BAB 6
LOGIKA MATEMATIKA
RINGKASAN MATERI
1. Pengertian Logika adalah suatu metode yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran (bentuk pemikiran yang masuk akal).
Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah (variabel, sehingga belum dapat ditentukan benar
atau salahnya).
2. Lima Penghubung Matematika
Negasi (ingkaran) Notasi : ~ p Konjungsi (dan) Notasi : p q
Disjungsi (atau) Notasi : p q
Implikasi (jika… , maka …) Notasi : p q
Biimplikasi (… jika dan hanya jika …) Notasi : p q 3. Tabel kebenarannya p q ~p p q pq P q p q B B S S B S B S S S B B B S S S B B B S B S B B B S S B 4. Konvers, Invers, Kontrapositif
Implikasi p q Konvers q p Invers ~p ~q Kontraposisi ~q ~p 5. Tautologi dan Pernyataan Ekuivalen
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran. Implikasi logis adalah tautologi yang memuat pernyataan implikasi.
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran. Kontingensi adalah pernyataan majemuk yang mengandung nilai salah dan benar pada kemungkinan nilai
kebenarannya.
Pernyataan yang Ekuivalen ( ) a. p q q p p q q p b. p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) c. p p p
p
p
p
d. p S p p S S e. p B B p B p f. ~(p q) ~ p ~ q ~(p q) ~ p ~ q g. p q ~ q ~ p p q ~ p q h. p q (p q) (q p)p
q
(~ p
q)
(~ q
p)
6. Penarikan KesimpulanModus Ponens Modus Tollens Silogisme
Universal : = semua, setiap Khusus : = ada, berapa, sebagian
8. Bukti dalam Matematika Bukti tak langsung
Menggunakan konsep :
p q ~ q ~ p
Bukti dengan induksi matematika
a. Tunjukkan bahwa rumus P(n) benar untuk n = 1
b. Tunjukkan bahwa jika rumus P(n) benar untuk n = k, maka rumus P(n) juga benar untuk n = k+1.
SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk (p q) (~p ~q) adalah ….
a. BSSS b. SSSB c. SBSS d. SSBS e. SBBS Jawaban: b Penyelesaian: Tabel kebenarannya p q ~p ~q p q ~p ~q (p q) (~p ~q) B B S S B S B S S S B B S B S B B B B S S S S B S S S B Jadi [ (p q) (~p ~q) ] = SSSB
2. nilai x agar kalimat “ 4x = 2 2 jika dan hanya jika 2log 1 = 0” menjadi biimplikasi yang bernilai benar adalah .. a. 4 3 b. 2 3 c. 2 d. 2 e. 2 2 Jawaban: a Penyelesaian: 4x = 2 2 22x = 2 3 2 2x = 2 3 x = 4 3 2
log 1 = 0 adalah menyatakan benar. Jadi, agar kalimat “4x
= 2 2 jika dan hanya jika 2log 1 = 0” menjadi biimplikasi yang bernilai benar, maka haruslah x =
4 3
.
3. Negasi dari pernyataan “jika guru matematika hadir, maka semua siswa senang” adalah .... a. jika guru matematika tidak hadir, maka semua siswa tidak senang
b. jika guru matematika tidak hadir, maka ada siswa yang tidak senang c. guru matematika tidak hadir atau semua siswa senang
d. guru matematika hadir atau ada siswa yang tidak senang e. guru matematika hadir dan ada siswa yang tidak senang
Jawaban: e Penyelesaian:
Misalnya p : guru matematika hadir q : semua siswa senang
~ (p q) ~ (~ p q) p ~q
Kalimat berkuantor Negasinya a. (x); P(x) Q(x)
b. (x); P(x) Q(x)
a. (x); P(x) ~ Q(x) b. (x); P(x) ~ Q(x)
4. Ebtanas 2001
Kontraposisi pernyataan majemuk p (p q) adalah ....
a. (p q) p c. (p q) p e. (p q) p b. (p q) p d. ( p q) p
Jawaban: b Penyelesaian:
Kontraposisi dari p (p q) adalah (p q) p (p q) p 5. UAN 2003
Penarikan kesimpulan dari
I p q II p q III p q
p q r q r q r p p r Yang sah adalah …
a. hanya I c. hanya I dan III e. hanya III
b. hanya I dan II d. hanya II dan III
Jawaban: c Penyelesaian:
6. UN 2004
Diberikan pernyataan-pernyataan sebagai berikut :
1. Jika penguasaan matematika rendah, maka sulit untuk menguasai IPA. 2. IPA tidak sulit dikuasai atau IPTEK tidak berkembang.
