MINUM (PDAM) TIRTANADI CABANG SUNGGAL
SKRIPSI
DEWI MAYANI ZAIN 130803032
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
ANALISIS KOMPUTASI SEDIMENTASI PADA WADAH PENAMPUNGAN AIR DI PERUSAHAAN DAERAH AIR
MINUM (PDAM) TIRTANADI CABANG SUNGGAL
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
DEWI MAYANI ZAIN 130803032
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
PERSETUJUAN
Judul : Analisis Komputasi Sedimentasi Pada Wadah Penampungan Air di Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtanadi Cabang Sunggal.
Kategori : Skripsi
Nama : Dewi Mayani Zain
Nomor Induk Mahasiswa : 130803032
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika
Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, 10 Januari 2017
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2, Pembimbing 1,
Drs. Marihat Situmorang, M.Kom NIP. 19631214 198903 1 001
Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D NIP. 19620901 198803 1 002
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D
NIP. 19620901 198803 1 002
PERNYATAAN
ANALISIS KOMPUTASI SEDIMENTASI PADA WADAH PENAMPUNGAN AIR DI PERUSAHAAN DAERAH AIR
MINUM (PDAM) TIRTANADI CABANG SUNGGAL
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, 10 Januari 2017
Dewi Mayani Zain
130803032
PENGHARGAAN
Puji Syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya serta memberikan banyak kemudahan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Analisis Komputasi Sedimentasi Pada Wadah Penampungan Air di Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtanadi Cabang Sunggal. Shalawat dan salam penulis ucapkan kepada Rasulullah Shallallahu ‘Alaihi wa Sallam, keluarga, para sahabat, dan orang-orang yang mengikutinya.
Terima kasih penulis sampaikan kepada bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D selaku pembimbing 1 dan ketua Departemen Matematika yang banyak berjasa kepada penulis dimana beliau telah meluangkan waktu dan pikirannya, memberikan pengarahan, saran, dan kritik terkait penulisan skripsi ini. Terima kasih kepada bapak Dr. Marihat Situmorang, M.Kom selaku pembimbing 2, yang juga telah meluangkan waktu, pikiran, dan saran untuk perbaikan skripsi ini.
Terima kasih sebesar-besarnya penulis sampaikan kepada kedua orang tua atas do’a dan dukungannya kepada penulis baik secara moril ataupun materi, kepada kak Yuni Aswinda Zain, kak Elvi Hairani Zain, yang sudah meluangkan waktu dan pikirannya untuk mendengarkan curahan hati penulis, memberikan nasihat, dan selalu memotivasi penulis. Terima kasih kepada Bapak Pimpinan Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtanadi Cabang Sunggal yang telah membantu penulis memberikan data yang diperlukan dalam penulisan skripsi ini.
Terima kasih penulis sampaikan kepada bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si selaku penguji 1 dan bapak Dr. Sawaluddin, M.IT selaku penguji 2 yang telah meluangkan waktu, pikiran dan memberikan kritik maupun saran untuk perbaikan skripsi ini dan sebagai pembelajaran bagi penulis.
Terima kasih penulis sampaikan kepada seluruh dosen Matematika USU yang telah membagikan ilmu kepada penulis selama masa perkuliahan, Dekan dan Wakil Dekan FMIPA USU, serta seluruh staf administrasi FMIPA USU.
Terima kasih juga penulis ucapkan kepada teman-teman yang telah memberikan do’a dan motivasi kepada penulis dalam mengerjakan skripsi.
Semoga Tuhan memberikan balasan kebaikan atas segala bantuan yang telah
semua berikan kepada penulis.
ANALISIS KOMPUTASI SEDIMENTASI PADA WADAH PENAMPUNGAN AIR DI PERUSAHAAN DAERAH AIR
MINUM (PDAM) TIRTANADI CABANG SUNGGAL
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk untuk mengetahui bagaimana distribusi konsentrasi lumpur dan kecepatan aliran air pada wadah penampungan air dalam keadaan setimbang yang diselesaikan dengan mengimplementasikan metode elemen hingga pada persamaan Transportasi Momentum yang merupakan persamaan differensial dasar yang digunakan untuk campuran cair-padat dengan konsentrasi padat yang tinggi. Dalam metode elemen hingga, medan aliran dipecah menjadi sekumpulan elemen-elemen fluida kecil (diskritisasi domain). Dalam penelitian ini peneliti menggambarkan wadah pada ruang tiga-dimensi (3D), kemudian dipilih fungsi interpolasi linier untuk elemen 3D, dan menurunkan elemen matriks dan vektor dengan metode Galerkin untuk mendapatkan persamaan Global.
Perbandingan hasil dari penelitian perhitungan dan pengukuran, memperlihatkan distribusi konsentrasi lumpur dan kecepatan aliran pada wadah penampungan air, masing-masing pada posisi inlet, tengah, dan oulet. Persoalan sedimentasi pada wadah penampungan air dapat diselesaikan dengan menggunakan komputasi numerik dan hasil pengukuran. Distribusi konsentrasi lumpur di Inlet, tengah, dan Outlet berbeda, yaitu yang menggambarkan bahwa pada bagian tersebut terjadi proses sedimentasi. Serta distribusi kecepatan aliran air di Inlet, tengah, dan Outlet berbeda, yaitu yang menggambarkan bahwa pada bagian tersebut memiliki kecepatan aliran yang lebih dominan. Hasil yang diperoleh dari komputasi numerik serupa dengan hasil pengukuran.
Kata kunci: Transportasi Momentum, medan aliran, wadah penampungan air,
metode elemen hingga, metode Galerkin.
SEDIMENTATION ANALYSIS COMPUTATION OF WATER STORAGE CONTAINERS IN LOCAL WATER COMPANY
TIRTANADI BRANCH OF SUNGGAL
ABSTRACT
This study aimed to find out how the concentration distribution of mud and water flow rate on a container holding water in equilibrium is solved by implementing the finite element method to the Momentum Transportation equation is a differential equation basis used to mix the liquid-solid with a concentration of solid high. In the finite element method, the flow field is broken down into a set of smaller fluid elements (domain discretization). In this study, researchers describe the container in the space of three-dimensional (3D), then the selected function linear interpolation for 3D elements, and lowering the element matrices and vectors with Galerkin method to get the Global equation. Comparison of results of research measurements and calculations, the distribution of sludge concentration and flow rate of the water storage containers, each in position inlet, middle and outlet. The problem of sedimentation on water storage container can be solved using numerical computation and the measurement results. Sludge concentration distribution in Inlet, middle, and different outlets, which illustrates that the piece is a process of sedimentation. As well as the water flow velocity distribution in Inlet, middle, and different outlets, namely illustrating that these sections have a flow rate that is more dominant. The results of numerical computation similar to the measurement results.
Keywords: Momentum Transport, flow fields, water storage containers, finite
element method, Galerkin method.
