Modul 5
METODE BI DANG- PARUH ( BI SECTI ON) untuk Solusi Akar PERSAMAAN ALJABAR NON- LI NI ER TUNGGAL
A. Pendahuluan
Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal atau PANLT merupakan
sembarang fungsi atau persamaan aljabar yang terbentuk berdasarkan proyeksi ‘fungsional’ variabel bebasnya (pada sumbu datar, absis) pada variabel terikatnya (pada sumbu tegak, ordinat):
) ( )
(x f x
y ≡
Sedangkan problem utama yang dijumpai dalam pencarian akar suatu PANLT adalah: ‘perpotongan’ persamaan (kurva) itu dengan sumbu datar pada titik α (sehingga akarnya disebut juga sebagai α), dan pada saat yang bersamaan fungsi f(x) tersebut juga mencapai ‘nilai nol’nya. Bentuk umum PANLT ini dapat dituliskan sebagai:
0 )
(x = f
Berbagai teknik telah dikembangkan untuk pencarian akar (atau akar-akar) dari suatu PANLT dengan bentuk umum seperti di atas. Bebarapa di antaranya dapat dikelompokkan dalam metode-metode berikut:
1. ‘Metode Titik Tetap’ (fixed-point), yaitu suatu metode
2. ‘Metode Bidang Bebas’ atau lebih spesifik lagi ‘Metode Bidang Paruh’ (Bisection). Prinsip dari metode ini adalah “pemaruhan” (nilai rata-rata) dari nilai estimasi akar suatu PANLT yang dibentuk dengan cara ‘menebak’ 2 buah harga awal pada interval [a,b] yang bertempat-kedudukan ‘mengapit’ (di kiri dan kanan) akar atau jawab yang sebenarnya. Metode ini pada umumnya memerlukan 2 (dua) buah tebakan untuk harga-harga x-awal (x0 dan x1).
3. ‘Metode Tangent’ atau yang dikenal sebagai Metode Newton
atau Metode Newton-Raphson, yang dihasilkan dari ekspansi f(α) sampai suatu harga x tertentu (xn) menggunakan deret Taylor, dengan cara mengabaikan term order (α - xn)2 atau yang lebih tinggi. Alternatif lain, penurunan tersebut juga dapat dilakukan secara geometris, yang akan dijelaskan lebih lanjut pada Modul 7.
4. ‘Metode Secant’, yang terbentuk dari pendekatan melalui ‘garis secant’ di sekitar jawab atau akar persamaan α. Di sisi lain, metode ini sebenarnya bentuk atau ‘varian numeris’ dari bentuk turunan yang dipersyaratkan oleh Metode Newton Raphson. Metode ini akan dijelaskan lebih jauh pada Modul 8.
B. Solusi Akar PANLT dengan Metode Bisection
Solusi akar (atau akar-akar) dengan menggunakan Metode Bisection memiliki sifat-sifat numeris sebagai berikut:
(a) Selalu melakukan pembagian dua (pemaruhan) interval [a,b] yang mengapit akar α, sehingga setelah n kali iterasi akan didapatkan akar persamaan yang berdekatan dengan harga yang sebenarnya (solusi analitis), dengan memperhitungkan ‘kriteria’ (akurasi) yang diinginkan.
(b) Kecepatan atau laju konvergensi dari metode bisection dapat diperkirakan menggunakan persamaan pendekatan:
( )
(
b a)
cn ≤ n −
−
2 1
yang dapat dibuktikan bahwa:
(c) Panjang
(
b − a)
menggambarkan ‘panjang interval’ yangdigunakan sebagai ‘harga awal’ untuk memulai proses iterasi dalam ‘metode bisection’; yang berarti bahwa metode ini memiliki ‘konvergensi linier’ dengan laju 1 2.
C. Representasi Grafis dari Metode Bisection
Representasi grafis dari metode bisection sebagai berikut:
f(x)
Gambar 5.1. Representasi grafis metode bisection.
Dari representasi grafis di atas, dapat diambil kesimpulan dengan jelas, bahwa:
sehingga setelah n kali iterasi akan diperoleh:
atau
akar α tersebut dengan ekstremitas interval tidak melebihi t, maka pada saat itu toleransi perhitungan sudah dapat dilakukan.
D. Algoritma Metode Bisection
Asumsi awal yang harus diambil adalah: ‘menebak’ interval awal [a,b] dimana f(x) adalah kontinu padanya, demikian pula harus terletak ‘mengapit’ (secara intuitif) nilai akar α, sedemikian rupa sehingga:
0 )
( )
(a ⋅ f b ≤ f
Algoritma BISECT(f,a,b,akar,ε,iter,itmax,flag)
1. Tebak harga interval [a,b]; tentukan ε; dan itmax
2. Set f0 = f(a); iter = 0; flag = 0;
3. Tentukan atau hitung akar = c := (a + b)/2; iter = iter + 1;
4. Jika f(a)·f(c) ≤ 0 maka b = c jika tidak a = c dan f0 = f(a);
5. Jika (b – a) ≤ ε maka flag = 1 jika iter > itmax maka flag = 2;
6. Jika flag = 0 ulangi ke nomor 3;
7. Akar persamaan adalah: akar = (a + b)/2, sebagai akar terbaru;
E. Listing Program Metode Bisection
Diberikan persoalan untuk mengitung akar (akar-akar) persamaan f(x) = 0, sebagai berikut:
0 )
(x ≡ x − e1 x = f
Listing program sederhana (non-subroutine) dan program dengan subroutine disertakan dalam gambar-gambar 5.2. dan 5.3. di bawah ini, yang ditulis dalam Bahasa FORTRAN 77 (kompatibel dengan Bahasa FORTRAN 90/95):
C Program: Solusi Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal (PANLT) C dengan Metode 'Bisection'
C VARIAN: Program sederhana/Non-Subroutine
C Kondisi proses dinyatakan dalam variabel 'flag'
x = (x0 + x1)/2
Gambar 5.2. Listing program sederhana (tanpa subroutine).
C Program: Solusi Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal (PANLT) C dengan Metode 'Bisection'
CALL BISECT(f,x0,x1,x,eps,iter,maxiter,flag)
SUBROUTINE BISECT(ff,x0,x1,x,eps,itnum,itmax,prflag)
Gambar 5.3. Listing program dengan subroutine.
Tugas:
F. Pustaka yang bersesuaian
Atkinson, Kendal E., “An Introduction to Numerical Analysis”, John Wiley & Sons, Toronto, pp. 39-44, 1978.
Atkinson, L.V., Harley, P.J., “An Introduction to Numerical Methods with Pascal”, Addison-Wesley Publishing Co., Tokyo, pp. 46-49, 1983.
Bismo, Setijo, “Kumpulan Bahan Kuliah Metode Numerik”,
