(Cormen 2002) III PEMBAHASAN. yt : pendapatan rumah tangga pada periode t, dengan yt 0.

(1)

Variabel s disebut variabel slack. Penambahan variabel slack bertujuan untuk mengubah pertaksamaan yang mengandung tanda “



” menjadi sebuah persamaan. Pertaksamaan (1) benar jika dan hanya jika persamaan (2) dan pertaksamaan (3) benar. Penulisan variabel s biasanya disesuaikan dengan variabel yang digunakan dalam fungsi, misalnya: xn i untuk variabel slack pada pertaksamaan ke-i . Sehingga kendala ke- i

menjadi: 1 n n i i ij j j x _ b a x     , dengan x_{n i}_  .0 (Cormen 2002) 2.18 Persamaan Hamilton

Persamaan Hamilton didefinisikan sebagai berikut:      





   





 



   



, , , , , , , H x t y t t t f x t y t t t g x t y t t    

dengan 

 

t disebut costate variable.

Costate variable 

 

t menaksir nilai

marginal atau mengikuti perubahan dari variabel state x t

 

.

(Dowling 2001) 2.19 Fungsi Utilitas (Utility Function)

Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang menunjukkan kepuasan seseorang dari mengonsumsi barang dan jasa, yang dinotasikan sebagai berikut:



1, ,...,2



t n

U U x x x

dengan U adalah kegunaan/utilitas total, dan _t

1, ,...,2 n

x x x merupakan banyaknya produk

yang dikonsumsi.

Kegunaan total barang yang dikonsumsi seorang individu biasanya makin meningkat pada saat dia mengonsumsi suatu produk. Hingga pada tingkat tertentu, kegunaan marginalnya menjadi lebih kecil dibandingkan dengan sebelumnya. Hal ini terjadi sejalan dengan kejenuhan individu bersangkutan akan produk itu.

(Pass et al 1994)

III PEMBAHASAN

Analisis mengenai pengaruh kebijakan

moneter dan fiskal terhadap pertumbuhan ekonomi dibuat atas dasar sebuah model dinamik dengan variabel-variabel tertentu dari tipe Sidrauski-Brock (Obsfeld & Rogoff, 1983).

3.1 Model Perilaku Ekonomi Sektor Rumah Tangga dan Pemerintah

Pada bagian ini akan dibahas sebuah model dinamik, dengan asumsi:

1. Rumah tangga dengan waktu hidup tanpa batas dan memperoleh pendapatan konstan tiap periode.

2. Rumah tangga membayar pajak konstan dan konsumsi tiap periode konstan.

3. Ada agen swasta yang representatif dan sektor pemerintah yang terdiri atas gabungan otoritas fiskal dan moneter (bank sentral).

4. Tidak ada ketidakpastian dan pasar dalam kondisi sempurna.

Variabel-variabel yang digunakan sebagai berikut:

t : periode waktu.

Pada model diskret, interval antar satuan waktu adalah sama.

t

y : pendapatan rumah tangga pada periode

t, dengany_t  .0 t

c :konsumsi pada periode t, dengan 0

t

c  .

t

h : pengeluaran untuk pembayaran

lump-sum tax pada periode t.

t

P : nilai uang dari output pada periode t.

t

M : jumlah uang pada awal periode t (atau

di akhir periode t-1).

t

B : obligasi nominal yang belum dilunasi pada awal periode t (atau di akhir periode t-1).

t

i : suku bunga nominal bebas risiko untuk satu periode t.

t

r : suku bunga real bebas risiko untuk satu periode t. t  : tingkat inflasi. t x : variabel slack. t

g : belanja/pengeluaran real pemerintah pada periode t.

(2)

Diketahui Persamaan Fisher: 1 1 1 t t t i r      (1) dengan, ₁ t 1 t t P P     .

Kendala anggaran rumah tangga untuk suatu periode: 1 1 , 1 t t t t t t t t t t t B Pc M M B P y P h i          0 t  

(2) Dengan kata lain, jumlah pengeluaran lebih kecil atau sama dengan pendapatan setelah dikurangi pajak.

