BAB I PENGANTAR LOGIKA MATEMATIKA

BAB I

PENGANTAR LOGIKA MATEMATIKA 1.1. Pengenalan logika matematika

Logika berasal dari kata bahasa Yunani “logos”. Dalam bahasa Inggris lebih dekat dengan istilah

“thought” atau “reason”. Definisi Logika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari atau berkaitan dengan prinsip-prinsip dari penalaran argument yang valid. Logika di sini disebut logika simbol karena ia mempelajari usaha-usaha menyimbolisasikan logika secara formal.

Disebut juga logika formal. Logika dipelajari sebagai sistem formal yang menjelaskan peranan sekumpulan rumus-rumus ataupun sekumpulan aturan untuk derivasi. Derivasi dipahami sebagai pembuktian validitas argument yang kuat dengan didukung kenyataan bahwa kesimpulan yang benar harus diperoleh dari premis-premis yang benar.

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang- bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.

1.2. Pernyataan dan Bukan Pernyataan

Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu kita bahas pengertian kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti. Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

(pernyataan disebut juga proposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.

Contoh 1-1

 Perhatikan beberapa contoh berikut!

1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam 2. 4 + 5 = 8

3. Budi mencintai 9

4. Asep adalah bilangan prima

Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan (proposisi). Sementara contoh nomor 3 dan 4 adalah kalimat yang tidak mempunyai arti.

 Kemudian perhatikan contoh di bawah ini!

1. Silahkan tutup pintu itu!

2. Apakah hari ini akan hujan?

3. Bagus sekali tulisanmu!

4. Berapa jumlah mahasiswa yang belajar?

Kalimat di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.

Catatan:

Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan sebagainya.

Contoh 1-1

 Perhatikan contoh berikut ini!

1. Yang berdiri di bawah pohon itu cantik rupanya 2. seseorang memakai kacamata hitam

3. 2x + 8y > 0 4. x + 2 = 9

Keempat contoh di atas belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat yang demikian itu

dinamakan kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah).

Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.

Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.

Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian.

Contoh 1-3 x + 2 = 8

x adalah variabel, 2 dan 8 adalah konstanta, dan x = 6 untuk x anggora bilangan real adalah selesaian.

Secara skematik, hubungan kalimat, pernyataan, dan kalimat terbuka dapat kita rumuskan sebagai berikut:

1.3. Jenis Proposisi

proposisi dapat dibagi berdasarkan nilai kebenarannya menjadi dua macam, yaitu:

1. Proposisi variable, proposisi yang nilai kebenarannya belum bisa dipastikan Contoh :

o Hari ini akan hujan

o Presiden RI periode yang akan dating adalah Rhoma Irama

Contoh di atas memiliki nilai kebenaran namun belum bisa dipastikan nilai kebenarannya sudah pasti benar atau salah.

2. Proposisi konstanta, proposisi yang nilai kebenarannya sudah bisa dipastikan Contoh :

 Sumatera Selatan merupakan provinsi kota Palembang (benar / true)

 Bernapas merupakan salah satu ciri makhluk hidup (benar / true)

 Meja merupakan makhluk hidup (salah / false)

Dari contoh di atas memiliki nilai kebenaran yang sudah bisa ditentukan.

Latihan soal I

1. Apakah yang di maksud dengan proposisi?

2. Apakah perbedaan proposisi variable dan proposisi konstanta?

3. Berikan 5 contoh proposisi variable!

4. Berikan 5 contoh proposisi konstanta!

5. Tentukan yang mana termasuk proposisi dari beberapa kalimat di bawah ini, berikan alas an!

a. Ibu adalah seorang wanita yang melahirkan kita b. Di mana kau membeli buku ini?

c. Apakah anda senang belajar Logika Matematika?

d. Tidurlah bila kau mengantuk!

e. Makan adalah salah satu kebutuhan makhluk hidup f. 2x - 5 = 10

g. 1 + 7 = 9

BAB II

TABEL KEBENARAN 2.1.Perangkai / Operator Logika

Operator logika merupakan hal yang paling penting dalam menentukan table kebenaran, dengan adanya operator logika suatu proposisi bisa dibentuk menjadi suatu premis yang kemudian bisa dibuktikan kebenarannya melalui table kebenaran. Berikut beberapa operator logika yang akan kita pelajari.

: Merupakan lambang operasi untuk negasi : Merupakan lambang operasi untuk konjungsi : Merupakan lambang operasi untuk disjungsi

: Merupakan lambang operasi untuk implikasi : Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi

2.2.Konjungsi (AND)

Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah dengan Simbol ∧

Dengan tabel kebenaran

Contoh:

1. p : 5 bilangan prima (B) q : 5 bilangan ganjil (B)

: 5 bilangan prima dan ganjil (B) 2.3.Disjungsi (OR)

Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.

(Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif) Dengan tabel kebenaran

Contoh :

p : Bogor di Jawa barat (B) q : Bogor itu kota propinsi (S)

: Bogor di Jawa Barat atau ibu kota propinsi (B) 2.4.Negasi (Ingkaran) Sebuah Pernyataan

Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”.

Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “ ” atau “ ”.

Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar.

Definisi tersebut dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

2.5.Implikasi boleh dibaca:

jika p maka q q hanya jika p

p syarat perlu untuk q q syarat cukup untuk p

p disebut anteseden atau hipotesis q disebut konsekuen atau konklusi

Implikasi bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan

konsekuennya salah.

Dengan tabel kebenaran

Contoh:

1. Jika 2 x 2 = 4, maka 4 : 2 = 2 (B) (B) (B)

2. Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang (B)

(S) (S)

2.6.Biimplikasi atau Bikondisional ( ) boleh dibaca:

p jika dan hanya jika q (disingkat “p jhj q”) jika p maka q, dan jika q maka p

p syarat perlu dan cukup untuk q

\q syarat perlu dan cukup untuk p

biimplikasi bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.

Dengan tabel kebenaran

Contoh:

1. 2 x 2 = 4 jika dan hanya jika 4 : 2 = 2 (B) (B) (B)

2. 2 x 4 = 8 jika dan hanya jika 8 : 4 = 0 (S)

(B) (S)

Latihan Soal II

1. Gunakan konstanta proposisional A untuk “Adi rajin belajar” dan B untuk “Adi juara kelas”. Lalu ubahlah pernyataan berikut dalam bentuk logika!

a. Adi tidak rajin belajar b. Adi tidak juara kelas

c. Adi rajin belajar dan juara kelas d. Adi rajin belajar maka Adi juara kelas e. Adi juara kelas atau Adi rajin belajar 2. Tentukan table kebenarannya!

a. (A → B) ˄ A

b. A ˄ ̚ B

c. A↔ (B ˄ ̚ B)

d. A ˅ ̚ B

e. A ˅ A

BAB III

PROPOSISI MAJEMUK 3.1. Proposisi majemuk

Proposisi majemuk merupakan suatu gabungan proposisi tunggal yang dirangkai oleh operator logika. Proposisi majemuk lebih dikenal sebagai premis. Proposisi tunggal sendiri merupakan suatu proposisi yang berdiri sendiri tanpa perangkai apa pun.

Contoh proposisi tunggal:

1. Ani memasak di dapur

2. Ibu belanja bahan masakan di pasar 3. Adik membantu ayah berkebun

Contoh di atas merupakan proposisi tunggal karena tidak ada keterkaitan antara contoh satu dan lainnya ataupun operator logika yang merangkai ketiga contoh sehingga menjadi satu kesatuan. Namun dari ketiga contoh di atas dapat dibentuk suatu premis atau proposisi majemuk, sehingga menjadi:

Ani memasak di dapur dan ibu belanja bahan masakan di pasar sehingga adik membantu ayah berkebun.

Kata “dan’ dan “sehingga” yang merupakan kata penghubung kita sebut sebagai operator logika yang merangkai proposisi tunggal sehingga menjadi sebuah premis (proposisi majemuk).

3.2. Ekspresi Logika

Ekspresi Logika adalahproposisi-proposisiyang dibangun oleh variabel-variabel logika yang berasal dari pernyataan atau argument

Contoh: A⇒B

Setiap ekspresi logika dapat bersifat atomik (tunggal) atau majemuk tergantung dari variable

proposisional yang membentuknya bersama perangkai logika yang relevan.

Contoh :

Jika saya merasa sedih sekali maka saya akan menangis dan berlari sejauh mungkin Variable proposisinya terdiri dari :

A : saya merasa sedih sekali B : saya akan menangis

C : saya berlari sejauh mungkin Sehingga ekspresi logikanya : A → ( B ˄ C )

3.2. Skema

Skema (schemas) merupakan cara untuk menyederhanakan suatu proposisi mejemuk yang rumit, dengan memberi tanda huruf tertentu untuk menggantikan suatu sub ekspresi ataupun sub-sub eksresi.

Definisi: semua ekspresi yang berisi identifikator-identifikator yang menunjukkan adanya suatu ekspresi logika disebut skema.

Suatu ekspresi logika tertentu , misalnya (A ۸ B) dapat diganti dengan P, sedangkan (A v B) dapat dianti dengan Q. Jadi P berisi variabel proposisional A dan B, demikian juga Q. P di sini bukan varibel proposisional, karena nilai P tergantung dari nilai A dan B.

Contoh :

P = (A ˄ B) dan Q = (A v B), maka (P → Q) = ((A ˄ B) → (A v B))

Sekarang perhatikan yang berikut ini :

(1). Expresi apa saja berbentuk (┐P) disebut negasi.

(2). Expresi apa saja berbentuk (P ˄ Q) disebut konjungsi.

(3). Expresi apa saja berbentuk (P v Q) disebut disjungsi.

(4). Expresi apa saja berbentuk (P → Q) disebut implikasi (conditional) (5). Expresi apa saja berbentuk (P ↔ Q) disebut ekuivalensi (biconditional)

Contoh di atas ((A ˅ B) → (A ˄ B)) disebut implikasi yang berisi konjungsi (A˅B) dan disjungsi (A v B).

Sekarang lihat aturan berikut ini :

(1). Semua ekspresi atomik adalah fpe (2). Jika P adalah fpe, maka juga (┐P)

(3). Jika P dan Q adalah fpe, maka juga (P ˄ Q), (P ˅ Q), (P → Q) dan (P↔Q) (4). Tak ada fpe lainnya.

Ekspresi-ekspresi logika yang dijelaskan di atas disebut well formed formulae (wff). jadi, wff adalah fpe demikian juga sebaliknya. Jika ada suatu ekspresi logika yang di jelaskan di atas di sebut well-formed formulae (wff). Jadi wff adalah fpe demikian juga sebaliknya. Jika ada suatu ekspresi logika (┐P). Maka P disebut skop negasi (scope of negation) dengan perangkai disebut perangkai utama (main connective) dari (┐P). maka contoh di atas, yakni (P→Q),dapat di uraikan sebagai berikut:

(P → Q)

↑

Skop kiri Perangkai utama skop kanan ↓

((A B) → (A v B))

BAB IV TAUTOLOGI 4.1. Tautologi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai T (true) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh:

Lihat pada argumen berikut: Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah. Diubah ke variabel proposional:

A Tono pergi kuliah B Tini pergi kuliah C Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

(1) A → B (Premis) (2) C → B (premis) (3) (A ˅ C) → B (kesimpulan) Maka sekarang dapat ditulis:

((A→B)˄(C→B))→((A˅C)→B

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk : ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B) adalah semua benar (Tautologi)

A B C A→B C→B (A→B)˄(C→B) A˅C (A˅C) → B ((A→B)˄(C→B))

→ ((A˅C) → B))

T T T T T T T T T

T T F T T T T T T

T F T F F F T F T

T F F F T F T F T

F T T T T T T T T

F T F T T T F T T

F F T T F F T F T

F F F T T T F T T

4.2. kontradiksi

Kontradiksi adalah suatu proporsi majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proporsi-proporsi pembentuknya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan.

Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau

salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau

penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh :

( A ˅ B ) ˄ (( ┐A ) ˄ ( ┐B ))

A B ┐A ┐B A˅B ┐A˄┐B ( A ˅ B ) ˄ (( ┐A ) ˄ ( ┐B ))

T T F F T F F

T F F T T F F

F T T F T F F

F F T T F T F

4.3. Contingent

Contingent adalah suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel kebenarannya, bisa juga dikatakan sebagai suatu proporsi majemuk yang bukan termasuk tautologi dan bukan juga kontradiksi.

Contoh :

(( p ˄ q ) → r ) → p

P q R P ˄ q ( p ˄ q ) → r (( p ˄ q ) → r ) → p

T T T T T T

T T F T F T

T F T F T T

T F F F T T

F T T F T F

F T F F T F

F F T F T F

Pada contoh di atas terlihat bahwa kombinasi proposisi menghasilkan kesimpulan yang

merupakan kombinasi true dan false sehingga tidak termasuk kontradiksi ataupun tautology.

Latihan soal IV

1. Berikan contoh proposisi majemuk yang terdiri dari 3 (tiga) buah proposisi atom!

2. Buatlah ekspresi logika yang mewakili contoh proposisi majemuk yang anda buat pada soal no 1.!

3. Buatlah table kebenaran dari ekspresi logika pada no 2.!

4. Tentukan apakah table kebenaran yang anda buat pada soal no 3. termasuk tautology, kontradiksi atau contingent!

5. Berikan masing-masing 1 (satu) contoh ekspresi logika yang termasuk tautology,

kontradiksi dan contingent!

BAB V

EKIUVALENSI LOGIS

5.1.EKUIVALEN SECARA LOGIS

Jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi atau kontradiksi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis. Lain halnya dengan contingent, di mana ia memiliki semua nilai T dan F. Jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama, maka contingent juga disebut ekuivalen secara logis.

Contoh 5-1:

Perhatikan pernyataan berikut ini:

(1) Dewi sangat cantik dan peramah (2) Dewi peramah dan sangat cantik

Kedua pernyataan tersebut di atas, secara sekilas akan tampak ekuivalen atau sama saja, yang dalam bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan berikut ini:

A = Dewi sangat cantik B = Dewi peramah

Maka ekspresi logika tersebut adalah:

(1) A  B (2) B  A

Jika dikatakan dua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, maka dapat ditulis:

(A  B)  (B  A)

Ekuivalensi logis dari kedua ekspresi logika dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran berikut ini:

A B A  B B  A

F F F F

F T F F

T F F F

F T T T

Gambar 5-1 Tabel kebenaran (A  B)  (B  A)

Dalam tabel kebenaran di atas, walaupun setiap ekspresi logika memiliki nilai T dan F, tetapi karena terletak pada urutan yang sama, maka tetap dikatakan ekuivalen secara logis. Seandainya urutan T dan F tidak sama, maka tidak bisa dikatakan ekuivalen secara logis.

Definisi: Proposisi A dan B disebut ekuivalen secara logis jika AB adalah tautologi. Notasi atau simbol A  B menandakan bahwa A dan B adalah ekuivalen secara logis. Proposisi dapat diganti dengan ekspresi logika berupa proposisi majemuk.

Tabel kebenaran merupakan alat untuk membuktikan kebenaran ekuivalen secara logis.

Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut.

Contoh 5-2:

Lihat kalimat berikut ini:

(1) Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur

(2) Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur

Secara intuitif dapat ditebak bahwa kedua pernyataan di atas sebenarnya sama saja, tetapi apakah benar demkian jika dibuktikan dengan tabel kebenaran berdasarkan ekspresi logika. Untuk itu perlu diubah dahulu menjadi ekspresi logika dengan memberi variabel proposisional:

A = Badu pandai

B = Badu jujur

Maka kedua pernyataan tersebut menjadi:

(1) A  B (2) ( A  B)

Terbuktilah sekarang bahwa berdasarkan tabel kebenaran, kedua ekspresi logika di atas ekuivalen.

A B A  B A  B ( A  B)

F F F T T

F T F T T

T F F T T

T T T F F

Gambar 5-2 Tabel kebenaran (A  B) dan ( A  B) Perhatikan:

Walaupun kedua ekspresi logika di atas memiliki nilai kebenaran yang sama - meskipun ada

nilai T dan F - keduanya hanya dapat dikatakan ekuivalen secara logis jika dihubungkan dengan

perangkai ekuivalensi dan akhirnya menghasilkan tautologi.

Perhatikan lanjutan tabel kebenarannya sebagai berikut:

(A  B)  ( A  B) T

T T T

Gambar 5-3 Tabel kebenaran (A  B)  ( A  B)

Kedua ekspresi di atas dapat dikatakan ekuivalen secara logis, karena semua nilai kebenarannya bernilai T atau tautologi.

5.2.KOMUTATIF

Di atas sudah dibahas bahwa (AB)  (BA). Dengan perangkai ,variabel kedua proposisional tersebut dapat saling menggantikan tempat tanpa mengubah nilai kebenaran ekspresi logika keduanya. Hal ini disebut komutatif (commutativity).

Jadi:

(AB)  (BA)

Demikian juga dengan perangkai :

(AB)  (BA) dan perangkai :

(AB)  (BA)

Sifat komutatif dari ketiga perangkai tersebut di atas, dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran.

Lain halnya dengan perangkai  (implikasi). Perangkai ini tidak memiliki sifat komutatif, oleh

karena itu (AB) dengan (BA) memiliki nilai kebenaran yang berbeda. Lihat pembuktiannya pada tabel kebenaran berikut ini:

A B AB BC

F F T T

F T T F

T F F T

T T T T

Gambar 5-4 Tabel kebenaran AB dan BA

Dari tabel tersebut terlihat bahwa ekspresi logika AB dengan BA keduanya tidak ekuivalen.

5.3.ASOSIATIF

Penempatan tanda kurung biasa pada suatu ekspresi logika memegang peran penting, karena tanda kurung menunjukkan urutan prioritas proses pengerjaan. Perhatikan masalah fpe pada bab- bab terdahulu. Jika diterapkan pada dua buah ekspresi logika, penempatan tanda kurung biasa dapat diubah tanpa mengubah nilai kebenarannya pada tabel kebenaran yang dibuat.

Contoh 5-3:

Lihat berikut ini:

((A  B)  C) dan (A  (B  C)) Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut:

A B C A B (A B)C B C A (BC)

F F F F F F F

F F T F F F F

F T F F F F F

F T T F F T F

T F F F F F F

T F T F F F F

T T F T F F F

T T T T T T T

Gambar 5-5 Tabel kebenaran (A  B)  C dan A  (B  C) Maka dapat dibuktikan bahwa:

((A  B)  C)  (A  (B  C))

Proses pemindahan tanda kurung bisa tanpa mengubah nilai kebenarannya ini disebut asosiatif (associativity). Asosiatif lain biasanya terjadi pada perangkai yang sama, seperti  dan .

Contoh ((AB)C)  (A(BC)). Lain halnya dengan perangkai  (implikasi). Jika pada AB dan BA sudah bernilai tak sama, tentu saja ((AB)C) dan (A(BC)) juga pasti tidak sama. Karena itu jika pada satu ekspresi logika perangkainya berbeda, jangan sembarangan memindah tanda kurung. Hal ini akan menghasilkan nilai kebenaran yang berbeda.

Contoh 5-4:

Lihat:

((A  B)  C) dan (A  ( B  C)) dengan tabel kebenaran:

A B C A B (A B)C B C A (BC)

F F F F F F F

F F T F T T F

F T F F F T F

F T T F T T F

T F F F F F F

T F T F T T T

T T F T T T T

T T T T T T T

Gambar 5-6 Tabel kebenaran (A  B)  C dan A  ( B  C)

Nilai kebenaran dari (AB)C dan A(BC) terbukti tidak sama, walaupun urutan perangkainya sama. Hal ini disebabkan oleh letak tanda kurung yang berbeda, yang menyebabkan adanya perbedaan nilai kebenaran.

Jadi, pada gabungan perangkai  dan , pemberian tanda kurung yang berbeda menyebabkan nilai kebenaran yang berbeda pula. Sedangkan pada perangkai  (implikasi), karena pada AB dan BA sudah bernilai tak sama, maka ((AB)C) dan (A(BC)) juga pasti tidak sama.

5.4.HUKUN-HUKUM LOGIKA

Dari ekuivalensi secara logis, dapat dikembangkan hukum-hukum logika untuk membuktikan berbagai keperluan, termasuk membuktikan validitas sebuah argumen. Hukum-hukum logika antara lain berasal dari ekspresi-ekspresi logika berdasarkan pernyataan-pernyataan, oleh karena itu kebenarannya dapat dibuktikan melalui pernyataan tersebut.

Contoh 5-5:

Lihat:

(1) Jika Anda tidak belajar, maka Anda akan gagal

(2) Anda harus belajar, atau Anda akan gagal

Untuk membuat ekspresi logika, maka variabel proposisional harus diganti lebih dahulu seperti berikut:

A = Anda belajar B = Anda gagal

Maka ekspresi logikanya akan menjadi:

(1) A  B (2) A  B

Buktikan bahwa AB  AB dengan memakai tabel kebenaran.

A B AB A A B

F F T T T

F T T T T

T F F F F

T T T F T

Gambar 5-7 Tabel kebenaran AB dan AB

Ternyata AB  AB karena memiliki nilai kebenaran yang sama. Dari tabel kebenaran tersebut juga dapat dibuktikan bahwa perangkai (operator)  dapat diganti dengan perangakai  dan .

Sekarang perhatikan hukum De Morgan (De Morgan’s law) berikut:

(1) (A  B)  A  B (2) (A  B)  A  B

Kebenaran hukum De Morgan juga dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran. Ingat, bahwa

selama nilai kebenarannya sama, maka tetap disebut ekuivalen.

Seperti hukum-hukum lainnya, hukum ini pun dapat dilakukan terbalik. Jadi, (A  B)  A 

B tetap akan sama dengan A  B  (A  B).

Sejarah Singkat :

Augustus De Morgan (1806-1871) dilahirkan di India. Ayahnya seorang kolonel di ketentaraan India. Keluarga De Morgan pindah ke Inggris ketika dia berumur 7 tahun. Ia masuk sekolah pribadi dan sejak kecil sangat berminat di bidang matematika. De Morgan belajar di Trinity College, Cambridge, lulus tahun 1827. Ia mendapat pekerjaan di University College, London, di tahun 1828, tetapi sempat berhenti dan kembali tahun 1836 dan terus di sana sampai tahun 1866.

De Morgan merupakan guru yang lebih menekankan prinsip daripada teknik. Di antara muridnya adalah Augusta Ada, Countess of Lovelace, yang membantu Charles Babbage mewujudkan mesin komputasi, awal mesin komputer. De Morgan sudah mengenali kemampuan Augusta Ada di bidang matematika sejak dini.

De Morgan juga seorang penulis yang produktif. Ia menulis lebih dari 1000 artikel selama 15 periode. De Morgan membuat berbagai buku teks di berbagai bidang, misalnya logika, probabilitas, kalkulus dan aljabar. Tahun 1838, ia menjelaskan pembuktian yang penting yang disebut mathematical induction, suatu pengertian yang sangat ia kuasai.

Tahun 1842, De Morgan juga menyumbang pengembangan logika simbolik. Ia menemukan berbagai notasi yang membantunya membuktikan ekuivalensi proposisional, seperti hukum yang disebut sesuai dengan namanya. De Morgan mungkin juga orang yang pertama kali mendefinisikan pengertian limit dan pengembangan test tentang konvergensi dari infinite series.

Pada tahun 1837 De Morgan menikah dengan Sophia Freud, yang menulis biografi De

Morgan tahun 1882. Tugas riset, mengajar dan menulis menyebabkannya hanya menyisakan

sedikit waktu bagi keluarganya dan kehidupan sosialnya. Walaupun begitu, ia banyak dikenal

karena berbagai ilmu yang dikembangkannya, sifat humorisnya dan keramahtamahannya.

Contoh 5-6:

Hukum-hukum logika lainnya dapat dilihat berikut ini:

(1) Jika Badu tidak sekolah, maka Badu tidak akan pandai (2) Jika Badu pandai, maka Badu pasti sekolah

Untuk membuktikan ekuivalensi kedua pernyataan tersebut, maka harus di ubah menjadi ekspresi logika seperti berikut:

A = Badu sekolah B = Badu pandai Maka akan menjadi:

(1) A  B (2) B  A

Pembuktian ekuivalensi dilakukan dengan tabel kebenaran seperti berikut ini:

A B A B AB BA

F F T T T T

F T T F T T

T F F T F F

T T F F T T

Gambar 5-8 Tabel kebenaran AB dan BA dan terbukti bahwa:

A  B  B  A

Sekarang dengan perangkai  (ekuivalensi) atau if and only if, ekivalen antara dua ekspresi

logika ini dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran:

(1) A  B

(2) (A  B)  (B  A) Tabel kebenarannya:

A B AB AB BA (AB) (BA)

F F T T T T

F T F T F F

T F F F T F

T T T T T T

Gambar 5-9 Tabel kebenaran A  B dan (A  B)(B  A) Jadi, dapat dibuktikan bahwa:

A  B  (A  B)(B  A) Dalam bahasa lainnya:

(1) Jika A dan B mempunyai nilai kebenaran yang sama, maka…

(2) Jika A maka B, dan jika B maka A.

Sekarang perhatikan tabel kebenaran berikut untuk membuktikan AB  (AB).

A B A B A B A B (A B)

F F F T T T F

F T F T F T F

T F F F T T F

T T T F F F T

Gambar 5-10 Tabel kebenaran A  B dan (AB)

Jadi, dapat dibuktikan bahwa:

A  B  (A  B)

Selain itu perangkai  dapat diganti dengan kombinasi perangkai  dan . Begitu juga perangkai

 di atas dapat diganti dengan kombinasi perangkai  dan .

A  B  (A  B)  (B  A)  (A  B)  (B  A)

Karena itu sekarang hukum De Morgan dapat dimodifikasi, agar lebih sederhana. Lihat hukum ke-1:

(A  B)  A  B

(A  B)  (A  B)

A  B  (A  B) Hukum ke-2 akan menjadi seperti berikut:

A  B  (A  B)

Dalam tautologi, nilai kebenaran dapat diganti seperti berikut:

True  1 False  0

Dan sekarang dapat dicoba pada tabel kebenaran seperti berikut:

A 1 0 A 1 A 0

F T F F F

T T F T F

Gambar 5-11 Tabel kebenaran A1 dan A0

Dengan melihat nilai pada tabel kebenaran dapat disimpulkan bahwa:

A1  A (Identity of ) A0  0 (Zero of )

Selain itu dengan tabel kebenaran, dapat dibuktikan pula bahwa:

A1  1 (Identity of ) A0  A (Zero of )

Berikut ini akan dibuat tabel yang berisi hukum-hukum logika yang penting dan banyak digunakan untuk melakukan operasi logika. Semua hukum-hukum tersebut dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran. Biasanya hukum-hukum tersebut berpasangan (kecuali pada hukum negasi ganda atau Law of Double Negation), sehingga disebut pasangan ganda (Dual Pairs).

Lihat Tabel 5-12.

Tabel 5-12 Tabel hukum-hukum pokok logika (Daftar Ekuivalensi)

HUKUM NAMA

A1  A A0  A

Identity of  (Identity Laws) Zero of  (Identity Laws) A1  1

A0  0

Identity of  (Dominition Laws) Zero of  (Dominition Laws) AA  1

AA  0

Tautology (Excluded Middle Law) Law of Contradiction

AA  A AA  A

Idempotence Laws Idempotence Laws

A  A Law of Double Negation

AB  BA AB  BA

Commutativity (Commutative Laws) Commutativity (Commutative Laws)

(AB)C  A(BC) (AB)C  A(BC)

Associativity (Assosiative Laws) Associativity (Assosiative Laws)

A(BC)  (AB)(AC) A(BC)  (AB)(AC)

Distributivity (Distributive Laws) Distributivity (Distributive Laws)

A(AB)  A Absorption

A(AB)  A Absorption A(AB)  AB

A(AB)  AB

Absorption Absorption

(AB)  AB

(AB)  AB

De Morgan’s Law De Morgan’s Law

(AB)(AB)  A AB  AB AB  (AB)

AB  (AB)(AB)

AB  (AB)(BA)

Latihan Soal V

Buktikan bahwa ekspresi-ekspresi logika berikut ini ekuivalen, dengan menggunakan tabel kebenaran!

(1) AB  (AB)  (BA) (2) A(AB)  1

(3) (AB)  C  (AB)  C (4) A(BC)  (AB)  C (5) AB  (AB)

(6) ((AB)  B)  0

(7) ((A(BC))  (A(BC)))A  1

BAB VI

PENYEDERHANAAN 6.1.OPERASIONAL PENYEDERHANAAN

Operasi-operasi penyederhanaan dapat dilakukan dengan menggunakan Tabel 5-1 yang berisi berbagai hukum logika, baik yang memiliki nama maupun tidak. Perhatikan operasi penyederhanaan berikut ini beserta hukum yang digunakan yang tertulis di sisi kanannya.

Penyederhanaan eksposisi logika atau bentuk-bentuk logika ini dibuat sederhana mungkin.

Contoh 6-1

( A  AW )  ( A   A )

 A  ( A   A ) Zero of 

 A  1 Tautologi

 A Identity 

Contoh 6-2

( A   A )  ( ABC )

( A   A )  A( BC )) Asosiatif

 A (  B  (B C )) Distributif

 A ((  B B)  (  BC )) Distributif

 A (1 (  B C )) Tautologi

 A  (  B C ) Identity 

Contoh 6-3

((A (B C))A(A(B  C))) A

  ((A  (  BvC)  (  Av (  Bv C)))vA A 8

 (  (A  (  BvC) v  (  Av (  Bv C)))vA De Morgar’s Law

 ((  Av (  BvC)) v(   Av ( Bv C)))vA De- Morgan's Law

 ((  Av(   B  C)) v (   A (  B   C)))v De- Morgan's Law

 ((  Av(B  C) v (A (BC)vA Law of Double N

(  Av(B  C) v (A(BC))vA Asosiatif

 (  Av(B  C) v Av(A (BC ) Komutatif

 (  Av (B  C) v (Av(A (BC ))) Asosiatif

 (  Av (B  C) v A Assorption

Av(  Av (B  C) Komutatif

(Av(  Av (B  C)) Asosiatif

(Av A) Absorption

1 Tautologi

Contoh 6-4

(  A   B)  ((A  B)   A)

  (   Av B) v (  (  Av B)v A)) A-B

 (    A   B)v(   A  B) v A)) De Morgan's Law

 (  AB)v(A  B)v A)) La of Double N

 (  AB)v(A( A  B)) Komutatif

 (  AB)v(  Av ( A  B)) Absorption

 (  AB)v(  Av B) Asosiatif

 (  Av B) v Av B komutatif

  A (  Av B) v B Asosiatif

  Av B Absorption

Penyederhanaan akan berhenti pada bentuk ekspresi logika yang paling sederhana, dan sudah tidak mungkin disederhanakan lagi.

Ekuivalen-ekuivalen sebenarnya memberikan aljabar dari ekspresi-ekspresi, dan aljabar tersebut merupakan suatu instance of class (atau type) dari aljabar yang dinamakan Aljabar Boole (Boolean algebras).

6.2.Menghilangkan perangkai “DAN”

Sudah dibahas di atas, bahwa perangkai dasar sebenarnya hanya ,  dan . Jadi, semua perangkai, dapat dijelaskan hanya dengan tiga perangkasi dasar atau alamiah tersebut.

Dengan demikian, perangkai implikasi (conditional) dan ekuivalen (biconditional) dapat diganti dengan perangkai dasar.

Untuk perangkai implikasi, dapat digunakan hukum logika pada tabel 5-1:

(A  B)   AvB

Sedangkan untuk perangkai ekuivalen, dapat digunakan hukum logika berikut:

(2) (A  B)  (AB)v(  A  B)

(3) (A  B)  (A  B)  (B  A)

Contoh 6-5

Hilangkan tanda  dari logika no: 3 di atas!

(AB) (AB)  (BA)

 (  AvB) (  AvB) AB

 (  AvB) (Av B) Komutatif

Contoh 6-6

Hilangkan tanda dan (dari ekspresi logika berikut ini:

(A  B) C) v ((CD)  (BvD))

 ((  AvB) C) v ((C D)  (BvD)) AB

 ((  AvB) C) v (((C D)  (DC))  (BvD)) A  B

 ((  AvB) C) v (((  C v D)  ( D v C))  (BvD)) AB

 ((  AvB) C) v ((  C v D)  ( D v C))  (BvD)) Asosiatif

Sekarang sudah hilang semua perangkat  dan  dari ekspresi logika yang diinginkan.

Tetapi, apakah bentuk logika yang diperoleh masih bisa disederhanakan lagi? Hal ini bisa dicoba dengan hukum-hukum logika. \

6.3.Perangkai Cukup

Perangkai cukup (sufficiently connected) sebenarnya hanya ingin menunjukkan bahwa

ekspresi atau bentuk logika dengan perangkai apa saja dapat diubah menjadi ekspresi logika

dengan memakai apa saja dapat diuba menjadi eskpresi logika dengan memakai perangkai

dasar atau perangkai ilmiah, yakni ,  dan . Bahkan ekspresi logika dengan perangkai 

dapat diubah menjadi  dan , dan bentuk logika dengan perangkai  dapat diubah dengan

memakai perangkai  dan . Perhatikan contoh berikut :

Contoh 6-7

 (A  A)

  Av  A De Morgan’s Law

  AvA Law of Double Negation

Sampai di sini sudah terbukti, tetapi masih dapat disederhanakan :

 1 Tautologi

Contoh 6-8

 (Av A)

  A   A De Morgan’s Law

  AA Law of Double Negatio

Untuk contoh dengan perangkai  dan  dapat dilihat pada tebel 5-1

Sekarang bagaimana dengan perangkai Nand dan Nor yang tabel kebenarannya telah dibahas pada Bab 2 di atas? Apakah memang kedua perangkai tersebut perangkai cukup dan dapat dijelaskan hanya dengan ,  dan . ?

Kita mulai denan perangkai Nand – yang sebenarnya juga dapat ditulis  (AB) -dengan membuat tabel kebenaran seperti berikut :

A A A A  A

F F T T

T T F F

Tabel 6-1 kebenaran A/A dan  A

Perhatikan tabel kebenaran tersebut, hasilnya ternyata : AA   A

Lalu lihat tabel kebenaran berikut ini :

A B A B (AB)(AB) AB

F F T F F

F T T F F

T F T F F

T T F T T

Tabel 6-2 tabel kebenaran (AB)(AB) dan AB

Hasilnya ternyata : (AB)(AB)  AB

Dengan demikian perangkai Nand tergologn perangkai cukup, karena ia dapat dijelaskan denan perangkai dasar.

Selanjutnya perangkai Nor yang sebenarnya dapat ditulis  (AvB) apakah benar ia juga merupakan perangkai cukup.

Lihat tabel kebenaran berikut ini:

A A AA  A

F F T T

T T F F

Tabel 6-3 tabel kebenaran AA dan  A Perhatikan tabel kebenaran tersebut, hasilnya : AA   A

Lalu lihat tabel kebenaran berikut ini :

A B AB (AB) (AB) AvB

F F T F F

F T F T T

T F F T T

T T F T T

Tabel 6-4 tabel kebenaran (AB) (AB) dan AvB Hasilnya ternyata :

(AB) (AB)  AvB

Jadi, sebenarnya perangkai Nor juga perangkai cukup, karena ia juga dapat dijelaskan denan perangkai dasar.