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN i
PERNYATAAN ii
PENGHARGAAN iii
ABSTRAK iv
ABSTRACT v
DAFTAR ISI vi
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR GAMBAR ix
DAFTAR ISTILAH x
DAFTAR LAMPIRAN xi
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Rumusan Masalah 4
1.3 Batasan Masalah 4
1.4 Tujuan Penelitian 5
1.5 Manfaat Penelitian 5
1.6 Metodologi Penelitian 5
1.7 Kerangka Penelitian 6
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Perusahaan Daerah Air Minum 7
2.2 Sedimentasi 8
2.2.1 Pengertian Sedimentasi 8
2.2.2 Jenis-jenis Sedimentasi 9
2.3 Fluida 9
2.3.1 Sifat Fluida 9
2.3.2 Medan Kecepatan Aliran Fluida 10
2.3.3 Persamaan Kontinuitas 11
2.3.4 Persamaan Transportasi Momentum 12
2.3.5 Potensial Kecepatan 13
2.4 Aliran Laminar dan Turbulen 14
2.5 Metode Elemen Hingga (Finite Element Method) 14
2.5.1 Diskritisasi Domain 15
2.5.2 Fungsi Interpolasi (Elemen Simpleks Tiga-dimensi) 17 2.5.3 Menurunkan Elemen Matriks dan Vektor 19 2.5.3.1 Direct Approach (Pendekatan Langsung) 19 2.5.3.2 Variational Approach (Pendekatan
Variasi) 19
2.5.3.3 Weight Residual Approach (Pendekatan
Residu Tertimbang) 20
Halaman
2.6 Strong Form dan Weak Form 20
2.7 Metode Galerkin 23
2.8 Software COMSOL Multiphysics 24
BAB 3 METODE PENELITIAN
3.1 Penelitian 25
3.1.1 Jenis Penelitian 25
3.1.2 Lokasi dan Waktu Penelitian 25
3.1.2.1 Lokasi Penelitain 25
3.1.2.2 Waktu Penelitian 25
3.1.3 Pengambilan Sampel 25
3.2 Tahapan Analisis 27
3.2.1 Memaparkan hubungan-hubungan Sedimentasi
Pada Persamaan Transportasi Momentum 27 3.2.2 Menentukan Kondisi Awal dan Batas 27
3.2.3 Menyelesaikan Persamaan Global 27
3.2.4 Simulasi Model dengan COMSOL Multiphysics 28 3.3 Membuat Kesimpulan dan Menyusun Laporan Penelitian 28 BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Sedimentasi 29
4.2 Aliran Air 30
4.3 Formulasi Fungsi Potensial 32
4.3.1 Bentuk Persamaan Differensial 32
4.3.2 Bentuk Variasi 33
4.3.3 Solusi Elemen Hingga dengan Pendekatan Galerkin 33 4.4 Simulasi Model dengan COMSOL Multiphysics 4.2a 37
4.4.1 Distribusi Konsentrasi Lumpur 38
4.4.2 Distribusi Kecepatan 40
4.5 Perbandingan Hasil Perhitungan dengan Hasil Pengukuran
Distribusi Konsentrasi Lumpur 41
4.5.1 Hasil Perhitungan Distribusi Konsentrasi Lumpur 41 4.5.2 Hasil Pengukuran Distribusi Konsentrasi Lumpur 42 4.6 Perbandingan Hasil Perhitungan dengan Hasil Pengukuran
Distribusi Kecepatan Aliran Air 44
4.6.1 Hasil Perhitungan Distribusi Kecepatan Aliran Air 44 4.6.2 Hasil Pengukuran Distrbusi Kecepatan Aliran Air 45 4.7 Analisis Hasil Perhitungan dan Hasil Pengukuran Pada
Distribusi Konsentrasi Lumpur dan Kecepatan Aliran Air 46 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 47
5.2 Saran 47
DAFTAR PUSTAKA 48
KALENDER PENELITIAN 51
DAFTAR TABEL
Nomor Tabel
Judul Halaman
4.1 Perincian Material Properties 38
4.2 Variabel yang digunakan untuk Komputasi 38
4.3 Hasil Perhitungan Distribusi Konsentrasi Lumpur 41
4.4 Data distribusi konsentrasi lumpur pada wadah 43
4.5 Hasil Pengukuran Distribusi Konsentrasi Lumpur 43
4.6 Hasil Perhitungan Distribusi Kecepatan Aliran Air 44
4.7 Hasil Pengukuran Distribusi Kecepatan Aliran Air 45
DAFTAR GAMBAR
Nomor Gambar
Judul Halaman
1.1 Wadah Penampungan Air di Perusahaan Daerah Air Minum
(PDAM) Tirtanadi Cabang Sunggal 2
2.1 Kecepatan dan posisi dari partikel A pada waktu t 10 2.2 Elemen Diferensial untuk pengembangan persamaan
kekekalan massa 11
2.3 Aliran turbulen, transisi, dan laminar 14
2.4 Elemen satu-dimensi 16
2.5 Elemen dua-dimensi 16
2.6 Elemen tiga-dimensi 16
2.7 Elemen simpleks tiga-dimensi 19
2.8 Kantiveler beam dikenakan beban dan momen 21
2.9 COMSOL Multiphysics 24
3.1 Botol Aqua 1500 ml untuk pengambilan sampel 26
3.2 Elemen Tetrahedral 27
3.3 Wadah Penampungan Air 28
4.1 Keseluruhan sampel penelitian 29
4.2 Geometri wadah 30
4.3 Elemen tetrahedral 33
4.4 MeshWadah 38
4.5 Konsentrasi lumpur dalam 3 bagian 39
4.6 Konsentrasi lumpur keseluruhan 40
4.7 Kecepatan aliran air 40
4.8 Grafik distribusi konsentrasi lumpur dengan hasil
perhitungan 41
4.9 (a) Sampel hari pertama 42
4.9 (b) Sampel hari kedua 42
4.10 Grafik distribusi konsentrasi lumpur dengan hasil
pengukuran 43
4.11 Grafik distribusi Kecepatan Aliran Air dengan hasil
perhitungan 44
4.12 Grafik distribusi Kecepatan Aliran Air dengan hasil
pengukuran 45
DAFTAR ISTILAH
Compresssible fluid : fluida mampu-mampat
Diskritisasi : membagi benda dalam bagian-bagian kecil (elemen) Fluida : suatu zat yang dapat mengalir
Governing equations : persamaan pengatur Incompressible fluid : fluida tak mampu-mampat
Inlet : aliran masuk
Irrotational flow : aliran tak-berotasi
Kerapatan fluida : massa fluida per satuan volume
Mesh : Jaring
Nodal/node : titik yang menghubungkan elemen satu dengan elemen yang lain
Outlet : aliran keluar
Sedimentasi
: Terbawanya material hasil dari pengikisan dan
pelapukan oleh air, angin, atau gletser kesuatu wilayah tertentu yang kemudian di endapkan
Simulasi : suatu cara untuk menduplikasi/menggambarkan ciri, tampilan, dan karakteristik dari suatu sistem nyata Steady flow : aliran tunak, kecepatannya pada suatu titik di dalam
ruang tidak bervariasi menurut waktu
Unsteady flow : aliran tak-tunak, kecepatannya bervariasi menurut waktu
Viskositas : ketahanan internal suatu fluida untuk mengalir
Volume atur : sebuah volume di dalam ruang yang dapat dilalui oleh
fluida
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Lamp.
Judul Halaman
1 Surat Keterangan Izin Riset di Perusahaan Daerah Air Minum Daerah Tirtanadi Cabang Sunggal.
49 2 Surat Keterangan Selesai Riset di Perusahaan Daerah Air
Minum Daerah Tirtanadi Cabang Sunggal.
50
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perusahaaan Daerah Air Minum (PDAM) merupakan perusahaan milik daerah yang bergerak di bidang pengolahan dan perindustrian air bersih bagi masyarakat umum. Dalam pengolahan air bersih di Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) terdapat pengendapan material yang di asumsikan lumpur sebagai masalah dalam proses pengolahan air bersih yang dapat menyebabkan butuh waktu yang lama dalam pemprosesan air bersih. Dengan jumlah penduduk yang terus bertambah, mengakibatkan pemprosesan air bersih harus lebih cepat dan efisien agar kebutuhan penduduk akan suplai air bersih dapat terpenuhi dengan baik. Beberapa fasilitas yang dimiliki dalam pemprosesan air bersih antara lain: Intake, Menara Air Baku, Clarifier, Bangunan Pengaduk Cepat (Rapid Mixing), Bangunan Pengaduk Lambat (Slow Mixing), Bangunan Filtrasi, dan Reservoir. Semua peralatan-peralatan tersebut dapat dioperasikan melalui sistem komputer yang ada.