Didefinisikan kekayaan real, W , sebagai _t

berikut:

t t t

W  B M . (3) Untuk mengubah pertaksamaan (2) menjadi sebuah persamaan, diberikan variabel slack

t

x , x_t  , 0   .t 0

Persamaan (2) dapat disederhanakan menjadi: 1 1 1 t t t t t t t t t t t B Pc M M B P y Ph i         



1 1 1 t t t t t t t t t t B M W P y Ph Pc i        



1 1 1





1 t t t t t t t t t t M M i B W P y h c i      _ _ _{ } 



1 1





1 1 t t t t t 1 t t t t t t M B i W P y h c M i i           

Karena Wt1Bt1Mt1, maka dengan

menambahkan variabel slack, diperoleh persamaan berikut



1





1 1 1 1 t t t t t t t t t t t t W x i W P y h c M i i i            .

Atau dapat ditulis





1 1 1 1 t t t t t t t t t t W i W P y h c M i i          . 1 t t x i   (4) Pada kondisi kesetimbangan, saat pengeluaran yang direncanakan sama dengan pendapatan, persamaan di atas mengikuti kaidah umum dalam ilmu ekonomi, yakni

, 0

t t t

c g  y   .t (5) Dengan demikian persamaan (4) menjadi





1 1 1 1 1 t t t t t t t t t t t W i x W P g h M i i i          

(6a)

Untuk mendapatkan W , persamaan di atas _t

dapat dituliskan sebagai berikut:





1 1 . 1 1 1 t t t t t t t t t t t W i x W P h g M i i i          

(6b)

Dengan Persamaan Beda, persamaan (6b) dapat dipecahkan untuk mendapatkan hasil berikut: t t t W B M





1 1 1 0 0 0 1 1 = 1 1 1 1 [ ]. 1 T T k t j k j j t j t j t k t t k t k t k t k t k W i i i P h g M x i       _  _                 



























(7) (Bukti lihat Lampiran 1)

Jika kondisi transversalitas: 1 0 1 lim 0 1 T j T T j _i_{t j} W    _   













(8) dipenuhi, maka persamaan (7) menjadi:





1 0 0 1 1 [ 1 ] 1 k t t t k t k t k k j _{t j} t k t k t k t k B M P h g i i M x i        _              

















(9)

Persamaan (9) menggambarkan kondisi kesanggupan pemerintah untuk membiayai pengeluaran, termasuk melunasi hutangnya.

Dengan menyubstitusi kembali

t t t

g  y c pada persamaan (9), maka akan diperoleh persamaan (10) yang menggambarkan kondisi kesanggupan rumah tangga untuk membiayai pengeluarannya:





1 1 0 0 1 [ 1 1 - - - ]. k _{t k} t t t k k j _{t j} _{t k} t k t k t k t k t k i B M M i i P y h c x   _     _ _            

















(10) 3.2 Model Masalah Optimasi

Misalkan kita notasikan:

1

t t

Z M _ (11) dan faktor diskon  nilainya sama dengan:

1 , 0 1       (12)

(3)

dengan >0 adalah suku bunga subjektif. Konsumen memaksimumkan fungsi

J

yang diberikan oleh persamaan:

0 , t t t t t Z J U c P     



_



_





(13) dengan U

 

.,. adalah fungsi utilitas. Fungsi tersebut merupakan fungsi naik, konkaf dan terturunkan dua kali:

 

.,. 0,

 

.,. 0

c z

U  U  (14) dan Matriks Hess-nya:

cc cz zc zz U U U U













(15) adalah definit negatif, dengan

c U U c   

;

z U U z   

;

2 2 cc U U c   

;

2 2 zz U U z   

;

2 cz U U z c     ; dan 2 zc U U c z     . Lebih jauh lagi,

0 0 lim _c , lim _z , c z Z Z U c U c P P     

























(16) lim _c , 0 c Z U c P  













. (17) Agen memaksimumkan (13) terhadap kendala berikut:





1 1 [ ( )] t t t t t t t t t t W_  i W P y  h c i Z x

(18) 1 t t W_ Z (dengan W ditentukan) (19)₀ 0 t x  (20) 1 0 1 lim 0 1 T T j T j i j W i      _ 













. (21)

Kendala (19) dapat dituliskan sebagai berikut:

1 1 1

t t t

B_ M _ M _ atau B_t_₁ 0

.