3. Jika IPTEK tidak berkembang, maka negara akan semakin tertinggal. Dari ketiga pernyataan di atas, dapat disimpulkan ….
a. Jika penguasaan matematika rendah, maka negara akan semakin tertinggal b. Jika penguasaan matematika rendah, maka IPTEK berkembang
c. IPTEK dan IPA berkembang d. IPTEK dan IPA tidak berkembang e. Sulit untuk memajukan negara
Jawaban: a Penyelesaian:
p : Penguasaan matematika rendah
q : Sulit menguasai IPA q : IPA tidak sulit dikuasai.
r : IPTEK tidak berkembang. s : Negara akan semakin tertinggal.
Jadi, dari ketiga pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa: “Jika penguasaan matematika rendah, maka Negara akan semakin tertinggal”
p q q r r s p q q r r s p s Ekuivalen dengan I. p q ekuivalen dengan p q ~ p p q q Penarikan kesimpulan I adalah sah.
II. p q seharusnya p q
q r q r
r p p r (silogisme)
Karena r p tidak ekuivalen dengan p r,
maka penarikan kesimpulan II tidak sah. III. p q ekuivalen dengan p q
q r q r p r p r
Penarikan kesimpulan III adalah sah.
LATIHAN SOAL
1. Jika (p q) bernilai benar, maka pernyataan
berikut yang bernilai benar adalah … a. p q d. p q b. p q e. p q c. p q
2. Nilai kebenaran dari [(p q) q] q adalah …
a. SSSS d. SBSB
b. SSBB e. BSBB
c. BBBB
3. Jika x2 – 4x + 4 = 0, maka jumlah sudut segitiga adalah 360o. Agar implikasi dari kalimat diatas salah, maka nilai x adalah ....
a. x = –4 d. x = 2 b. x = –2 e. x = 4 c. x 2
4. Ebtanas 2001
Diketahui pernyataan (p q) p. Konvers dari pernyataan tersebut adalah
a. p (p q) d. p (p q)
b. p (p q) e. p (p q)
c. p (p q)
5. Pernyataan yang setara dengan pernyataan “Bila Ali rajin belajar maka Ali naik kelas” adalah ….
a. Bila Ali naik kelas maka Ali rajin belajar b. Bila Ali tidak rajin belajar maka Ali tidak naik
kelas
c. Bila Ali tidak naik kelas maka Ali rajin bekajar d. Bila Ali tidak rajin belajar maka Ali naik kelas e. Ali tidak rajin belajar atau Ali naik kelas 6. Ingkaran dari (p q) r adalah ….
a. ~p ~q r d. ~p ~q r b. (~p ~q) r e. (~p ~q) r c. p q ~r
7. UN 2008
Ingkaran dari pernyataan. “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap.” adalah ...
a. Semua bilangan prima adalah bilangan genap. b. Semua bilangan prima bukan bilangan genap. c. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap. d. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima. e. Beberapa bilangan genap adalah bilangan
prima. 8. UAN 2002
9. Ebtanas 2001
Penarikan kesimpulan dari
1. p q 2. p q 3. p r p p q r q q p q yang sah adalah ....
a. 1, 2, dan 3 d. 2 saja b. 1 dan 2 e. 3 saja c. 1 dan 3
10. UN 2008
Diketahui premis-premis
a. Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orang tua, maka Ayah membelikan bola basket. b. Ayah tidak membelikan bola basket. Kesimpulan yang sah adalah …
a. Badu rajin belajar dan Badu patuh pada orang tua.
b. Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh pada orang tua.
c. Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orang tua.
d. Badu tidak rajin belajar dan Badu patuh pada orang tua.
e. Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orang tua.
11. UN 2006
Dari argumentasi berikut :
Upik rajin belajar maka naik kelas.
Upik tidak dapat hadiah maka tidak naik kelas. Upik rajin belajar.
Kesimpulan yang sah adalah …. a. Upik naik kelas
b. Upik dapat hadiah c. Upik tidak dapat hadiah
d. Upik naik kelas dan dapat hadiah e. Upik dapat hadiah atau naik kelas 12. Diketahui pernyataan :
1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.
3. Ani tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah …. a. Hari panas
b. Hari tidak panas c. Ani memakai topi
d. Hari panas dan Ani memakai topi e. Hari tidak panas dan Ani memakai topi 13. Dari argumentasi berikut :
Jika ibu tidak pergi maka adik senang Jika adik senang maka dia tersenyum Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah …. a. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum b. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum c. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum
