i 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
MATERI
INTEGRAL
Untuk SMA/MA Kelas XII
Integral Aljabar _Integral Fungsi Trigonometri _ Integral Tak
Tentu_Integral Tertentu
i 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
KATA PENGANTAR
Buku sebagai salah satu sumber pembelajaran mempunyai peranan yang
penting dalam meningkatkan sumber daya manusia khususnya peserta didik.
Dengan buku, peserta didik dapat mengikuti kegiatan belajar mengajar dengan
baik dan siswa mampu memahami materi dengan lebih mudah.
Untuk meningkatkan keterampilan siswa dalam berpikir kritis, kreatif,
dan sistematis dalam memecahkan masalah pengoprasian integral serta aplikasi
dalam kesehariannya, kami lengkapi buku ini dengan contoh soal dan Uji
kompetensi. Kami berharap buku ini dapat membimbing para siswa menerapkan
berbagai konsep untuk mengembangkan materi integral.
Sesuai kata orang bijak, tidak ada yang sempurna dalam hidup begitupun
dengan buku ini. Oleh karena itu, saran dan kritik yang bersifat membangun dari
para pembaca untuk memperbaiki mutu buku berikutnya sangat kami harapkan.
Cirebon, Oktober 2014
ii 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ... i
DAFTAR ISI ... ii
KATA-KATA MOTIVASI ... iii
TUJUAN PEMBELAJARAN ... iv
BAB INTEGRAL A. Pengertian Integral ... 1
B. Integral Tak Tentu 1. Pengertian Integral Tak Tentu ... 1
a. Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar ... 2
b. Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri ... 3
2. Penerapan Integral Tak Tentu ... 6
C. Integral Tertentu ... 7
D. Teknik-Teknik Pengintegralan 1. Integral Subtitusi a).Bentuk Subtitusi-1 ... 10
b).Integral yang Memuat Bentuk 2− 2, 2+ 2, 2 − 2 ... 12
2. Integral Parsial ... 13
E. Beberapa Penggunaan Integral Tertentu 1. Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X ... 14
2. Luas Daerah antara Dua Kurva ... 15
3. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X dan Y ... 16
F. Aplikasi IntegralDalam Kehidupan Sehari-hari ... 20
UJI KOMPETENSI ... 22
DAFTAR PUSTAKA ... 27
iii 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI engalahkan Rasa
engolah menjadi Asa ewujudkan dalam Realita
M
Ambisi dan mimpimu adalah samudra.
Meski kadang terjadi pasang surut, tapi takkan pernah surut airnya. Oleh sebab itu, bersemangatlah selalu, meski melakukan hal sekecil apapun. Jangan pernah menunda-nunda apa yang bisa dilakukan hari ini.
Perhatikanlah daun-daun yang mati dan berguguran dari pohon, ia sebenarnya memberikan hidup baru pada pohon. Bahkan sel-sel dalam tubuh kita pun selalu memperbaharui diri.
PERBAIKI DIRI. GALI POTENSI.
Jauhkan keraguan,
Temukan Cara Terbaikmu
Meraih Mimpi
Setiap insan manusia dilahirkan luarbiasa.
Ingatlah, hanya seorang pemenang yang bisa melihat potensi, sementara seorang pecundang sibuk mengingat masa lalu.
Segala sesuatu di alam ini memberikan jalan kepada kehidupan yang baru dan
membuang yang lama. Satu-satunya
iv 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
TUJUAN PEMBELAJARAN
a. Memahami pengertian integral
b. Memahami pengertian integral tak tentu
c. Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
d. Memahami pengertian integral tertentu
e. Menentukan integral tertentu dengan menggunakan sifat-sifat integral
f. Menentukan integral dengan cara substitusi dan parsial
g. Menggambar suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva
h. Merumuskan integral tertentu untuk luas daerah antara kurva dan
sumbu x
i. Menghitung luas suaru daerah yang dibatasi dua kurva
j. Merumuskan integral tertentu untuk volume benda putar dari daerah
yang diputar terhadap sumbu x dan sumbu y
k. Menghitung volume benda dari daerah yang dibatasi oleh dua kurva
1 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
BAB
INTEGRAL
A.
