BAB 4 LOGIKA MATEMATIKA A. PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA
1. Pernyataan (premis)
Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus kedua-duanya.
Contoh :
(1) Hasil kali 3 dan 4 adalah 12 (2) Semua unggas dapat terbang. (3) Ada bilangan prima yang genap
Contoh (1) dan (3) adalah pernyataan yang bernilai benar, sedangkan (2) penyataan yang bernilai salah.
Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r dsb. Misalnya :
P : Semua bilangan prima adalah ganjil q : Jakarta ibukota Indonesia
2. Kalimat Terbuka
Adalah kalimat yang memuat peubah/variabel dan belum dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.
Contoh kalimat yang bukan pernyataan : (1) Semoga nanti engkau naik kelas (2) Tolong tutupkan pintu itu ! (3) Apakah Lina sudah makan ?
B. NEGASI (INGKARAN)
Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula.
Basic concept :
Jika suatu pernyataan dilambangkan dengan p, maka negasi dari p dilambangkan dengan ~p . Jadi negasi dari suatu pernyataan dilambangkan dengan ~ .
Contoh :
p : Ayah pergi ke pasar ~ p : Ayah tidak pergi ke pasar Tabel kebenaran negasi atau ingkaran :
p ~ p
B S
C. PERNYATAAN BERKUANTOR
Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas.
Ada 2 macam kuantor, yaitu : 1. Kuantor Universal
Dalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan
(dibaca untuk semua atau untuk setiap) Contoh :
* x � R, x2 > 0, dibaca untuk setiap x anggota bilangan real maka berlaku x2 > 0.
* Semua ikan bernafas dengan insang. 2. Kuantor Eksistensial
Dalam pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor Eksistensial dinotasikan dengan ( dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian) Contoh :
* x � R, x2 + x – 6 < 0, dibaca ada x anggota bilangan real dimana x2 + x – 6 < 0
* Beberapa ikan bernafas dengan paru-paru. 3. Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Ingkaran dari pernyataan universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor universal.
Contoh :
p : Semua ikan bernafas dengan insang ~ p : Ada ikan bernafas tidak dengan insang
D. PERNYATAAN MAJEMUK
Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung.
Ada 4 macam pernyataan majemuk,yaitu : 1. Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “DAN” atau “TETAPI” . Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan
"p q"� yang dibaca p dan q.
Tabel kebenarannya :
p q p q�
B S S
S B S
S S S
Dari tabel tersebut tampak bahwa konjungsi selalu bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar.
Contoh :
p : 34 = 51 bernilai salah q : 2 + 5 = 7 bernilai benar
p q� : 34 = 51 dan 2 + 5 = 7 bernilai salah 2. Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “ATAU”. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan p q� dan dibaca p atau q
Tabel kebenarannya :
p q p q�
B B B
B S B
S B B
S S S
Dari tabel tampak bahwa disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah.
Contoh :
P : jumlah dari 3 dan 5 adalah 8 (pernyataan bernilai benar) q : Tugu Jogja terletak di Jakarta (pernyataan bernilai salah)
p q� : Jumlah dari 3 dan 5 adalah 8 atau Tugu Jogja terletak di Jakarta (pernyataan bernilai benar).
3. Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika .... maka ...”. Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p�q yang dibaca “jika p maka q” atau “p jika hanya jika q” atau “p syarat perlu bagi q” atau “q syarat cukup bagi p”
Dari implikasi p�q, p disebut anteseden atau sebab atau hipotesa q disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi.
Tabel kebenarannya :
p q p�q
B B B
S B B
S S B
Dari tabel tersebut, tampak bahwa implikasi selalu bernilai salah jika sebabnya benar dan akibatnya salah.
Contoh :
P : 2 + 4 = 7 (pernyataan salah) q : Indonesia di benua Afrika (pernyatan salah)
p�q: Jika 2 + 4 = 7 maka Indonesia di benua Afrika (pernyataan benar).
4. Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “...jika dan hanya jika...” dan dilambangkan�.
Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p�qyang dibaca p jika dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p.
Tabel kebenarannya :
p Q p�q
B B B
B S S
S B S
S S B
Dari tabel kebenaran tersebut, tampak bahwa biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya bernilai sama.
Contoh :
p : 3 + 10 =14 (pernyataan salah) q : Persegi adalah segitiga (pernyataan salah)
p�q: 3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi adalah segitiga (pernyataan salah)
E. TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.
F. EKUIVALENSI (PERNYATAAN YANG SETARA) DAN NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK
p�q ~ p q � negasinya adalah p ~ q� p�q ~ q �~ p
~ p�q p ~ q� � �q ~ p Basic concept :
Negasi pernyataan majemuk :
G. INVERS, KONVERS, DAN KONTRAPOSISI Basic concept :
Jika suatu implikasi dinyatakan dengan p�q, maka :
Invers dari implikasi tersebut : ~ p�~ q(posisi tetap, diingkar)
Konvers dari implikasi tersebut : q�p
(posisi berubah)
Kontraposisi dari implikasi tersebut : ~ q�~ p (posisi berubah,
diingkar)
H. PENARIKAN KESIMPULAN
Ada 3 macam penarikan kesimpulan yang terdiri atas beberapa pernyataan (premis) , meliputi :
Modus Ponens Premis 1 : p�q Premis 2 : p
Maka, kesimpulan dua premis tersebut adalah q
Modus Tollens Premis 1 : p�q Premis 2 : ~ q
Maka, kesimpulan dua premis tersebut adalah ~p
Silogisme
Premis 1 : p�q Premis 2 : q�r
Maka, kesimpulan dua premis tersebut adalah p�r
1. UN 2010
Perhatikan premis-premis berikut.
1. Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara. 2. Jika saya meraih juara maka saya boleh ikut bertanding. Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah . . . A. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding. B. Saya giat belajar atau saya tidak boleh ikut bertanding. C. Saya giat belajar maka saya bisa meraih juara.
D. Saya giat belajar dan saya boleh ikut bertanding. E. Saya ikut bertanding maka saya giat belajar. Pembahasan :
Sebelum mencari ingkaran/negasinya, terlebih dahulu kita cari kesimpulannnya
(Jika saya giat belajar maka saya boleh ikut bertanding) Maka, ingkaran dari implikasi :
“Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding.”
Jawaban:A 2. UN 2011
Diketahui premis-premis
(1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung (2) Ibu tidak memakai payung
Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah . . . A. Hari tidak hujan
B. Hari hujan
C. Ibu memakai payung
D. Hari hujan dan Ibu memakai payung E. Hari tidak hujan dan Ibu memakai payung Pembahasan :
Sesuai dengan aturan modus tollens :
p q
q
p (hari tidak hujan)
�
::
Jawaban:A 3. UN 2012
Diketahui premis-premis berikut:
Premis 2 : Jika Tio sakit, maka ia demam.
Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah . . . A. Jika Tio sakit maka ia kehujanan.
B. Jika Tio kehujanan maka ia demam. C. Tio kehujanan dan ia demam. D. Tio demam karena kehujanan. Pembahasan :
Jadi kesimpulannya, “Jika Tio kehujanan, maka Tio demam.”
Jawaban:B 4. UN 2012
Ingkaran pernyataan “Jika semua mahasiswa berdemonstrasi maka lalu lintas macet” adalah . . .
A. Mahasiswa berdemonstrasi atau lalu lintas macet. B. Mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas macet.
C. Semua mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas tidak macet. D. Ada mahasiswa berdemonstrasi.
E. Lalu lintas tidak macet. Pembahasan :
�mahasiswa, demo
macet
mahasiswa, demo
macet� �
� �
: :
“Semua mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas tidak macet.” Metode supertrik :
Ingkaran dari implikasi (jika A maka B) adalah A DAN ~B (semua mahasiswa berdemonstrasi DAN lalu lintas macet)
Jawaban:C 5. UN 2012
Diketahui premis-premis berikut :
Premis I : “Jika hari ini hujan maka saya tidak pergi.”
