Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran
Di susun Oleh : Di susun Oleh :Yuyun Somantri
Yuyun Somantri
11 http://bimbinganbelajar.net/ http://bimbinganbelajar.net/ Di dukung oleh : Di dukung oleh :Portal edukasi Gratis Indonesia
Portal edukasi Gratis Indonesia
Open Knowledge and Education
Open Knowledge and Education
http://oke.or.id
http://oke.or.id
Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetap Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetap menyertakan nama penulis
menyertakan nama penulis、、tanpa ada tujuan komersialtanpa ada tujuan komersial
1 1
Lahir di Bandung tahun 1956,
Lahir di Bandung tahun 1956, Lulus dari SMK Kimia Lulus dari SMK Kimia melanjutkan studinya ke UPI (Imelanjutkan studinya ke UPI (IKIP Bandung), laluKIP Bandung), lalu meneruskan studinya lagi bidang matematika dan dari
meneruskan studinya lagi bidang matematika dan dari tahun 1984 sampai saat ini mengajar matahun 1984 sampai saat ini mengajar ma tematika ditematika di SMA Negeri 3 Tasikmalaya
SMA Negeri 3 Tasikmalaya
Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat (3,4) dan berjari-jari 6 !
Jawab : 0 11 8 6 6 ) 4 ( ) 3 ( x
−
2+
y−
2=
2⇔
x2+
y2−
x−
y−
=
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat (2,3) dan melalui titik (5,-1) !
Jawab :
Persamaan lingkaran yang berpusat (2,3 ) adalah ( x
−
2)2+
( y−
3)2=
r 2Melalui titik (5,-1) maka : (5
−
2)2+
(−
1−
3)2=
r 2⇔
r 2=
25Jadi persamaan lingkarannya : ( x
−
2)2+
(y−
3)2=
25 atau0 12 6 4 2 2
+
−
+
−
=
y x y x3. Diketahui titik A(5,-1) dan B(2,4). Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya melalui titik A dan B !
Jawab : Pusat lingkarannya :
=
+
−
+
2 3 , 2 7 2 4 1 , 2 2 5 Panjang diameternya : (2−
5)2+
(4+
1)2=
34 Jari-jari lingkarannya = r = ½ d = 34 2 1 Persamaan lingkarannya : 2 2 1 2 2 3 2 2 7) ( ) ( 34) ( x−
+
y−
=
atau 0 6 3 7 2 2+
−
−
+
=
y x y x4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,-3) dan menyinggung garis 3x - 4y + 7 = 0 ! Jawab : r (2,-3) 0 12 6 4 25 ) 3 ( ) 2 ( 5 ) 4 ( 3 7 ) 3 )( 4 ( 2 . 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1
=
−
+
−
+
⇔
=
+
+
−
=
−
+
+
−
−
+
=
+
+
+
=
y x y x y x Jadi b a c by ax r5. Tentukan pusat lingkaran x
+
y+
4 x−
6y+
13=
0 ! Jawab : Pusat(
,)
( .4, 21.( 6)) ( 2,3) 2 1 2 1 2 1−
=
−
−
−
=
−
−
A B6. Tentukan jari-jari lingkaran x2
+
y2−
4 x+
2 y+
c=
0 yang melalui titik A(5,-1) !Jawab :
Melalui titik A(5,-1) maka 52
+
(−
1)2−
4.5+
2(−
1)+
c=
0⇔
c=
−
4 3 ) 4 ( 2 . ) 4 .( 2 41 2 4 1 2 4 1 2 4 1+
−
=
−
+
−
−
=
=
A B c r7. Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran 4 x2
+
4 y2+
4 x−
12y+
1=
0 !Jawab :
(
)
2 3 4 1 4 9 4 1 2 3 2 1 4 1 2 2 2 2 , 0 3 4 : 0 1 12 4 4 4=
