log1 log a b b c d a a x a a b a b a b a b log b log b log b a a b a b a k b k a b ( a ) a RANGKUMAN MATERI PENGAYAAN MATEMATIKA APK BAB 1.

(1)

MATERI MATEMATIKA LATIHAN PERSIAPAN UJIAN NASIONAL SMK WIKRAMA BOGOR 2016/2017 1 RANGKUMAN MATERI PENGAYAAN MATEMATIKA APK

--- BAB 1. ALJABAR

--- A. BILANGAN BERPANGKAT

(EKSPONEN)

--- Sifat-sifat

 a

^p

 a

^q

 a

^p^^q

 a

^p

: a

^q

 a

^p^^q

 ( a  b )

^p

 a

^p

 b

^p



p

p p

b a b a  



 





 ( a

^p

)

^q

 a

^p^^q



^p

p

a





1  a

⁰

 1 , a  0

 𝑎

^𝑝^𝑞

= √𝑎

^𝑞 ^𝑝

Persamaan Ekponen

 Jika a

^f⁽^x⁾

 a

^p

, maka f ( x )  p dimana a  0 dan a  1

 Jika a

^f⁽^x⁾

 a

^g⁽^x⁾

, maka f ( x )  g ( x ) dimana a  0 dan a  1

--- B. BENTUK AKAR

--- Sifat-sifat

 a  b  a  b

 a  a  a

 c a  d b  ( c  d ) a  b

 c a  d a  ( c  d ) a

 c a  d a  ( c  d ) a

 b

b a b

b a b b b a b

a    



b a

b a b a

k b

a k



 

 



b a

b k ka b

a b a k



 



 (

₂

 )

₂



b a

b a b a

k b

a k



 

 



b a

b k ka b

a b a k



 



 (

₂

 )

₂



b a

b a b a

k b

a k



 

 



b a

b k a k b

a b a k



 



 (  )



b a

b a b a

k b

a k



 

 



b a

b k a k b

a b a k



 



 (  )

--- C. LOGARITMA

--- Bentuk umum :

Jika

^a

log x  c  x  a

^c

Sifat-sifat logaritma



^a

log a  1



^a

log 1  0



^a

log x

^p

 p .

^a

log x

 b

c b d

b

^c ^a

d a d a^c

log log

log   

 a

^a^log^b

 b



^a

log xy 

^a

log x 

^a

log y

 x y

y

x

_a _a

a

log  log  log

 a

b

_c

b

c a

log log  log



^a

log b .

^b

log c 

^a

log c

--- D. OPERASI MATRIKS, INVERS &

DETERMINAN

---

 Ordo = Baris x Kolom

 Matriks Transpose

 

 



 

 



 



 

d b

c A a

d c

b

A a

^T

(2)

MATERI MATEMATIKA LATIHAN PERSIAPAN UJIAN NASIONAL SMK WIKRAMA BOGOR 2016/2017 2

 







 









 

 





 









i f c

h e b

g d a A i

h g

f e d

c b a

A

^T

 Operasi Matriks Penjumlahan

 

 







 

 

 



 

 

 





h d g c

f b e a h g

f e d c

b a

Pengurangan

 

 







 

 

 



 

 

 





h d g c

f b e a h g

f e d c

b a

Perkalian Matriks

A x B = C

m x k k x n m x n

 

 







 

 

 



 



 



 

h d f c g d e c

h b f a g b e a h g

f e d c

b A a

. . . .

 Determinan Untuk matriks 2 x 2

bc d ad

c b A a

d A c

b

A a      



 



  det( )

Untuk matriks 3 x 3 menggunakan metode sarrus

 







 









i h g

f e d

c b a B

h e b

g d a

i h g

f e d

c b a B B )   det(

) . . . . . . ( ) . . . . . .

( a e i b f g c d e g e c h f b i d b

B      

 Invers Untuk matriks 2 x 2

 

 







 

 

 



 



a c

b d A A

d c

b A a

) det(

1

1 Untuk matriks 3 x 3

 







 









i h g

f e d

c b a B

Untuk mendapat mendapatkan invers matriks B berordo 3 x 3 metode yang digunakan adalah Minor-Kofaktor, berikut langkah-langkahnya :

1) Cari determinan matriks B, jika 0

)

det( B  maka matriks B tidak mempunyai invers. Jika det( B )  0 maka matriks B mempunyai invers.

2) Jika det( B )  0 , lanjutkan mencari Minor dari matriks B. Minor matriks B M

_ij

adalah determinan sub matriks B dengan cara menghilangkan baris ke i dan kolom ke j.