(19’) Untuk memperoleh kondisi yang optimal, digunakan Prinsip Maksimum untuk sistem dinamik dengan variabel diskret.

Persamaan Hamilton-nya: (Altar, 2003)

, {(1 )[ ( )] } {(1 )[ ( )] (1 ) } t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t Z H U c i W P y P h c i Z x i W P y h c i Z x x                     













(22)

dengan _t melambangkan variabel dual; _t dan _t adalah pengali Lagrange (Lagrange

multiplier) yang sesuai dengan kendala (19)

dan (20).

Syarat perlu untuk kondisi optimalnya adalah sebagai berikut:

0 t H c    0 t H Z    0 t H x   

.

(23) Sehingga diperoleh



 



, 1 t t c t t t t t t Z U c i P P 



_



_

   









1 , . 1 t t z t t t t t t t Z U c i i P P 



_



_

    





t t t    (24) (Bukti lihat Lampiran 2)

Persamaan dinamik dari variabel dual _t adalah sebagai berikut: (Altar, 2003)

1 t t t H W  _   (25) sehingga









1 1 1 t it t it t  _       . (26) Untuk pengali Lagrange (berdasarkan Prinsip Maksimum), diperoleh (Altar, 2003):



1



0 ; 0 t t Wt Zt    _   0 ; . 0 t t xt    

.

(27a)

(4)

Dari persamaan _t 0 ; ._t x_t  , dapat 0 dilihat bahwa jika x_t 0 maka _t  .0

Dalam hal ini, persamaan ketiga pada persamaan (24) menjadi t   , sehingga t

membuat kondisi di atas tidak optimal. Sementara itu, jika x_t 0,   , makat 0 kendala anggaran konsumen (2) pada kurva/lintasan optimal dipenuhi sebagai sebuah persamaan, yaitu

1 1 , 1 0 t t t t t t t t t t t B Pc M M B P y P h i t           

(27b)

Dari persamaan pertama (27a), bila _t 0 maka W_t_₁Z_t  , 0



Bt1Mt1Zt 0

Karena Mt1Zt, maka dapat ditulis



B_t_₁  .0

Dengan kata lain, jika _t  , maka agen 0 tidak akan membeli obligasi pada periode bersangkutan. Didefinisikan: ; t t t t t t q        , (28)

maka kondisi optimal (24) menjadi:



 



, t 1 c t t t t t t Z U c i P q P   

















, t 1 z t t t t t t t t Z U c Pi q P i P    













(29) (Bukti lihat Lampiran 3).

Persamaan dinamiknya sebagai berikut:







1 1 t t t t q_  i q  atau





1 1 1 t t t t q q i       . (30) (Bukti lihat Lampiran 4)

3.3 Analisis Kualitatif Lintasan Optimal Untuk mempermudah analisis ini, diasumsikan bahwa fungsi utilitas dapat dipisahkan dalam dua argumen berikut:

( , t) ( ) ( t) t t t t Z Z U c V c P   P . (31)

Dalam kasus ini, kondisi optimal (29) menjadi: '( )_t (1 _t) (_t _t _t) V c  i P q  (32) ' Zt _{t t t} _t(1 _t) _t Pt i Pq P i  _ _      . (33) Berdasarkan persamaan (27a), jika

1 0

t

B_  (agen membeli obligasi) maka nilai 0 t   , sehingga _t 0

. P

ersamaan (30), (32), (33) menjadi:





1 1 1 t t t q q i     (34)

  



' _t 1 _t _{t t} V c  i Pq (35) ' t t t t t Z Pi q P 

 

_{ }



 

. (36)

Penulisan kondisi optimal (35) untuk dua periode berurutan adalah sebagai berikut:

  



' _t 1 _t _{t t} V c  i Pq

  

1 1



1 1 ' _t 1 _t _t _t V c_  i_ P q_ _ .

