan EUR terhadap rupiah

berturut-turut yaitu 0.102–0.984, 0.024–1.080,

dan 0.071–0.430, dimana rata-ratanya

berturut-turut yaitu 0.136, 0.053, 0.088. Nilai variansi tertinggi terjadi pada periode April 2013 untuk JPY, Februari 2009 untuk USD, dan September 2011 untuk EUR.

Gambar 4. Plot runtun waktu variansi untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

Jadi, model volatility untuk returns kurs

beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah berturut-turut:

�� = . + . ��− , �� = . + . ��− , �� = . + . ��− .

0 5000 10000 0.08

0.1 0.12

a

0 5000 10000 0.2

0.4

b

0 5000 10000 0.02

0.025 0.03

0 5000 10000 0.5

1

0 5000 10000 0.06

0.07 0.08

0 5000 10000 0

0.2 0.4

0.050 0.1 0.15 500

1000 1500

a

0 0.2 0.4 0.6 0.8 0

500 1000 1500

b

0.0150 0.02 0.025 0.03 500

1000 1500

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

500 1000

0.060 0.07 0.08 0.09 500

1000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0

500 1000 1500

0 500 1000 1500

0 0.5 1

JPY

t2

0 500 1000 1500

0 1 2

USD

t2

0 500 1000 1500

(22)

2. KESIMPULAN

Studi ini menyajikan model ARCH(1)

untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR

terhadap Rupiah. Algoritma MCMC yang efisien dibangun untuk membangkitkan

sampel dari distribusi posterior model. Hasil

empiris menunjukkan bahwa rata-rata

volatility untuk returns kurs beli JPY adalah yang tertinggi.

Model yang disajikan dalam studi ini bisa diperluas dengan memperhatikan distribusi tak

normal untuk returns error. Selain itu, model

bisa diperluas ke model GARCH.

3. REFERENSI

1. Albert, J. (2009). Bayesian computation

with R, 2nd ed., Springer.

2. Carlin, B. P., dan Chib, S. (1995).

Bayesian model choice via Markov

chain Monte Carlo methods, Journal of

The Royal Statistical Society, 57 (3),

473–484.

3. Casella, G. dan Berger R., L. (2002).

Statistical inference, Thomson Learning, Duxbury.

4. Chen, M. H. dan Shao, Q. M. (1999).

Monte Carlo estimation of Bayesian

credible and HPD

intervals. Journal of Computational and

Graphical Statistics, 8, 69–92.

5. Engle, R. F. (1982). Autoregressive

conditional heteroskedasticity with

estimates

of the variance of the united kingdom

inflation. Econometrica, 50, 987–1007.

6. Geweke, J. (1992). Evaluating the

accuracy of sampling-based approaches to the calculation of posterior moments,

Bayesian Statistics 4 (eds. J. M. Bernardo, J. O. Berger, A. P. Dawid dan

A. F. M. Smith), 169–194.

7. Geweke, J. (2005). Contemporary

Bayesian econometrics and statistics. John Wiley & Sons.

8. Jones, C. P., and Wilson, J. W. (1989).

Is stock price volatility increasing?,

Financial Analysts Journal, 45 (6), 20–

26.

9. Koop. G., Poirier, D. J. dan Tobias, J. L.

(2007). Bayesian econometri methods.

Cambridge University Press, New York.

10. Muklis, I. (2011). Analisis volatilitas

nilai tukar mata uang Rupiah terhadap

dolar. Journal of Indonesian Apllied

Economics, 5 (2), 172–182.

11. Nastiti, K. L. A. dan Suharsono A.

(2012). Analisis volatilitas saham perusahaa go public dengan metode

ARCHGARCH. Jurnal Sains dan Seni

ITS, 1, (1), D259D264.

12. Nugroho, D. B. (2014). Realized

stocastic volatility model using

generalized student’s t-error

distributions and power transformations, Dissertation. Kwansei Gakuin University, Japan.

13. Tierney, L. (1994). Markov chain for

exploring posterior distributions.

Annals of Statistics,

22(4), 1701–1762.

14. Tsay, R. S., (2010). Analysis of financial

time series. John Willey and Sons, Inc. New York.

(23)

(24)

(25)

� , , , �, �|�

= � �|�, � ∙ � �| ∙ � , , ,

dimana � �|�, � adalah fungsi likelihood dan

� , , adalah distribusi prior pada , , .

Selanjutnya ditetapkan prior seperti berikut:

~�xp , ~� , , = �, � ,

dimana prior (a,b) tersebut dipilih untuk

memenuhi kendala-kendala model. Sekarang

dipunyai distribusi gabungan yaitu

� , , , �|�

∝ − �− �xp {− − �_� }

∙ �� [Γ ]−� ∏ + ��− − �� − � �=

�xp {− �� ( + ��− )��} ∏ ��−�−

�

�= �xp (− ��

) ∙ �xp{− }

∙ − ₋ − _∙ �− _{�xp −}

� .

atau dengan pengambilan logaritma natural diperoleh

ln � , , , �|�

∝ ln − − ln � − − �_�

+ �ln − � ln Γ

− ∑ ln + ��−

�

�= − ∑ ln ��

� �= − ∑ �� + ��− �� =

− + ∑ ln �� = − ∑ ��− � �= −

+ − ln + − ln −

+ �− ln − � . (1)

Pembangkitan parameter a

posterior untuk a dinyatakan oleh

= ln � | , �, � − ln − − �_�

− ∑ ln + ��−

� �= − ∑ �� + �_�− �� = −

Masalah yang muncul di sini yaitu posterior

tersebut tidak mengikuti suatu distribusi

tertentu. Oleh karena itu, a dibangkitkan

menggunakan metode Independence Chain

Metropolis–Hastings (IC-MH) yang

diperkenalkan oleh Tierney (1994) seperti berikut:

Langkah 1: Menentukan proposal untuk a,yaitu

∗_~�

, ] ∗, � ∗

Langkah 2: Menghitung rasio

� , ∗ ₌ � ∗| , � � | , � .