Bahkan ternyata perangkai Nand ekuivalen dengan perangkai Nor seperti yang dibuktikan dengan tebel kebenaran berikut :

A A AA A A

F F T T

T T F F

Tabel 6-5 tabel kebenaran AA dan A A Atau ternyata hasilnya cukup mengejutkan : AA  A A

Tetapi, bagaimana jika AA  A A, apakah memang benar terbukti dengan tabel kebenaran?

LATIHAN SOAL VI

BAGIAN -1 :

Sederhanakan bentuk-bentuk logika berikut ini menjadi bentuk yang paling sederhana!

(1) A (AA) (2) (A(BB)) (3) A(AB)

(4) (AB)(( AB) A) (5) (A  (BvC)) AB

(6) (A(BC))(A(BC) (7) (AB)((AB)A (8) (A(BA))B(A(AB)) (9) (ABC)(CAC) (10)

BAGIAN - 2 :

Buktikan absorptionlaus berikut ini dengan penyederhanaan!

(1) A(AB)A (2) A(AB) A (3) (AB)(AB)B (4) (AB)  (AB)B

BAGIAN - 3 :

Hilangkan tanda dan dari ekspresi logika berikut ini dan sederhanakan lagi jika memungkinkan!

(1) AB

(2) (AB) ( BC) (3) (AB)  ( B C)

BAGIAN – 4 :

Buktikan ekuivalensi dua ekspresi berikut dengan penyederhanaan!

(1) (A . B) (B.C) = B  (AvC) (2)  ((AB)vA) = 1

(3)  (Av(CD)) = (AC) v (AD) (4) A  (AB) = AB

(5) (AB) = AB (6) (AB)  (AB) = A

(7) AB = ((AB) (BA)) (8) AB = (AvB) (BvA)

(9) (Av(BvC)) = (AB) v (AC)

(10) (AC) (BD) = (AB)  (AD) v (BC)  (CD)

BAB VII

STRATEGI PEMBALIKAN

Sebelum membahas strategi pembalikan akan dibahas dahulu tentang konsistensi ekspersi- ekspersi logika yang berupa pernyataan.

7.1. KONSISTENSI

Table kebenaran memang sangat bermanfaat untuk membuktikan validasi ekspresi logika. Tetapi masalahnya table kebenaran memerlukan tabel yang sangat besar untuk menyelesaikan ekspresi logika yang memiliki banyak variasi proposisional.

Kelemahan lain nya terletak pada logika proposisional, yang tidak bias menangani kerumitan bahasa yang dipergunakan sehari-hari walaupun untuk yang sederhana sudah cukup. Bahasa yang cukup rumit akan di tangani oleh logika preduktif.

Contoh 7-1

Rani anak pintar jika rajin belajar.orang tua rani senang jika rani pintar. Rani juara kelas. Orang tua rani senang.

Pernyataan di atas disebut konsistensi satu dengan lainnya. Jika semuanya bernilai benar.

Variable : 1. A→B 2. B→¬C 3. A

( A → B ) ^ ( B → ¬C ) ^ A ^ C

A B C A→B ¬C B→¬C

T T T T F F F

T T F T T T F

T F T F F T F

T F F F T T F

F T T T F F F

F T F T T T F

F F T T F T F

F F F T T T F

Perhatikan tidak ada satu ekspersi logika (A → B) (B→C) ,A. dan C yang mempunyai nilai T pada deretan yang sama sehingga hasilnya juga dipastikan F jadi kumpulan pernyataan tersebut tidak konsisten

Contoh 7-2:

Jika Kampus mengadakan acara, maka mahasiswa akan hadir jika banyak pengisi acara yang menghibur.

Sehingga varibelnya terdiri dari :

1. Jika Kampus mengadakan acara maka banyak pengisi acara yang mengibur

2. Dengan demikian, jika kampus mengadakan acara maka akan banyak mahasiswa yang hadir.

Validasi argumen diatas harus dibuktikan dengan tbale kebenaran. Yang akan membuktukan premis bernilai T dengan kesimpulan bernilai T, akan menghasilkan nilai T.

Langkah 1:

A = Kampus mengadakan acara B = Banyak pengisi acara

C = Banyak mahasiswa yang akan dating

Langkah 2:

1. A → (¬C → B) 2. A → ¬C 3. A → B Langkah 3:

Menyusun ekspresi logika menjadi satu kesatuan.

Untuk argumen, cara menulis ekprsi logika ada beberapa : 1. ((A → (¬C → B)) ˄ (A → ¬C)) → ( A → B)

2. { A → (¬C → B), A → ¬C} |= A → B

Untuk membuat table kebenaran sebaiknya pakailah penulisan ke 1 agar penyusunan kedalam table kebenaran lebih mudah.

7.2. Operasi Strategi Pembalikan

Setiap pembalikan dilakukan dengan cara menyalahkan kesimpulan argumen,yakni:

1. Menegasikan Kesimpulan 2. Memberi nilai F

Seperti yang dibahas sebelum nya argumen disebuy valid jika premis-premis benar dan kesimpilan benar, agar aegumen juga benar. Dengan strategi pembalikan muncul perlawanan (opposite) dari kesimpulan yang tidak cocok atau tidak konsisten(inconsistency) dengan premis- premis jadi premis nya bernilai T sedangkan kesimpulannay bernilai F.

Dengan stretegi pembalikan contoh argumen tentang masalh harga gula di atas kesimpulan akan dinegasikan dan akan ditulis seperti berikut :

3. ((A → (¬C → B)) ˄ (A → ¬C) ˄ → ¬( A → B)

Table kebenaran :

A B C ¬C ¬C→B A→(¬C →

B)

(A→¬C) (A→B) ¬(A→B) E

F F F T F T T T F F

F F T F T T T T F F

F T F T T T T T F F

F T T F T T T T F F

T F F T F F T F T F

T F T F T T F F T F

T T F T T T T T F F

T T T F T T F T F F

Tabel 7-1

E : ((A → (¬C → B)) ˄ (A → ¬C) ˄ → ¬( A → B

Ternyata hasilnya negasi dari kesimpulan tidak konsisten dengan premis-premis atau hasilnya F disini terjadi kemungkinan bahwa negasi dari kesmipulan bernilai T bersama- sama dengan premis-premis maka karena hasilnya F namun dengan adanya strategi pembalikan menyebabkan hasilnya bernilai T dan tentu saja ini berarti argumen di atas valid.

Sebenarnyaa jiak hanya mencari premis-premis yang bernilai T bersama kesimpulan yang juga bernilai T untuk mendapatkan hasil berniali T tidak perlukan seluruh table kebenaran cukup dnegan menemukan pasangan dari variable proposional yang akan menghasilkan nilai T bersma kesimpulan maka pasti argumen tersebut valid teknik ini disebut model.

7.3. MODEL

Teknik model berusaha mencari premis-premis dan kesimpulan dan kesimpulan berupa ekspresi

logika yang bernilai T yang hasilnya tentu T diperoleh dari berbagai kemungkinan, maka

digunakan strategi pembalikan dengan memberi nilai F pada kesmipulan padahal

premis-premis harus tetap bernilai T . Hal ini menyebabkan hasilnya juga pasti F.

