Soal Latihan dan Pembahasan Integral

Di dukung oleh :

Portal edukasi Gratis Indonesia

Open Knowledge and Education

http://oke.or.id

Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetap

menyertakan nama penulis、tanpa ada tujuan komersial

1

Integral

1.

∫

(

3x2 − 4x+ 5

)

dx = ....

Jawab :

c x x

x3− 2 2 + 5 +

2.

∫

 =

  



 _{+ +}

... 6

1

3 dx

x x

Jawab :

∫

_3x + x− + 6_ dx = 3. x + 2x2 + 6x+ c= 2x x+ 2 x+ 6x+ c

1 2 3 2

1 2 1

3 2

3.

∫

(

3x−1

)(

2x+ 4

)

dx = ...

Jawab :

(

)

∫

6x2+ 10x− 4 dx= 2x3+ 5x2− 4x+ c

4.

∫

sin2xcosxdx = ....

Jawab :

∫

= + = +

= ⇒ =

c x c

u du u

dx x du

x u

Misal

3 3 1 3

3 1 2

sin cos sin

5.

∫

2xsinxdx = ...

Jawab :

Diferensial Integral

2x Sin x

2 -cos x

0 -sin x

6.

∫

(

− +

)

=

2

0 2

.... 7

3

3x x dx

Jawab :

[

3− 3₂ 2 + 7

]

₀2 = (8− 6+ 14)− (0− 0+ 0)= 16

x x x

7.

∫

=

∫

=

∫

=

1

0

1

2

2

0

... )

( 2

) ( 2 2

)

(x dx dan f x dx maka f x dx f

Jawab :

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

= − = −

= +

=

= ⇔

=

2

0

1

0

2

1

1

0

1

2 1

2

1

2

1 1 2 )

( )

( )

( )

( )

(

1 ) ( 2

) ( 2

dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f

dx x f dx

x f

8. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 4x, sumbu X dan garis x = 5 !

Jawab : Y

5 X

[ ]

∫

= =

= 5

0

5 0 2

50 2

4x dx x

L

9. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva _y= − _x2+ _2x dan sumbu X untuk ₀≤ _x≤ ₃

Jawab : Y

2 3 X

(

)

(

)

[

] [

]

3

2 3 2 2 3 3 1 2

0 2

0

2 3 3 1 3

2 2 2

2 2

2 − − + = − + − − + =

+ −

=

∫

x x dx

∫

x x dx x x x x

10.Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva _y= _x2 − _6x dan sumbu X !

Jawab : Y

0 3 6 X

-9

Cara I :

(

6

)

[

3

]

6 (72 108) 36

0 2 3 3 1 6

0

2 − = − − = − − =

−

=

∫

x x dx x x

L

Cara II : _y − _y = 0− (_x2 − 6_x)= − _x2+ 6_x⇒ _D= _b2 − 4_ac= 62 − 0= 36

bawah atas

36

) 1 .( 6

36 36 6 2 = − 2 =

=

a D D L

Cara III : ₃2.6.9 36

3

2 = =

= pl L

11._{Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y}= _6x− _x2 _{dan y} = _x2− _2x

Jawab :

3 64 ) 2 .( 6

64 64

64 0 64

8 2 ) 2 ( ) 6 (

2

2 2

2 1

2

= − =

= − =

+ − = − − − = −

L D

x x x

x x x y y

12. Y Jika luas yang diarsir 32, maka tentukan ordinat Puncak parabola !

X 4

Jawab :

12 4

. 32 ₃2

3 2

= ⇔ =

=

13.Tentukan isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva _y= _x3, sumbu

X dan 0≤ x≤ 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh ₃₆₀ _!

Jawab : Y

X 2

[ ]

∫

∫

= = =

= 2

0

2 0 7 7 1 6

2

0 2 3

7 128 )

( π π π

π x dx x dx x

V

14.Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh parabola

4 4

, 2

2 = =

= x y x dan y

y diputar mengelilingi sumbu Y sejauh ₃₆₀ _!

Y

Jawab :

4

X

[ ]

∫

− =

∫

− =

∫

= =

= 4

0

4

0

4

0

4 0 2 8 3 4

3 4

1 2

2 1 2

6 )

( )

( π π π π

π y y dy y y dy y dy y

V

15.

∫

x x dx= ...

Jawab :

∫

x dx = x + c = ₅2x2 x+ c

5 2 2

5 2

3

16.

∫

=

− ...

1 2

dx x x

Jawab :

∫

=

∫

− = − + = − + = − − +

−

− = ⇔

= −

⇒ = −

−

c x c

u c

u du

u dx x x

du dx

x du dx x u

x

2 2

1 2

1 2

2 1 2

1 2

. .

1

2 1

2 1 2

17.

∫

= + 3 ... 2

12

2 dx

x x

Jawab :

∫

=

∫

= + = + +

+

= ⇔

= ⇒

= +

−

c x

c u du

u dx x

x

du dx

x du

dx x u x

3 2 6 2

. 3 3

. 3

2 12

3 12

4 3

2

2 2

2

2 1 2

1

18.

∫

=

+ 8 ... 2

18 3

2

dx x

x

Jawab :

c x

du u

du dx

x u

x

+ + =

= ⇒

= +

∫

−

8 2 6 3

.

3 18

8 2

3 2 3

2 1

19.