−
+
=
=
−
−
=
=
+
−
+
+
=
+
−
+
+
r jari Jari Pusat y x y x y x y x8. Tentukan m supaya lingkaran x2
+
y2−
4 x+
6 y+
m=
0 mempunyai jari-jari 5 !Jawab : 12 36 . 16 . 5 41 4 1
+
−
⇔
=
−
=
m m9. Agar garis y = x + c menyinggung lingkaran x2
+
y2=
25 maka tentukan c !Jawab :
Cara I : Substitusi y = x + c ke x2
+
y2=
25 maka2 5 0 200 8 4 0 4 0 25 2 2 25 ) ( 2 2 2 2 2 2 2
±
=
⇔
=
+
−
⇒
=
−
=
=
−
+
+
⇔
=
+
+
c c c ac b D c cx x c x x Cara II : x2+
y2=
25⇒
r=
5 2 5 50 ) 1 1 ( 25 ) 1 ( 1 2 2 2 2=
+
=
+
=
⇔
=
±
=
⇒
+
=
c m r c m c x y10. Tentukan a agar garis y = x + a menyinggung lingkaran x2
+
y2−
6 x−
2y+
2=
0 ! Jawab : 2 6 0 ) 2 2 .( 2 . 4 ) 8 2 ( 0 0 2 2 ) 8 2 ( 2 0 2 ) ( 2 6 ) ( 2 2 2 2 2 2=
−
=
=
+
−
−
−
⇒
=
=
+
−
+
−
+
=
+
+
−
−
+
+
a atau a a a a D a a x a x a x x a x x11. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2
+
y2=
25 yang melalui titik (7,1) !Jawab :
Persamaan garis yang melalui titik (7,1) adalah :
25 3 4 . 7 1 25 4 3 ) ( 7 1 ) 1 ( 25 ) 7 1 ( ) 1 ( 7 1 ) 7 ( 1 3 4 3 4 3 4 2 4 3 4 3 4 3 1 3 4 2 4 3 1 2 2 2 2 2
=
−
⇔
−
+
=
⇒
=
=
+
⇔
−
−
+
−
=
⇒
−
=
=
−
=
⇔
+
=
−
⇒
+
=
−
+
=
⇔
−
=
−
y x x y m y x x y m m atau m m m m r c m mx y x m y12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2
+
y2−
4 x+
6y−
12=
0 di (5,1 ) !Jawab :
Cara I : x2
+
y2−
4 x+
6 y−
12=
0⇒
( x−
2)2+
(y+
3)2=
25Persamaan garis singgungnya :
0 19 4 3 25 ) 3 )( 3 1 ( ) 2 )( 2 5 ( 25 ) 3 )( 3 ( ) 2 )( 2 ( 1 1
=
−
+
=
+
+
+
−
−
=
+
+
+
−
−
y x y x y y x xCara II : Garis yang melalui (5,1) adalah :
0 19 4 3 ) 5 ( 1 ) 1 ( 25 ) 3 4 ( ) 1 ( 3 4 ) 2 ( 3 ) 2 2 ( 4 3 ) 5 ( 1 4 3 4 3 2 2 2 2 2
=
−
+
⇔
−
−
=
−
−
=
⇔
+
=
+
+
=
−
+
−
=
+
⇔
−
−
=
−
+
−
=
−
y x x y jadi M m m m r c m x m y x m y x m y13. Garis singgung di titik (12,-5) pada lingkaran x
+
y=
169 menyinggung lingkaran p y x−
5)2+
(−
12)2=
( . Tentukan p ! Jawab :Persamaan garis singgung pada lingkaran x2
+
y2=
169 adalah 1691 1 x
+
y y=
x Melalui (12,-5) sehingga : 12x – 5y = 169 ) 1 ...( 169 ) 12 ( 5 ) 5 ( 12 169 60 ) 12 ( 5 60 ) 5 ( 12=
−
−
−
=
−
−
−
+
−
y x y xGaris singgung pada lingkaran ( x
−
5)2+
( y−
12)2=
p adalah :) 2 .( ... ) 12 )( 12 ( ) 5 )( 5 ( x1
−
x−
+
y1−
y−
=
pDari (1) dan (2) disimpulkan p = 169
14. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3,2) dan menyinggung sumbu Y !
Jawab :
Karena pusatnya (3,2) dan menyinggung sumbu Y maka r = 3. Persamaan lingkarannya : 0 4 4 6 9 ) 2 ( ) 3 ( x
−
2+
y−
2=
⇔
x2+
y2−
x−
y+
=
15. Diketahui lingkaran l berpusat di (-2,3) dan melalui titik (1,5). Jika lingkaran L diputar
90 searah jarum jam terhadap titik O(0,0), kemudian digeser ke bawah sejauh 5 satuan,
maka tentukan persamaan lingkaran yang dihasilkan !
