KALDIF 2.5 KAJIAN LIMIT

2.5. PENGKAJIAN MENDALAM TTG LIMIT

 Perhatikan kembali : � � = 2�

2_−�−1 �−1

 Definisi Informalnya:

“Jika � mendekati 1, tetapi � ≠ 1, maka

� � mendekati 3”

 Bgm dgn : �

� → � � = � ?

 Definisi Informalnya:

“Jika � mendekati c, tetapi � ≠ , maka

� � mendekati L”

Dgn kata lain, selisih antara � � antara L dapat dibuat

sekecil mungkin dgn mensyaratkan � cukup dekat

tetapi tdk sama dgn c.

Misal ℇ dan bil. bulat positif dan kecil.

Pernyataan: i.

� mendekati c ∶ � − <

(ii). � � mendekati L ∶ � � − � < ℇ

Dari (i) & (ii),

 Definisi Limit

�

� → � � = � berarti ∀ℇ > 0, ∃ > 0 sehingga

jika 0 < � − < maka � � − � < ℇ.

� −

y

x L

� + ∀ > 0 ∃ > 0

0 < � − < _|�₍�₎ − �_{| <} ℇ

� −

y

x L

�+

� −

y

x L

�+

� −

y

x L

 Pembuktian Limit Contoh 1:

Buktikan �

� → 2 2� − 5 = −1

Jawab:

∀ℇ > 0, akan dicari > 0, sgh jika 0 < � − 2 <

maka 2� − 5 − −1 < ℇ.

 Analisis Pendahuluan

Dlm rangka mencari (yg tergantung pd ℇ),

perhatikan pertaksamaan:

2� − 5 − −1 < ℇ

2� − 4 < ℇ 2 � − 2 < ℇ

2 � − 2 < ℇ

� − 2 < ℇ

2

Dlm hal ini dgn mengambil akan = ℇ

2 akan memenuhi.

 Bukti formal

∀ℇ > 0 terdapat = ℇ

maka :

2� − 5 – 1 = 2� − 4 = 2 � − 2

= 2 � − 2 < 2. = 2. ℇ

2 = ℇ. (Terbukti)

Contoh 2:

Buktikan �

� → 5

�2₋₂₅

�−5 = 10

Jawab:

∀ℇ > 0, akan dicari > 0, sgh jika 0 < � − 5 <

maka �2−25

�−5 − 10 < ℇ.

 Analisis Pendahuluan

Dlm rangka mencari (yg tergantung pd ℇ),

perhatikan pertaksamaan:

�

2 − ₂₅

� − 5 − 10 < ℇ

� −_{� −}5 �₅+ 5 − 10 < ℇ

� + 5 − 10 < ℇ

Dlm hal ini dgn mengambil akan = ℇ akan

memenuhi.

 Bukti formal

∀ℇ > 0 terdapat = ℇ shg jika 0 < � − 5 <

maka :

�_�−2−25₅ − 10 = �−5 �+5

�−5 − 10 =

� + 5 − 10 = � − 5 < = ℇ. (Terbukti)

Soal.

Buktikan:

1. �

� → 1

2�2−�−1

�−1 = 3

2. �

� → � + = +

3. �

� → �2 = 2

4. �