Dengan mengambil rasio kedua persamaan tersebut dan menggunakan persamaan (34), diperoleh

 

1 1 1 ' 1 1 ' 1 t t t t t V c P V c_  i_ P_ . (37)

(Bukti: lihat Lampiran 5) Diketahui 1 1 1 t t t P P  _    , (38)

dengan _t_₁ menunjukkan tingkat inflasi pada periode t , persamaan (37) menjadi:1

 

1 1 ' 1 ' 1 _t t t V c V c r       . (39) (Bukti: lihat Lampiran 6)

Dengan asumsi bahwa fungsi dari konsumsi di atas adalah fungsi satu-satu, maka persamaan (39) berimplikasi pada situasi berikut:

a) Jika r_t_₁ , maka  c_t c_t_₁. b) Jika r_t_₁ , maka  c_t c_t_₁. c) Jika r_t_₁ , maka  c_t c_t_₁.

Oleh karena itu, perkembangan inflasi dan suku bunga nominal bebas risiko menyebabkan konsumsi dapat menjadi konstan, naik ataupun turun.

Selanjutnya, dengan mengambil rasio persamaan (36) untuk dua periode berurutan

(5)

dan menggunakan persamaan (34), diperoleh





1 1 1 1 ' 1 1 ' t t t t t t t t t Z P P i P i i Z P         

 

 

 













(40) atau 1 1 1 1 ' 1 1 ' t t t t t t t t t Z P P i P i i Z P          

 

 

 













. (41)

(Bukti lihat Lampiran 7) Jika diasumsikan bahwa: a) Inflasi konstan, yaitu

1 1 t t P P_   . b) i_t i_t_₁. c) 1 1 1 1 i r r            . Maka, dari (41) diperoleh:

1 1 ' 1 ' t t t t Z P Z P     

 

 

 













atau 1 1 t t t t Z Z P P    . (42) Karena Z_t M_t_₁, maka 1 1 1 . t t t t M P M P      

Jadi, dengan persamaan (13), asumsi (b), dan asumsi (c), diketahui bahwa permintaan terhadap uang tumbuh dengan laju yang sama dengan pertumbuhan inflasi.





1 1 .

t t

M _   M . (43) 3.4 Kondisi Transversalitas

Untuk lintasan optimal, Prinsip Maksimum menyediakan kondisi transversalitas atau syarat batas:

lim _T _T 0

T W  . (44)

Substitusikan menggunakan persamaan (28), maka persamaan (44) menjadi:

lim _{T T} _T 0

T q W  . (45)

Karena W_T B_T M_T dengan

B

_T



0

dan

0

T

M



, kondisi transversalitas (45) menjadi:

lim

_T _T _T

0

T



q B



(46a)

lim

_T _T _T

0

T



q M



. (47a)

Dari persamaan dinamik (34) diperoleh:

0 1 1 1 1 T T k T k q q i     













(48) (Bukti lihat Lampiran 8)

Dengan menyubstitusi (48) ke persamaan

(46a) dan (47a), diperoleh:

0 1 lim 0 1 T T T k k B i    













(46b) 0 1 lim 0 1 T T T k k M i    













. (47b) Jika tingkat bunga nominal bebas risiko konstan, yaitu

1 , 0

k k

i i _ i  k (49) maka kondisi transversalitas menjadi:

1 lim 0 1 T T T _i B 













(46c) 1 lim 0 1 T T T _i M 













. (47c) Ini berarti bahwa barisan

 

_{B t N}_T _{ dan}

 

MT t N harus naik lebih lambat dari pada

barisan 1 1 t i _{t N}  _



_

_







_



_







.

3.5 Kasus Fungsi Utilitas Tipe Bernoulli Diasumsikan bahwa fungsi utilitas V(.) dan (.) pada persamaan (31) merupakan tipe Bernoulli. Misalkan:

 

1 1 1 -V c c     1 1 1 t t t t Z Z P P      

 

 

 

(50) dengan(0,1)

Dengan mengetahui konsumsi pada dua periode berurutan di persamaan (39), diperoleh persamaan konsumsi pada kondisi optimal sebagai berikut:

(6)

1 1 1 1 1 t t t r c  c      













. (51a) (Bukti lihat Lampiran 9)

Persamaan (51a) menggambarkan sebuah persamaan dinamik dengan variabel kontrol

t

c .