Jawab :
Persamaan lingkaran dengan (-2,3) dan melalui titik (1,5) adalah:
( ) 0 5 6 6 0 ) " ( 6 ) 5 " ( 4 ) " ( 5 " : ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ...( " 5 " 5 5 0 " " 0 1 1 0 ) 90 cos( ) 90 sin( ) 90 sin( ) 90 cos( ' ' ) 1 ...( 0 6 4 13 ) 3 ( ) 2 ( 13 ) 3 5 ( ) 2 1 ( ) 3 ( ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
=
+
+
−
+
=
−
−
−
+
+
−
−
=
−
−
=
⇒
−
−
=
−
+
−
=
−
=
−
=
−
−
−
−
−
=
=
−
+
+
⇔
=
−
+
+
=
⇔
=
−
+
+
=
−
+
+
y x y x x y x y ke Substitusi x y y x x y x y y x x y y x y x y x y x y x y x Jadi r r r y x 16. Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran x2
+
y2+
2 x−
5y−
21=
0, maka tentukan k ! Jawab : 6 1 0 21 5 10 25+
k 2−
−
k−
=
⇔
k=
−
atau k=
17. Tentukan jari-jari lingkaran yang melalui titik-titik A(5,0), B(0,5) dan C(-1,0) !
Jawab :
Misal persamaan lingkarannya : x2
+
y2+
Ax+
By+
C=
0Melalui A(5,0) maka 5A + C = -25 ……..(1) Melalui B(0,5) maka 5B + C = -25 ……..(2) Melalui C(-1,0) maka –A + C = -1 ………..(3)
Dari (1), (2) dan (3) didapat A = -4, B = -4 dan C = -5 Jadi persamaan lingkarannya x2
+
y2−
4 x−
4y−
5=
0Sehingga jari-jarinya = r = 22
+
22−
(−
5)=
1318. Diketahui lingkaran dengan persamaan x2
+
y2+
bx−
6 y+
25=
0dan b<
0 menyinggungsumbu X. Tentukan nilai b !
Jawab :
Pusat lingkaran
(
−
21b,3)
Menyinggung sumbu X berarti r = 3 r = 3 = (
−
21b)2+
32−
25⇒
b=
−
1019. Lingkaran x2
+
y2−
2 px+
q=
0 yang mempunyai jari-jari 2, akan menyinggung garisx – y = 0 bila nilai p yang positif = ……
Jawab : ) 1 ...( 4 0 2
=
2+
−
⇔
=
2−
=
p q q p rMenyinggung garis y = x maka :
2 2 0 ) 4 ( 2 : ) 2 ( ) 1 ( ) 2 .( ... 0 2 0 . 2 . 4 ) 2 ( 0 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2
=
⇒
=
−
−
=
−
⇔
=
−
−
⇒
=
=
+
−
⇔
=
+
−
+
p p p ke Substitusi q p q p D q px x q px x x20. Tentukan persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x
+
y−
4 x+
6y−
17=
0dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 !
Jawab :
Misal persamaan lingkarannya : x2
+
y2−
4 x+
6 y+
c=
0 ...(1)Substitusi
4 7
3
+
=
xy ke persamaan (1) sehingga :
12 0 ) 16 217 .( 25 . 4 50 0 0 16 217 50 25 16 . 0 4 7 3 6 4 4 7 3 2 2 2 2
=
⇔
=
+
−
⇒
=
=
+
+
+
=
+
+
+
−
+
+
c c D c x x c x x x x Persamaan lingkarannya : 25 ) 3 ( ) 2 ( 0 12 6 4 2 2 2 2+
−
+
−
=
⇔
−
+
+
=
y x y x y x21. Garis singgung lingkaran x2
+
y2=
25 di titik (-3,4) menyinggung lingkaran dengan pusat(10,5). Tentukan jari-jarinya !
Jawab :
Persamaan garis lingkaran x2
+
y2=
25 di titik (-3,4) adalah:) 1 ...( 4 25 3 25 4 3
+
=
⇔
=
+
−
x y y xPersamaan lingkaran dengan pusat (10,5) dan jari-jari r adalah :
( ) 7 0 ) 16 1625 .( 25 . 4 ) 290 ( 0 0 16 1625 290 25 16 . 0 125 4 25 3 10 20 4 25 3 : ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ...( 0 125 10 20 ) 5 ( 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
=
⇔
=
−
−
−
⇒
=
=
−
+
−
=
−
+
+
−
−
+
+
=
−
+
−
−
+
⇔
=
−
+
−
r r D r x x r x x x x ke Substitusi r y x y x r y x22. Jika jari-jari lingkaran L adalah r dan A suatu titik pada L sehingga
45
=
∠
BAC , makatentukan luas daerah yang diarsir !
C O B A Jawab : ( 2) 4 1 . 2 1 . 360 90 90 2 2 2