Langkah 3: Membangkitkan dari distribusi seragam [ , ].

Langkah 4: Jika < min{ , � , ∗ }, maka proposal diterima, jika tidak, maka proposal ditolak.

Rata-rata ∗ dan variansi � ∗ dicari dengan

menggunakan metode yang didasarkan pada tingkah laku distribusi di sekitar modus (lihat

Albert (2009)). Modus ̂ dari , artinya

′ ̂ = , dicari menggunakan metode bagi

dua. Selanjutnya diambil ∗= ̂ dan � ∗=

−[ ′′ ̂ ]− _{. Masalahnya adalah} _{′′ ̂} _bisa

bernilai positif, karena itu diambil � ∗=

−[� ̂ ]− _dengan

� ̂ = min {− . , ′′ ̂ }.

Pembangkitan parameter b

posterior untuk b dinyatakan oleh

= ln � | , �, �

∝ ln − − − �_�

− ∑ ln + ��−

� �= − ∑ �� + �_�− �� =

+ − ln + − ln − ,

yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu.

Karena itu nilai parameter b dibangkitkan

pembangkitan parameter a.

Pembangkitan nilai parameter

posterior untuk dinyatakan oleh

= ln � | , , �, � ∝ �ln − � ln Γ

− ∑[ln �� + ��− ] �

�=

(26)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015 yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu.

Oleh karena itu, parameter dibangkitkan

pembangkitan parameter a, dimana

proposalnya yaitu ∗~�_{[ , ]} _�∗, �_�∗ .

Pembangkitan nilai vektor parameter z

Berdasarkan persamaan (1), distribusi

posterior untuk z dinyatakan oleh

� �| , , , �

∝ � −�+ − �xp − − � +_�

∏ �_�−�+ − �xp {−�� + _{+ �}+ ��− �− �� } �

�= .

Dalam kasus ini, � bisa dibangkitkan secara

langsung dari distribusi invers gamma, yaitu

� ~� + , − � + ,

��~� + ,�� + _{+ �}+ ��−

�− ,

untuk = , … , �.

Metode MCMC mensimulasi suatu nilai baru untuk setiap parameter dari distribusi posteriornya dengan mengasumsikan bahwa nilai saat ini untuk parameter lain adalah benar. Sacara ringkas skema MCMC untuk model dalam studi ini yaitu

(i)

Inisialisasi a, b,dan .

(ii)

Membangkitkan sampel z secara langsung.

(iii)

Membangkitkan sampel dengan metode IC-MH.

(iv)

Membangkitkan sampel a dengan metode

IC-MH.

(v)

Membangkitkan sampel b dengan metode

IC-MH.

(vi)

Menghitung variansi (volatility kuadrat):

�� = + ��− .

1. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Data Pengamatan

Selanjutnya model dan metode di atas

diaplikasikan pada data kurs beli Euro (EUR),

Japanese Yen (JPY), dan US Dollar (USD) terhadap Rupiah atas periode 5 Januari 2009 sampai dengan 31 Desember 2014 yang terdiri dari 1472 observasi. Dalam penelitian ini penghitungan dilakukan dengan alat bantu

software Matlab 2012a. Lihat Safrudin dkk.

(2015) untuk plot runtun waktu untuk returns

dan statistik deskriptif.

4.2 Pengaturan MCMC

Algoritma MCMC dijalankan dengan menggunakan 15000 iterasi, dimana 5000

iterasi pertama dihilangkan dan sisanya, N =

10000, disimpan untuk menghitug rata-rata

posterior, simpangan baku, interval Bayes,

numerical standard error (NSE), dan diagnosa

konvergensi. Di sini, dipilih interval highest

posterior density (HPD) yang disajikan oleh Chen dan Shao (1999) sebagai pendekatan untuk interval Bayes. Diagnosa konvergensi

dilakukan dengan menghitung integrated

autocorrelation time (IACT), lihat Geweke (2005), untuk mengetahui berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel yang saling bebas

(seberapa cepat konvergensi simulasi).

Sementara itu konvergensi rantai Markov

diperiksa berdasarkan pada uji z-score Geweke

(1992) danNSE dihitung menggunakan metode

yang disajikan oleh Geweke (2005).

Dalam aplikasi algoritma MCMC, model

dilengkapi dengan prior dimana = , =

. , = , _�= dan _�= . . Untuk

nilai-nilai awal parameter ditetapkan =

= . dan v = 20.

4.3 Estimasi Parameter

Tabel 1, 2 dan 3 meringkas hasil simulasi

posterior parameter dalam model ARCH(1),

dimana returns error berdistribusi Student-t,

berturut-turut untuk data kurs beli JPY, USD,

dan EUR terhadap IDR. p-value yang

berasosiasi dengan Geweke’s convergence diagnostic (G-CD) mengindikasikan bahwa semua rantai Markov sudah konvergen. Nilai-nilai IACT menunjukkan bahwa metode IC-MH adalah sangat efisien.

Tabel 1. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli JPY terhadap IDR. LB dan UB menyatakan berturut-turut batas bawah dan batas atas interval HPD 95%.

Parameter a b v

Mean 0.0547 0.2180 5.1708

SD 0.0030 0.0414 0.5779

LB 0.0495 0.1386 4.0913

UB 0.0598 0.2998 6.3289

(27)

NSE 0.0000 0.0009 0.0233

G-CD – 0.0063 0.0686 0.1160

p-value 0.9949 0.9453 0.9076 CPU time (detik): 313.795

Tabel 2. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli USD terhadap IDR.

Parameter a b v

Mean 0.0078 0.3809 3.1140

SD 0.0004 0.0497 0.2386

LB 0.0069 0.2882 2.6469

UB 0.0087 0.4832 3.5717

IACT 1.0000 5.3140 10.0292

NSE 0.0000 0.0011 0.0070

G-CD – 0.0059 – 0.0003 – 0.1576

Tabel 3. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli EUR terhadap IDR.

Parameter A b v

Mean 0.0546 0.1612 10.4858

SD 0.0026 0.0353 1.6553

LB 0.0502 0.0958 7.6162

UB 0.0595 0.2339 13.9917

IACT 12.2060 5.2695 66.3636

NSE 0.0000 0.0007 0.0799

G-CD 0.0045 0.0408 0.3283

Plot sampel posterior dan histogram

distribusi posterior parameter-parameter a dan

b ditampilkan berturut-turut pada Gambar 1 dan

Gambar 2. Plot sampel mengindikasikan bahwa

sampel berfluktuasi disekitar rata-rata

posterior, yang berarti bahwa sampel telah

bercampur dengan baik (good mixing).

Gambar 1. Plot sampel untuk parameter a, b, dan v pada model ARCH(1) untuk returns kurs beli JPY (atas), USD

(tengah), dan EUR (bawah) terhadap IDR dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

Gambar 2. Histogram distribusi posterior parameter a, b, dan v pada model ARCH(1) untuk returns kurs beli JPY (atas), USD (tengah), dan EUR (bawah) terhadap Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

Penyimpangan returns dari asumsi

normalitas dinyatakan oleh . Derajat

kebebasan mengambil nilai dari 4 sampai 7 untuk JPY, dari sampai 4 untuk USD, dan dari 7 sampai 14 untuk EUR, mengindikasikan bukti

kuat adanya karakteristik distribusi Student-t

pada ketiga data pengamatan. Sementara itu, dalam kasus data kurs beli JPY dan EUR,

estimasi parameter a dan b adalah serupa

dengan estimasi dari ARCH(1) yang

berdistribusi normal di Safrudin dkk. (2015).

Terkait dengan volatility, rata-rata posterior

untuk variansi (volatility kuadrat) returns

disajikan dalam Gambar 3. Diperoleh bahwa

variansi untuk returns kurs beli JPY, USD, dan

EUR terhadap IDR berturut-turut yaitu dari 0.0550 sampai 0.8084, dari 0.0078 sampai 0.6505, dan dari 0.0546 sampai 0.3584, dimana

rata-ratanya berturut-turut yaitu 0.0835,

0.0254, 0.0686. Nilai variansi tertinggi terjadi pada periode September 2013 untuk JPY, Februari 2009 untuk USD, dan September 2011 untuk EUR. Dibandingkan dengan hasil di Safrudin dkk. (2015), pada data JPY menunjukkan perbedaan periode untuk variansi tertinggi.

Jadi, model volatility untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah berturut-turut:

�� = . + . ��− , �� = . + . ��− , �� = . + . ��− .

0 5000 10000 0.04

0.06 0.08

a

0 5000 10000 0

0.5 b

0 5000 10000 4

6 8



0 5000 10000 6

8 10x 10

-3

0 5000 10000 0.2

0.4 0.6

0 5000 10000 2

3 4

0 5000 10000 0.04

0.06 0.08

0 5000 10000 0

0.2

0 5000 10000 5

(28)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015 Gambar 3. Plot runtun waktu variansi untuk returns kurs

beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

2. KESIMPULAN

Studi ini menyajikan model ARCH(1)

dengan returns error berdistribusi Student-t

untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR

terhadap IDR. Algoritma MCMC yang efisien dibangun untuk membangkitkan sampel dari

distribusi posterior model. Hasil empiris

menunjukkan bukti sangat kuat untuk

penggunaan distribusi Student-t pada ketiga

data tersebut.

Model yang disajikan dalam studi ini bisa diperluas dengan memperhatikan distribusi

Student-t yang umum, seperti non-central Student-t dan generalized skew Student-t yang

mengakomodasi heavy tails dan skewness.

Lebih lanjut model bisa diperluas ke model GARCH.

3. REFERENSI

1. Bollerslev, T. (1987). A Conditionally

Heteroskedastic Time Series Model for Speculative Prices and Rates of Return,

Review of Economics and Statistics, 69,

542–547.

2. Casella, G. dan Berger R., L. (2002).

Statistical inference, Thomson Learning, Duxbury.

3. Chen, M. H. dan Shao, Q. M. (1999).

Monte Carlo estimation of Bayesian

credible and HPD intervals. Journal of

Computational and Graphical Statistics,

8, 69–92.

4. Engle, R. F. (1982). Autoregressive

conditional heteroskedasticity with

estimates of the variance of the united

kingdom inflation. Econometrica, 50,

987–1007.

5. Geweke, J. (1992). Evaluating the

accuracy of sampling-based approaches to the calculation of posterior moments,

Bayesian Statistics 4 (eds. J. M. Bernardo, J. O. Berger, A. P. Dawid dan

A. F. M. Smith), 169–194.

6. Geweke, J. (2005). Contemporary

Bayesian econometrics and statistics. John Wiley & Sons.

7. Koop. G., Poirier, D. J. dan Tobias, J. L.

(2007). Bayesian econometri methods.

