2.1_Peubah_Acak_dan_Distribusi_Peluang

MAS2001 Statistika dan Peluang

MAS2001 Statistika dan Peluang

Yuniarta Basani Yuniarta Basani Semester I Semester IVV, 2, 2015/2016015/2016 23 Februari 2016 23 Februari 2016

Bab Sebelumnya

Bab Sebelumnya

1 1.. PPeelluuaanngg 1.1 Ruang Sampel 1.1 Ruang Sampel 1.2 Kejadian 1.2 Kejadian

1.3 Menghitung Titik Sampel

1.3 Menghitung Titik Sampel

1.4 Peluang Suatu Kejadian

1.4 Peluang Suatu Kejadian

1.5 Aturan Penjumlahan 1.5 Aturan Penjumlahan 1.6 Peluang Bersyarat 1.6 Peluang Bersyarat 1.7 Aturan Perkalian 1.7 Aturan Perkalian 1.8 Aturan Bayes 1.8 Aturan Bayes

BAB 2 PEUBAH ACAK DISKRIT

BAB 2 PEUBAH ACAK DISKRIT

MAS2001

Sasaran K

Sasaran Kuliah Hari

uliah Hari Ini

Ini

2.1 Pengertian Peubah Acak

2.1 Pengertian Peubah Acak

2.2 Distribusi Peluang Diskrit

2.2 Distribusi Peluang Diskrit

2.3 Distribusi Peluang Kontinu

2.1 PENGERTIAN PEUBAH ACAK

2.1 PENGERTIAN PEUBAH ACAK

MAS2001

•

• Bila sebuah koin dilantunkan lima kali.Bila sebuah koin dilantunkan lima kali. •

• Kejadian ini merupakan kejadian acak dan ruangKejadian ini merupakan kejadian acak dan ruang

sampelnya sampelnya

== ,,,,……,,

•

• Ruang sampel ini memilikiRuang sampel ini memiliki

22



==3232

 elemen. elemen. •

• Misalkan kita tertarik pada munculnya angka.Misalkan kita tertarik pada munculnya angka.

Maka dapat dituliskan variabel acak

Maka dapat dituliskan variabel acak

  

 yang yang

merupakan banyak munculnya angka. merupakan banyak munculnya angka.

•

• NilaiNilai

  

 yang mungkin yaitu yang mungkin yaitu

0,1,2,3,4,

0,1,2,3,4,

 atau atau

55

terkait

Peubah Acak: Peubah Acak:

Suatu peubah acak

Suatu peubah acak

  

 adalah fungsi dari ruang adalah fungsi dari ruang sampel ke bilangan real

sampel ke bilangan real

  ::→→ℝℝ

Range dari peubah acak

Range dari peubah acak

  

, Range(, Range(

  

) atau) atau





,, adalah himpunan semua nilai yang mungkin adalah himpunan semua nilai yang mungkin dari

•

• Contohnya, peubah Contohnya, peubah acakacak

  

 terdefinisi dengan terdefinisi dengan nilai 0 jika terjadi

nilai 0 jika terjadi





, nilai, nilai

22

 jika terjadi jika terjadi





, dan seterusnya., dan seterusnya. •

• Akibatnya, peubAkibatnya, peubah acakah acak

  

 merupakan fungsi merupakan fungsi dari ruang sampel

dari ruang sampel

== ,,,,……,,

 k kee bilangan real (bilangan bulat dari

bilangan real (bilangan bulat dari

00

 sampai sampai

55

)) •

Contoh

Contoh

Tiga orang petani: Pak Ali, Badu, dan Cokro Tiga orang petani: Pak Ali, Badu, dan Cokro menitipkan pecinya di pagi hari pada seorang menitipkan pecinya di pagi hari pada seorang anak. Sore harinya anak mengembalikan peci anak. Sore harinya anak mengembalikan peci tersebut secara acak pada ketiga petani. Bila tersebut secara acak pada ketiga petani. Bila Pak Ali, Badu, dan Cokro dalam urutan seperti Pak Ali, Badu, dan Cokro dalam urutan seperti itu menerima peci dari si anak maka

itu menerima peci dari si anak maka

tuliskanlah titik sampel untuk semua urutan tuliskanlah titik sampel untuk semua urutan yang mungkin mendapatkan peci tersebut dan yang mungkin mendapatkan peci tersebut dan kemudian cari nilai c dari peubah acak C yang kemudian cari nilai c dari peubah acak C yang menyatakan jumlah urutan yang cocok.

menyatakan jumlah urutan yang cocok. Jawab:

Jawab: Misal

Misal

 , ,,,

 dan dan



 menyatakan masing-masing menyatakan masing-masing peci Pak Ali, Badu, Cokro maka susunan

peci Pak Ali, Badu, Cokro maka susunan pengembalian peci yang mungkin dan pengembalian peci yang mungkin dan padanan yang cocok (