Selain berbagai macam peralatan, PDAM juga menggunakan bahan kimia seperti kaporit dan tawas dalam proses pengolahan air bersih. Proses pengolahan air bersih terdapat beberapa tahapan yaitu: Penyaringan dan Pengendapan, Koagulasi, Flokulasi, Sedimentasi, Filtrasi, dan Desinfeksi. Dalam air yang belum diolah terdapat sedimentasi pada air tersebut, sehingga harus diolah terlebih dahulu melalui proses pengolahan air bersih agar layak di konsumsi bagi masyarakat umum.
Sedimentasi adalah terbawanya material hasil dari pengikisan dan pelapukan oleh air, angin atau gletser ke suatu wilayah tertentu yang kemudian diendapkan. Sedimentasi ini tidak terjadi secara langsung, sebelum mencapai dasar dan menjadi sedimen, zat tersebut melayang-layang di dalam suatu cairan.
Sedimen adalah material yang diendapkan didasar suatu cairan. Sebagian sedimen
mengalami erosi dan tersuspensi kembali oleh arus bawah sebelum kemudian
jatuh kembali dan tertimbun. Semua batuan hasil pelapukan dan pengikisan yang diendapkan lama-kelamaan akan menjadi batuan sedimen.
Berdasarkan tempat pengendapan dan tenaga yang mengendapkannya, proses sedimentasi dapat dibedakan menjadi 3, yaitu:
1. Sedimentasi fluvial, merupakan proses pegendapan materi yang diangkut oleh sungai dan diendapkan disepanjang aliran sungai, danau, waduk, atau muara sungai. Hasil bentuknya antara lain delta dan bantaran sungai.
2. Sedimentasi eolis (sedimentasi teresterial) merupakan proses pengendapan materi yang diangkut oleh angin. Bentuknya antara lainberupa gugus pasir (sand dunes) atau gundukan pasir yang seringkali ditemukan di pantai.
3. Sedimentasi laut (marine sedimentation) merupakan hasil abrasi pantai yang kemudian diendapkan kembali disepanjang pantai. Contoh hasil bentukannya, antara lain endapan puing karang (beach), endapan gosong pasir (bar), dan endapan pasir yang menghubungkan dua pulau (tombolo).
Gambar 1.1. Wadah Penampungan Air di Perusahaan Daerah Air Minum
(PDAM) Tirtanadi Cabang Sunggal
3
Dalam kaitannya mengenai Proses Sedimentasi, Menurut Muawanah dan Supangat (2002), menyatakan bahwa “dalam suatu proses sedimentasi misalnya di laut, zat-zat yang masuk ke laut berakhir menjadi sedimen. Dalam hal ini zat yang ada terlibat proses biologi dan kimia yang terjadi sepanjang kedalaman laut.
Sebelum mencapai dasar laut dan menjadi sedimen, zat tersebut melayang-layang di dalam laut. Setelah mencapai dasar laut pun, sedimen tidak diam tetapi sedimen akan terganggu ketika hewan laut mencari makan. Sebagian sedimen mengalami erosi dan tersuspensi kembali oleh arus bawah sebelum kemudian jatuh kembali dan tertimbun. Terjadi reaksi kimia antara butir-butir mineral dan air laut sepanjang perjalannya ke dasar laut dan reaksi tetap berlangsung penimbunan, yaitu ketika air laut terperangkap di antara butiran mineral.”
Persoalan sedimentasi pada air yang mengalir akan diselesaikan dengan analisis Metode Elemen Hingga pada Persamaan Transportasi Momentum dan disimulasikan dengan menggunakan Software COMSOL Multiphysics 4.2a.
Metode Elemen Hingga adalah salah satu metode numerik yang digunakan untuk penyelesaian persamaan differensial pengatur aliran fluida, dan medan aliran dipecah menjadi sekumpulan elemen-elemen fluida kecil (biasanya bidang segitiga jika aliran dua-dimensi, atau elemen volume kecil jika aliran tiga- dimensi).
COMSOL adalah software simulasi elemen hingga, yang pada dasarnya dapat mensimulasikan berbagai aplikasi fisika dan teknik, seperti mensimulasikan perpindahan panas melalui struktur yang kompleks, kristal fotonik pada skala nano, lentur mekanik balok, aliran cairan, proses elektrokimia, fisika plasma dan lainnya. COMSOL Multiphysics 4.2a merupakan ekspansi yang signifikan dari aplikasi software, fitur dan fungsi. Keuntungan utama dalam menggabungkan simulasi komputer dan analisis prinsip-prinsip utama adalah bahwa pengguna dapat mencoba banyak pendekatan yang berbeda untuk solusi dari masalah yang sama yang diperlukan untuk mendapatkan solusi yang benar (atau setidaknya mendekati benar).
Dalam penelitian ini, persoalan sedimentasi pada wadah penampungan air
akan diselesaikan dengan mengimplementasikan metode elemen hingga (Finite
Element Method) pada persamaan Transportasi Momentum. Persamaan
Transportasi Momentum adalah persamaan diferensial dasar yang digunakan untuk campuran cair-padat dengan konsentrasi padat yang tinggi. Persamaan Transportasi Momentum dapat dinyatakan sebagai berikut
𝜌𝜕𝒖
𝜕𝑡 + 𝜌(𝒖. ∇)𝒖 = −∇𝑝 − ∇. (𝜌𝑐𝑠(1 − 𝑐𝑠)𝒖𝑠𝑙𝑖𝑝𝒖𝑠𝑙𝑖𝑝) + ∇. [𝜂(∇𝒖 + ∇𝐮T)] + 𝜌𝒈
di mana 𝒖 adalah massa rata-rata kecepatan campuran (𝑚/𝑠) ,
𝜌 adalah densitas (𝑘𝑔/𝑚3),𝑝 menunjukkan tekanan (p
a), 𝒈 mengacu pada percepatan gravitasi (𝑚/𝑠
2), 𝑐
𝑠adalah fraksi massa partikel berdimensi, 𝒖
𝑠𝑙𝑖𝑝merupakan kecepatan relatif antara fase padat dan cair (𝑚/𝑠) , dan
𝜂 adalah Viskositas campuran (𝑁𝑠/𝑚2).Berdasarkan latar belakang tersebut, maka penulis memilih judul penelitian ini dengan “Analisis Komputasi Sedimentasi Pada Wadah Penampungan Air di Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtanadi Cabang Sunggal.”
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana distribusi konsentrasi lumpur dan kecepatan aliran air pada wadah penampungan air dalam keadaan setimbang.
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah untuk penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mengimplementasikan metode elemen hingga untuk persoalan sedimentasi pada wadah penampungan air dan disimulasikan dengan software COMSOL Multiphysics 4.2a,
2. Dipilih elemen tetrahedral sebagai elemen yang membagi ruang tiga-dimensi, 3. Diasumsikan air mengalir dan tidak berputar, aliran mampu-mampat, dan
aliran laminar.
