Владикавказский математический журнал 2009, Том 11, выпуск 4, С. 59–62
УДК512.544.2
ПОРОЖДАЮЩИЕ ТРОЙКИ ИНВОЛЮЦИЙ ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП РАЗМЕРНОСТИ 2 НАД КОЛЬЦОМ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Я. Н. Нужин, И. А. Тимофеенко
Для группGL2(Z)иP GL2(Z)найдено минимальное число порождающих инволюций, произведение которых равно 1. Установлено, что P GL2(Z) порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, аGL2(Z)такими инволюциями не обладает.
Ключевые слова:кольцо целых чисел, линейная группа, порождающие тройки инволюций.
Пусть GLn(Z) — группа обратимых (n× n)-матриц над кольцом целых чисел Z, SLn(Z) — ее подгруппа матриц с определителем, равным 1, P GLn(Z) и P SLn(Z) —
соответственно их фактор-группы по подгруппам скалярных матриц.
В данной заметке для линейных групп размерности 2 над кольцом целых чисел рас-сматриваются следующие задачи.
А)Порождается ли данная группаGтремя инволюциями?
Б) Порождается ли данная группа G тремя инволюциями, две из которых переста-новочны?
В)Каково минимальное число порождающих инволюцийn(G)группыG, произведе-ние которых равно1?
В группе SL2(Z) единственная инволюция, а группа P SL2(Z) является свободным произведением двух циклических групп порядка 2 и 3 [1]. Поэтому эти группы не по-рождаются никаким множеством инволюций и для них вопросы А), Б), В) закрыты.
Для группы G =P GL2(Z) получен положительный ответ на вопрос Б) и доказано, чтоn(G) = 5.
Для группы G = GL2(Z) на вопрос А) получен положительный ответ, а на вопрос Б) — отрицательный, и доказано, что n(G) = 6.
1. Порождаемость тремя инволюциями
Как обычно, через tij(k),k∈Z,i6=j, будем обозначать трансвекции, т. е. матрицы
En+keij, гдеEn — единичная (n×n)-матрица, аeij — матричные единицы. Следующая лемма хорошо известна (см., например, [2, c. 107]).
Лемма 1.1.ГруппаSLn(Z)порождается трансвекциямиtij(1), i6=j,i, j= 1,2, . . . , n.
В частности, группаSL2(Z) порождается двумя матрицами
µ
1 0 1 1
¶ ,
µ
1 1 0 1
¶ .
В действительности лемма 1.1 справедлива для любого евклидова кольца. Из лем-мы 1.1 легко следует
c
°2009 Нужин Я. Н., Тимофеенко И. А.
62 Нужин Я. Н., Тимофеенко И. А.
Предложение 2.3. ГруппаGL2(Z) не порождается тремя инволюциями, две из
ко-торых перестановочны.
⊳Ясно, что в любой порождающей тройке инволюций группыGL2(Z)не может быть центральной инволюции, поэтому в силу леммы 2.2 она не может порождаться тремя инволюциями, две из которых перестановочны.⊲
3. Порождающие мультиплеты инволюций
Для группы Gчерезn(G) обозначим минимальное число порождающих инволюций, произведение которых равно 1. Ясно, что если G′ — гомоморфный образ группы G, то
n(G′)6n(G). Доказательство следующей леммы является легким упражнением.
Лемма 3.1.Еслиn(G) = 4, то вGнайдется нетривиальная циклическая нормальная подгруппа.
Предложение 3.2. n(P GL2(Z)) = 5.
⊳ В силу предложения 2.1 группа P GL2(Z) порождается некоторыми тремя инво-люциями α, β, γ, первые две из которых перестановочны. Тогда, очевидно, она по-рождается и пятью инволюциями α, β, γ, γ, βα, произведение которых равно 1.
Та-ким образом, n(P GL2(Z))65. Для любого простого числа p существует гомоморфизм
P GL2(Z) → P GL2(p) и при p > 5 в группе P GL2(p) нет нетривиальных циклических нормальных подгрупп, поэтому по лемме 3.1n(P GL2(Z)) = 5.⊲
Предложение 3.3. n(GL2(Z)) = 6.
⊳В силу предложения 1.3 группаGL2(Z)порождается тремя инволюциями, поэтому
n(GL2(Z))66.
Предположим, что n(GL2(Z)) = 5иα1, . . . , α5 — порождающие инволюции, произве-дение которых равно 1. В группеGL2(Z)определитель любой нецентральной инволюции равен−1. Поэтому среди инволюцийα1, . . . , α5найдется центральная инволюция (иначе получим равенство (−1)5 = 1). Но тогда n
(P GL2(Z)) = 4 и мы получаем противоречие с предложением 3.2.⊲
Литература
1. Fricke R., Klein F. Vorlesungen uber die theore der elliptischen modulfunktionen. Vol. 1.—Leipzig: Teubner, 1890.—764 p.; Vol. 2.—Leipzig: Teubner, 1892.—712 p.
2. Стейнберг Р.Лекции о группах Шевалле.—М.: Мир, 1975.—262 с.
Статья поступила 10 ноября 2009 г.
Нужин Яков Нифантьевич
Сибирский федеральный университет,профессор
Россия, 660074, Красноярск, ул. Киренского 26 E-mail:[email protected]
Тимофеенко Иван Алексеевич
Сибирский федеральный университет