Cambridge University Press, New York.

8. Nugroho, D. B. (2014). Realized

stocastic volatility model using

generalized student’s t-error

distributions and power transformations,

Dissertation. Kwansei Gakuin

University, Japan.

9. Tierney, L. (1994). Markov chain for

exploring posterior distributions. Annals

of Statistics, 22(4), 1701–1762.

10. Tsay, R. S., (2010). Analysis of financial

(29)

(30)

Lampiran 1. Skema MCMC untuk model ARCH berdistribusi

Student-t

1.

Inisialisasi

a

,

b

, dan

.

2.

Pembangkitan

�| , , , �

.

Distribusi posterior bersyarat untuk z

diberikan oleh

� �| , , , �

∝ �

−�+ −

�xp −

− � +

�

∏

�

_�−�+ −

�xp {−

�

+

+ �

�− �−

�

}

�

�=

.

Dalam kasus ini,

�

bisa dibangkitkan secara langsung dari distribusi

inverse gamma

,

yaitu

� ~�

�+

,

− � + �

dan

��~� (

�+

,

��+( + ��− )�

( + ��− )

),

untuk

= , … , �.

3.

Pembangkitan

|�

Distribusi posterior bersyarat untuk

v

diberikan oleh

� |� ∝

�

��

[Γ

�

]

−�

∏

��=

��

−�−

�xp −

�_�_� �−

�xp −

�

.

Nilai

dibangkitkan menggunakan metode IC-MH, yang mana proposal untuk

yaitu

∗

~�

[ , ] �∗

, �

_�∗

dan probabilitas penerimaannya yaitu

min { ,

�( ∗|

�

)

� |

� }

. Diambil

logaritma distribusi posterior bersyarat untuk :

= ln � |�

∝

�

ln

− � ln Γ

− ∑[ln ��

+ ��

−

]

�

�=

+

�

−

ln

−

�

,

Dicari modus posterior

̂

dari

, artinya bahwa

′ ̂ =

, berdasarkan metode bagi

dua. Rata-rata

_�∗

dan variansi

�

_�∗

ditentukan dengan menggunakan metode yang

didasarkan pada tingkah laku distribusi di sekitar modus (atau modus hampiran). Dicatat

bahwa derivatif pertama dan kedua dari

berturut-turut yaitu

′

=

�

[ln

+ − ψ

] − ∑[ln ��

+ ��

−

]

�

�=

+

�

−

�,

dimana

ψ � =

� lnΓ � ��

, dan

(31)

Selanjutnya diambil

_�∗

= ̂

dan

�

_�∗

= −[

′′

̂ ]

−

. Masalahnya adalah

′′ ̂

bisa

bernilai

positif,

karena

itu

diambil

�

_�∗

= −[��

̂ ]

−

dengan

��

̂ =

min {− .

, ′′ ̂ }

.

4.

Pembangkitan

| , �, �

a

diberikan oleh

� | , �, � ∝ (

−

) �xp {−

− �

�

}

∏

+ �

�− −

�

� −

�xp {−

��

( + ��− )��

}

�

�=

�xp{− }.

Nilai

a

yaitu

∗

~�

_∗

, �

_∗

min { ,

�( ∗|

, �, �

)

�( |

, �, �

)

}

. Diambil

logaritma distribusi posterior bersyarat untuk

a

:

= ln � | , �, � ∝ − ln −

− �

�

− ∑ ln + ��−

� �=

− ∑

��

( + ��− )��

�

�=

−

.

̂

dari

, artinya bahwa

′ ̂ =

dua. Dicatat bahwa derivatif pertama dan kedua dari

′

=

= −

+

− �

�

− ∑

+ �

�−

�

�=

+ ∑

��

+ �

�−

��

�

�=

−

′

=

−

− �

�

+ ∑

+ �

_�−

�

�=

− ∑

+ �

��

�−

�

� �

�=

.

Selanjutnya diambil

∗

= ̂

dan

�

∗

= −[ ′′ ̂ ]

−

. Masalahnya adalah

′′ ̂

bisa

bernilai

positif,

karena

itu

diambil

�

∗

= −[� ̂ ]

−

dengan

� ̂ =

min {− .

, ′′ ̂ }

.

5.

Pembangkitan

b

diberikan oleh

� | , �, � ∝ (

−

) �xp {−

− �

�

}

∏

+ �

�− −

�

� −

�xp {−

��

( + ��− )��

}

�

�=

(32)

Nilai

b

yaitu

∗

~�

_∗

, �

_∗

min { ,

�( ∗|

, �, �

)

�( |

, �, �

)

}

. Diambil

logaritma distribusi posterior bersyarat untuk

b

:

= ln � | , �, �

∝ ln −

−

− �

�

− ∑ ln + ��−

�

�=

− ∑

+ �

�

�−

�

� �

�=

+

− ln +

−

ln −

̂

dari

, artinya bahwa

′(̂) =

dua. Dicatat bahwa derivatif pertama dan kedua dari

′

=

= −

−

+

�

� −

∑

�

�−

+ �

�− �

�=

+ ∑

+ �

�

�−

�

� �−

��

�

�=

+

−

− ,

−

′′

=

= −

−

+ ∑

�

�−

+ �

�− �

�=

− ∑

+ �

�

�−

�

� �−

�

� �

�=

−

.