3) Lanjutkan dengan mencari Kofaktor matriks B.

ij j i

ij

M

C  (  1 )

^

4) Transposkan matriks Kofaktor untuk mendapat matriks Adjoin B

adjoinB C

^T



5) Masukkan ke dalam rumus invers AdjoinB

B B

) det(

1

 1



Persamaan Matriks

1 1













BA X B XA

B A X B AX

--- E. PERSAMAAN LINIER

---

 Persamaan Linier

Persamaan linier adalah kalimat terbuka yang variabelnya berderajat satu dengan menggunakan tanda penghubung sama dengan (=) Bentuk Umum :

1. Persamaan linier satu variabel ax + b = 0

dimana: a,b € R, a ≠ 0 dan x =

variabel

(3)

MATERI MATEMATIKA LATIHAN PERSIAPAN UJIAN NASIONAL SMK WIKRAMA BOGOR 2016/2017 3 2. Persamaan linier dua variabel

ax + by = c

dimana: a, b, c € R, a ≠ 0, b ≠ 0 dan x, y = variabel

untuk menyelesaikan persamaan linier biasanya menggunakan sifat : kedua ruas persamaan ditambah, dikurangi, dikali, atau dibagi dengan bilangan yang sama (bukan nol)

 Mengenal variabel dan koefisien pada SPLDV

Contoh :

Diketahui SPLDV :

2 x + 4 y = 12 dan 3 x – y = 5

 Variabel SPLDV adalah x dan y

 Konstanta SPLDV adalah 12 dan 5

 Koefisien x dari SPLDV adalah 2 & 3

 Koefisien y dari SPLDV adalah 4 & -1 --- F. PERTIDAKSAMAAN LINIER

---

 Pertidaksamaan

Pertidaksamaan linier adalah kalimat terbuka yang variabelnya berderajat satu dengan menggunakan tanda penghubung lebih kecil (<), lebih kecil sam dengan (≤), lebih besar (>) dan lebih besar sama dengan (≥).

 Sifat-sifat pertidaksamaan linier

1. Jika ditambah atau dikurang bilangan maka tanda tidak berubah

2. Jika dikali atau dibagi bilangan positif maka tanda tidak berubah 3. Jika dikali atau dibagi bilangan

negatif maka tanda berubah Contoh :

1. Tentukan himpunan penyelesaiaan dari 2 x  6  4 x  2

Jawab :

2 x  10  4 x  2 10 2 4 2 x  x    2 x   8

2 8 2 2



 



 x

x  4

(karena dibagi oleh bilangan negatif tanda akan berubah)

Jadi nilai x yang memenuhi adalah x  4 atau bisa ditulis

,....}

7 , 6 , 5 , 4

|

{   

 x x

HP

--- G. PERSAMAAN & FUNGSI KUADRAT --- PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk umum persamaan kuadrat R

c b a c bx

ax

²

   0 ; , , 

Akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan :

1. Metode faktorisasi

2. Metode melengkapkan kuadrat sempurna

3. Metode rumus kuadrat (rumus abc)

a c a b x b

. 2

. .

2

4

2 , 1





 

FUNGSI KUADRAT

Bentuk umum fungsi kuadrat R c b a a c bx ax x f

y  ( ) 

²

  ;  0 ; , ,  Sifat-sifat fungsi kuadrat

 Jika a  0 , grafik terbuka ke atas atau mempunyai titik balik minimum.

 Jika a  0 , grafik terbuka ke bawah atau mempunyai titik balik maksimum.

 Jika D  0 , tidak memotong sumbu x.

 Jika D  0 , menyinggung sumbu x.

 Jika D  0 , memotong sumbu x di dua titik.

 Titik puncak = 



 







a D a

b , 4

2 ^,

ac b

D 

²

 4

 Sumbu simetrisnya adalah

a x b

 2

 Sketsa grafik fungsi kuadrat Langkah-langkah pengerjaannya :

1. Tentukan titik potong dengan sumbu x , y  0

2. Tentukan titik potong dengan sumbu y

, x  0

(4)

MATERI MATEMATIKA LATIHAN PERSIAPAN UJIAN NASIONAL SMK WIKRAMA BOGOR 2016/2017 4 3. Tentukan persamaan sumbu simetris :

a x b

 2



4. Tentukan koordinat titik puncak (titik maksimum dan minimum) :

 

 







a D a

b , 4

2 ^, D  b

²

 4 ac 5. Tentukan titik-titik yang lain.