Latihan 1

Latihan 1

Misalkan

Misalkan



 peubah acak yang menyatakan peubah acak yang menyatakan

banyaknya muncul muka dikurangi banyaknya banyaknya muncul muka dikurangi banyaknya muncul belakang dalam tiga kali lantunan

muncul belakang dalam tiga kali lantunan

sebuah uang logam. Tuliskan ruang sampelnya sebuah uang logam. Tuliskan ruang sampelnya dan kaitkan dengan nilai

2.2 DISTRIBUSI PELUANG

2.2 DISTRIBUSI PELUANG

DISKRIT

DISKRIT

MAS2001

2.2 Distribusi Peluang Diskrit

2.2 Distribusi Peluang Diskrit



 adalah kejadian sederhana peci  adalah kejadian sederhana peci Pak Ali, BaduPak Ali, Badu dan Cokro jika diberi bobot yang sama dan nilai dan Cokro jika diberi bobot yang sama dan nilai



 adalah jum adalah jumlah urutan yang cocok makalah urutan yang cocok maka peluangnya adalah: peluangnya adalah: Ruang Sampel Ruang Sampel





ABC 3 ABC 3 ACB 1 ACB 1 BAC 1 BAC 1 BCA 0 BCA 0 CAB 0 CAB 0 CBA 1 CBA 1





0 0 1 1 33

(=)

(=) 1133 1122 1166

Definisi:

Definisi:

Himpunan pasangan terurut

Himpunan pasangan terurut

,

,

 merupakan merupakan

suatu

suatu Fungsi Peluang, Fungsi Fungsi Peluang, Fungsi Massa Peluang, atauMassa Peluang, atau Distribusi Peluang

Distribusi Peluang, dari peubah a, dari peubah acak diskritcak diskrit

  

,,

untuk semua kemungkinan berikut: untuk semua kemungkinan berikut:

1. 1.

  (())≥≥00

2. 2.

 ( ())



==11

3. 3.

==()

==()

Contoh:

Contoh:

Suatu pengiriman 6 netbook ke IT Del terdapat 2 yang cacat. Jika Duktek Suatu pengiriman 6 netbook ke IT Del terdapat 2 yang cacat. Jika Duktek memilih 4 secara acak,

memilih 4 secara acak, cari distribusi peluang cari distribusi peluang banyaknybanyaknya yang cacat.a yang cacat.

Jawab: Jawab:

Misalkan

Misalkan

  

 peubah acak dengan nilai peubah acak dengan nilai



 kemungkinan banyaknya netbook kemungkinan banyaknya netbook yang cacat yang dipilih duktek.

yang cacat yang dipilih duktek. MakaMaka



 dapat memperoleh nilai dapat memperoleh nilai

0,1,2.

0,1,2.

   00 == ==00 ==

 

_

_{== 111515}

   11 == ==11 ==

 

_

_{== 881515}

   22 == ==22 ==

 

_

_{== 661515}

Jadi distribusi peluang Jadi distribusi peluang

  





0 0 1 1 22

Definisi: Fungsi peluang diskrit

Definisi: Fungsi peluang diskrit

Distribusi kumulatif 

Distribusi kumulatif 

F(x)F(x)

 suatu peubah acak suatu peubah acak diskrit

diskrit

  

 dengan distribusi peluang dengan distribusi peluang

  (())

dinyatakan oleh dinyatakan oleh

==()

==()

_{≤≤}

untuk untuk

∞<<∞

∞<<∞

Contoh:

Contoh:

Suatu pengiriman 6 netbook ke IT Del terdapat 2 yang cacat. Jika Duktek memilih 4 Suatu pengiriman 6 netbook ke IT Del terdapat 2 yang cacat. Jika Duktek memilih 4 secara acak, cari distribusi peluang kumulatif banyaknya yang cacat.

secara acak, cari distribusi peluang kumulatif banyaknya yang cacat. Jawab:

Jawab:

Distribusi kumulatif

Distribusi kumulatif



 diberikan oleh diberikan oleh

 0 =  0 =

 0 =  0 =



,,

 1 =  0 +  1 =

 1 =  0 +  1 =



++



==



,,

 2 =  0 +  1 +  2 =

 2 =  0 +  1 +  2 =



++



++



==



==11

,,

  ==

00, , <<00

111515,, 00<<11

_{991515,, 11<<22}

11, , ≥≥22

Latihan 2:

Latihan 2:

Dari suatu kot

Dari suatu kotak yang berisi 4 bola ak yang berisi 4 bola hitam dan 2hitam dan 2 bola hijau, 3 bola diambil secara berurutan, tiap bola hijau, 3 bola diambil secara berurutan, tiap bola dikembalik

bola dikembalikan an sebelum pengembaliansebelum pengembalian berikutnya. Carilah distribusi peluang dan berikutnya. Carilah distribusi peluang dan distribusi peluang

distribusi peluang kumulatif banyaknkumulatif banyaknya bolaya bola hijau yang

Latihan 3:

Latihan 3:

Carilah distribusi

Carilah distribusi peluang banyaknpeluang banyaknya pita jazzya pita jazz bila 4 pita dipilih

bila 4 pita dipilih secara acsecara acak dari suatuak dari suatu

kumpulan yang terdiri atas 5 pita jazz, 2 pita kumpulan yang terdiri atas 5 pita jazz, 2 pita klasik, dan

klasik, dan 3 pita lagu 3 pita lagu daerah. Nyadaerah. Nyatakanlahtakanlah hasilnya dalam suatu rumus.