Selanjutnya diambil

∗

= ̂

dan

�

∗

= −[ ′′(̂)]

−

. Masalahnya adalah

′′(̂)

bisa

bernilai

positif,

karena

itu

diambil

�

∗

= −[� (̂)]

−

dengan

� (̂) =

(33)

Lampiran 2. Kode Matlab

Lampiran 2.1 Kode Matlab untuk Estimasi Model ARCH Berdistribusi Normal

2.1.1 Kode Utama

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61

function hasil=arch_mcmc(Rt,HP)

% Tujuan: Mengestimasi parameter-parameter dalam model ARCH % R_t = sigma_t*epsilon_t, epsilon_t~N(0,1)

% sigma_t^2 = a + b*R_{t-1}^2

% ---% Algoritma: MCMC

% ---% Masukan: Rt = Return = 100*[log(S_t)-log(S_{t-1}],

% dimana S_t = nilai kurs pada saat t

% HP = Hyperparameter = [lambda alpha beta], untuk prior % a ~ exp(lambda) dan b ~ beta(alpha,beta)

% ---% Keluaran: hasil.av = sampel-sampel parameter a

% hasil.bv = sampel-sampel parameter b % Ditulis oleh Imam Malik Safrudin (FSM UKSW) % CP: imammaliks@live.com

% --- Inisialisasi

T = length(Rt);

% prior untuk a

lamd = HP(1);

% prior untuk b

alp = HP(2); bet = HP(3);

% nilai awal

a = 0.1; b = 0.1;

% banyaknya replikasi

Nits = 15000; BI = 5000; N = Nits-BI;

% alokasi penyimpanan sampel

av = zeros(N,1); bv = zeros(N,1); vol = zeros(T,1);

% --- Algoritma MCMC. Step 1: Membangkitkan Rantai Markov

tic

for its = 1:Nits

% --- pembangkitan sampel a

% mencari rata-rata dan variansi untuk distribusi proposal

hp1 = lamd;

m_a = bisection(Rt,a,b,hp1,'a'); %rata-rata dengan metode bagi dua

d2a = 0.5/m_a^2-0.5*(1-b)*Rt(1)^2/m_a^3...

-0.5*sum((2*Rt(2:end).^2-m_a-b*Rt(1:end-1).^2)...

./(m_a+b*Rt(1:end-1).^2).^3); Da = min(-0.0001,d2a);

s2_a =-1/Da; % variansi

% algoritma IC-MH

% 1: pembangkitan proposal a*

pr = truncnormrnd(1,m_a,sqrt(s2_a),1e-4,1);

% 2: mengevaluasi probabilitas penerimaan

log_pa = -0.5*log(pr)-0.5*(1-b)*Rt(1)^2/pr...

-0.5*sum(log(pr+b*Rt(1:end-1).^2))...

(34)

62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129

post_pr = exp(log_pa);

log_pa = -0.5*log(a)-0.5*(1-b)*Rt(1)^2/a...

-0.5*sum(log(a+b*Rt(1:end-1).^2))...

-0.5*sum(Rt(2:end).^2./(a+b*Rt(1:end-1).^2))-lamd*a; %F(a)

post_o = exp(log_pa);

ratio = post_pr/post_o; ap = min(1,ratio);

% 3: pembangkitan bilangan acak seragam

u = rand(1);

% 4: pembaruan

if u <= ap, a = pr; end

% --- pembangkitan sampel b

mup = alp; Vp = bet; hp1 = [mup Vp];

m_b = bisection(Rt,a,b,hp1,'b'); % rata-rata d2b = -0.5/(1-m_b)^2+0.5*sum((Rt(1:end-1).^4)...

./((a+m_b*Rt(1:end-1).^2).^2))...

-sum(((Rt(1:end-1).^4).*(Rt(2:end).^2))...

./((a+m_b*Rt(1:end-1).^2).^3))...

-(alp-1)/m_b^2-(bet-1)/(1-m_b)^2; Db = min(-0.0001,d2b);

s2_b = -1/Db; % variansi

% algoritma IC-MH

% 1: pembangkitan proposal b*

pr = truncnormrnd(1,m_b,sqrt(s2_b),0,1);

% 2: mengevaluasi probabilitas penerimaan

log_pb = 0.5*log(1-pr)-0.5*(1-pr)*Rt(1)^2/a...

-0.5*sum(log(a+pr*Rt(1:end-1).^2))...

-0.5*sum(Rt(2:end).^2./(a+pr*Rt(1:end-1).^2))... +(alp-1)*log(pr)+(bet-1)*log(1-pr); % F(pr)

post_pr = exp(log_pb);

log_pb = 0.5*log(1-b)-0.5*(1-b)*Rt(1)^2/a...

-0.5*sum(log(a+b*Rt(1:end-1).^2))...

-0.5*sum(Rt(2:end).^2./(a+b*Rt(1:end-1).^2))...

+(alp-1)*log(b)+(bet-1)*log(1-b); %F(b)

post_o = exp(log_pb);

% 3: pembangkitan bilangan acak seragam

u = rand(1);

% 4: pembaruan

if u <= ap, b = pr; end

% pengestimasian sigma

Volt = a+b*Rt(1:end-1).^2; Volt = [a/(1-b); volt];

% simpan a dan b

if its > BI

av(its-BI,1) = a; bv(its-BI,1) = b;

vol = ((its-BI-1)*vol+volt)/(its-BI); end

end

toc

% --- Algoritma MCMC. Step 2: Menghitung rata-rata Monte Carlo

(35)

130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

% ===== Integrated Autocorrelation Time (IACT) ============================ % Berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel % yang independen (seberapa cepat konvergensi simulasi)

resultsIAT = IACT(draws); IAT = [resultsIAT.iact];

% ===== Uji Konvergensi Geweke ============================================

idraw1 = round(.1*N);

resultCV = momentg(draws(1:idraw1,:)); meansa = [resultCV.pmean];

nsea = [resultCV.nse1];

idraw2 = round(.5*N)+1;

resultCV = momentg(draws(idraw2:N,:)); meansb = [resultCV.pmean];

nseb = [resultCV.nse1];