6. Hubungkan titik-titik tersebut.

Menentukan persamaan fungsi kuadrat

 Jika diketahui titik puncak  Xp, Yp  dan melalui titik ( x

₁

, y

₁

) maka :

Yp Xp x a

y  (  )

²



 untuk mencari nilai a , masukkan )

,

( x

₁

y

₁

ke dalam persamaan

 Jika diketahui titik potong dengan sumbu x   x

₁_,

, 0 ^dan  x

₂

, 0  , serta diketahui 1 titik ( x

₃

, y

₃

) maka :

) )(

( x x

₁

x x

₂

a

y   

 untuk mencari nilai a , masukkan )

,

( x

₃

y

₃

ke dalam persamaan

--- H. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT --- Bentuk umum pertidaksamaan

kuadrat

R c b a c bx

ax

²

   0 ; , ,  R c b a c bx

ax

²

   0 ; , ,  R c b a c bx

ax

²

   0 ; , ,  R c b a c bx

ax

²

   0 ; , , 

Akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan :

1. Metode faktorisasi

2. Metode melengkapkan kuadrat sempurna

3. Metode rumus kuadrat (rumus abc)

a c a b x b

. 2

. .

2

4

2 , 1





 

Penyelesaian soal pertidaksamaan kuadrat sama dengan mengerjakan soal

persamaan kuadrat namun ditambah dengan menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan linier.

Contoh soal :

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari soal pertidaksamaan kuadrat

8 2 3 x

²

 x  Penyelesaiaan :

8 2 3 x

²

 x 

0 8 2 3 x

²

 x  

 3 x  4  x  2   0 Cari nilai pembuat nol

 3 x  4  x  2   0

 ³ x  ⁴   ⁰ atau  x  ²   ⁰ 3 x   4 atau x  2

3  4



x atau x  2

Masukkan dalam garis bilangan

3  4

2 Jadi, penyelesaiaan dari soal adalah

3  4



x atau x  2

--- I. SPLDV

---

 Sistem Persamaan Linier Sistem persamaan linier terdiri dari beberapa persamaan linier.

Bentuk umum : ax + by + c = 0 px + qy + r = 0

dimana : a, b, c, p, q, r adalah bilangan real

cara penyelesaian masalah SPLDV : 1. Metode Subtitusi

Hal ini dilakukan dengan cara memasukkan atau mengganti salah satu variabel dengan variabel dari persamaan kedua.

+ -

+

(5)

MATERI MATEMATIKA LATIHAN PERSIAPAN UJIAN NASIONAL SMK WIKRAMA BOGOR 2016/2017 5 Contoh :

Tentukan penyelesaian dari SPLDV : x + y

= 4 dan x – 2 y = -2 dengan metode substitusi!

Jawab :

 x + y = 4  x = 4 – y

 x = 4 – y disubstitusikan pada x – 2 y = - 2 akan diperoleh :

x – 2 y = - 2

 (4 – y ) – 2 y = - 2

 4 – 3 y = - 2

 - 3 y = -6

 y = 3 6



= 2

 selanjutnya untuk y =2 disubstitusikan pada salah satu persamaan, misalnya ke persamaan x + y = 4, maka diperoleh : x + y = 4

 x + 2 = 4

 x = 4 – 2 = 2

Jadi, penyelesaianya : x = 2 dan y = 2 2. Metode Eliminasi

Caranya sebagai berikut :

a. Menyamakan salah satu koefisien dan pasangan suku dua persamaan bilangan yang sesuai.

b. Jika tanda pasanganan suku sama, kedua persamaan di kurangkan.

c. Jika tanda pasangan suku berbeda, kedua suku persamaan ditambahkan Contoh :

Tentukan penyelesaian dari SPLDV : x + y

= 4 dan x – 2 y = -2 dengan metode eliminasi!

Jawab :

 Mengeliminir peubah x x + y = 4

x – 2 y = - 2 3 y = 6 y = 2

 Mengeliminir peubah y x + y = 4 • 2 2 x + 2 y = 8 x – 2 y = - 2 • 1 x – 2 y = -2 3 x = 6 x = 2

Jadi, penyelesaianya : x = 2 dan y = 2 3. Metode Campuran (Subtitusi

Eliminasi)

Metode campuran menggunakan cara eliminasi dan dilanjutkan substitusi.

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari SPLDV : x + y

= 4 dan x – 2 y = -2 dengan metode eliminasi!

