UNIFORM (SERAGAM) BERNOULLI BINOMIAL POISSON BEBERAPA DISTRIBUSI LAINNYA : MULTINOMIAL, HIPERGEOMETRIK, MA 2081 Statistika Dasar.

DISTRIBUSI DISKRIT DISTRIBUSI DISKRIT

•

U N I F O R M ( S E R A G A M )

•

B E R N O U L L I

•

B I N O M I A L

•

P O I S S O N

•

B E B E R A P A D I S T R I B U S I L A I N N Y A :

•

M U L T I N O M I A L , H I P E R G E O M E T R I K , G E O M E T R I K B I N O M I A L N E G A T I F G E O M E T R I K , B I N O M I A L N E G A T I F

MA 2081 Statistika Dasar Utriweni Mukhaiyar Utriweni Mukhaiyar 7 Maret 2011

Distribusi uniform (seragam)

2

P b h k X di ik ti il i (

( g )



Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya (x

₁

, x

₂

, …, x

_k

) memiliki peluang yang sama.

i ib i l



Distribusi peluang X :

( ) 1

P X ( x ) , x x x

₁

,

₂

,..., x

_k

P X x x x x x

  k 



Rataan :

1

1

^k

i i

k x





 



Variansi :

²

¹

^k

 x

i



²

  k _k  ^

ⁱ

  ^{ }





Contoh 1

3



Pelemparan sebuah dadu.

1

( ) 1 , 1, 2, 3, 4, 5, 6 P X  x  6 x 

0 18

1 2 3 4 5 6 6 3, 5

  ^{    } 

0,17 0,175 0,18

X=x)

6

2 2 2 2 2 2

2

1 2 3 4 5 6

2

 ^{    } 3 5

^0,16

0,165 0,17

P(X

6 3.5

15.17 12.25 2.92

  

  

,

1 2 3 4 5 6

x

Percobaan Bernoulli

4



Percobaan terdiri dari 1 usaha

Sukses

l k

Usaha

Gagal



Peluang sukses  p Peluang gagal  1-p g g g p



Misalkan

1 jika terjadi sukses

1, jika terjadi sukses

0, jika terjadi tidak sukses (gagal) X 

  

Distribusi Bernoulli

5

 X berdistribusi Bernoulli,

(1 )1 , 0,1

( ) ( ; )

0

x x

p p x

P X x ber x p

l i

   

   

0 , x lainnya



 Rataan : E[X] = µ

_x

= p V i i V (X)

²

( )

 Variansi : Var(X)= 

_x²

= p(1-p)

Percobaan Binomial

6



n usaha yang berulang.



Tiap usaha memberi hasil yang dapat

dikelompokkan menjadi sukses atau gagal.



Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya. y g y



Tiap usaha saling bebas.

Distribusi Binomial

7



Distribusi binomial, parameter n dan p



Notasi X ~ B(n p) Notasi X B(n,p)

 F.m.p:

 n

K fi i bi i l

( ) ( ; , ) n ^x(1 )^{n x}

P X x b x n p p p

x

  

     

 

!

!( )!

  

  

n n

untuk x = 0,1, … , n

 Koefisien binomial :

n! = n.(n-1).(n-2) … 1

o

Rataan : E[X] = µ

_x

= np

!( )!

  

 x x n x

o

Variansi : var(X)= 

_X²

= np(1-p)

Contoh 2

8

Suatu pabrik memproduksi suatu tipe dari chip komputer. Setelah periode yang

panjang, ditemukan bahwa chip yang

p j g, p y g

rusak sebesar 15 %. Berapa peluang

bahwa dari suatu sampel sejumlah 20

bahwa dari suatu sampel sejumlah 20

chip, 19 chip tidak rusak?

Jawab

9

Misalkan X menyatakan peubah acak banyaknya chip yang rusak.

Maka X~B(20, 0.15) ( , 5)

Yang ingin dicari adalah P(X = 1) bukan P(X = 19).

P(X = 1) = ^ _ ^{20 } _  ^{0 15 0 85}  

¹⁹

^{0 137}

P(X = 1) =  ^{0.15 0.85}   ^0.137

1 

 

 

Cara perhitungan lainnya??

Percobaan Poisson

10



Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL.



Terdefinisi pada : (yang membedakan dari percobaan Binomial)



Panjang selang waktu



Luas daerah/area Contoh :

-

Banyak mbil yang mengisi bensin di sebuah SPBU pada jam 10.00-11.00 p j

-

Banyak jenis batuan yang ditemukan dalam satuan daerah tertentu.

satuan daerah tertentu.