CD = (meansa - meansb)./sqrt(nsea+nseb); onetail = 1-normcdf(abs(CD),0,1);

pV = 2*onetail;

% ===== 95% Highest Posterior Density (HPD) Interval ======================

resultsHPD = HPD(draws,0.05); LB = [resultsHPD.LB];

UB = [resultsHPD.UB];

% ===== Numerical Standard Error (NSE) ====================================

resultsNSE = NSE(draws); NSEd = [resultsNSE.nse];

%====================== Mengatur hasil pencetakan =========================

%--- Statistik Parameter:

in.cnames = char('a','b');

in.rnames = char('Parameter','Mean','SD','LB','UB','IACT','NSE','G-CD',

'p-Value');

in.fmt = '%16.6f';

tmp = [MP; SP; LB; UB; IAT; NSEd; CD; pV];

fprintf(1,’Estimasi menggunakan MCMC dan Uji Diagnosa\n'); % cetak hasil

mprint(tmp,in);

hasil.vol = vol; hasil.av = av; hasil.bv = bv;

2.1.2 Kode

bisection 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

function mab = bisection(Rt,a,b,hp1,par)

% Tujuan : Mencari akar dari F’(a)=0 atau F’(b)=0 menggunakan metode % bagi dua

%

% ---% Masukan : Rt = return

% a = nilai a % b = nilai b % hp1 = nilai prior % par = 'a' atau 'b'

% --- % keluaran : mab = akar penyelesaian

eps_step = 1e-2;

if par == 'a'

bb = 1e-3; ba = 1;

(36)

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

bb = 0; ba = 1;

end

if diffARCH(Rt,a,b,hp1,bb,par) == 0 % derivatif pertama

mab = bb; return;

elseif diffARCH (Rt,a,b,hp1,ba,par) == 0 mab = ba;

return;

elseif diffARCH(Rt,a,b,hp1,ba,par)*diffARCH(Rt,a,b,hp1,bb,par) > 0 error( 'diffARCH(ba) dan diffARCH(bb) tidak mempunyai tanda

berlawanan' );

end

while abs(bb - ba) >= eps_step c = (ba + bb)/2;

if diffARCH(Rt,a,b,hp1,c,par) == 0 mab = c;

return;

elseif diffARCH(Rt,a,b,hp1,c,par)*diffARCH(Rt,a,b,hp1,ba,par) < 0 bb = c;

else

ba = c; end

end

mab = c;

2.1.3 Kode untuk turunan pertama

F

(

a

) dan

F

(

b

)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

function Fab = diffARCH(Rt,a,b,hp1,bts,par)

% Tujuan : Mengitung F’(a) atau F’(b) %

% a = nilai a % b = nilai b % hp1 = nilai prior

% bts = batas kiri/kanan interval pada metode bagi dua % par = 'a' atau 'b'

% --- % keluaran : Fab = nilai turunan pertama

if par == 'a'% derivatif pertama terhadap a

a = bts; lamd = hp1;

Fab = -1/(2*a)+(1-b)*Rt(1)^2/(2*a^2)...

-0.5*sum((a+b*Rt(1:end-1).^2-Rt(2:end).^2)...

./(a+b*Rt(1:end-1).^2).^2)-lamd;

elseif par == 'b' % derivatif pertama terhadap b

b = bts;

alp = hp1(1); bet=hp1(2);

Fab = -1/(2*(1-b))+Rt(1)^2/2*a...

-0.5*sum(Rt(1:end-1).^2./(a+b*Rt(1:end-1).^2)) ...

+0.5*sum(Rt(1:end-1).^2.*Rt(2:end).^2

./((a+b*Rt(1:end-1).^2).^2))+(alp-1)/b-(bet-1)/(1-b);

end

2.1.4

Kode Pendukung

(37)

Lampiran 2.2 Kode Matlab untuk Estimasi Model ARCH Berdistribusi

Student-t

2.2.1 Kode Utama

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

function hasil=archt_mcmc(Rt,HP)

% Tujuan: Mengestimasi parameter-parameter dalam model ARCH % R_t = sigma_t*z_t^0.5*eta_t, eta_t~N(0,1)

% sigma_t^2 = a + b*R_{t-1}^2

% ---% Algoritma: MCMC

% ---% Masukan: Rt = Return = 100*[log(S_t)-log(S_{t-1}],

% dimana S_t = nilai kurs pada saat t

% HP = Hyperparameter = [lambda alpha beta], untuk prior % a ~ exp(lambda) dan b ~ beta(alpha_b,beta_b)

% ---% Keluaran: hasil.vol = sampel-sampel parameter vol

% Hasil.zv = sampel-sampel parameter z_t % hasil.av = sampel-sampel parameter a % hasil.bv = sampel-sampel parameter b % Hasil.nuv = sampel-sampel parameter nu % Ditulis oleh Imam Malik Safrudin (FSM UKSW) % CP: imammaliks@live.com

% --- I: Inisialisasi

T = length(Rt);

% prior untuk a

lamd = HP(1);

% prior untuk b

alp = HP(2); bet = HP(3);

% prior untuk nu

alpnu = HP(4); betnu = HP(5);

% nilai awal

a = 0.1; b = 0.1; nu = 20;

% banyaknya replikasi

Nits = 15000; BI = 5000; N = Nits-BI;

% alokasi penyimpanan sampel

av = zeros(N,1); bv = zeros(N,1); nuv = zeros(N,1); zv = zeros(T,1); vol = zeros(T,1);

% --- Algoritma MCMC. Step 1: Membangkitkan Rantai Markov

tic

for its = 1:Nits

% --- pembangkitan sampel z

alpz = (nu+1)/2;

betz1 = 0.5*((1-b)*Rt(1)^2+a*nu)/a;

betz2T = (Rt(2:end).^2+(a+b*Rt(1:end-1).^2)*nu)...