5
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui penyelesaian persoalan sedimentasi dengan distribusi konsentrasi lumpur dan kecepatan aliran air pada wadah penampungan air dalam keadaan setimbang.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah
1. Memberikan suatu gambaran mengenai persoalan sedimentasi pada wadah penampungan air, sehingga dapat dijadikan acuan bagi pemerintah dalam mengatasi sedimentasi pada air yang terjadi di Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtanadi Cabang Sunggal,
2. Memperluas pengetahuan terhadap metode elemen hingga.
1.6 Metodologi Penelitian
Penelitian ini adalah penelitian studi kasus yang disusun dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Untuk mengetahui distribusi konsentrasi lumpur dan kecepatan aliran air dilakukan penelitian selama 2 hari di Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtanadi cabang sunggal,
2. Menggunakan Persamaan Transportasi Momentum, 3. Menentukan kondisi awal dan batas,
4. Menurunkan elemen matriks dan vektor dengan Metode Galerkin untuk memperoleh persamaan Global,
5. Perhitungan elemen matriks, elemen vektor dan visualisasi penggambaran model dari persoalan sedimentasi pada air yang mengalir, digunakan bantuan Software COMSOL Multiphysics 4.2a,
6. Menganalisis hasil dari perhitungan distribusi konsentrasi lumpur dan
kecepatan aliran air pada wadah penampungan air dalam keadaan
setimbang.
1.7 Kerangka Penelitian
Berikut adalah kerangka penelitian yang akan dilakukan dari keterangan metodologi penelitian:
Penelitian
Persamaan Transportasi Momentum
Metode Elemen Hingga
Menentukan kondisi Awal dan Batas
Pembahasan dan Hasil menggunakan
Software Comsol Multiphysics 4.2aMetode Galerkin
Menganalisis hasil dari perhitungan distribusi konsentrasi lumpur dan kecepatan air mengalir pada
wadah penampungan air dalam keadaan setimbang
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Perusahaan Daerah Air Minum
Perusahaaan Daerah Air Minum (PDAM) merupakan perusahaan milik daerah yang bergerak di bidang pengolahan dan perindustrian air bersih bagi masyarakat umum, (Kholik, 2012). Proses pengolahan air bersih terdapat beberapa tahapan yaitu:
1. Penyaringan dan Pengendapan
Penyaringan dan pengendapan bertujuan untuk memisahkan air baku dari zat-zat, seperti: sampah, daun, rumput, pasir dan lain-lain berdasarkan berat jenis zat.
2. Koagulasi
Koagulasi adalah proses pembubuhan bahan kimia Tawas kedalam air agar kotoran dalam air yang berupa padatan resuspensi misalnya zat warna organik, lumpur halus, bakteri dan lain-lain dapat menggumpal dan cepat mengendap.
3. Flokulasi
Flokulasi adalah proses pembentukan flok sebagai akibat gabungan dari koloid-koloid dalam air baku (air sungai) dengan koagulan. Pembentukan flok akan terjadi dengan baik jika di tambahkan koagulan kedalam air baku (air sungai) kemudian dilakukan pengadukan lambat.
4. Sedimentasi
Setelah proses koagulasi dan flokulasi, air tersebut di diamkan sampai
gumpalan kotoran yang terjadi mengendap semua. Setelah kotoran
mengendap air akan tampak lebih jernih.
5. Filtrasi
Pada proses pengendapan tidak semua gumpalan kotoran dapat diendapkan semua. Butiran gumpalan kotoran kotoran dengan ukuran yang besar dan berat akan mengendap, sedangkan yang berukuran kecil dan ringan masih melayang-layang dalam air. Untuk mendapatkan air yang betul-betul jernih harus dilakukan proses penyaringan. Penyaringan dilakukan dengan mengalirkan air yang telah diendapkan kotorannya ke bak penyaring yang terdiri dari saringan pasir silika.
6. Desinfeksi
Pemberian desinfektan (gas khlor) pada air hasil penyaringan bertujuan agar dapat mereduksi konsentrasi bakteri secara umum dan menghilangkan bakteri pathogen (bakteri penyebab penyakit).
2.2 Sedimentasi
2.2.1 Pengertian Sedimentasi
Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali ditemui istilah sedimen dan sedimentasi. Dalam kaitannya mengenai sedimen dan sedimentasi ini, Menurut Rahayu et al. (2009), terdapat beberapa ahli yang mendefinisikan sedimen dalam beberapa pengertian, salah satunya adalah Pipkin (1977) menyatakan bahwa sedimen adalah pecahan, mineral, atau material organik yang ditransformasikan dari berbagai sumber dan diendapkan oleh media udara, angin, es, atau air dan juga termasuk di dalamnya material yang diendapkan dari material yang melayang dalam air atau dalam bentuk larutan kimia. Petti John (1975) mendefinisikan sedimentasi sebagai proses pembentukan sedimen atau batuan sedimen yang diakibatkan oleh pengendapan material pembentuk atau asalnya pada suatu tempat yang disebut dengan lingkungan pengendapan berupa sungai, muara, danau, delta, estuaria, laut dangkal sampai laut dalam.
Dalam proses sedimentasi, zat-zat yang masuk ke laut maupun sungai
berakhir menjadi sedimen
.Menurut Muawanah & Supangat (2002), menyatakan
bahwa “bagian sungai yang paling efektif untuk proses pengendapan
9
(sedimentasi) ini adalah bagian hilir atau pada bagian slip of slope pada kelokan sungai, karena biasanya pada kelokan sungai terjadi pengurangan energi yang cukup besar. Ukuran material yang diendapkan berbanding lurus dengan besarnya energi pengangkut, sehingga semakin ke hilir, energi semakin kecil, material yang diendapkan pun semakin halus. Adapun faktor-faktor yang mempengaruhi proses sedimentasi adalah: Kecepatan Aliran Sungai, Gradien/kemiringan lereng sungai, Bentuk alur sungai, aktivitas gelombang, dan pola arus.
2.2.2 Jenis-jenis Sedimentasi
Muawanah & Supangat (2002) menyatakan bahwa berdasarkan tempat pengendapan dan tenaga yang mengendapkannya, proses sedimentasi dapat dibedakan menjadi 3, yaitu:
1. Sedimentasi Fluvial, merupakan proses pegendapan materi yang diangkut oleh sungai dan diendapkan disepanjang aliran sungai, danau, waduk, atau muara sungai. Hasil bentuknya antara lain delta dan bantaran sungai.
2. Sedimentasi Eolis (Sedimentasi Teresterial) merupakan proses pengendapan materi yang diangkut oleh angin. Bentuknya antara lain berupa gugus pasir (sand dunes) atau gundukan pasir yang seringkali ditemukan di pantai.
3. Sedimentasi Laut (Marine Sedimentation) merupakan hasil abrasi pantai yang kemudian diendapkan kembali disepanjang pantai. Contoh hasil bentukannya, antara lain endapan puing karang (beach), endapan gosong pasir (bar), dan endapan pasir yang menghubungkan dua pulau (tombolo).
2.3 Fluida
2.3.1 Sifat Fluida
Fluida didefinisikan sebagai zat yang berdeformasi terus-menerus selama
dipengaruhi suatu tegangan geser. Tegangan (gaya per satuan luas) geser
terbentuk apabila sebuah gaya tangensial bekerja pada sebuah permukaan, (Munson, et al, 2003).
Fluida mengubah bentuknya dengan mudah. Salah satu cara untuk menjelaskan gerak suatu fluida adalah dengan membagi-bagi fluida tersebut menjadi elemen volume yang sangat kecil yang dapat dinamakan partikel fluida dan mengikuti gerak masing-masing partikel ini (Pantur, 1997).
2.3.2 Medan Kecepatan Aliran Fluida
Salah satu variabel fluida yang paling penting adalah Medan Kecepatannya.