Proses Poisson

11



Selang waktu atau daerahnya saling bebas.



Peluang pada Proses Poisson tergantung pada selang waktu dan besarnya daerah. g y



Peluang untuk selang yang pendek atau daerah yang sempit dapat diabaikan.

yang sempit dapat diabaikan.

Distribusi Poisson

12

 Peubah acak X berdistribusi Poisson X~P(  t)

( )   , 0,1, 2,...

!

t x

e t

P X x x

x



  





 F.m.p :

! x

e = tetapan Euler (2.71828…)

o

Rataan : E[X] = 

_X

=  t

o

Variansi : var(X)= 

²

=  t

o

Variansi : var(X)= 

_X²

=  t

Contoh 3

13

3

Di suatu area perkebunan ditemukan rata-rata 3 ekor tikus tiap satu are. Analisis jenis distribusi dari kasus p j di atas kemudian hitung variansi banyaknya tikus yang ditemukan tiap satu are dan peluang pada satu are tertentu jika

are tertentu, jika

a.

tepat 5 tikus ditemukan

b

kurang dari 3 tikus ditemukan

b.

kurang dari 3 tikus ditemukan

c.

paling sedikit 2 tikus ditemukan

d

t 1 i 4 tik dit k

d.

antara 1 sampai 4 tikus ditemukan

Jawab

14

Analisis : Analisis kasus:

Distribusi Poisson =3  3

X : banyaknya tikus yang ditemukan setiap satu are y y y g p

X ~ P(3)

X ~ P(3)  = 3 ^{Var(X) = 3}

...

¹⁵

( ) , 0,1, 2,...

!



  e ^x 

P X x x

Ingat definisi:

x

sehingga

a. P(X = 5) = ³3⁵

0.10081 e^ 

( 5) 0.10081

5!

b. P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

2 3 1

3 0

3

! 2

3

! 1

3

! 0

3

^{0 3 1 3 2}

3  



 

 e e e

= 0.0498 + 0.1494 + 0.224

= 0.4232

...

16

c P(X  2) = 1 – P(X < 2) c. P(X  2) = 1 P(X < 2)

= 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)]

3 0 3 1

3 3

e^ e^

 3 3 

1 0! 1!

e e

 

    

 

= 1 – [0.0498 + 0.1494]

= 1 – 0.1992

= 0.8008

d. P(1<X<4) = P(X = 2) + P(X = 3)

3 3

0 2 2 4  e^ 3 0 .2 2 4

  3 !

= 0.224 + 0.224 8

= 0.448

Hubungan distribusi

Bernoulli Binomial Poisson dan Normal

17

Misalkan p.a X

Bernoulli, Binomial, Poisson dan Normal

Distribusi Bernoulli X ~ Ber (1, p)

Misalkan p.a X

n

>1

Distribusi Binomial X ~ Bin (n, p)

Distribusi Normal X ~ N(μ, σ²)

μ = np, σ² = np(1- p)

n >>>

n >>>, p <<<

μ p, p( p)

μ =  , σ² = 

Distribusi Poisson X ~ POI (t)

n >>>

DLP

edited 2011 by UM

 = np = np(1- p)

Beberapa distribusi diskrit lainnya p y

18



Distribusi Multinomial



Distribusi Multinomial



Distribusi Hipergeometrik Di ib i Bi i l N if



Distribusi Binomial Negatif



Distribusi Geometri

Distribusi Multinomial

19

il h d h ilk k h il

 Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E₁, E₂, …, E_k dengan peluang p₁, p₂, …, p_k, maka distribusi peluang peubah acak X₁, X₂, …, X_k yang menyatakan banyak terjadinya E₁, E₂, …, E_k dalam n usaha bebas ialah,

1 2

( ) n ^{x x xk}

P X X X  

  ^{1 2}

1 1 2 2 1 2

1 2

( , ,..., ) p p p

, ,...,

xk

x x

k k k

k

P X x X x X x

x x x

     

  

dengan,

k k

Percobaan Binomial menjadi Percobaan Binomial menjadi Multinomial jika setiap

Multinomial jika setiap

percobaan memiliki lebih dari percobaan memiliki lebih dari

1 1

dan 1

i i

i i

x n p

 

 

 

percobaan memiliki lebih dari percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil.

dua kemungkinan hasil.