./(2*(a+b*Rt(1:end-1).^2)); betz = [betz1; betz2T];

z = 1./gamrnd(alpz,1./betz);

% --- pembangkitan sampel nu

% mencari rata-rata dan variansi untuk proposal bersyarat

Hpv = [alpnu betnu];

(38)

65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132

d2v = 0.5*T/mv-T/4*psi(1,mv/2)-(alpnu-1)/mv^2; Dv = min(-0.0001,d2v);

s2v = -1/Dv; %variansi

% algoritma IC-MH

% 1: pembangkitan proposal nu*

pr = truncnormrnd(1,mv,sqrt(s2v),2.1,40); % 2: mengevaluasi probabilitas penerimaan

log_pv = 0.5*pr*T*log(pr/2)-T*gammaln(pr/2)-pr/2...

*sum(log(z)+1./z)+(alpnu-1)*log(pr)-betnu*pr; post_pr = exp(log_pv);

log_pv = 0.5*nu*T*log(nu/2)-T*gammaln(nu/2)-nu/2...

*sum(log(z)+1./z)+(alpnu-1)*log(nu)-betnu*nu; post_o = exp(log_pv);

% 3: pembangkitan variabel acak seragam

u = rand(1); % 4: pembaruan

if u <= ap, nu = pr; end

nu

% --- pembangkitan sampel a

hp1 = lamd;

m_a = bisection_st(Rt,a,b,hp1,z,'a'); % rata-rata

d2a = 1/(2*m_a^2)-0.5*(1-b)*Rt(1)^2/(m_a^3*z(1))+0.5*...

sum(1./(m_a+b*Rt(1:end-1).^2).^2)-...

sum(Rt(2:end).^2./((m_a+b*Rt(1:end-1).^2).^3.*z(2:end))); Da = min(-0.0001,d2a);

s2_a = -1/Da; % variansi

% algoritma IC-MH

% 1: pembagkitan proposal a*

pr = truncnormrnd(1,m_a,sqrt(s2_a),1e-4,1); % 2: mengevaluasi probabilitas penerimaan

log_pa = -0.5*log(pr)-0.5*(1-b)*Rt(1)^2/(pr*z(1))-...

0.5*sum(log(pr+b*Rt(1:end-1).^2))-...

0.5*sum(Rt(2:end).^2./((pr+b*Rt(1:end-1).^2).*z(2:end)))-...

lamd*pr; % F(pr)

post_pr = exp(log_pa);

log_pa = -0.5*log(a)-0.5*(1-b)*Rt(1)^2/(a*z(1))-...

0.5*sum(log(a+b*Rt(1:end-1).^2))-...

0.5*sum(Rt(2:end).^2./((a+b*Rt(1:end-1).^2).*z(2:end)))-...

lamd*a; % F(a)

post_o = exp(log_pa);

if u <= ap, a = pr; end

% --- pembangkitan sampel b

mup = alp; Vp = bet; hp1 = [mup Vp];

m_b = bisection_st(Rt,a,b,hp1,z,'b'); % rata-rata

d2b = -0.5/(1-m_b)^2+0.5*sum((Rt(1:end-1).^4)...

./((a+m_b*Rt(1:end-1).^2).^2))...

-sum(((Rt(1:end-1).^4).*(Rt(2:end).^2))...

./((a+m_b*Rt(1:end-1).^2).^3.*z(2:end)))...

(39)

133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

s2_b = -1/Db; % variansi

% algoritma IC-MH

% 1: pembangkitan proposal b*

pr = truncnormrnd(1,m_b,sqrt(s2_b),0,1); % 2: mengevaluasi probabilitas penerimaan

log_pb = 0.5*log(1-pr)-0.5*(1-pr)*Rt(1)^2/(a*z(1))-...

0.5*sum(log(a+pr*Rt(1:end-1).^2))-...

0.5*sum(Rt(2:end).^2./(a+pr*Rt(1:end-1).^2.*z(2:end)))...

+(alp-1)*log(pr)+(bet-1)*log(1-pr); % F(pr)

post_pr = exp(log_pb);

log_pb = 0.5*log(1-b)-0.5*(1-b)*Rt(1)^2/(a*z(1))-...

0.5*sum(log(a+b*Rt(1:end-1).^2))-...

0.5*sum(Rt(2:end).^2./(a+b*Rt(1:end-1).^2.*z(2:end)))...

+(alp-1)*log(b)+(bet-1)*log(1-b); %F(b)

post_o = exp(log_pb);

if u <= ap, b = pr; end

% pengestimasian sigma

volt = a+b*Rt(1:end-1).^2; volt = [a/(1-b); volt]; % simpan a dan b

if its > BI

av(its-BI,1) = a; bv(its-BI,1) = b; nuv(its-BI,1) = nu;

zv = ((its-BI-1)*zv+z)/(its-BI); vol = ((its-BI-1)*vol+volt)/(its-BI); end

end

toc

% --- Algoritma MCMC. Step 2: Menghitung rata-rata Monte Carlo draws = [av bv nuv];

MP = mean(draws); SP = std(draws);

% ===== Integrated Autocorrelation Time (IACT) ============================ % Berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel % yang independen (seberapa cepat konvergensi simulasi)

resultsIAT = IACT(draws); IAT = [resultsIAT.iact];