∫

x

(

x+ 4

)

5 dx= ...

Jawab :

Diferensial Integral

x 5

) 4 (x+

1 6

6

1_(x+ ₄₎

0 7

42 1 _(x+ ₄₎

c x

x c

x x

x + − + + = − + +

= 6

21 1 7

42 1 6 6

1 _{( 4) ( 4) (3 2)( 4)}

20. Jika f ‘(x) = 8x – 2 dan f(5) = 36 maka tentukan f(x) !

Jawab :

(

)

54 2 4 ) (

54 36

5 . 2 5 . 4 ) 5 (

2 4 2

8 ) (

2 2

2

− − =

− = ⇔ = + − =

+ − = −

=

∫

x x x f

c c

f

c x x dx x

x f

21. Diketahui f ‘(x) = (x+1)(x+2). Jika f(-3) = -3/2 maka tentukan f(x) !

Jawab :

(

)

x x x x f

c c

f

c x x x dx x

x x f

2 )

(

0 6

9 ) 3 (

2 2

3 )

(

2 2 3 3 3 1

2 3 2

27

2 2 3 2 3 1 2

+ + =

= ⇔ − = + − + − = −

+ + + = +

22._Diketahui = _ax+ _{b, f(0)}− _f(−₁₎= _{3dan f(1)}− _f(0)= ₅

dx dF

. Tentukan a+ b !

Jawab : 6 4 2 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 .( ... 10 2 5 ) 0 0 ( ) ( 5 ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ...( 6 2 3 ) ( ) 0 0 ( 3 ) 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( 2 2 2 2 = + = = = + ⇔ = + + − + + ⇒ = − = + − ⇔ = + − − + + ⇒ = − − + + = + =

∫

b a Maka b dan a didapat dan Dari b a c c b f f b a c b c f f c bx x dx b ax x f a a a

23.

∫

sin

(

2x− 3

)

dx = ...

Jawab : c x du u du dx u x + − − = = ⇒ = −

∫

sin . cos(2 3)

3 2 2 1 2 1 2 1

24.

∫

(

x2+ 1

)

cosxdx = ...

Jawab :

Diferensial Integral

1 2 +

x cos x

2x sin x

2 -cos x

0 -sin x

(

)

c x x x x c x x x x x + + − = + − + − − + = cos 2 sin ) 1 ( ) sin 2 ( ) cos 2 ( sin 1 2 2

25.

∫

(

3x+ 1

)

cos2xdx = ...

Jawab :

Diferensial Integral

3x+1 cos 2x

3 ₂1sin2x

0 -₄1cos2x

26.

∫

sin3xcosx dx= ... Jawab :

∫

=

∫

= + = ⇒ = c x du u dx x x du dx x u x 4 4 1 3 3 sin cos sin cos sin

27.Tentukan nilai a yang memenuhi

∫

− = >

a a dan dx x 1 0 6 ) 1 2 ( ! Jawab :

[

]

∫

a − = ⇔ − a = ⇔ − + = ⇒ =

a a a x x dx x 1 1 2 3 0 ) 2 )( 3 ( 6 6 ) 1 2 ( 28._Jika 20 11 ) 1 ( )

( _{3 3}

− = + = − F dan x x dx x dF

maka tentukan

∫

2

1 ) (x dx f Jawab :

(

)

(

)

[

]

∫

∫

∫

= − + = − − = − = ⇔ − = + − = + − = + = − − 2 1 2 1 2 1 10 3 2 1 5 20 1 10 3 2 2 1 4 4 1 2 4 4 1 3 3 1 ) ( 10 3 20 11 2 1 4 1 ) 1 ( 2 1 ) ( x x dx x x dx x F c c F c x x dx x x x F x

29.Jika

(

)

∫

 =

     + + = 2 1 2 3 3 3

1 _{4 dx ...}

30.Jika

∫

=

∫

− = >

a b

b a dan dx

x dx

x

0 0

3 2 2

1 _{, (2 3) 4 , 0}

10 3

maka tentukan nilai 2 2 2ab b

a + +

Jawab :

[

]

25 2

4 4

3 4

) 3 2 (

1 10

3 10

3

2 2

0

0 2 0

10 3

0 10

3 2

1 3

5 3

5 3

2

= + +

= ⇒ = − ⇔ = −

= ⇔ = =

    ⇔ =

∫

∫

b ab a

b x

x dx

x

a a

x dx

x

b

b

a a

31._Diketahui

∫

_f(x)dx= _ax2 + _bx+ _{c dana}≠ _{0. Jika a, f(a), 2b membentuk barisan aritmetika}

dan f(b) = b maka tentukan nilai

∫

1

0 ) (x dx f

Jawab :

[

]

∫

=

∫

+ = + =

= + = ⇒ = ⇒ + = + ⇒

+ =

− = −

+ = ⇔ = + ⇒ =

+ = ⇒

+ =

1

0

1 0 2 4 1 1

0 2 1

4 1 4

1 2

2

4 17 4

) 4 ( )

(

4 1 . 2

6 2

) 2 ( 2 2 )

( 2

) ( 2 )

(

: 2

), ( ,

1 2

6 6

2 6 ) (

2 ) ( 2

) (

x x dx x

dx x f

b a

b a b a b

a a f

a f b a a f

maka aritmetika barisan

b a f a

a b b

ab b

f

b a a f b ax x

f

32.