Jawab :

 Mengeliminir peubah x x + y = 4

x – 2 y = - 2 3 y = 6 y = 2

 Mengsubstitusi y kedalam salah satu persamaan

y = 2 => x + y = 4 x + 2 = 4 x = 4-2 =2

jadi, penyelesaiannya : x = 2 dan y = 2 --- J. PROGRAM LINIER

--- Prasyarat :

Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Materi Program Linier :

1. Mencari daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

Berikut ini langkah-langkah mencari daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua variabel :

a. Ganti tanda ketidaksamaan >, <, ≥, atau ≤ dengan tanda “ = “.

b. Tentukan titik potong koordinat

cartesius dari persamaan linear dua

variabel dengan kedua sumbu.

(6)

MATERI MATEMATIKA LATIHAN PERSIAPAN UJIAN NASIONAL SMK WIKRAMA BOGOR 2016/2017 6

 Titik potong dengan sumbu x , jika y = 0 diapit titik (x,0)

 Titik potong dengan sumbu y , jika x = 0 diapit titik (0,y)

c. Gambarkan grafiknya berupa garis yang menghubungkan titik (x,0) dengan titik (0,y). Jika pertidaksamaan memuat >

atau <,gmbarkan grafik tersebut dengan garis putus-putus

d. Gunakanlah sebuah titik uji untuk menguji daerah penyelesaian pertidaksamaan

e. Berikanlah arsiran pada daerah yang memenuhi himpunan penyelesaian pertidaksamaan

2. Mencari nilai optimum

Untuk mencari nilai optimum, langkah yang digunakan hampir sama dengan langkah mencari daerah penyelesaiaan. Yang berbeda adalah nilai optimum dicari melalui memasukkan titik-titik ( x,y ) kedalam fungsi objektif yang telah diketahui di soal.

--- K. BARISAN & DERET ARITMATIKA --- BARISAN DAN DERET ARITMATIKA Beda : b = U

₂

- U

₁

= U -

₃

U

₂

= ... = U -

_n

1

U

n

Mencari suku ke-n Un = a + ( n - 1 )b

Mencari jumlah suku ke-n S

n

=

ⁿ

₂ ( a + U

n

)

Atau

S

n

= ₂ ⁿ [ 2a+(n – 1 )b ] Suku tengah : Ut =

2 1  U

₁

 U

_n



Un = Sn - S

_n_₁

Keterangan : Un = suku ke-n a = suku pertama b = beda

S

n

= jumlah suku ke-n

--- L. BARISAN & DERET GEOMETRI --- BARISAN DAN DERET GEOMETRI Rasio : r =

1 2

U U =

2 3

U U =

3 4

U

U =... =

1 n

n

U U

Suku Ke-n : Un = a.r

ⁿ^¹

Un = Sn-S

_n_₁

Jumlah n suku : r > 1  Sn =

1 ) 1 (



 r r a

ⁿ

r < 1  Sn =

r r

a

ⁿ



 1

) 1 (

Jumlah tak hingga suku : S



=

r a



1 , - 1 < r <1 Un = Sn - S

_n_₁

--- M. FUNGSI LINIER

--- Fungsi Linier atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu.

Sesuai namanya, setiap persamaan linier apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis lurus.

Bentuk umum:

c mx x

f :   , atau c

mx x

f ( )   , atau c

mx y   y = a + bx

dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertikal y, sedangkan b adalah koefisien arah atau gradien garis yang bersangkutan.

 Menggambar grafik fungsi linier

Langkah-langkah menggambar garis fungsi

linier :

(7)

MATERI MATEMATIKA LATIHAN PERSIAPAN UJIAN NASIONAL SMK WIKRAMA BOGOR 2016/2017 7 a. Tentukan titik potong dengan

sumbu x , y = 0 diperoleh koordinat

  x

1

^, ⁰

A .

b. Tentukan titik potong dengan sumbu y , x = 0 diperoleh koordinat

 0 y ,

1



B .

c. Hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus.

Contoh :

Gambarkan sketsa grafik dari y  2 x  6 Jawab :

a. Titik potong dengan sumbu x  y  0

) 0 , 3 ( 3 2 6

6 2 0

6 2













x x x x y

b. Titik potong dengan sumbu y  x  0

) 6 , 0 ( 6

6 ) 0 ( 2

6 2















 y y

x y

Sehingga diperoleh tabel : x y (x,y)

3 0 (3,0) 0 -6 (0,-6)

Buat titik pada bidang kartesian dan hubungkan garis :

 Menentukan persamaan sebuah garis

a. Mencari persamaan garis jika diketahui 2 titik

Dari dua buah titik dapat dibentuk sebuah persamaan linier yang memenuhi kedua

titik tersebut. Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing- masing (x

1

,y

1

) dan (x

2

,y

2

),maka rumus persamaan liniernya adalah :

1 2

1 1

2 1

x x

x x y y

y y



 



Contoh Soal:

Misalkan diketahui titik A(2,3) dan titik B(6,5), maka persamaan liniernya:

Jawab :

1 2

1 1

2 1

x x

x x y y

y y



 



2 6

2 3

5 3



 



 x

y

4 2 2

3  

 x

y

4  y  3    2 x  2 

4 y  12  2 x  4 4 y  2 x  4  12 4 y  2 x  8 2

2 1 

 x y

b. Jika diketahui sebuah titik dan gradien/sisi miring garis

Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x

1

,y

1

) dan gradien garisnya m, maka persamaan liniernya adalah :



1



1

m x x

y

y   

Contoh Soal :

Andaikan diketahui bahwa titik A(2,3) dan lereng garisnya adalah

2 1 maka persamaan linier yang memenuhi kedua persamaan kedua data ini adalah



1



1

m x x

y

y   

 2 

2 3  1 

 x

y

2 1 3  1 

 x

y

1 3

2 1  

 x y x

y

(3,0)

(0,-6)

(8)

MATERI MATEMATIKA LATIHAN PERSIAPAN UJIAN NASIONAL SMK WIKRAMA BOGOR 2016/2017 8

2 2 1 

 x y

 Menentukan gradien dari persamaan garis lurus

 Persamaan garis lurus : ax  by  c , maka gradiennya

b m   a

 Persamaan garis lurus : y  ax  b , maka m  a

 Garis yang sejajar sumbu x memiliki persamaan y  c dan m  0

 Garis yang sejajar sumbu y memiliki persamaan x  c dan tidak memiliki gradien

 Menentukan persamaan garis lurs dari grafiknya

Dari grafik di atas, persamaan garisnya adalah bx  ay  ab

Dari grafik di atas, persamaan garisnya

adalah x

a y  b

 Hubungan antara dua buah garis

 Dua buah garis yang bergradien m

1

dan m

₂

dikatakan sejajar jika

2

1

m

m 

 Dua buah garis yang bergradien m

1

dan m

₂

dikatakan tegak lurus jika m

₁

. m

₂

  1

--- BAB 2. GEOMETRI & TRIGONOMETRI --- A. TRANSFORMASI BANGUN DATAR --- Transformasi adalah suatu proses

pemetaan suatu objek ke objek lain dalam satu bidang. Jika titik A ( x , y )

ditransformasikan oleh transformasi T akan menghasilkan A ' ( x ' , y ' ) .

) ' , ' ( ' ) ,

( x y A x y A



T

Jenis-Jenis Transformasi

 Translasi (Pergeseran) Objek P ditranslasikan oleh T maka hasilnya P’.

) ' , ' ( ' ) ,

( x y P x y P



T

 

 











 

 

 



 

 

 



 

 

 





b y y

a x x b

a y x y x

' ' '

'

) , ( b a

T berarti :

1. Objek digeser sejauh a satuan ke kanan (+)/kiri(-)

2. Objek digeser sejauh b sejauh ke atas (+)/bawah(-)

 Refleksi (Pencerminan) Refleksi terhadap Pemetaan Sumbu x ( x , y )  ( x ,  y ) Sumbu y ( x , y )  (  x , y ) Garis Y = X ( x , y )  (  x , y ) Garis X = -Y ( x , y )  (  y ,  x ) Titik asal O ( x , y )  (  x ,  y ) Garis x = h ( x , y )  ( 2 h  x , y ) Garis y = h ( x , y )  ( x , 2 h  y )

 Rotasi Arah :

- Berlawanan jarum jam , mengikuti sudut kuadran dan arah positif.

- Searah jarum jam, kebalikan dari kuadran dan arah negatif.