Lihat contoh tentang harga gula di atas dengan penulisan berikut : {A → (¬C → B), A → ¬C} |= A → B

Dan ditulis seperti berikut :

(A → (¬C → B)) ˄ (A → ¬C) ˄ → ¬( A → B) Maka akan diberi nilai seperti berikut :

1. (A → (¬C → B))= T (premis 1) 2. (A → ¬C) = T (premis 2) 3. ( A → B) = F (kesimpulan)

Setiap premis dan kesimpulan serta variable proposional pasti mempunyai nilai dan tulis : V (A → ¬C) = T dan seterusnya V berarti “Value of atau nilai dari”

Adapun aturan-aturan yang dipakai dalm penarikan kesimpulan yaitu sebagai berikut:

Table 7-2 Modus Ponen

p ⇒ q P

∴q

Disjucktive Syllogism p ∨ q

~p

∴q Modus Tollen

p ⇒ q

~q

∴~p

Constructive Dilemma p ⇒ q r ⇒ s p ∨ r

∴q ∨ s Simplifikasi p ∧ q

∴p Destructive Dilemma p⇒q r⇒s

~q ∨ ~s

∴~p ∨ ~r Konjungsi

P Q

∴ p ∧ q Hypotetical Syllogism

p ⇒q q ⇒ r

∴p ⇒ r

Addition (Add) p

∴p ∨ q

Berikut ini contoh dari aturan penarikan kesimpulan diatas:

Contoh 7-1:

1. Buktikan bahwa argument berikut valid ! Jika lampu akan padam, suasana akan gelap.

Jika suasana gelap, aktivitas akan terganggu.

Lampu padam.

Jadi, akt

ivitas tertunda.

Misal:

p : lampu padam q : aktivitas terganggu r : aktivitas tertunda

Simbol untuk argument di atas adalah sebagai berikut:

p ⇒ q q ⇒ r p

∴r

Proses pembuktian validitas argument di atas adalah sebagai berikut:

1. p ⇒ q Pr

2. q ⇒ r Pr

3. p Pr / ∴r

4. q 1,3 MP

5. r 2,4 MP

BAB VIII TABLO SEMANTIK 8.1. Tablo Semantik

Tablo semantik penggunaannya berbasis pada strategi pembalikan. Strategi pembaalikan pada tablo semantik dilakukan dengan cara memberi negasi pada kesimpulan dan memeriksa hasil yang diperoleh. Sama seperti cara strategi pembalikan, yang menjadi patokan adalah

apakah kesimpulan yang bernilai F dapat diperoleh dari premis-premis yang bernilai T. Jika tidak bisa, maka argumen disebut valid. Maka bagaimanapun premis-premis yang bernilai T haruslah menghasilkan kesimpulan yang bernilai T juga. Tablo semantik sebenarnya merupakan bentuk- bentuk proposisi yang dibangun berdasarkan aturan-aturan tertentu, yang biasanya berbentuk pohon terbalik dengan cabang-cabang dan ranting-ranting yang relevan.

8.2. Aturan – Aturan Tablo Semantik

Aturan-aturan tablo semantik adalah sebagai berikut:

Aturan (1) : A ^ B

Jika tablo berisi A^B , maka tablo dapat dikembangkan menjadi tablo baru dengan menambahkan A dan B pada tablo A ^ B.

Bentuknya seperti berikut:

Aturan (2) : A ˅ B

Jika tablo berisi A v B maka dapat dikembangkan menjadi bentuk tablo baru dengan menambahkan dua cabang baru. Satu berisi A dan satunya adalah B seperti berikut:

A ^ B

A

B

A V B

A B

Berikut ini aturan-aturan lain dalam bentuk diagram. Penjelasan tentang setiap aturan dan alasannya akan dijelaskan nanti.

Aturan (3): A → B

Aturan (4): A ↔B

Aturan(5): ¬ ¬ A

Aturan(6): ¬ (A ^B)

A → B

¬A B

A↔B

A

^

B

¬A ^ ¬

B

¬ ¬ A A

¬ (A ^ B)

¬A ¬B

Aturan (7) : ¬ (A v B )

Aturan (8) : ¬ (A → B)

Aturan (9) : ¬ (A ↔ B)

Aturan(10):

Jika ada bentuk logika A dan negasinya (¬A) yang berada pada satu deretan cabang dari tablo, maka terjadi ketidakkonsistenan pada cabang tersebut tidak bisa dikembangkan lagi.

Hal ini disebabkan karena A dan ¬A tidak mungkin benar secara bersama-sama pada satu saat tertentu. Sehingga dapat disimpulkan bahwa jika semua cabang dari tablo tertutup, maka ekpresi

¬ (A v B)

¬ A

¬ B

¬ (A

→

B) A

¬ B

¬ (A ↔ B)

A ^ ¬ B ¬ A ^ B

logika tersebut disebut bersama-sama tidak konsisten atau mereka tidak bisa bernilai benar bersama-sama.

8.3. Tablo Semantik dalam Himpunan Ekspresi Logika Contoh 8-1 :

Apakah ekpresi logika ini konsisten bersama sama:

Dibuat tablo semantik seperti berikut:

(1) (2)

Aturan (2) pada (2)

Aturan (8) pada (1)

Perhatikan bahwa dua cabang dari tablo di atas tertutup, karena cabang sebelah kiri berisi A dan ¬ A dan cabang sebelah kanan berisi B dan ¬ B. Jadi, kesimpulannya adalah tidak konsisten bersama-sama.

¬ (A → B) dan ¬ A v B

¬ (A

→ B)

¬ A v B

¬ A B

│ │

A A

¬ B ¬ B

Tutup Tutup

8.3. Pembenaran Aturan Tablo

Aturan tablo dapat dipandang sebagai aturan dari sistem deduktif atau sistem pembuktian, yang tak perlu ditafsirkan pada konteks lainnya. Aturan tablo sangat sintaksis, seperti memainkan suatu permainan, misalnya catur. Tinggal menuruti peraturan yang ada, misalnya menjalankan plon, menteri dan sebagainya. Maka jalanlah permainan catur tersebut.

Namun pada tablo tak ada penafsiran lebih dahulu bahwa premis-premis benar dengan kesimpulan saalah seperti pada strategi pembalikan pada model. Tablo hanya menegasi kesimpulannya saja tanpa mempedulikan premis-premis.

Meskipun demikian, aturan tablo sangat beralasan dan realistis, karena sebenarnya ia berbasis pada aturan hukum logika.

Sekarang perhatikan satu demi satu aturan tersebut:

Aturan (1) : A ^ B

A ^ B A B

Aturan ini menunjukan bahwa jika (A^b) adalaah benar, maka A dan B juga bernilai benar.

Maka cabang tablo untuk ekpresi ini juga benar bersama-sama.

Aturan (2) : AvB

A v B

A B

Aturan ini menunjukan bahwa jika (Av B) adalah benar, maka dapat A benar atau B juga benar.

Maka satu cabang tablo harus menunjukan hal ini, atau ada konsistensi disini.

Aturan (3): A → B

A → B

¬A B

Dari hukum logika sudah diketahui (A→B) ≡ ¬ A v B. Maka dapat diaplikasikan sama seperti hukum nomor (2).

8.4. Tablo Semantik pada Argumen

Tablo semantik juga dapat diimplementasikan pada pembuktian viliditas suatu argumen.

Lihat contoh berikut:

Contoh 8-2:

Perhatikan argumen berikut :

Jika Sandi menyontek saat ujian, maka guru akan datang jika pengawas tidak lalai. Jika Sandi menyontek saat ujian, maka pengawas tidak lalai. Dengan demikian, jika Sandi menyontek, maka guru akan datang.

Apakah argumen diatas valid, atau apkah kesimpulan (pernyataan 3) secara logis mengikuti premis-premisnya . (pernyataan 1 dan 2)? Sekali lagi anda dapat menggunakan strategi

pembalikan dengan cara menegasi kesimpulan untuk menemukan bahwa kesimpulannya tidak konsisten dengan premis-premis. Tablo semantik memakai teknik strategi pembalikan dengan menegasi pembalikan.

Lihat tahap-tahap pembuktian berikut ini:

Langkah 1

Membuat variabel proposisional seperti berikut:

A = Sandi mencontek saat ujian

B = Guru akan datang

C = Pengawas tidak lalai Langkah 2

Menyusunnya menjadi ekspresi logika :

(1) A → ( ¬C → B ) (premis)

(2) A → ¬C (premis)

Jadi, (3) A → B (kesimpulan) Jika ditulis, akan menjadi seperti berikut:

Langkah 3

Menyusunnya menjadi deretan, lalu dibuat tablo dengan menegasi kesimpulan menjadi ¬(A → B). Maka penulisan di atas akan menjadi:

Berikutnya menyusunnya menjadi urutan seperti berikut:

(1) (A→(¬C→B)

(2) A→¬C

(3) ¬(A→B)

Langkah 4

Buatlah tablonya sepeeti berikut (jangan lupa ikutilah heuristik pembuatan tablo untuk mengefisienkan pencabangan tablo).

{ A→(¬C→B), A→¬C } │= A→B

(A→(¬C→B)) ^ (A→¬C ) ^ ¬(A→B)

(1) A→(¬C→B) (2) A→¬C (3) ¬(A→B)

│

A Aturan (8) pada baris (3) (4) ¬B

¬A ¬C Aturan (3) pada baris (2) (5) Tutup

(6) ¬A ¬C→B Aturan (3) pada baris (1) Tutup

(7) ¬¬C B Aturan (3) pada baris (6) Tutup

│

(8) C Aturan (5) pada baris (7) Tutup

Perhatikan bahwa seluruh tablo ternyata tertutup, dan hal ini berarti terjadi

ketidakkonsistenan pada seluruh argumen. Karena ada strategi pembalikan dengan memberi negasi pada kesimpulan. Maka dapat disimpulkan bahwa premis-premis tersebut benar dan kesimpulan tidak benar (karena negasi). Dengan demikian, sebenarnya kesimpulannya adalah benar dan argumen tersebut valid.

Contoh 8-3

Buktikan validitas argumen berikut ini:

Ade dan Indah pergi kepesta. Jika Indah pergi ke pesta, maka Tiwi pergi ke pesta, jika tidak

Wiega pergi ke pesta. Wiega pergi ke pesta jika Ade tidak pergi ke pesta. Dengan demikian,

Tiwi pergi ke pesta.

Langkah 1

Membuat variabel proposisional seperti berikut:

A = Ade pergi ke pesta B = Indah pergi ke pesta C = Tiwi pergi ke pesta D = Wiega pergi ke pesta Langkah 2

Menyusunnya menjadi ekspresi logika:

(1) AvB (premis)

(2) B →(¬D→C) (premis)

(3) ¬A→D (premis)

Jadi, (4) ¬C (kesimpulan)

Jika ditulis, akan menjadi seperti berikut:

Langkah 3

Menyusunnya menjadi deretan dan dibuat tablo dengan menegasi kesimpulan menjadi ¬C.

Maka penulisan diatas menjadi :

Lalu disusun menjadi urutan seperti berikut ;

(1) A v B

{ AvB, B→(¬D→C), ¬A →C } │= C

( AvB ) ^ (B→(¬D→C)) ^ (¬A →C) ^ ¬C

(2) B →(¬D→C) (3) ¬A→C (4) ¬C Langkah 4

Buatlah tablonya seperti berikut (jangan lupa ikutilah heuristik pembuatan tablo untuk mengefisienkan pencabangan tablo).

(1) A v B (2) B →(¬D→C) (3) ¬A→C (4) ¬C

(5) A B Aturan (2) pada (1) (6) ¬ ¬A C ¬ ¬A C Aturan (3) pada (3)

│ │ (7) A A

(8) ¬B ¬B→C Aturan (3) pada (2)

Cabang tablo ini pasti tidak tertutup

Karena cabang tidak tertutup sehingga dapat dikatakan bahwa argument bernilai valid, karena

cabang yang terbuka membuktikan bahwa terjadi kekonsistenan antar premis.

BAB IX

BENTUK NORMAL

Bentuk normal (normal form) adalah bentuk standar untuk ekspresi logika. Bentuk normal mempunyai dua jenis, yaitu bentuk normal konjungtif dan bentuk normal disjungtif. Bentuk normal sangat penting difahami karena kebanyakan aplikasi logika, misalnya merancang rangkaian elektronika atau sirkuit menggunakan bentuk normal, khususnya bentuk normal disjungtif. Bentuk normal disebut juga bentuk kanonikal (canonical form). Bentuk normal hanya berisi perangkai ~, ^ , dan V, dengan proposisi dasar yang dikomposisikan dalam bentuk rumus atomik atau atom-atom. Literal adalah atom dan atau negasi dari atom

9.1. Bentuk Normal Konjungtif

Definisi: suatu ekspresi logika (wff) berbentuk normal konjungtif (CNF) bila ia merupakan konjungsi dari disjungsi literal- literal. Bentuknya seperti berikut:

( a

¹

˅ a

²

) ^ ( a

³

˅ a

⁴

) … ^ ( a

ⁿ

˅ a

ⁿ⁺¹

)

Bentuk CNF pada nomor (1), (2), (3), dan (4) di atas tetap dapat disebut bentuk normal konjungtif. Untuk nomor (4) diterima sebagai default.

9.2. Bentuk Normal Disjungtif

Suatu ekspresi logika (wff) berbentuk bentuk normal disjungtif (DNF) bila ia merupakan disjungsi dari konjungsi literal- literal. Bentuknya seperti berikut:

( a

¹

˄ a

²

) ˅ ( a

³

˄ a

⁴

) … ˅ ( a

ⁿ

˄ a

ⁿ⁺¹

)

Bentuk DNF pada nomor (1), (2), (3), dan (4) di atas tetap dapat disebut bentuk normal disjungtif. Untuk nomor (4) diterima sebagai default.

Bentuk normal konjungtif (CNF) dengan empat klausa, yakni (¬A v B),(¬B v C),A dan ¬C, langkah pertama yang dilakukan adalah me-resolved (¬A v B) dengan (¬B v C), menjadi (¬A v C). selanjutnya, (¬A v C) di-resolved dengan A menjadi C, dan terakhir C di-resolved dengan

¬C menghasilkan ┴.