Pengertian Integral
Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman
tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep
integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa
fungsi ini memiliki bentuk umum = 2 3. Setiap fungsi ini memiliki
turunan ′( ) = 6 2. Jadi, turunan fungsi = 2 3 adalah ′( ) = 6 2. Menentukan fungsi ( ) dari ′ , berarti menentukan antiturunan
dari ′( ) . Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial.
Jika ( ) adalah fungsi umum yang bersifat ′ = , maka ( ) merupakan antiturunan atau integral dari �′ = ( ).
B.
Integral Tak Tentu
1.
Pengertian Integral Tak Tentu
Pengintegralan fungsi ( ) yang ditulis sebagai ∫ disebut
integral tak tentu dari ( ). Jika �( ) anti turunan dari ( ), maka
= +
Keterangan:
∫ = notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
= fungsi integran
= fungsi integral umum yang bersifat ′ = �( ) =konstanta pengintegralan
Ada dua jenis integral tak tentu yang akan kamu pelajari pada
2 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI dari fungsi trigonometri. Agar kamu memahaminya dengan baik,
perhatikan uraian berikut.
a. Rumus Dasar Integral Tak Tentu dan Fungsi Aljabar
Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.
1 = , didapat 1′ = 1
Jadi, jika 1 ′( ) = 1 maka 1 = ∫ 1 ′ = + 1
2 = 1
2 , didapat 2′ =
Jadi, jika 2 ′ = maka 2 = ∫ 2 ′ = 1
2 + 2
Dari uraian ini, tampak bahwa jika ′ = , maka = 1
+1
+1 + atau dapat dituliskan ∫ = 1 +1
+1+ , ≠1
.
Sebagai contoh, turunan fungsi = 2 2+ adalah
′ = 4 . Ini berarti, antiturunan dari ′ = 4
adalah = 2 2 + atau dituliskan ∫ ′ = 2 2+ . Uraian ini menggambarkan hubungan berikut.
Jika ′ = , maka = 1 +1
+1+ , ≠ −1
dengan suatu konstanta.
Misalnya � konstanta real sembarang, dan
merupakan fungsi yang dapat diintegralkan, maka akan berlaku:
a) ∫ = +
b) ∫ � = � ∫
c) ∫ ± = ∫ ±
d) ∫ =
+1
+1+
Untuk lebih memahami integral tak tentu fungsi aljabar, marilah
3 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI Contoh:
1. Selesaikan integral berikut!
a) ∫ 3
b) ∫
3 2
c) ∫24 3
d) ∫ 6 2+ 2 −3
Jawab:
a) ∫ 3 = 1 3+1
3+1+ = 1 4
4 +
b) ∫
3
2 = 31 2+1
3
2+1+ =2
5
5 2+
c) ∫24 3 = 2∫ 34 = 2 ∙
3 4+1 3 4+1
+ =8 7
2 4+
d) ∫ 6 2+ 2 −3 =∫6 2 +∫2 − ∫3 = 2 3+
3−3 +
b. Rumus Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri
Untuk memahami integral dari fungsi trigonometri, dibutuhkan
pemahaman yang baik mengenai turunan trigonometri. Agar kamu lebih
memahaminya, perhatikan label turunan fungsi trigonometri berikut :
Tabel Turunan Fungsi Trigonometri
�(�) �′(�)
� � cos
� � −sin
� � 2
�� � tan . sec
� � − 2
4 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI Berdasarkan tabel Tersebut, rumus dasar pengintegralan trigonometri
adalah sebagai berikut.
∫cos = sin +�∫sin = −cos +�
∫ 2 = tan +�
2 =−cot +�
tan . sec = sec +�
cot . csc = −csc +�
Berdasarkan rumus integral dari fungsi trigonometri diatas,
maka rumus-rumus tersebut dapat diperluas menjadi :
a. ∫cos + = 1 sin + +�
b. ∫sin + = −1cos + +�
c. ∫ 2 + = 1 tan + +�
d. ∫tan + . sec + = 1sec + +�
e. ∫ 2 + =−1cot + +�
f. ∫cot + . csc + = −1csc + +�
Contoh 1.2
Selesaikan integral berikut!