Sudut :



sin )

sin(

cos ) cos(









 a

x y

b

a

x y

b

(9)

MATERI MATEMATIKA LATIHAN PERSIAPAN UJIAN NASIONAL SMK WIKRAMA BOGOR 2016/2017 9 1. Rotasi terhadap titik O (0,0)

Jika titik A(x,y) dirotasikan sebesar

 terhadap titik (0,0) berlaku hubungan :



cos sin

'

sin cos

'

y x

y

y x

x









2. Rotasi terhadap titik (a,b) Jika titik A(x,y) dirotasikan sebesar

 terhadap titik (a,b) berlaku hubungan :



cos ) ( sin ) ( '

sin ) ( cos ) ( '

b y a

x b y

b y a

x a x











 Dilatasi (perbesar dan perkecil) Dilatasi dinotasikan D[O, k] dengan k faktor dilatasi

k > 1 atau k < -1 → hasil dilatasi lebih besar

-1 < k < 1 → hasil dilatasi lebih kecil k > 0 → bayangan disisi yang sama k < 0 → bayangan disisi seberang

) , ( ' )

, (

] , [

ky kx P y

x P

k O D



Komposisi Transformasi

a. Komposisi dua translasi berurutan T, dilnjutkan T

2

dapat diganti dengan translasi tunggal (komposisi kedua translasi).

 

 







 

 

 



 

 

 



 



 b d

c a d c b T a T

T

₁ ₂

b. Komposisi dua refleksi berurutan menghasilkan translasi dua kali jarak antara dua sumbu. Urutan refleksi menentukan arah translasi.

Misalkan M

1

dan M

2

adalah refleksi terhadap garis x = a dan x = b maka :

) , ) ( 2 ( ' )

, (

1 2

y x a b P y

x P

M



^

 

) , ) ( 2 ( ' )

, (

2 1

y x b a P y

x P

M



^

 

c. Komposisi dua rotasi yang sepusat sebesar  , dilanjutkan 

₂

dapat diganti dengan rotasi sebesar

)

( 

₁

 

₂

dengan pusat rotasi sama.

--- B. TRIGONOMETRI

--- SATUAN UKURAN SUDUT

Sudut 2

1 putaran = 180

^o

= π radian Sudut 1 putaran = 360

^o

= 2π radian

 

 

  

 180

0

 

 radian

dan P radian =

180

0

 

 

   p 

KOORDINAT KUTUB (POLAR) Hubungan Koordinat Kartesius dan Koordinat Polar

   

2 2

, ,

y x r

r P y x

P

^o





 

Nilai α

^o

ditentukan dengan

x

o

 y

 tan

   

o o o

r y

r x

y x P r

P



 sin .

cos .

, ,





Jadi, P ( r . cos 

^o

, r . sin 

^o

) Perbadingan Trigonometri

Pada segitiga siku-siku ABC, berlaku…

 r

y mi de 

 

sin

y

 r

 

 sin

csc 1

 r

x mi sa 

 

cos

x

 r

 

 cos sec 1

y A

x r

B α C

(10)

MATERI MATEMATIKA LATIHAN PERSIAPAN UJIAN NASIONAL SMK WIKRAMA BOGOR 2016/2017 10

 x

y sa de 

 

tan

x

 y

 

 tan cot 1

Sudut dan kuadran

Ingat !

aku Selalu Tampil Ceria

Sudut Istimewa

Kuadran Sin Cos Tan

0

^o

0 1 0

30

^o

2 1 3

3 1

45

^o

2 2

1 2

2 1 1

60

^o

2 3 1

2 1 ₃

90

^o

1 0 ∞

Aturan Sinus

SinC c B b A

a  

sin sin

Aturan Cosinus

 a

²

 b

²

 c

²

 2 bc . cos A atau

bc a c A b

cos 2

2 2

2

 



 b

²

 a

²

 c

²

 2 ac . cos B atau

ac b c B a

cos 2

2 2

2

 



 c

²

 a

²

 b

²

 2 ab . cos C atau

ab c b C a

cos 2

2 2

2

 

 Luas Segitiga

a. Jika diketahui ketiga sisinya ) )(

)(

( s a s b s c s

L     dengan

) 2 (

1 a b c s   

b. Jika diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya

A c b B c a C b a

L . . sin

2 sin 1 . 2 . sin 1 . . 2 .

1  

 x

K. III (180

^o

≤a≤270

^o

) Tan a (+) Sin(180 + a) = - Sin a Cos(180 + a) = - Cos a Tan(180 + a) = Tan a

K. I (0≤a≤90

^o

) Sin a, Cos a dan Tan a (+) K. II (90

^o

≤a≤180

^o

)

Sin a (+) Sin(180 – a) = Sin a Cos(180 – a) = - Cos a Tan(180 – a) = - Tan a

K. IV (270

^o

≤a≤360

^o

) Cos a (+)

Sin(360 – a) = - Sin a Cos(360 – a) = Cos a Tan(360 – a) = - Tan a y

A

B C

c b

a

(11)

MATERI MATEMATIKA LATIHAN PERSIAPAN UJIAN NASIONAL SMK WIKRAMA BOGOR 2016/2017 11 ---

BAB 3. STATISTIKA

--- A. PENGERTIAN STATISTIKA,

POPULASI & SAMPEL

--- 1. Statistik adalah suatu angka yang

memberikan gambaran tentang masalah/ kondisi suatu obyek.