Persamaan (51a) menunjukkan bahwa, untuk tujuan mengetahui dinamika konsumsi yang optimal, cukup dengan mengetahui perubahan dari tingkat suku bunga real bebas risiko dan nilai awal c untuk konsumsi. ₀

Dengan Persamaan Beda, persamaan (51a) dapat dipecahkan untuk mendapatkan hasil berikut: 1 1 0 0 1 1 t k t k r c  c       













(51b) (Bukti lihat Lampiran 10)

Dengan substitusi maju, diperoleh

1 0 1 1 T t k t T t k r c  c        













. (52) (Bukti lihat Lampiran 11)

Terkait permintaan terhadap uang, kita bagi persamaan (35) dengan persamaan (36), sehingga diperoleh persamaan berikut:

 

' ' 1 t t t t t Z P i V c i   

 

 

 

_. ₍₅₃₎ Dengan menyubstitusikan bentuk turunannya diperoleh: 1 1 t t t t t Z i c P i     













. (54)

(Bukti lihat Lampiran 12)

Karena Z_t M_t_₁, maka persamaan (54) dapat ditulis sebagai berikut:

1 1 1 t t t t t i M P c i      













. (55)

Dari persamaan (55) dapat disimpulkan bahwa permintaan terhadap uang, M_t_₁, meningkat selama P dan _t c_t naik.

Diketahui: ₁ t 1 t t P P     . Misalkan: 1 1 1 t t t M m P     (56) Karena 1 1 t t t P P    

,

maka persamaan (55) dapat ditulis sebagai berikut:

1 1 1 1 1 t t t t t t P i M c i         













1 1 1 1 1 1 t t t t t t M i c P i         













.

Berdasarkan persamaan (56), diperoleh persamaan berikut: 1 1 1 1 1 t t t t t i m c i        













. (57) Dapat disimpulkan bahwa m_t_₁ akan turun mengikuti kenaikan tingkat inflasi,_t.

Jika tingkat suku bunga nominal dan tingkat inflasi konstan:

1 1 1 1 i r         (58) maka, berdasarkan persamaan (51a), dapat dikatakan bahwa konsumsi konstan.

1,

t t

c c_ t (59) Dalam kasus ini, permintaan real terhadap uang juga akan menjadi konstan:

1 1 1 1 i m c i       













. (60) Dari persamaan (58) kita memperoleh persamaan tingkat suku bunga nominal:

(1 )(1 ) 1

i    . (61) Sehingga persamaan permintaan real terhadap uang pada persamaan (60) di atas akan menjadi: 1 1 1 1 1 ₁ (1 )(1 ) m c         _  

























. (62) Karena itu, dengan asumsi di atas, jika bank sentral membuat keputusan seputar besarnya tingkat inflasi, , (konstan), maka besarnya tingkat suku bunga diberikan oleh persamaan (61) dan permintaan real terhadap uang diberikan oleh persamaan (62).

(7)

3.6 Kesesuaian antara Kebijakan Fiskal dan Moneter

Interaksi antara kebijakan fiskal dan moneter tetap menjadi topik yang menarik untuk dibahas oleh para ahli makroekonomi.

Pada bagian ini, diambil beberapa asumsi mengenai kebijakan fiskal dan moneter, untuk melihat bagaimana kondisi kesanggupan membayar fiskal terpenuhi (juga kondisi transversalitas (46b) dan (47b)).

Dalam kaitannya dengan kebijakan moneter oleh bank sentral, diasumsikan bahwa kondisi-kondisi berikut terpenuhi: 1. Tingkat inflasi konstan.

2. Tingkat suku bunga nominal konstan. Selanjutnya, diasumsikan juga bahwa tingkat suku bunga nominal telah diberikan pada persamaan (61), yang menyebabkan konsumsi konstan.