Contoh 44

20

 Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu

 Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta

berturut-turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari g p g 9 perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan

pesawat, 3 orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang dengan kereta

2 orang dengan kereta.

 Jawab:

Misalkan X_i : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan Misalkan X_i : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan transportasi i, i=1,2,3,4 berturut-turut mewakili

pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta.

 9 

       

    

3 3 1 2

1 2 3 4

5

( 3, 3, 1, 2) 9 0.4 0.2 0.3 0.1

3, 3,1, 2 9!

P X X X X  

      

 

    

⁵

9! 0.064 0.08 0.3 0.01 2520 1.536 10^ 0, 038702

    

Distribusi Hipergeometrik p g

21

h( k)

 X ~ h(N, n, k)

 X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama

diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal.

k N k

  

( ) ( ; , , ) , 0,1, 2,...,

k N k

x n x

P X x h x N n k x n

N

   

   

  

   

 N n

  

  i i

 Rataan :

  nk

 Variansi :

2 N n k 1 k

  ^ n ^  ^

 N ¹

1 n

N N N

 _{ }

  

Contoh 55

22

D i 50 d di b h k i d t i 12 d



Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 12 gedung mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih

secara acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 secara acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran!



Jawab :

Misalkan X : banyak gedung yang dipilih mempunyai kode pelanggaran.

X ~ h(50, 10, 12)

12 38

  

  3 7



220 12620256

 

( 3) (3;50,10,12) 0.2703

50 10272278170

P X h

  

  

    

  

 10

 

Kaitannya dengan distribusi Binomial y g

23



Percobaan binomial maupun hipergeometrik sama



Percobaan binomial maupun hipergeometrik sama- sama memiliki 2 kemungkinan, yaitu sukses dan gagal.

gagal.



Perbedaan mendasar adalah pada binomial percobaan dilakukan dengan pengembalian pe cobaa d a u a de ga pe ge ba a

sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan tanpa pengembalian.



Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap N, maka distribusi hipergeometrik

d dih i i l h di ib i Bi i l d

dapat dihampiri oleh distribusi Binomial, dengan

peluang sukses k/N .

Distribusi Geometrik

24



X ~ g(p) atau X ~ Geom(p)



X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama



X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama dari usaha-usaha yang saling bebas dengan peluang

sukses p dan gagal (1-p). p g g ( p)

( ) ( ; ) (1 )

^x 1

, 1, 2,...

P X  x  g x p  p  p

^

x 



Rataan :

^

Variansi :

1

  p ² 1 ₂p

  ^p

p p

Contoh 6

25

D l t t h il l l li ti



Dalam suatu tes hasil pengelasan logam, meliputi proses pengelasan sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis

pengelasan tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh pengelasan tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada

pengelasan. Beberapa hasil pengelasan dites. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sampai ditemukan

patahan pertama pada hasil pengelasan. Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan patahan pertama!

pada tes ketiga ditemukan patahan pertama!



Jawab :

X G (0 2) X ~ Geom(0.2)

( 3) (3; 0.2) 0.2(0.8)

2

0.128

P X (  )  g g ( ; )  ( ) 

Distribusi Binomial Negatif g

26

 X ~ b*(k p)

 X b (k, p)

 X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari

usaha-usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).

( ) * ( ; , ) 1 (1 ) , , 1, 2...

1

k x k

P X x b x k p x p p x k k k

k





 

           

 Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acak-peubah acak Geometrik.

 

p

X = Y₁ + Y₂ + ... + Y_k

dimana Y₁, Y₂, ..., Y_k adalah peubah acak saling bebas, masing- masing berdistribusi Geom(p).

  k ² k(1 ₂ p)

  ^



Rataan :

^

Variansi :

 p ₂

 p



Rataan :

^

Variansi :

Contoh 77

27

P h tik C t h 6



Perhatikan Contoh 6.



Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan

hi di k h i

sehingga ditemukan 3 patahan pertama. Hitung

peluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga ditemukan

t h t !

3 patahan pertama!



Jawab :

3 5

( 8) * (8;3, 0.2) 7 (0.2) (0.8) 0.05505

P X b   2

     

  2

 

Referensi

28

 N idi Willi 2008 St ti ti f E i d

 Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and Scientists, 2nd Ed., New York: McGraw-Hill.

W l l R ld E d M R d H Il

 Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan

Il Edi i 4 B d P bit ITB 1995 Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

 Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist

d E i i 8 h Ed N J P H ll

and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall.

 Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.