𝐕 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝐢⃗ + 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝐣⃗ + 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝐤 ⃗ (2.1) di mana 𝑢, 𝑣, dan 𝑤 adalah komponen-komponen vektor kecepatan dalam arah 𝑥, 𝑦, dan 𝑧. Menurut definisi, kecepatan sebuah partikel adalah laju perubahan per satuan waktu dari vektor posisi (𝒓
𝐴) partikel tersebut. Secara umum, kecepatan partikel dinyatakan dengan 𝐕
𝐴untuk partikel A. Turunan terhadap waktu dari posisi memberikan kecepatan dari partikel tersebut 𝑑𝒓
𝐴/𝑑𝑡 = 𝐕
𝐴.
Gambar 2.1. Kecepatan dan posisi dari partikel A pada waktu 𝑡 (Sumber: Munson et al, 2003)
𝐕
𝐴= 𝐕
𝐴(𝒓
𝐴, 𝑡) = 𝐕
𝐴[𝑥
𝐴(𝑡), 𝑦
𝐴(𝑡), 𝑧
𝐴(𝑡), 𝑡] (2.2)
di mana 𝑥
𝐴= 𝑥
𝐴(𝑡),𝑦
𝐴= 𝑦
𝐴(𝑡), dan 𝑧
𝐴= 𝑧
𝐴(𝑡) mendefinisikan lokasi partikel
yang sedang bergerak. Dengan menuliskan kecepatan untuk seluruh partikel,
dapat diperoleh gambaran medan dari vektor kecepatan 𝐕 = 𝐕(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). Menurut
definisi, percepatan sebuah partikel adalah laju perubahan kecepatan terhadap
waktu. Maka didapat medan percepatan dari medan kecepatan sebagai
11
𝒂 = 𝐷𝐕 𝐷𝑡 = 𝜕𝐕
𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝐕
𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝐕
𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝐕
𝜕𝑧 (2.3a)
𝒂 = 𝐷𝐕 𝐷𝑡 = 𝜕𝐕
𝜕𝑡 + (𝐕 ∙ ∇)𝐕 (2.3b)
Komponen-komponen partikel diberikan oleh 𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑡 , 𝑣 = 𝑑𝑦
𝑑𝑡 , 𝑤 = 𝑑𝑧
𝑑𝑡 (2.4)
Notasi ringkas yang sering digunakan untuk operator turunan adalah 𝐷
𝐷𝑡 = 𝜕
𝜕𝑡 + (𝐕 ∙ ∇) (2.5)
di mana ∇ adalah gradien vektor.
2.3.3 Persamaan Kontinuitas
Persamaan Kontinuitas adalah Pernyataan volume atur untuk Kekekalan Massa.
Kekekalan massa mensyaratkan agar massa (M) sebuah sistem tetap konstan selagi sistem tersebut bergerak melalui medan aliran. Untuk volume atur yang tetap dan tidak mendeformasi adalah
𝜕
𝜕𝑡 ∫ 𝜌𝑑𝑉 + ∫ 𝜌𝐕 ∙ 𝑛̂ 𝑑𝐴 = 0
𝐶𝑆 𝐶𝑉
(2.6) Persamaan (2.6) menyatakan bahwa untuk menjaga kekekalan massa, laju perubahan terhadap waktu dari massa kandungan volume atur (𝑐𝑣) ditambah dengan laju netto aliran massa melalui permukaan atur (𝑐𝑠) harus sama dengan nol.
Gambar 2.2. Elemen diferensial untuk pengembangan persamaan kekekalan
massa (Sumber: Munson et al, 2003)
Perhatikan (Gambar 2.2) sebagai volume atur yang ditinjau, pada pusat dari elemen tersebut, kerapatan fluida adalah 𝜌 dan kecepatannya mempunyai komponen 𝑢, 𝑣, dan 𝑤. Karena
𝜕
𝜕𝑡 ∫ 𝜌𝑑𝑉
𝐶𝑉
≈ 𝜕
𝜕𝑡 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 (2.7)
Laju netto massa aliran keluar adalah [ 𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑥 + 𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦 + 𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑧 ] 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 (2.8)
Dari persamaan (2.6), (2.7), dan (2.8), maka persamaan diferensial untuk kekekalan massa (Persamaan Kontinuitas) adalah
𝜕𝜌
𝜕𝑥 + 𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑥 + 𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦 + 𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑧 = 0 (2.9)
Persamaan kontinuitas adalah salah satu persamaan dasar mekanika fluida dan Persamaan (2.9), berlaku untuk aliran tunak (steady flow) dan tak tunak (unsteady flow), dan fluida mampu-mampat (compressible fluid) ataupun tak mampu-mampat (incompressible fluid). Dalam notasi vektor, persamaan (2.9) dapat ditulis sebagai
𝜕𝜌
𝜕𝑥 + 𝛁 ∙ 𝜌𝑉 = 0 (2.10)
Untuk aliran tunak dari fluida mampu-mampat
𝛁 ∙ 𝜌𝑉 = 0
𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑥 + 𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦 + 𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑧 = 0 (2.11)
Hal ini karena menurut definisi kerapatan fluida, 𝜌, bukanlah fungsi dari waktu dalam aliran tunak, namun bisa merupakan fungsi posisi.
2.3.4 Persamaan Transportasi Momentum
Persamaan Transportasi Momentum dapat disubstitusikan dan disederhanakan
dengan menggunakan persamaan kontinuitas (Persamaan 2.11) untuk
mendapatkan
13
𝜌 ( 𝜕𝑢
𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑧 )
= − 𝜕𝑝
𝜕𝑥 − ∇. (𝜌𝑐
𝑠(1 − 𝑐
𝑠)𝒖
𝑠𝑙𝑖𝑝𝒖
𝑠𝑙𝑖𝑝) + ∇. [𝜂(∇𝒖 + ∇𝐮
T)] + 𝜌𝒈
𝒙(2.12a)
𝜌 ( 𝜕𝑣
𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑧 )
= − 𝜕𝑝
𝜕𝑦 − ∇. (𝜌𝑐
𝑠(1 − 𝑐
𝑠)𝒖
𝑠𝑙𝑖𝑝𝒖
𝑠𝑙𝑖𝑝) + ∇. [𝜂(∇𝒖 + ∇𝐮
T)] + 𝜌𝒈
𝒚(2.12b)
𝜌 ( 𝜕𝑤
𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑧 )
= − 𝜕𝑝
𝜕𝑧 − ∇. (𝜌𝑐
𝑠(1 − 𝑐
𝑠)𝒖
𝑠𝑙𝑖𝑝𝒖
𝑠𝑙𝑖𝑝) + ∇. [𝜂(∇𝒖 + ∇𝐮
T)] + 𝜌𝒈
𝒛(2.12c)
suku-suku percepatan berada di ruas kiri dan suku-suku gaya di ruas kanan.
Persamaan (2.12) disebut sebagai persamaan Transportasi Momentum, dinamakan demikian karena dianggap sebagai persamaan diferensial pengatur yang digunakan untuk campuran cair-padat, dengan konsentrasi padat yang tinggi.
2.3.5 Potensial Kecepatan
Komponen-komponen kecepatan dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi skalar 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) sebagai
𝑢 = 𝜕𝜌𝜙
𝜕𝑥 𝑣 = 𝜕𝜌𝜙
𝜕𝑦 𝑤 = 𝜕𝜌𝜙
𝜕𝑧 (2.13)
di mana 𝜙 disebut sebagai Potensial Kecepatan. Untuk suatu fluida mampu- mampat dari kekekalan massa bahwa
𝛁 ∙ 𝜌𝑉 = 0
dan oleh karena itu untuk aliran mampu-mampat, tak berotasi (dengan 𝜌𝐕 = 𝛁𝜙)
𝛁
2𝜌𝜙 = 𝜕
2𝜌𝜙
𝜕𝑥
2+ 𝜕
2𝜌𝜙
𝜕𝑦
2+ 𝜕
2𝜌𝜙
𝜕𝑧
2= 0 (2.14)
disebut Persamaan Laplace. Persamaan tersebut menghasilkan persamaan
differensial orde 2 yang merupakan hasil dari percepatan dari suatu kecepatan.