Premis II : “Jika saya tidak pergi maka saya nonton sepak bola.” Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah . . . A. Jika hujan maka saya tidak jadi nonton sepak bola. B. Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola. C. Hari hujan dan saya nonton sepak bola.
D. Saya tidak nonton sepak bola atau hari tidak hujan.
Silogisme :
Jadi kesimpulannya “Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola.” Jawaban:B 6. UN 2012
Negasi dari pernyataan: “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin” adalah . . .
A. Ada ujian sekolah dan semua siswa tidak belajar dengan rajin. B. Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin. C. Ada ujian sekolah dan ada siswa yang belajar dengan rajin. D. Tidak ada ujian sekolah dan semua siswa belajar dengan rajin. E. Tidak ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan
rajin.
.Jadi “Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin.” Metode supertrik :
Ingkaran dari implikasi (jika A maka B) adalah A DAN ~B (Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin )
Jawaban:B 7. UN 2012
Diketahui premis-premis sebagai berikut :
Premis I : “Jika Cecep lulus ujian maka saya diajak ke Bandung.” Premis II : “Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang.” Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah . . .
A. Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian. B. Jika saya pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian. C. Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang. D. Cecep lulus ujian dan saya pergi ke Lembang.
E. Saya jadi pergi ke Lembang atau Cecep tidak lulus ujian. Pembahasan :
lulus Bandung
Jadi kesimpulannya “Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang.” Jawaban:C 8. UN 2012
Negasi dari pernyataan: “Jika semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah maka Roy siswa teladan”, adalah . . .
A. Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan.
B. Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy siswa teladan. C. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa
teladan.
D. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah atau Roy siswa teladan. E. Jika siswa SMA disiplin maka Roy siswa teladan.
Pembahasan :
�siswa, mematuhi
teladan
siswa, mematuhi
teladan� �
� �
: :
Jadi “Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan.”
Metode supertrik :
Ingkaran dari implikasi (jika A maka B) adalah A DAN ~B (Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan)
Jawaban:A 9. UN 2012
Diketahui premis-premis sebagai berikut :
Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah. Premis 2 : Bona keluar rumah.
Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah . . . A. Hari ini hujan deras
B. Hari ini hujan tidak deras
Modus Tollens:
Jadi kesimpulannya “hari ini tidak hujan deras.”
Jawaban:B 10. UN 2012
Ingkaran pernyataan “Jika semua anggota keluarga pergi, maka semua pintu rumah dikunci rapat” adalah . . .
A. Jika ada anggota rumah yang tidak pergi maka ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat.
B. Jika ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat maka ada anggota keluarga yang tidak pergi.
C. Jika semua pintu rumah ditutup rapat maka semua anggota keluarga pergi.
D. Semua anggota keluarga pergi dan ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat.
E. Semua pintu rumah tidak dikunci rapat dan ada anggota keluarga yang tidak pergi.
Metode supertrik :
Ingkaran dari implikasi (jika A maka B) adalah A DAN ~B (Semua anggota keluarga pergi dan ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat)
Jawaban:D
PAKET SOAL LATIHAN
1. Invers dari pernyataan “ Jika Beni menjadi presiden maka ia tinggal di istana negara” adalah…
A. Jika Beni tidak tinggal di istana negara maka ia tidak menjadi presiden B. Jika Beni tinggal di istana negara maka ia menjadi presiden
C. Beni akan tinggal di istana negara ketika ia menjadi presiden
2. Diketahui pernyataan :
“Jika harga bahan bakar naik, maka ongkos angkutan naik”.
“Jika harga kebutuhan pokok tidak naik, maka ongkos angkutan tidak naik”.
