La Geometr´ıa de las Normas del
Espacio de las Funciones Continuas
The Geometry of the Norms of the
Space of Continuous Functions
Ar´ıstides Arell´an ([email protected]) Jes´us Gonz´alez ([email protected]) Departamento de Matem´atica. Facultad de Ciencias
Universidad de Los Andes, M´erida, Venezuela.
Modern mathematics tends to obliterate history: each new school rewrites the foundations of its subject in its own language, which makes for fine logic but poor pedagogy. R. Hartshorne
Resumen
El desarrollo ´ultimo de la Matem´atica ha llegado a un punto tal de abstracci´on que los conceptos m´as b´asicos de las diferentes estructuras se presentan totalmente abstractos, ajenos a sus or´ıgenes y viniendo muchos de estos conceptos de la geometr´ıa perdemos la esencia de estas ideas. El objetivo de este material es totalmente pedag´ogico y est´a des-tinado a llenar, o m´as bien recuperar, la geometr´ıa de los conceptos que aqu´ı tratamos y que no vemos usualmente en los textos que tratan el tema.
Palabras y frases clave:Normas, funciones continuas, geometr´ıa.
Abstract
The recent development of mathematics has reached a level of ab-straction such that the more basic concepts of the different structures are presented in a purely abstract way, far away from its origins, and although many of these concepts come from geometry, its essence is lost. The goal of these material is totally pedagogical; it is destined to fill, or better to recover, the geometry of the treated concepts, usually absent in the textbooks.
Key words and phrases:Norms, continuous functions, geometry.
1
La norma
||
f
||
∞Denotaremos porC[a,b] el espacio de las funciones continuas
C[a,b]={f : [a, b]−→R: f es una funci´on continua}
La funci´on
||f||∞= sup{ |f(x)|:x∈[a, b]}
es una norma del espacioC[a,b], llamada lanorma del supremo.
Geometr´ıa de la norma ||f||∞:El n´umero||f||∞ mide (o determina) la mayor
abertura que tiene el gr´afico de la funci´on f respecto al eje de las abscisas, usando para ello la composici´on|f|:
0
||f||∞
Ejemplo 1.1 En el espacio (C[1
2,2],|| · ||∞) consideramos la hip´erbola b´asica f(t) =1
t
2
0.5 2
La hip´erbola es una funci´on decre-ciente, su valor m´aximo lo realiza en el extremox= 12 = 0,5.
Ejemplo 1.2 En el espacio (C[0,1],|| · ||∞) consideramos una funci´on que
depende de un par´ametro: f(t) = nt
n+t.
La derivada de la funci´onf:
f′(t) = n
2
(n+t)2 >0, para todo 0≤t≤1.
Como la derivada de la funci´on es positiva entonces la funci´on es creciente,f
realiza su m´aximo en el extremox= 1:||f||∞=f(1) = n
n+ 1 . . . .H
La norma|| ||∞del espacioC[a,b] genera en el mismo conjunto la siguiente m´etrica:
d∞(f, g) =||f−g||∞= sup{ |f(x)−g(x)|:x∈[a, b]}
La m´etricad∞, se llama lam´etrica del supremoen el espacioC[a,b].
El n´umerod∞(f, g) mide (o determina) la mayor abertura entre los gr´aficos
de las funcionesf yg:
d∞(f, g)
a b
Ejemplo 1.3 En el espacio m´etrico (C[0,1], d∞)consideramos las siguientes
funciones:
Determinemos las siguientes distancias:
d∞(f, g), d∞(g, h)y d∞(h, q)
1
1 t2
t3
El n´umerod∞(f, g) mide la mayor abertura entre los gr´aficos de f y g. Para calcularlo debemos determinar el m´aximo deϕ(t) =|t−t2|=t−t2 en el intervalo [0,1]. La derivadaϕ′(t) = 1−2tse anula en el puntot=1
2. Luego, el m´aximo valor de la funci´onϕes el n´umeroϕ(12) = 14, as´ıd∞(f, g) = 14.
Para calculard∞(g, h) debemos determinar el m´aximo de la funci´onϕ(t) = |t2−t3|=t2−t3 en el intervalo [0,1]. La derivadaϕ′(t) = 2t−3t2 se anula
t = 23 y en t = 0. El m´aximo valor de la funci´on ϕ se tiene en el n´umero
ϕ(23) = 274, as´ıd∞(g, h) =274.
Por otra parte, la distancia dehhastaq= 0 es la norma queh,||h||∞=
d∞(h, q) = 1. . . .H
Ejemplo 1.4 Para cada funci´onf del espacioC[0,1] y cada ξ >0, se cumple
que: d∞(f, f+ξ) =ξ.
La funci´on f +ξ corresponde a su-bir el gr´afico de f una cantidad de
ξ unidades. Luego, la distancia entre los gr´aficos es exactamenteξ.
Por lo tanto d∞(f, f+ξ) =ξ f
f +ξ
2
La norma
||
f
||
1=
R
ba
|
f
(
x
)
|
dx
Otra norma muy usada en el espacio de lasfunciones continuas C[a,b] es la funci´on:
||f||1= Z b
a
|f(x)| dx
Geometr´ıa de la norma ||f||1:Para una funci´onf del espacioC[a,b], la integral
Z b
a
|f(x)| dx
el n´umero||f||1 representa el ´area de la regi´on acotada por el gr´afico de la funci´onf, las rectasx=a,x=by el eje de las abscisas.