2.4 Aliran Laminar dan Turbulen
Aliran viskos dapat dibedakan menjadi dua tipe yaitu aliran laminar dan turbulen.
Dalam aliran laminar, partikel-partikel zat cair bergerak teratur mengikuti lintasan yang saling sejajar. Aliran laminar terjadi apabila kecepatan kecil dan/atau kekentalan besar. Pada aliran turbulen gerak partikel-partikel zat cair tidak teratur.
Aliran ini terjadi apabila kecepatan besar dan kekentalan zat cair kecil (Triatmodjo, 1993).
Gambar 2.3. Aliran turbulen, transisi, dan laminar (Sumber: Munson et al, 2004)
2.5 Metode Elemen Hingga (Finite Element Method)
Metode Elemen Hingga (MEH) adalah metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan teknik dan problem matematis suatu gejala phisis (Susatio, 2004).
Metode Elemen Hingga juga merupakan teknik numerik untuk mencari solusi pendekatan persamaan diferensial parsial (PDP) juga persamaan integral.
Pendekatan solusi yang dasar baik itu dengan mengeliminasi persamaan
diferensial sepenuhnya (steady state problem), atau mengubah persamaan
diferensial parsial menjadi sebuah sistem aproksimasi dari persamaan diferensial
biasa, yang lebih terintegrasi secara numerik menggunakan teknik standar seperti
Metode Euler, Runge-Kutta, dan lain sebagainya (Brandenburg & Clemmons,
2012).
15
Ide dasar dalam metode elemen hingga adalah untuk menemukan solusi dari masalah yang rumit dengan menggantinya menjadi yang sederhana. Karena masalah yang sebenarnya diganti dengan yang sederhana dalam mencari solusi, akan hanya dapat menemukan solusi perkiraan bukan solusi yang tepat (Rao, 2011).
Metode elemen hingga melibatkan pemodelan struktur menggunakan elemen yang saling berhubungan kecil yang disebut elemen-elemen hingga (finite elements). Sebuah fungsi perpindahan terkait dengan setiap elemen hingga. Setiap elemen yang berhubungan terkait, langsung maupun tidak langsung, untuk setiap elemen lain melalui interfaces, termasuk node dan/atau garis batas dan/atau permukaan (surface), (Logan, 2007).
Allaire (1985) menyebutkan langkah-langkah dalam metode elemen hingga adalah sebagai berikut:
1. Merumuskan governing equations (persamaan pengatur) dan kondisi batas,
2. Membagi daerah analisis menjadi elemen-elemen (diskritisasi), 3. Memilih fungsi interpolasi,
4. Menentukan sifat elemen,
5. Merakit/menggabungkan persamaan global, 6. Solusi persamaan global,
7. Verifikasi solusi.
Persamaan dalam metode elemen hingga adalah
[𝐾]Φ ⃗⃗⃗⃗ = 𝑃⃗⃗ (2.15)
di mana [𝐾] adalah kumpulan matriks kekakuan (stiffness matrix), Φ ⃗⃗⃗⃗ adalah vektor perpindahan nodal (nodal displacement), dan 𝑃⃗⃗ adalah vektor dari gaya nodal (nodal force) untuk struktur lengkap (Rao, 2011).
2.5.1 Diskritisasi Domain
Langkah awal dari metode elemen hingga adalah membagi daerah/benda dalam
bagian-bagian kecil (disebut elemen). Langkah ini disebut sebagai diskritisasi.
Objek satu-dimensi dibagi ke segmen garis pendek (short). Badan dua-dimensi dapat dibagi menjadi segitiga, persegi panjang, segiempat, atau sub-daerah lain yang sesuai. Untuk elemen tetrahedral, elemen prismatik persegi panjang, dan masih banyak lagi yang bekerja pada permasalahan tiga-dimensi.
Gambar 2.4. Elemen satu-dimensi (Sumber: Rao, 2011)
Gambar 2.5. Elemen dua-dimensi (Sumber: Rao, 2011)
Gambar 2.6. Elemen tiga-dimensi (Sumber: Rao, 2011)
17
2.5.2 Fungsi Interpolasi (Elemen Simpleks Tiga-Dimensi)
Elemen Simpleks adalah pendekatan yang dilakukan dengan polinomial yang terdiri dari term (suku) konstan dan suku linier. Banyaknya koefisien dalam polinomial sama dengan dimensi dari koordinat ruang yang ada ditambah satu (Susatio, 2004).
Bentuk yang sangat populer dari fungsi interpolasi adalah bentuk Polinomial. Derajat dari polinomial dipilih bergantung pada banyaknya item yang diketahui dari fungsi kontinu pada setiap elemen. Terdapat tiga macam fungsi interpolasi yang dipakai dalam metode elemen hingga, yaitu: Simpleks, Kompleks, dan Multipleks (Susatio, 2004).
Biasanya polinomial digunakan sebagai fungsi interpolasi karena mudah untuk didiferensialkan dan diintegralkan. Setiap fungsi interpolasi polinomial akan selalu kontinu dalam suatu elemen, sehingga kondisi ini benar-benar berlaku untuk batas interelement. Elemen simpleks memiliki polinomial linear (Allaire, 1985).
Untuk elemen tiga-dimensi adalah elemen tetrahedral (Gambar 2.6) dengan fungsi interpolasi linear berbentuk
𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛼
1+ 𝛼
2𝑥 + 𝛼
3𝑦 + 𝑎
4𝑧 (2.16) Misalkan node diberi label 𝑖, 𝑗, 𝑘, dan 𝑙. Misalkan koordinat global untuk node 𝑖, 𝑗, 𝑘, dan 𝑙 diberikan oleh (𝑥
𝑖, 𝑦
𝑖, 𝑧
𝑖), (𝑥
𝑗, 𝑦
𝑗, 𝑧
𝑗), (𝑥
𝑘, 𝑦
𝑘, 𝑧
𝑘), dan (𝑥
𝑙, 𝑦
𝑙, 𝑧
𝑙) serta nilai nodal dari variabel medan 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) oleh Φ
𝑖, Φ
𝑗, Φ
𝑘, dan Φ
𝑙.