1. ∫(2 sin + 3)
2. ∫ 22 −1
3. ∫ � 2
4. ∫(sin + cos )2
5. ∫sin 4 . cos 2
� 2 =1 2−
1 2cos 2
2 = 1 2+
1 2cos 2
5 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI 6. ∫sec . tan
7. ∫2 sin 3
Penyelesaian :
1. ∫(2 sin + 3) = 2∫sin +∫3 = −2 cos + 3 +�
2. ∫( 22 −1) = ∫ 22 − ∫ = 1
2tan 2 − +�
3. ∫ � 2 =∫(1 2−
1
2cos 2 ) = 1
2 −
1
42 +�
4. ∫(sin + cos )2 =∫( � 2 + 2 sin . cos + 2 )
=∫(1 + 2 sin . cos
=∫(1 + sin 2 )
= −1
2 cos 2x + C
5. ∫sin 4 . cos 2
= 1
2 sin 6 + sin 2
=1
2 (sin 6 + sin 2 )
= 1 2 −
1
6cos 6 − 1
2cos 2 +�
= − 1
12cos 6 − 1
4cos 2 +�
6. ∫sec . tan = sec +�
7. ∫2 sin 3 = 2∫sin 3
=−2
3 3 +�
� 2 + 2 = 1
2 + 1 = 2
6 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
2.
Penerapan Integral Tak Tentu
Integral tak tentu dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan di bawah ini :
1. Untuk menentukan suatu fungsi jika turunan dari fungsinya diberikan. 2. Untuk menentukan posisi, kecepatan, dan percepatan suatu benda
pada waktu tertentu. Misalnya s menyatakan posisi benda, kecepatan benda dinyatakan dengan v, dan percepatan benda dinyatakan dengan a. Hubungan anatara s, v, dan a adalah sebagai berikut.
= sehingga =∫ dan = sehingga = ∫
Agar lebih memahami aplikasi integral tak tentu, perhatikan contoh soal berikut ini!
1. Diketahui ′ = 6 2−10 + 3 dan −1 = 2. Tentukan ( ). Jawab :
′ = 6 2 −10 + 3 = 6 2−10 + 3
= 2 3−5 2 + 3 +� −1 = 2 2 = 2(−1)3−5 −1 2+ 3 −1 +�
2 = −2−5−3 +� �= 12 Jadi, ( ) = 2 3 −5 2 + 3 + 12
2. Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan percepatan a yang memenuhi persamaan = 2 −1, dalam / 2 dan t dalam detik. Jika kecepatan awal benda = 5 / dan posisi benda saat = 6 adalah
= 92 , maka tentukan persamaan posisi benda tersebut saat t detik! Jawab :
= 2 −1
=
= 2 −1
7 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI Kecepatan awal benda 5 −1, artinya saat t = 0 nilai v = 5
=0 = 5 02−0 +�= 5
�= 5 Sehingga,
= 2− + 5
=
= 2 − + 5
= 1 3
3 −1 2
2+ 5 +
� =6 = 92
1 3(6)
3−1 2 6
2 + 5 6 + = 92
72−18 + 30 + = 92
84 + = 92
= 8
Jadi, persamaan posisi benda tersebut saat t detik dirumuskan dengan
=1 3
3 −1 2
2+ 5 + 8
C.
Integral Tertentu
Jika fungsi = kontinu pada interval , maka:
= � = � − �
8 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI Misalnya dan merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval tertutup , , maka integral tertentu memenuhi sifat-sifat umum sebagai berikut.
1. ∫ = 0
2.∫ �. = � ∫ ,�= konstanta
3.∫ ± =∫ ±∫
4.∫ = − ∫
5. ∫ +∫ =∫
Untuk memahami integral tertentu lebih lanjut, marilah kita simak contoh-contoh berikut.
Contoh :
1. Hitunglah hasil integral berikut!
a. ∫36 2 0 Jawab :
6 2 3
0
= 6 2 = 6.1 3
3
0 3 3
0
= 6 1 3. 3
3 − 1 3. 0
3
= 6 9−0 = 54
b. ∫ 3 2+ 2 −3 1
Jawab :
2+ 2 −3 = 2 + 2
3
1 3
1 3
1
− 3 =1
3 3
1 3 3
1
+ 2 13− 3 13
= 1 3. 3
3 − 1 3. 1
3 + 32−12 − 3.3 − 3.1
= 9−1
3 + 9−1 − 9−3 =
26
3 + 8−6
= 32 3 = 10
9 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI 2. Hitunglah hasil integral dari bentuk berikut!
(2 sin + 6 cos )
�
4
−�2
Jawab :
(2 � + 6 )
�
4
−�2
= −2 +6 �
−�2
�
4
= −2 cos �
4 + 6 sin �
4 —2 cos − �
2 + 6 sin − � 2
= − 2 + 3 2 − 0−6 = 6 + 2 2
3. Jika ∫ 1� 2 −5 = 18 untuk �> 0 maka tentukan nilai �+ 1! Jawab:
2 −5 = 18
�
1 2−5
1� = 18
�2−5� − 1−5 = 18 �2−5�+ 4−18 = 0 �2−5� −14 = 0 (� −7) �+ 2 = 0
�= 7 atau�=−2 (tidak memenuhi) maka nilai�+ 1 = 7 + 1 = 8.
4.
x2
0 2 cos
dx
jawab:
x
20 2 cos
dx = (1 cos2 )
2 1 2
0
x
dx = 2
0 2 sin 4 1 2 1
10 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI =
) 2 ( 2 sin 4 1 2 . 2
1
=
4 ) 0 0 ( 4 1 ) 0 2 ( 2
1
D.
Teknik-Teknik Pengintegralan
Sering kita jumpai fungsi-fungsi yang akan diintegralkan tidak sesuai dengan rumus dasar integral dan tidak sedikit fungsi tersebut diberikan dalam bentuk yang sangat rumit. Pada subbab ini kita akan membahas dua teknik pengintegralan untuk menyelesaikan integral dengan fungsi seperti itu, yaitu integral subtitusi dan integral parsial.
1. Integral Substitusi
a) Bentuk Subtitusi-1
Tidak semua bentuk pengintegralan bisa dikerjakan dengan
menggunakan rumus ∫ = +1
+1+ .Banyak bentuk-bentuk
yang kelihatannya rumit, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan
rumus di atas. Karena itu dibutuhkan suatu cara lain untuk
menyelesaikannya.Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang
disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan
mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih
sederhana. Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut.
Contoh soal.
1. ∫(5 −2)3
2. ∫ 2−1 ( + 3)5
3.
2x(x2 3)4dxJawab :
1. ∫(5 −2)3
Misal: = 5 −2
11 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
= 5 → = 1
5 Sehingga
5 −2 3 = 31
5 =
1 5
3 =1
5 1 4
4 +
= 1
20(5 −2)
4+
Jadi,∫ 5 −2 3 = 1
20 5 −2 4 +�
2. ∫ 2−1 ( + 3)5
Misal = + 3 → =
= −3
Sehingga ∫ 2−1 ( + 3)5 =∫(( −3)2−1) 5
= 2 −6 + 8 5
= 7−6 6+ 8 5
=1 8
8−6 7
7+4 3
6+ �
=1
8( + 3) 8−6
7( + 3) 7+4
3( + 3) 6+�
Jadi, ∫ 2−1 ( + 3)5 =1
8( + 3) 8−6
7( + 3) 7+4
3( + 3) 6+�
3.
x x2 4dx) 3 ( 2
Misalkan u = x23, maka x dx du
2
atau
x du dx 2 Sehingga diperoleh,
2x(x2 3)4dx =
x du u x 2 2 4
=
u4du= u5 C 5 1
= (x2 3)5 C 5
12 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
b) Integral yang Memuat Bentuk �� − ��, �� +�� , �� − ��
Untuk menyelesaikan pengintegralan yang memuat
bentuk-bentuk 2 − 2, 2+ 2 dan 2− 2 , kita menggunakan teknik
integral substitusi trigonometri. Agar kamu lebih memahaminya,
perhatikan dengan baik tabel berikut.
Bentuk Subsitusi Hasil
2− 2 = sin� 2− 2 = cos�
2+ 2 = tan� 2+ 2 = sec�
2− 2 = sec� 2− 2 = �
Untuk lebih memahami teknik integral substitusi trigonometri,
perhatikan contoh berikut.