Misalnya : Nilai rata-rata ujian Nasional mata pelajaran Matematika adalah 63,73

Kelulusan ujian suatu sekolah 75 % Statistik kecelakaan lalu lintas di Indonesia termasuk tinggi

2. Statistika adalah suatu ilmu pengetahuan yang mempelajari cara-

cara pengumpulan data,

penyusunan/penyajian data, pengolahan/penghitungan data, Menganalisa data, dan penarikan kesimpulan secara rasional.

3. Populasi adalah keseluruhan obyek yang diteliti.

4. Sampel (contoh) adalah sebagaian dari populasi benar-benar diteliti.

5. Data adalah bentuk jamak dari datum.

Datum adalah keterangan dalam bentuk angka atau lambang yang dihimpun dari suatu pengamatan.

6. Data dapat dikelompokkan menjadi dua macam, yaitu :

Data Kuantitatif Data Kualitatif Data yang berupa

bilangan

Data yang berupa

kualitas suatu obyek

Dikelompokkan menjadi :

a. Data ukuran = data kontinu, adalah data yang diperoleh dari pengukuran.

Misalnya : Data tentang hasil pengukuran tinggi

Misalnya : - Data

tentang benda- benda yang rusak, baik.

badan, suhu badan, nilai ulangan, dsb.

b. Data cacahan = data diskrit adalah data yang diperoleh dari membilang Misalnya : data tentang banyaknya pengunjung suatu pameran tiap hari.

dst

- Data tentang orang- orang yang : berhasil, gagal, senang, gemar, puas, dsb.

--- c. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK

DIAGRAM

--- Penyajian data dalam bentuk diagram dibedakan menjadi 4 jenis :

1. Diagram batang (kotak) Contoh diagram batang :

2. Diagram garis

Contoh diagram garis :

3035 60

78 8783

69

47

30 29

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Banyak Absen

Hari ke-

Pengaruh Epidemik Terhadap Kehadiran

Siswa

(12)

MATERI MATEMATIKA LATIHAN PERSIAPAN UJIAN NASIONAL SMK WIKRAMA BOGOR 2016/2017 12 3. Diagram lingkaran dan pastel

Contoh diagram lingkaran :

4. Diagram lambang (piktogram) Contoh diagram piktogram : menggunakan simbol

Afrika

Amerika Asia Eropa German Rusia

Penduduk dunia pada akhir abad ke-20 Keterangan:

mewakili 100 juta orang Mewakili 50 juta orang

--- d. UKURAN PEMUSATAN DATA

--- PEMUSATAN DATA

1. MEAN

a. Data Tunggal 𝑥̅ = ∑

^𝑛_𝑖=1

𝑓

_𝑖

b. Rata-rata Gabungan 𝑛

𝑥̅ = 𝑥 ̅̅̅𝑓

₁ ₁

+ 𝑥 ̅̅̅𝑓

₂ ₂

+ 𝑥 ̅̅̅𝑓

₃ ₃

+ ⋯ + 𝑥 ̅̅̅̅𝑓

_𝑚 _𝑚

𝑓

₁

+ 𝑓

₂

+ 𝑓

₃

+ ⋯ + 𝑓

_𝑚

c. Data Kelompok

𝑥̅ = ∑

^𝑛_𝑖=1

𝑓

_𝑖

. 𝑥

_𝑖

∑

^𝑛_𝑖=1

𝑓𝑖

𝑥̅ = 𝑥 ̅ + (

_𝑠

∑

^𝑛_𝑖=1

𝑓

_𝑖

. 𝑑

_𝑖

∑

^𝑛_𝑖=1

𝑓𝑖 ) 𝑥̅ = 𝑥 ̅ + 𝑝 (

_𝑠

∑

^𝑛_𝑖=1

𝑓

_𝑖

. 𝑢

_𝑖

∑

^𝑛_𝑖=1

𝑓𝑖 ) 𝑥̅

𝑥 ̅

_𝑠

𝑥

_𝑖

𝑛 𝑝

∑

^𝑛_𝑖=1

𝑓𝑖 𝑑

_𝑖

= rata-rata (mean)

= rata-rata sementara

= nilai tengah interval

= banyak data

= panjang kelas

= jumlah frekuensi

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Barat Badan (Kg)

Umur bayi (minggu)

Diagram Garis Berat Badan Bayi dalam 3

Bulan

1 5 10

16

22

31

11 16 13

32 32

38

B A N YA K K E N DA R A A N S E T I A P K I LO M ET ER

JA L A N

India Australia Kanada Prancis

Swis Itali

Selandia Baru Jepang Amerika Serikat Belanda Jerman Barat Inggris

(13)

MATERI MATEMATIKA LATIHAN PERSIAPAN UJIAN NASIONAL SMK WIKRAMA BOGOR 2016/2017 13 𝑢

_𝑖

= deviasi (selisih nilai

tengah interval dengan rata-rata sementara

= kode/kodding 2. MEDIAN

a. Data Tunggal

Data yang terletak di tengah-tengah setelah data diurutkan dari yang terendah sampai yang terkecil

 Untuk n genap 𝑀𝑒 = 1

2 (𝑋

𝑛 2

+ 𝑋

𝑛

2+1

)

 Untuk n ganjil 𝑀𝑒 = 𝑋

𝑛+1

2

b. Data Kelompok 𝑀𝑒 = 𝑇𝑏 + 𝑝 (

𝑁 2 − 𝑓

^𝑘

𝑓

_𝑖

) 𝑀𝑒

𝑇𝑏 𝑝 𝑁 𝑓

_𝑘

𝑓

_𝑖

= median / nilai tengah

= tepi bawah kelas median (batas bawah – 0,5)

= panjang kelas

= jumlah frekuensi

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

= frekuensi kelas median 3. MODUS

a. Data Tunggal

Data yang sering muncul b. Data Kelompok

𝑀𝑜 = 𝑇𝑏 + 𝑝 ( 𝑏

₁

𝑏

₁

+ 𝑏

₂

) 𝑀𝑜

𝑇𝑏 𝑝 𝑏

₁

𝑏

₂

= modus

= tepi bawah kelas median (batas bawah – 0,5)

= panjang kelas

= selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum kelas modus

= selisih antara frekuensi kelas

modus dengan frekuensi kelas setelah kelas modus

--- e. UKURAN PENYEBARAN DATA --- PENYEBARAN DATA

1. QUARTIL a. Data Tunggal

Letak kuartil dilambangkan dengan Q dan letak Q ditentukan dengan : 𝑄

_𝑖

= 𝑖(𝑛 + 1)

I=1,2,3 dan 4 n≥4 b. Data Kelompok

𝑄

₁

= 𝑇

_𝑏1

+ 𝑝 (

𝑁 4 − 𝑓

^𝑘1

𝑓

_𝑒1

)

𝑄

₂

= 𝑇

_𝑏2

+ 𝑝 (

𝑁 2 − 𝑓

^𝑘2

𝑓

_𝑒2

)

𝑄

₃

= 𝑇

_𝑏3

+ 𝑝 (

3𝑁 4 − 𝑓

^𝑘3

𝑓

_𝑒3

) 𝑄

₁

𝑄

₂

𝑄

₃

𝑇

_𝑏1

𝑇

_𝑏2

𝑇

_𝑏3

𝑝 𝑁 𝑓

_𝑘1

𝑓

_𝑘2

𝑓

_𝑘3

𝑓

_𝑒1

𝑓

_𝑒2

𝑓

_𝑒3

= Kuartil ke 1

= Kuartil ke 2

= Kuartil ke 3

= tepi bawah kelas yang memuat kuartil pertama

= tepi bawah kelas yang memuat kuartil kedua

= tepi bawah kelas yang memuat kuartil ketiga

= panjang kelas

= jumlah frekuensi

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil pertama

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil kedua

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ketiga

= frekuensi kelas yang memuat kuartil pertama

= frekuensi kelas yang memuat kuartil kedua

= frekuensi kelas yang memuat kuartil ketiga

2. DESIL

a. Data Tunggal

Desil membagi data menjadi 10 bagian sama besar. Letak desil ke I ditentukan dengan :

𝐷

_𝑖

= 𝑖(𝑛 + 1)

𝑖 = 1,2,3,4, . . . ,9 10

b. Data Kelompok

(14)

MATERI MATEMATIKA LATIHAN PERSIAPAN UJIAN NASIONAL SMK WIKRAMA BOGOR 2016/2017 14 𝐷