Untuk penyederhanaan, diasumsikan juga pendapatan, y, sama untuk tiap periode:

1 , 0

t t

y_  y  y   . (63)t

Belanja real pemerintah tiap periode adalah

t t t

g  y  .c

Karena y dan _t c tetap, maka _t g juga tetap. _t

Sehingga dapat ditulis:

1 , 0

t t

g_ g g   . (64)t

Jika kita membagi persamaan anggaran rumah tangga (27b) dengan

P

_t, maka diperoleh:

1 1 1 1 1 1 1 1 -t t t t t t t t t t t t t t M P B P c P P P P i M B y h P P            

(65) Misalkan ; t t t t t t B M b m P P   . (66)

Karena y c-  , maka persamaan (66) g

dapat ditulis sebagai berikut:









1 1 - 1 1 t t t t t b b g h m m r         









Berdasarkan asumsi mengenai tingkat inflasi dan tingkat suku bunga nominal di atas, dapat disimpulkan bahwa permintaan real terhadap uang juga konstan:

1 , 0

t t

m_ m m  t (68)

yang besarnya diberikan pada persamaan (62). Persamaan (67) dapat ditulis sebagai berikut:





1 _- -1 t t t b b g h m r   _ _  (69a) atau 1 -1 t t t b b S r  _  (69b) dengan S_t menunjukkan surplus termasuk

seignorage.

t t

S h m g . (70) Dalam kaitannya dengan kebijakan fiskal, diasumsikan lump-sum tax-nya konstan:

, 0

t

h h   .t (71) Dalam kasus ini, surplus termasuk

seignorage adalah konstan:

, 0

t

S S  t (72) dan persamaan (69b) menjadi:

1 1 t t b b S r  _ _  (73a) atau



 



1 1 1 t t b_  r b  r S. (73b) Dengan persamaan beda, persamaan (73b) dapat dipecahkan untuk memperoleh hasil berikut:





0





1 1 T 1 T 1 T S r b r b r r    



_

 



_

Jika kedua ruas dibagi dengan

 

1r T

:

 

0





1 1 1 1 1 T T T b r b S r r r      

















(75) Diketahui bahwa, T T T B b P 



1



0 T T P   P

,

(76) maka dari persamaan (75), diperoleh persamaan berikut:

 

₀ 00 1 1 1 1 1 T T T B B r S P r r i P      



_

_









_

_







(77) dan





0 0 1 lim 1 T T T B _b r_S r i P      . (78)

(8)

Kondisi transversalitas akan dipenuhi hanya jika: 0 1 r S b r   . (79) Sehingga besarnya jumlah lump-sum tax adalah 0 -1 r h g m b r     (80) Jika nilai pajak diberikan oleh persamaan (80), maka dari persamaan dinamik (73a), diperoleh

0 1 2 ... t,

b b b  b   (81)t N

Kewajiban real pemerintah bernilai konstan dan kewajiban nominal naik berdasarkan tingkat inflasi:



1



0

T T

B   B . (82) Dari persamaan kendala anggaran, untuk

0 t  , maka: 0 mm (83) dengan 0 0 0 M m P  diberikan.

Dengan menggunakan persamaan (62), diperoleh



 

_





_

_



_

1 0 1 1 1 1 1 1 c m                 













Dari hipotesis-hipotesis sebelumnya, solusi yang optimal adalah

0 1 2 ... t , 0

c c c  c c   t

(85) dengan c diberikan pada persamaan (84).

0 1 2 ... t , 0

m m m  m m   .t

(86) Sehingga permintaan uang nominal diberikan oleh:



1



0, 0

t t

M   M   . (87)t

Dengan menggunakan persamaan (31) dan (50), persamaan (13) dapat ditulis sebagai berikut: 1 1 1 0 1 1 1 - 1 -t t t t M J c P       _ _   









_



_

















Berdasarkan solusi optimal pada persamaan (85) dan (86), diperoleh

0 0 1 1 -M J c P         



_



_





. (89) Dari persamaan (84), persamaan (89) menjadi:

 



 

_





_

_



_

1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 -J m m                          













(90) Dapat dilihat bahwa fungsi utilitas optimal bergantung pada tingkat inflasi. Karena itu bank sentral berperan penting dalam proses optimasi fungsi utilitas, melalui pengaturan tingkat inflasi, yang berdampak pada maksimalnya konsumsi sesuai dengan jumlah uang real.