1
4− 2 2
0
Misal = 2 sin� , maka sin�= 2
= 2 cos� �
Batas Integral
0 2
� 0
� 2
Sehingga
1
4− 2 2
0
= 2 � �
4−4 � 2�
�
2
13 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI = 2 cos�
2 cos� �
�
2
0
= � = � 0
�
2
�
2
0
= � 2
2. Integral Parsial
Apabila kamu menemukan bentuk integral yang tidak bisa
diselesaikan dengan integral subtitusi, mungkin permasalahan tersebut
dapat diselesaikan dengan subtitusi ganda yang lebih dikenal sebagai
integral parsial.
Perhatikan uraian berikut.
Misalnya, = ∙ dengan , , dan fungsi dari , maka
= ′ ∙ + . ′
= ∙ + ∙
= 1 ( + )
= +
= +
= +
= +
= −
Jadi, dari uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa rumus
integral parsial adalah sebagai berikut.
14 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI Contoh soal:
1. ∫ 2cos
Jawab:
1. ∫ 2cos
Misal = 2 → = 2
= cos → = sin
Sehingga
2cos = 2sin − (sin ) 2 = 2sin − sin
= 2sin −2(− + sin ) +
= 2sin + 2 cos −sin +
E.
Beberapa Penggunaan Integral Tertentu
1. Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X
Misalkan S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva = , sumbu X, garis = , dan garis = Dengan ( ) 0 pada , maka luas daerah S dapat ditentukan dengan rumus :
[image:19.595.104.506.54.734.2]Apabila ( ) 0 atau daerahnya di bawah sumbu X, maka
Gambar 1. Daerah antara kurva sumbu x =
15 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
2. Luas Daerah antara Dua Kurva
Misalkan daerah S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva 1 = ( ),
2 = ( ), garis = , dan garis = seperto pada gambar di samping maka luas daerah =� − � .
Luas daerah S dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.
=� − �
= −
= −
Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva 1 = ( ), 2 = ( ),dari = sampai = ditentukan dengan rumus
�= −
Dengan ( ) ( ) dalam interval .
Untuk memahami cara menentukan luas daerah, perhatikan contoh berikut ini!
1. Tentukan luas daerah antara kurva y x2 3x dan y = 2x + 2
Penyelesaian :
Titik potong kedua kurva yaitu :
x23x2x2
x2
(x1)0x2atau x1 Y16 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
2 1 4 ) 2 ( ) 3 ( ) 2 2 ( 1 2 2 1 22
dx x x dx x x xL satuan luas.
2. Tentukan luas daerah antara kurva y = 3
x , sumbu X , x = -1 dan x = 1 !
Penyelesaian : Y
-1 0 1 X
1 0 1 0 4 0 1 4 3 0 1 3 2 1 ) 0 4 1 ( ) 4 1 0 ( 4 1 4 1 x x dx x dx xL satuan luas
3. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X
Volume benda putar dari daerah yang diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu X
V =
b
a
dx x f( ))2 (
atau V =
b
a
dx y2
Volume benda putar dari daerah yang diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu Y
V =
d
c
dy y g( ))2 (
atau V =
d
c
dy x2
17 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI -1
Volume benda putar dari daerah antara dua kurva kurva yang diputar360∘ terhadap sumbu Y.
=
b
a
dx x g x
f ( ) ( )} {( 2 2
atau
= b
a
dx y
y )
( 12 22
Volume benda putar dari daerah antara dua kurva kurva yang diputar 360∘ terhadap sumbu X.
=
d
c
dy y g y
f ( ) ( )} { 2 2
atau
= d
c
dy x
x )
( 12 22
Contoh Soal :
1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika yang daerah dibatasi kurva y = x + 1, x = 0 , x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o
Penyelesaian :
1
18 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
V =
2 0 2 ) (x f
dx =
2
0 2
) (x dx
=
2 0 2 ) 1 2(x x dx
= 2 0 2 3 3 1 x x x = ) 0 0 0 . 3 1 ( ) 2 2 2 . 3 1
( 3 2 3 2
= ) 3 26 ( = 3 26 satuan volume
2. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi y=(x - 2)2, sumbu y , y = 0 dan y = 3 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360o.
Penyelesaian:
dimana (x - 2)2 = y menjadi x = y+2
=
3 0 2 dy x =
3 0 2 3 0 ) 4 4 ( ) 2( y dy y y dy
= 12 3 8 2 9 3 . 4 3 3 . 3 8 3 . 2 1 4 3 8 2 1 2 3 0 2 y y y y
3 y = (x - 2)2
0 2
3. Tentukan volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik f
(x) = 4 – x2, sumbu–x, dan sumbu–y diputar 360o terhadap :
a. Sumbu–x
19 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI Jawab :
a. Volumenya adalah
V =π (4−x2)2dx =π 16−82+ x4 dx 2
0 2
0
= � 16 −8 3
3+1 5
5 0 2
= π 16 . 2 −8 3 . 2
3 +1 5 . 2
5 −0
= � 32−64 3 +
32 5
=
15 256
Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi
sumbu–x adalah
15 256
satuan volume.
b. Untuk menentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar
mengelilingi sumbu-y, nyatakan persamaan kurva y = f (x) = 4 – x2 menjadi
persamaan x2 dalam variabel y. y = 4 – x2x2 4y
Volume benda putar tersebut adalah
=� 4−
4
0
= � 4 −1 2
2
0 4
= � 4 . 4−1 2 . 4
2 −0
= �(16−8) = 8 �
Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi
20 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
1
Aplikasi Integral dalam Kehidupan Sehari-hari
Definisi Integral adalah kebalikan dari diferensial. Apabila kita
mendiferensiasi kita mulai dengan suatu pernyataan dan melanjutkannya
untuk mencari turunannya. Apabila kita mengintergrasikan,kita mulai dengan
turunannya dan kemudian mencari peryataan asal integral ini. Lambang
integral adalah
=� +�
Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cangkupannya
seperti digunakan di bidang teknologi,fisika,ekonomi,matematika,teknik dan
bidang-bidang lain. Adapun uraiannya sebagai berikut :
A. Bidang Teknologi
Integral sering digunakan untuk memecahkan persoalan yang
berhubungan dengan volume, panjang kurva, memperkirakan populasi,
keluaran kardiak, usaha, gaya dan surplus konsumen.
B. Bidang Ekonomi
Penerapan integral dalam bidang ekonomi yaitu:
Untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi. Untuk mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal.
C. Bidang Matematika
Penerapan integral dalam bidang matematika yaitu:
Untuk menentukan luas suatu bidang.
Untuk menentukan volume benda putar dan menentukan panjang
busur.
D. Bidang Fisika
Penerapan integral dalam bidang fisika yaitu:
21 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI E. Bidang Teknik
Penerapan integral dalam bidang teknik yaitu: Untuk mengetahui volume benda putar Untuk mengetahui luas daerah pada kurva.
Contoh integral dalam kehidupan sehari-hari, dapat kita ketahui
dari kecepatan sebuah motor pada waktu tertentu, dan posisi
perpindahan benda itu pada setiap waktu. Untuk menemukan hubungan
ini kita memerlukan proses integral (antidiferensial), contoh lain yaitu
setiap gedung Petronas di Kuala Lumpur atau gedung-gedung
bertingkat di Jakarta. Semakin tinggi bangunan semakin kuat angin
yang menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan harus
dirancang berbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan
22 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
UJI KOMPETENSI
Kerjakan dengan teliti !
1. Selesaikan tiap integral berikut ini!
dx x x x x j dx x x x i dx x x h dx x x g dx x f dx x x x e dx x x x x d dx x c dx x b dx x a 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 4 4 5 1 . 4 5 . 1 . 6 . 3 2 . 8 3 2 6 . 7 5 2 4 3 . 1 . 5 . 2 .2. Selesaikan integral tak tentu fungsi trigonometri berikut ini!
dx x x e dx x x d dx x x c dx x x b dx x a sin 2 . sin 2 . sin 6 cos 8 . cos sin . sin 5 . 23. Selesaikan integral tak tentu fungsi trigonometri berikut ini!
. 2 sin 4 cos 2
.∫4 sin 5 sin dx
23 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI 4. Tentukan nilai integral di bawah ini :
2 1 2 1 1 2 4 0 1 2 2 3 0 1 . 6 2 5 . 12 . 6 . 4 . dx x x e dx x x d dx x x c dx x b dx x a5. Tunjukkan dengan arsiran, luas daerah yang dinyatakan dengan integral
berikut :
2 2 3 3 3 2 3 2 2 4 0 . 4 . . 3 . dx x d dx x c dx x b dx x a6. Tentukan integral dari fungsi –fungsi berikut dengan menggunakan metode
24 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI 7. Tentukan integral berikut dengan metode parsial !
dx x x g dx x x f dx x x e dx x x d dx x x c dx x x b dx x x a 2 sin 1 2 . cos . sin . 1 . 4 2 . 2 1 8 . 2 6 . 2 3 58. Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :
a. b.
y = x + 2 y = 2 x
-2 0 2
Y y = 3 x
c.
4 X
-4 4
0 3 X
Y
25 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI 9. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x33x2, sumbu X, x = -1
dan x = 3
10.Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :
a.
0
11.Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh
kurva-kurva yang diketahui diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 !
a. = , = 1 dan = 10
b. = 2, sumbu , sumbu dan = 6
c. = , sumbu , sumbu dan = 9
d. = 2+1, = 0 dan = 1
e. = 3, sumbu , = −3 dan = 3
12.Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva
= 2 + 1 dan = 3diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360º adalah …
satuan volum
a. 2 c. 3 e. 5
b. 2
2
1 d. 4
3
1
= = 2
26 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI 13.Volume benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh
parabola = 2 dan 2 = 8diputar 360º mengelilingi sumbu Y adalah ….
satuan volum
a. 2
5
4 c. 4
5
4 e. 9
5
4
b. 3
5
4 d. 5
5
27 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
DAFTAR PUSTAKA
E.,S. Pesta, Cecep Anwar H.F.S. 2008. Matematika Aplikasi Jilid 3. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Martono, K. 1992. Kalkulus. Bandung: Fakultas IPA Jurusan Matematika ITB.
Purcell, Edwin. J. 1992. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta: Erlangga.
Ayres, Frank J.R. 1964. Calculus.McGraw Hill.
Herynugroho, dkk. 2006. Matematika SMA Kelas XII. Jakarta: Yudhistira
www.soalmatematik.com. Diakses pada 9 Oktober 2014.
Download dokumen Matem teknik. Diakses pada 9 Oktober 2014.
1 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI
Deskripsi Kerja Kelompok
Dalam pembuatan project
buku ajar ini kami
mengerjakannya dengan
berbagi tugas dengan
tujuan agar project buku
ajar ini selasai tepat waktu,
akan tetapi bukan berarti
kami mengerjakannya
secara terpisah dan
masing-masing, kami tetap
setiap hari berkumpul dan
bertukar pendapat. Banyak
sekali masalah yang kami
temui saat pembuatan buku
ajar ini, namun dengan
rasa kerja sama dan
tanggungjawab dari
masing-masing anggota
kelompok kami, masalah
yang kami hadapi dapat
terselesaikan. Kami
berharap buku ajar yang
kami buat ini dapat
memberikan manfaat bagi
semua pembacanya,
khususnya bagi pendidik
dan peserta didik dalam
proses pembelajaran.
Nama : Isna Silvia
Tempat, tanggal lahir : Majalengka,
02September 1996
Jenis kelamin : Perempuan
Agama : Islam
Alamat : Lingk.Ganjar Asih, RT/05,
RW/06Kel.Cikasarung,Kec./Kab.
Majalengka, Prov.Jawa Barat
Facebook : Isna Silvia
Twitter:@isna_silvia
e-mail :[email protected]
Selly Erawati Sudarja
Nama: Selly Erawati Sudarja
Tempat, Tanggal Lahir : Indramayu, 13
Desember1996
Jenis kelamin : Perempuan
Agama : Islam
Alamat : Jl. Raya Limpas No.59
Patrol-Indramayu
Facebook : Selly Erawati Sudarja
Twitter : @sellyerawati_13
e-mail:[email protected]
Ima Tarsimah
Nama : Ima Tarsimah
Tempat, tanggal lahir : Majalengka, 25
Maret 1995
Jenis Kelamin : Perempuan
Agama : Islam
Alamat : Blok Leuwiorok RT/03 RW/01 Ds.
Jatimulya kec. Kasokandel kab.
Majalengka
Facebook :イマ
Twitter : @ImaTarsimah