Jika kedua pernyataan itu bernilai benar, maka kesimpulan yang dapat diambil adalah…
A. Jika ongkos naik, harga bahan bakar naik
B. Jika ongkos angkutan naik maka harga kebutuhan pokok naik C. Jika ongkos angkutan tidak naik maka harga kebutuhan pokok naik D. Jika harga bahan bakar naik maka harga kebutuhan pokok naik E. Jika harga bahan bakar tidak naik maka harga kebutuhan pokok tidak
naik
3. Pernyataan yang setara dengan “Jika semua guru senang maka beberapa anak tersenyum” adalah…
A. Jika semua guru tidak senang maka semua anak tidak tersenyum B. Jika semua anak tidak tersenyum maka beberapa guru tidak senang C. Jika beberapa guru tidak senang maka semua anak tidak tersenyum D. Semua guru senang dan semua anak tidak tersenyum
E. Beberapa guru tidak senang atau semua anak tidak tersenyum
4. Ingkaran dari
p q� �
radalah…A.
~ p ~ q�
�r D. ~ p ~ q r� �B.
~ p q� �
r E. ~ p ~ q r� � C. p q ~ r� �5. Diketahui premis – premis sebagai berikut : Premis 1 : Jika Dio tidak mau makan, maka ia sakit
Premis 2 : Jika Dio sakit, maka ia tidak berangkat ke sekolah Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah…
A. Dio tidak mau makan atau ia tidak berangkat ke sekolah B. Dio tidak mau makan dan ia tidak berangkat ke sekolah C. Dio mau makan atau ia tidak berangkat ke sekolah D. Dio mau makan dan ia tidak berangkat ke sekolah E. Dio mau makan dan ia berangkat ke sekolah
6. Negasi pernyataan ”Jika guru tidak hadir maka semua murid bersuka ria” adalah...
B. Jika guru hadir maka ada murid tidak bersuka ria C. Guru hadir dan semua murid bersuka ria D. Guru tidak hadir dan ada murid bersuka ria
E. Guru tidak hadir tetapi beberapa murid tidak bersuka ria 7. Jika
p q�
bernilai benar maka…8. Diketahui suatu pernyataan sebagai berikut ” Jika Edu rajin belajar maka ia naik kelas”. Semua pernyataan di bawah ini benar,kecuali...
A. Disjungsinya ”Edu rajin belajar atau naik kelas” B. Negasinya ”Edu rajin belajar dan tidak naik kelas”
C. Kontraposisinya ” Jika Edu tidak naik kelas maka Edu tidak rajin belajar”
D. Inversnya ”Jika Edu naik kelas maka Edu tidak rajin belajar. E. Ekuivalennya ”Edu tidak rajin belajar atau Edu naik kelas” 9.
Nilai yang tepat untuk * adalah...
A. p�: q D. p q�
11. Perhatikan tiga pernyataan berikut !
(2) ~ p ~ q
�
Dari ketiga pernyataan tersebut yang ekuivalen dengan ~ p q� adalah…
A. Hanya (1) D. (2) dan (3)
B. Hanya (2) E. (1),(2), dan (3) C. (1) dan (3)
12. Konvers dari implikasi
~ p q� �
p ekuivalen dengan…A. p�~ p ~ q
�
D. p�
~ p q�
B. ~ p�~ ~ p q
�
E. ~ p� �
p ~ q
C. ~ p�~ p ~ q
�
13. Kontraposisi dari implikasi p�~q adalah…
A. ~q�p D. ~p�q
B. p�q E. q�p
C. q�~p 14. Diketahui :
Premis 1 :
p ~ q�
�r Premis 2 : ~rKesimpulan yang sah berdasarkan kedua premis tersebut adalah…
A. p q� D. ~ p q�
B. ~ p ~ q� E. p q�
C. ~ p q�
15. Ingkaran dari pernyataan ~ p�
q ~ r�
adalah…B. ~ p ~ q r� � E. p�
