Di dukung oleh :
Portal edukasi Gratis Indonesia
Open Knowledge and Education
http://oke.or.id
Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetap menyertakan nama penulis、tanpa ada tujuan komersial
1
Persamaan Lingkaran
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat (3,4) dan berjari-jari 6 !
Jawab :
0 11 8 6 6
) 4 ( ) 3
(x− 2+ y− 2 = 2 ⇔ x2+ y2− x− y− =
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat (2,3) dan melalui titik (5,-1) !
Jawab :
Persamaan lingkaran yang berpusat (2,3 ) adalah 2 2 2
) 3 ( ) 2
(x− + y− = r
Melalui titik (5,-1) maka : (5− 2)2 + (−1− 3)2 = r2 ⇔ r2 = 25
Jadi persamaan lingkarannya : (x− 2)2 + (y− 3)2 = 25 atau
0 12 6 4
2
2+ − + − =
y x y x
3. Diketahui titik A(5,-1) dan B(2,4). Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya melalui titik A dan B !
Jawab :
Pusat lingkarannya :
=
+ − +
2 3 , 2 7 2
4 1 , 2
2 5
Panjang diameternya : (2− 5)2+ (4+ 1)2 = 34
Jari-jari lingkarannya = r = ½ d = 21 34
Persamaan lingkarannya : 2
2 1 2 2 3 2
2
7) ( ) ( 34)
(x− + y− = atau
x2+ y2− 7x− 3y+ 6= 0
4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,-3) dan menyinggung garis 3x - 4y + 7 = 0 !
Jawab :
r (2,-3)
0 12 6 4 25
) 3 ( ) 2 (
5 )
4 ( 3
7 ) 3 )( 4 ( 2 . 3
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1
= − + − + ⇔ = + + −
= −
+
+ − − + = +
+ + =
y x y x y
x Jadi
b a
5. Tentukan pusat lingkaran x2 + y2+ 4x− 6y+ 13= 0 !
Jawab :
Pusat
(
,)
( .4, 21.( 6)) ( 2,3)2 1 2
1 2
1 − = − − − = −
− A B
6. Tentukan jari-jari lingkaran x2+ y2− 4x+ 2y+ c = 0 yang melalui titik A(5,-1) !
Jawab :
Melalui titik A(5,-1) maka 52 + (−1)2− 4.5+ 2(−1)+ c= 0⇔ c= −4 3
) 4 ( 2 . ) 4
.( 2 41 2
4 1 2
4 1 2 4
1 + − = − + − − =
= A B c
r
7. Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran 4x2 + 4y2+ 4x−12y+ 1= 0 !
Jawab :
(
)
2 3 4 1 4 9 4 1 2 3 2 1
4 1 2
2
2 2
,
0 3
4 : 0 1 12 4 4 4
= − + = = −
− =
= + − + +
= + − + +
r jari Jari Pusat
y x y x
y x y x
8. Tentukan m supaya lingkaran x2+ y2− 4x+ 6y+ m= 0 mempunyai jari-jari 5 !
Jawab :
12 36
. 16 .
5 41
4
1 + − ⇔ = −
= m m
9. Agar garis y = x + c menyinggung lingkaran x2+ y2 = 25 maka tentukan c !
Jawab :
Cara I : Substitusi y = x + c ke x2+ y2 = 25 maka
2 5 0
200 8
4 0 4
0 25 2
2 25 ) (
2 2 2
2 2
2 2
± = ⇔ = + − ⇒ = − =
= − + + ⇔ = + +
c c
c ac
b D
c cx x
c x x
Cara II : x2 + y2 = 25⇒ r = 5
2 5 50
) 1 1 ( 25 ) 1 (
1
2 2
2
2 = + = + = ⇔ = ±
= ⇒ + =
c m
r c
10.Tentukan a agar garis y = x + a menyinggung lingkaran x2+ y2 − 6x− 2y+ 2= 0 ! atau a
11.Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (7,1) !
Jawab :
Persamaan garis yang melalui titik (7,1) adalah :
25 atau m
Persamaan garis singgungnya :
0
Cara II : Garis yang melalui (5,1) adalah :
0 jadi
13.Garis singgung di titik (12,-5) pada lingkaran x2+ y2 = 169 menyinggung lingkaran
Melalui (12,-5) sehingga : 12x – 5y = 169
) 1 ...( 169
)
169 60
Dari (1) dan (2) disimpulkan p = 169
14. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3,2) dan menyinggung sumbu Y !
Jawab :
Karena pusatnya (3,2) dan menyinggung sumbu Y maka r = 3. Persamaan lingkarannya :
0
15.Diketahui lingkaran l berpusat di (-2,3) dan melalui titik (1,5). Jika lingkaran L diputar
90 searah jarum jam terhadap titik O(0,0), kemudian digeser ke bawah sejauh 5 satuan,
maka tentukan persamaan lingkaran yang dihasilkan !
Jawab :
Persamaan lingkaran dengan (-2,3) dan melalui titik (1,5) adalah:
(
)
cos( )90 sin(
) 90 sin( )
90 cos( ' Substitusi
x Jadi
16.Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x− 5y− 21= 0, maka tentukan k !
Jawab :
6 1
0 21 5 10
25+ k2− − k− = ⇔ k = − atau k =
17. Tentukan jari-jari lingkaran yang melalui titik-titik A(5,0), B(0,5) dan C(-1,0) !
Jawab :
Misal persamaan lingkarannya : x2+ y2+ Ax+ By+ C = 0
Melalui A(5,0) maka 5A + C = -25 ……..(1) Melalui B(0,5) maka 5B + C = -25 ……..(2) Melalui C(-1,0) maka –A + C = -1 ………..(3)
Dari (1), (2) dan (3) didapat A = -4, B = -4 dan C = -5
Jadi persamaan lingkarannya x2 + y2− 4x− 4y− 5= 0
Sehingga jari-jarinya = r = 22 + 22− (−5) = 13
18.Diketahui lingkaran dengan persamaan x2 + y2+ bx− 6y+ 25= 0danb< 0 menyinggung
sumbu X. Tentukan nilai b !
Jawab :
Pusat lingkaran
(
− 21b,3)
Menyinggung sumbu X berarti r = 3
r = 3 = (− 12b)2+ 32− 25 ⇒ b= −10
19.Lingkaran x2+ y2− 2px+ q= 0 yang mempunyai jari-jari 2, akan menyinggung garis
x – y = 0 bila nilai p yang positif = ……
Jawab :
) 1 ...( 4
0
2= 2 + − ⇔ = 2 −
= p q q p
r
Menyinggung garis y = x maka :
2 2 0
) 4 ( 2
: ) 2 ( ) 1 (
) 2 .( ... 0
2 0
. 2 . 4 ) 2 ( 0
0 2
2 0 2
2 2
2 2
2 2
2
= ⇒ = − −
= − ⇔ = −
− ⇒ =
= + − ⇔ = + − +
p p
p
ke Substitusi
q p q
p D
q px x
q px x
20.Tentukan persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2− 4x+ 6y−17 = 0
dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 !
Jawab :
Misal persamaan lingkarannya : x2+ y2− 4x+ 6y+ c= 0 ...(1)
Substitusi
4 7
3 +
= x
y ke persamaan (1) sehingga :
12 0
) 16 217 .( 217 50
Persamaan lingkarannya :
25
21.Garis singgung lingkaran x2+ y2 = 25 di titik (-3,4) menyinggung lingkaran dengan pusat
(10,5). Tentukan jari-jarinya !
Jawab :
Persamaan lingkaran dengan pusat (10,5) dan jari-jari r adalah :
(
)
7 0
) 16 1625 .( 25 . 4 ) 290 ( 0
0 16 1625 290
25
16 . 0 125
4
125 10 Substitusi
r 360
90
BAC BOC
ABC BOC
juring