Kondisi nodal
𝜙 = Φ
𝛽𝑑𝑖 (𝑥
𝛽, 𝑦
𝛽, 𝑧
𝛽) 𝛽 = 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙 Fungsi interpolasi untuk elemen simpleks tiga-dimensi adalah
𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑁
𝑖(𝑥, 𝑦, 𝑧)Φ
𝑖+ 𝑁
𝑗(𝑥, 𝑦, 𝑧)Φ
𝑗+ 𝑁
𝑘(𝑥, 𝑦, 𝑧)Φ
𝑘+ 𝑁
𝑙(𝑥, 𝑦, 𝑧)Φ
𝑙= [𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧)]Φ ⃗⃗⃗⃗
(𝑒)(2.17) di mana
[𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧)] = [𝑁
𝑖(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑁
𝑗(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑁
𝑘(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑁
𝑙(𝑥, 𝑦, 𝑧)] (2.18) 𝑁
𝛽(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1
6𝑉 (𝑎
𝛽+ 𝑏
𝛽𝑥 + 𝑐
𝛽𝑦 + 𝑑
𝛽𝑧) 𝛽 = 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙 (2.19)
dan
Φ ⃗⃗⃗⃗
(𝑒)= { Φ
𝑖Φ
𝑗Φ
𝑘Φ
l} = vektor nodal yang tak diketahui dari elemen 𝑒 (2.20)
V adalah volume elemen tetrahedral 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 yang diberikan oleh
𝑉 =1 6|
1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑧𝑖 1 𝑥𝑗 𝑦𝑗 𝑧𝑗 1 𝑥𝑘 𝑦𝑘 𝑧𝑘 1 𝑥𝑙 𝑦𝑙 𝑧𝑙
|
(2.21)
𝑎
𝑖= |
𝑥
𝑗𝑦
𝑗𝑧
𝑗𝑥
𝑘𝑦
𝑘𝑧
𝑘𝑥
𝑙𝑦
𝑙𝑧
𝑙| 𝑎
𝑗= − |
𝑥
𝑘𝑦
𝑘𝑧
𝑘𝑥
𝑙𝑦
𝑙𝑧
𝑙𝑥
𝑖𝑦
𝑖𝑧
𝑖| 𝑎
𝑘= |
𝑥
𝑙𝑦
𝑙𝑧
𝑙𝑥
𝑖𝑦
𝑖𝑧
𝑖𝑥
𝑗𝑦
𝑗𝑧
𝑗| 𝑎
𝑙= − |
𝑥
𝑖𝑦
𝑖𝑧
𝑖𝑥
𝑗𝑦
𝑗𝑧
𝑗𝑥
𝑘𝑦
𝑘𝑧
𝑘|
𝑏
𝑖= − |
1 𝑦
𝑗𝑧
𝑗1 𝑦
𝑘𝑧
𝑘1 𝑦
𝑙𝑧
𝑙| 𝑏
𝑗= |
1 𝑦
𝑘𝑧
𝑘1 𝑦
𝑙𝑧
𝑙1 𝑦
𝑖𝑧
𝑖|
𝑏
𝑘= − |
1 𝑦
𝑙𝑧
𝑙1 𝑦
𝑖𝑧
𝑖1 𝑦
𝑗𝑧
𝑗| 𝑏
𝑙= |
1 𝑦
𝑖𝑧
𝑖1 𝑦
𝑗𝑧
𝑗1 𝑦
𝑘𝑧
𝑘|
𝑐
𝑖= − |
𝑥
𝑗1 𝑧
𝑗𝑥
𝑘1 𝑧
𝑘𝑥
𝑙1 𝑧
𝑙| 𝑐
𝑗= |
𝑥
𝑘1 𝑧
𝑘𝑥
𝑙1 𝑧
𝑙𝑥
𝑖1 𝑧
𝑖|
𝑐
𝑘= − |
𝑥
𝑙1 𝑧
𝑙𝑥
𝑖1 𝑧
𝑖𝑥
𝑗1 𝑧
𝑗| 𝑐
𝑙= |
𝑥
𝑖1 𝑧
𝑖𝑥
𝑗1 𝑧
𝑗𝑥
𝑘1 𝑧
𝑘|
𝑑
𝑖= − |
𝑥
𝑗𝑦
𝑗1 𝑥
𝑘𝑦
𝑘1 𝑥
𝑙𝑦
𝑙1
| 𝑑
𝑗= |
𝑥
𝑘𝑦
𝑘1 𝑥
𝑙𝑦
𝑙1 𝑥
𝑖𝑦
𝑖1 |
𝑑
𝑘= − |
𝑥
𝑙𝑦
𝑙1 𝑥
𝑖𝑦
𝑖1
𝑥
𝑗𝑦
𝑗1 | 𝑑
𝑙= |
𝑥
𝑖𝑦
𝑖1 𝑥
𝑗𝑦
𝑗1 𝑥
𝑘𝑦
𝑘1
|
(2.22)
19
Gambar 2.7. Elemen simpleks tiga-dimensi (Sumber: Rao, 2011)
2.5.3 Menurunkan Elemen Matriks dan Vektor
Matriks karakteristik dan vektor karakteristik (juga disebut vektor gaya nodal) dari elemen hingga dapat diturunkan dengan menggunakan salah satu pendekatan berikut:
2.5.3.1 Direct Approach (Pendekatan Langsung)
Pendekatan langsung didasarkan pada menggunakan penalaran fisik langsung untuk membangun sifat elemen (yaitu, matriks karakteristik dan vektor) dalam bentuk variabel yang bersangkutan. Metode ini hanya berlaku untuk masalah yang sederhana, dan kesulitan tak teratasi muncul ketika mencoba menerapkan metode untuk masalah kompleks yang melibatkan elemen hingga dua dan tiga-dimensi.
Dengan demikian, metode langsung tidak digunakan dalam analisis elemen hingga masalah praktis kebanyakan.
2.5.3.2 Variational Approach (Pendekatan Variasi)
Dalam metode ini, analisis elemen hingga ditafsirkan sebagai sarana perkiraan
untuk memecahkan masalah variasional. Pendekatan variasional telah paling
banyak digunakan dalam literatur dalam merumuskan persamaan elemen hingga.
Keterbatasan utama dari metode ini adalah bahwa ia memerlukan masalah fisik atau teknik untuk dinyatakan dalam bentuk variasional, yang tidak mungkin dalam semua kasus.
2.5.3.3 Weight Residual Approach (Pendekatan Residu Tertimbang)
Metode residu tertimbang adalah teknik yang dapat digunakan untuk mendapatkan pendekatan solusi untuk persamaan diferensial linear dan nonlinear.
Pendekatan residu tertimbang, prosedur penurunan, seperti metode Galerkin dan metode kuadrat terkecil (Least Squares), dapat digunakan untuk menurunkan persamaan elemen.
2.6 Strong Form dan Weak Form
Persamaan diferensial parsial yang mengatur keseimbangan benda padat dikatakan dari Strong form. Strong form dari persamaan, sebagai lawan dari weak form, membutuhkan kontinuitas kuat dari variabel yang terkait bidang, yaitu komponen perpindahan 𝑢, 𝑣, 𝑑an 𝑤 dalam kasus masalah mekanik yang solid.
Biasanya, sangat sulit untuk menemukan solusi yang tepat dari Strong form dari persamaan diferensial parsial.
Persamaan diturunkan menggunakan prinsip energi, seperti prinsip energi minimum potensial, atau metode residual tertimbang, seperti metode Galerkin, biasanya dari weak form. Persamaan weak form biasanya dalam bentuk integral dan memerlukan kontinuitas lemah pada variabel bidang. Karena kebutuhan yang lebih lemah pada variabel bidang dan bentuk integral dari persamaan yang mengatur, formulasi didasarkan pada weak form yang diharapkan mengarah pada suatu himpunan persamaan untuk sistem diskrit yang menghasilkan hasil yang lebih akurat, terutama untuk sistem yang melibatkan geometri yang kompleks.
Oleh karena itu, jenis weak form dari formulasi adalah lebih disukai untuk
mendapatkan suatu solusi pendekatan. Dengan demikian, metode elemen hingga,
berdasarkan weak form dari formulasi seperti prinsip energi atau pendekatan
21
residual tertimbang, telah menjadi sangat populer. Contoh berikut menunjukkan keuntungan dari formulasi weak form.
Contoh:
Persamaan yang mengatur defleksi balok, 𝑤(𝑥), diberikan oleh 𝐸𝐼 𝑑
4𝑤
𝑑𝑥
4= 𝑝(𝑥) (C.1)
di mana 𝑝(𝑥) adalah gaya didistribusikan sepanjang balok. Untuk balok kantilever dikenakan beban akhir dan momen akhir seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.8, mencari defleksi balok menggunakan metode Galerkin dengan solusi diasumsikan
𝑤 ̃(𝑥) = 𝐶𝑓(𝑥) = 𝐶(3𝑥
2𝑙 − 𝑥
3) (C.2) di mana 𝑓(𝑥) adalah fungsi trial dan 𝐶 adalah konstanta. Juga, menunjukkan keuntungan dari formulasi weak.