% ===== Uji Konvergensi Geweke ============================================

idraw1 = round(.1*N);

resultCV = momentg(draws(1:idraw1,:)); meansa = [resultCV.pmean];

nsea = [resultCV.nse1];

idraw2 = round(.5*N)+1;

resultCV = momentg(draws(idraw2:N,:)); meansb = [resultCV.pmean];

nseb = [resultCV.nse1];

CD = (meansa - meansb)./sqrt(nsea+nseb); onetail = 1-normcdf(abs(CD),0,1);

pV = 2*onetail;

% ===== 95% Highest Posterior Density (HPD) Interval ======================

(40)

201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225

LB = [resultsHPD.LB]; UB = [resultsHPD.UB];

% ===== Numerical Standard Error (NSE) ====================================

resultsNSE = NSE(draws); NSEd = [resultsNSE.nse];

%====================== Pengaturan Pencetakan Hasil ======================= %--- Statistik Parameter

in.cnames = char('a','b','nu');

in.rnames = char('Parameter','Mean','SD','LB','UB','IACT','NSE','G-CD',

'p-Value');

in.fmt = '%16.6f';

tmp = [MP; SP; LB; UB; IAT; NSEd; CD; pV];

fprintf(1,'Estimasi menggunakan MCMC dan Uji Diagnostik\n'); mprint(tmp,in);

hasil.vol = vol; hasil.zv = zv; hasil.av = av; hasil.bv = bv; hasil.nuv = nuv;

2.2.2 Kode metode bagi dua untuk

�′

= �

atau

�′

= �

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

function mab = bisection_st(Rt,a,b,hp1,z,par)

% Tujuan : Mencari akar dari F’(a)=0 atau F’(b)=0 menggunakan metode

% bagi dua %

% z = [z_1, z_2, z_3, ….,z_T]

% par = 'a' atau 'b'

% --- % keluaran : mab = akar penyelesaian

eps_step = 1e-2;

if par == 'a'

bb = 1e-5; ba = 1;

elseif par == 'b'

bb = 0; ba = 1;

end

if diffARCH_st(Rt,a,b,hp1,z,bb,par) == 0 %derivatif pertama

mab = bb; return;

elseif diffARCH_st(Rt,a,b,hp1,z,ba,par) == 0 mab = ba;

return;

elseif diffARCH_st(Rt,a,b,hp1,z,ba,par)*diffARCH_st(Rt,a,b,hp1,z,bb,par) > 0

error( 'diffARCH(ba) and diffARCH(bb) do not have opposite signs' );

end

while abs(bb - ba) >= eps_step % || abs(diffARCH(a,b,y,T,bb))>=eps_abs && abs(diffARCH(a,b,y,T,ba)) >= eps_abs

c = (ba + bb)/2;

if diffARCH_st(Rt,a,b,hp1,z,c,par) == 0 mab = c;

(41)

41 42 43 44 45 46 47 48 elseif

diffARCH_st(Rt,a,b,hp1,z,c,par)*diffARCH_st(Rt,a,b,hp1,z,ba,par) < 0 bb = c;

else

ba = c; end

end

mab = c;

2.2.3 Kode metode bagi dua untuk

�′ �

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

function mv = bisection_nu(hpv,z)

% Tujuan : Mencari akar dari F’(v)= 0 menggunakan metode bagi dua

%

% ---% Masukan : hpv = nilai prior v

% z = [z_1, z_2, z_3, ….,z_T]

% --- % keluaran : mv = akar penyelesaian

eps_step = 1e-2; bb = 2.1;

ba = 100;

if diffFnu(hpv,z,bb) == 0 % derivatif pertama

mv = bb; return;

elseif diffFnu(hpv,z,ba) == 0 mv = ba;

return;

elseif diffFnu(hpv,z,bb)*diffFnu(hpv,z,ba) > 0

error( 'diffFnu(a) and diffFnu(b) do not have opposite signs' );

end

while abs(ba - bb) >= eps_step % || abs(LV1(a,b,y,T,bb))>=eps_abs && abs(LV1(a,b,y,T,ba)) >= eps_abs

c = (ba + bb)/2;

if diffFnu(hpv,z,c) == 0 mv = c;

return;

elseif diffFnu(hpv,z,c)*diffFnu(hpv,z,ba) < 0 bb = c;

else

ba = c; end

end

mv = c;

2.2.4 Kode penghitungan

�′ �

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

function Fab = diffARCH_st(Rt,a,b,hp1,z,bts,par)

% Tujuan : Mengitung F’(v)

% z = [z_1, z_2, z_3, ….,z_T]

% bts = batas kiri/kanan interval pada metode bagi dua % par = 'a' atau 'b'

% --- % keluaran : Fab = nilai turunan pertama

if par =='a'% derivatif pertama terhadap a

a = bts; lamd = hp1;

Fab = -1/(2*a)+0.5*(1-b)*Rt(1)^2/(a^2*z(1))...

-0.5*sum(1./(a+b*Rt(1:end-1).^2))...

(42)

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

.*z(2:end)))-lamd;

elseif par == 'b' % derivatif pertama terhadap b

b = bts;

alp = hp1(1); bet=hp1(2);

Fab = -1/(2*(1-b))+Rt(1)^2/(2*a*z(1))...

-0.5*sum(Rt(1:end-1).^2./(a+b*Rt(1:end-1).^2))...

+0.5*sum(Rt(1:end-1).^2.*Rt(2:end).^2...

./((a+b*Rt(1:end-1).^2).^2.*z(2:end)))...

+(alp-1)/b-(bet-1)/(1-b);

(43)

(44)