0
f
Ejemplo 2.1 Para la funci´on constantef(x) = 2del espacioC[−1,1], se tiene
que la norma ||f||1= 4.
2
–1 1
La regi´on encerrada por el gr´afico def, las rectasx=−1,x= 1 y el eje
X es un rect´angulo de base 2 y altura 2, el ´area de la regi´on acotada es 4.
Ejemplo 2.2 Para la funci´on f(x) = x
2 del espacio C[0,2], se tiene que la
norma ||f||1= 1.
2 La regi´on acotada por el gr´afico de
f, las rectasx= 0, x= 2 y el eje de las abscisas es un tri´angulo de base 1 y altura 2, el ´area de la regi´on acotada es 2·1
La regi´on determinada por el gr´afico de la funci´on f, las rectas x = −1,
La regi´on determinada por el gr´ afi-co de la funci´on f, las rectas x= 0,
base 2 y altura 1. El ´area de la regi´on acotada es 2·1 2 = 1.
Por lo tanto||f||1= 1 . . . .H
Ejemplo 2.5 Para la funci´onf(x) = sin (x) del espacio C[0,π], se tiene que
la norma ||f||1= π2.
0 1
1 2
El ´area de la regi´on indicada viene dada por la integral
Z π
0
sin(x)dx
Por lo tanto||f||1= 2 . . . .H
La norma|| · ||1genera en C[a,b] la siguiente m´etrica:
d1(f, g) =||f−g||1= Z b
a
|f(x)−g(x)| dx
La m´etricad1 representa el ´area de la regi´on acotada por los gr´aficos de las funcionesf yg y por las rectasx=ayx=b.
0
Ejemplo 2.6 Para las funciones f(x) = 2y g(x) = 3del espacio C[−1,1], se
–1 1
La regi´on acotada por los gr´aficos de las funciones f yg, es un rect´angulo de base 2 y altura 1, el ´area de la regi´on es 2:d1(f, g) = 2 . . . .H
Ejemplo 2.7 Para una funci´on f del espacio C[a,b] y un n´umero ξ >0, la
distancia d1(f, f+ξ) =ξ·(b−a).
f+ξ
f
´
Area de la regi´on:
Z b
a
|f(x) +ξ−f(x)|dx
Luego,d1(f, f+ξ) =ξ·(b−a) . .H
Ejemplo 2.8 Para las funciones f(x) = √1−x2 y g(x) = −√1−x2 del
espacio C[−1,1], se tiene que la distanciad1(f, g) =π.
–1 1
La regi´on determinada por los gr´aficos de las dos funciones es un circulo de radio 1, luego el ´area esd1(f, g) =π
3
La norma
||
f
||
2=
q
R
ba
|
f
(
x
)
|
2
dx
Otra norma del espacio de lasfunciones continuas C[a,b] es la funci´on:
||f||2= s
Z b
a
|f(x)|2 dx
Geometr´ıa de la norma:Para una funci´onf del conjuntoC[a,b], la integral
Z b
a
π|f(x)|2 dx
representa el volumen de la s´olido que se genera al rotar la regi´on determinada por el gr´afico def, las rectasx=ayx=balrededor del eje de abscisas.
La funci´onv:C[a,b]→R, dada por:
v(f) = Z b
a
π|f(x)|2 dx
cumple con todas las propiedades de una norma a excepci´on de la propiedad:
||λx||=|λ| · ||x|| (1) Ahora, tomando la ra´ız de la integral:
v2(f) = s
Z b
a
v2cumple con la propiedad 1 y las restantes propiedades de una norma, as´ıv2 es una norma del espacioC[a,b].
Por otra parte, es conocido que si N es una norma de un espacio X, entonces α·N(x) tambi´en es una norma deX, para α >0, de lo anterior se obtiene que|| · ||2es una norma del espacio de lasfunciones continuasC[a,b], y esta norma tiene la siguiente propiedad: para cada funci´on continuaf ∈C[a,b], el n´umero
Cuando giramos la regi´on que de-termina esta funci´onf, alrededor del eje, se genera la esfera de radio r. El volumen de una esfera de radior
est´a dado por el n´umero 4πr3
Cuando giramos la regi´on alrededor del eje de las abscisas se genera el ci-lindro circular recto de radiory altu-rah. El volumen del cilindro est´a da-do por el n´umeroπr2h. Luego,
Por lo tanto ||f||2=r·
Cuando giramos la regi´on alrededor del eje de las abscisas se genera el co-no circular recto de radio r y altura
r. El volumen del cono est´a dado por
De manera similar a la norma, la m´etrica cumple con la propiedad de que el n´umero
π·d2(f, g)2
es el volumen del s´olido que se genera al girar la regi´on determinada por las funciones f yg alrededor del eje de las abscisas.
Ejemplo 3.4 Para las funciones constantes f(x) = 1y g(x) = 2del espacio C[0,h], se tiene que la distancia d2(f, g) =
√ 3h.
[
2, radio interno 1 y altura h. El volumen de este cilindro viene dado por el n´umero 3πh. Luego,
πd22(f, g) = 3πh
Luego,d2(f, g) =
√