Gambar 2.8. Kantilever beam dikenakan beban dan momen (Sumber: Rao, 2011)
Solusi:
Karena beban didistribusikan 𝑝(𝑥) = 0 untuk balok yang ditunjukkan pada Gambar 2.8, persamaan yang mengatur (governing equation) menjadi
𝐸𝐼 𝑑
4𝑤
𝑑𝑥
4= 0 (C.3)
Dalam metode Galerkin, konstanta 𝐶 dalam solusi diasumsikan ditemukan dengan menggunakan hubungan
∫ 𝑅(𝑥)𝑓(𝑥)
𝑙
0
= 0 (C.4)
di mana 𝑅(𝑥) adalah residu dan 𝑓(𝑥) = 3𝑥
2𝑙 − 𝑥
3adalah fungsi
bobot/tertimbang yang diberikan oleh persamaan (C.2). Persamaan (C.4) dapat
ditulis kembali sebagai
∫ 𝐸𝐼 𝑑
4𝑤 ̃ 𝑑𝑥
4𝑓(𝑥)
𝑙
0
= 0 (C.5)
Karena turunan keempat 𝑤 ̃(𝑥) adalah nol, akan dikurangi orde turunan tertinggi 𝑤 ̃(𝑥) dengan mengintegrasikan per bagian (integral by parts) persamaan (C.5):
𝐸𝐼𝑓(𝑥) 𝑑
3𝑤 ̃ 𝑑𝑥
3|
0 𝑙
− ∫ 𝐸𝐼 𝑑𝑓 𝑑𝑥
𝑑
3𝑤 ̃ 𝑑𝑥
3𝑑𝑥
𝑙
0
= 0 (C.6)
Integrasi suku kedua di sisi kiri dari persamaan (C.6) per bagian menghasilkan persamaan
∫ 𝐸𝐼 𝑑
2𝑓 𝑑𝑥
2𝑑
2𝑤 ̃ 𝑑𝑥
2𝑑𝑥
𝑙
0
= [−𝐸𝐼𝑓(𝑥) 𝑑
3𝑤 ̃ 𝑑𝑥
3|
0 𝑙
+ 𝐸𝐼 𝑑𝑓 𝑑𝑥
𝑑
2𝑤 ̃ 𝑑𝑥
2|
0 𝑙
] (C.7)
Kondisi batas menghasilkan 𝑓(𝑥 = 0) = 0, 𝑑𝑓
𝑑𝑥 (𝑥 = 0) = 0, 𝐸𝐼 𝑑
2𝑤 ̃
𝑑𝑥
2(𝑥 = 1) = 𝑀
0, 𝐸𝐼 𝑑
3𝑤 ̃
𝑑𝑥
3(𝑥 = 𝑙) = 𝑃
0(C.8)
Dengan menggunakan dua kondisi pertama persamaan (C.8), persamaan (C.7) dapat dinyatakan sebagai
∫ 𝐸𝐼 𝑑
2𝑓 𝑑𝑥
2𝑑
2𝑤 ̃ 𝑑𝑥
2𝑑𝑥
𝑙
0
= 𝐸𝐼𝑓(𝑥) 𝑑
3𝑤 ̃ 𝑑𝑥
3|
𝑙
− 𝐸𝐼 𝑑𝑓 𝑑𝑥
𝑑
2𝑤 ̃ 𝑑𝑥
2|
𝑙
(C.9) Dari persamaan (C.2) dan Gambar 2.8 diperoleh
𝑓(𝑙) = 2𝑙
3, 𝑑𝑓
𝑑𝑥 (𝑙) = 3𝑙
2, 𝐸𝐼 𝑑
2𝑤 ̃
𝑑𝑥
2(𝑙) = 𝑀
0, 𝐸𝐼 𝑑
3𝑤 ̃
𝑑𝑥
3(𝑙) = 𝑃
0(C.10) Integral pada persamaan (C.9) dapat dihitung dengan hubungan pada persamaan (C.2) sebagai
∫ 𝐸𝐼𝑑2𝑓 𝑑𝑥2
𝑑2𝑤̃ 𝑑𝑥2𝑑𝑥
𝑙
0
= ∫ 𝐸𝐼(6𝑙 − 6𝑥)𝐶
𝑙
0
(6𝑙 − 6𝑥) 𝑑𝑥 = (12𝐸𝐼 𝑙3)𝐶
(C.11) Gunakan persamaan (C.10) dan (C.11) pada persamaan (C.9), konstanta C dapat ditemukan sebagai berikut:
𝐶 = 𝑃
06𝐸𝐼 + 𝑀
04𝐸𝐼𝑙 (C.12)
Maka, solusi pendekatan untuk defleksi balok menjadi
23
𝑤 ̃(𝑥) = ( 𝑃
06𝐸𝐼 + 𝑀
04𝐸𝐼𝑙 ) (3𝑥
2𝑙 − 𝑥
3) (C.13) yang menghasilkan defleksi pada ujung bebas (𝑥 = 𝑙) sebagai
𝑤 ̃(𝑥) = 𝑃
0𝑙
33𝐸𝐼 + 𝑀
0𝑙
22𝐸𝐼 (C.14)
2.7 Metode Galerkin
Dalam hal ini bobot 𝑤
𝑖dipilih menjadi fungsi yang diketahui 𝑓
𝑖(𝑥) dari fungsi trial dan 𝑛 integral berikut residu tertimbang ditetapkan sama dengan nol:
∫ 𝑓
𝑖𝑅 𝑑𝑉
𝑉
= 0 (2.23)
Persamaan (2.23) menyatakan 𝑛 persamaan simultan di 𝑛 tidak diketahui, 𝐶
1, 𝐶
2, 𝐶
3, … , 𝐶
𝑛. Metode ini umumnya memberikan solusi pendekatan terbaik.
Berikut ini penurunan persamaan elemen hingga menggunakan pendekatan residu tertimbang dengan metode Galerkin:
Misalkan persamaan diferensial pengatur dari masalah ekuilibrium diberikan oleh
𝐴(𝜙) = 𝑏 dalam 𝑉 (2.24)
dan kondisi batas
𝐵
𝑗(𝜙) = g
𝑗, 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑝 pada 𝑆 (2.25) Metode Galerkin mengharuskan
∫ [𝐴 (𝜙) − 𝑏] 𝑓
𝑖𝑑𝑉 = 0
𝑉
, 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 (2.26) di mana fungsi trial 𝑓
𝑖dalam solusi pendekatan
𝜙 = ∑ 𝐶
𝑖𝑓
𝑖𝑛
𝑖=1
(2.27)
diasumsikan memenuhi kondisi batas persamaan (2.25). Perhatikan bahwa 𝑓
𝑖didefinisikan atas seluruh domain dari persoalan. Persamaan (2.26) dapat berlaku
untuk elemen 𝑒 sebagai
∫[𝐴(𝜙
(𝑒)) − 𝑏
(𝑒)]𝑁
𝑖(𝑒)∙ 𝑑𝑉
(𝑒)= 0, 𝑖 = 1, 2, 3 … , 𝑛
𝑉(𝑒)
(2.28) di mana model interpolasi diambil dalam bentuk standar seperti
𝜙
(𝑒)= [𝑁
(𝑒)]Φ ⃗⃗⃗⃗
(𝑒)= ∑ 𝑁
𝑖(𝑒)Φ
𝑖(𝑒)𝑖