2.3 DISTRIBUSI PELUANG

2.3 DISTRIBUSI PELUANG

KONTINU

KONTINU

MAS2001

2.2 Distribusi Peluang Kontinu

2.2 Distribusi Peluang Kontinu

•

• Peubah acak yang menyatakan tinggi seluruhPeubah acak yang menyatakan tinggi seluruh

mahasiswa. Diantar

mahasiswa. Diantara tinggi a tinggi 149,01 dan 150,5 cm,149,01 dan 150,5 cm, ataupun antara 161,2 dan 161,3 cm terdapat

ataupun antara 161,2 dan 161,3 cm terdapat takberhingga banyaknya, salah satunya 150 cm. takberhingga banyaknya, salah satunya 150 cm.

•

• Bila dipilih secarBila dipilih secara acak, peluang a acak, peluang terpilihnterpilihnya mahasiswaya mahasiswa

dengan tinggi 150 cm pas, tidak lebih

dengan tinggi 150 cm pas, tidak lebih maupun kurmaupun kurang,ang, sangat kecil kemungkinannya, bahkan kita

sangat kecil kemungkinannya, bahkan kita menuliskannya 0.

menuliskannya 0.

•

• Namun lain halnya ketika kita memilih secara acakNamun lain halnya ketika kita memilih secara acak

mahasiswa dengan tinggi lebih dari 150 cm, namun mahasiswa dengan tinggi lebih dari 150 cm, namun kur

•

• BilaBila

  

 kontinu, maka kontinu, maka

(<)

(<)

_{=(<<)+(=)}

_{=(<<)+(=)}

=(<<)

=(<<)

•

Definisi: Fungsi

Definisi: Fungsi peluang kon

peluang kontinu

tinu

Pada peubah acak kontinu

Pada peubah acak kontinu

  

, himpunan pasangan, himpunan pasangan terurut

terurut

,

,

 merupakan suatu merupakan suatu Fungsi PadatFungsi Padat Peluang, Fungsi Massa Peluang,

Peluang, Fungsi Massa Peluang, atau Distribusiatau Distribusi

Peluang

Peluang untuk semua kemungkinan berikut:untuk semua kemungkinan berikut:

1. 1.

  (())≥≥00

2. 2.

    

−−

=1

=1

3. 3.

<<=  (())

<<=





Contoh:

Contoh:

Proporsi mahasiswa menjawab suatu tawaran lewat email berbentuk peubah acak Proporsi mahasiswa menjawab suatu tawaran lewat email berbentuk peubah acak kontinu

kontinu

  

 yang mempunyai fungsi padat yang mempunyai fungsi padat

    ==2(+2)

2(+2)55,0<<1

_{00, ,   llaaiinnnnyyaa}

,0<<1

a

a.. TTuunnjjuukkaan n bbaahhwwaa syarat kedua terpenuhi.syarat kedua terpenuhi. b

b.. CCaarri pi peelluuaanng bg baahhwwa la leebbiih dh daarrii

¼¼

 tapi kurang dari tapi kurang dari

½½

 orang yang akan menjawab orang yang akan menjawab tawaran tersebut.

tawaran tersebut. Jawab:

Jawab: a

a.. SSyyaarraat t kkeedduuaa::

 



−−

=

=2(+2)





2(+2)55

==



++4455



==55550=1

0=1

b. b.

Definisi: Distribusi

Definisi: Distribusi Kumula

Kumulatif

tif

Distribusi kumulatif (tumpukan) Distribusi kumulatif (tumpukan)

F(x)F(x)

 suatu peubah acak kontinu suatu peubah acak kontinu

  

 dengan fungsi dengan fungsi padat

padat

  (())

 dinyatakan oleh dinyatakan oleh

  =     =   

  =     =   

_−−





untuk

Contoh:

Contoh:

Carilah

Carilah

()()

 dari fungsi padat pada contoh sebelumnya dan hitunglah dari fungsi padat pada contoh sebelumnya dan hitunglah





<<<<



.. Jawab: Jawab:

  =   

  =   

_−−



=2(+2)

=

_



2(+2)55

==



++4455



==



++4455

Sehingga, Sehingga,

  = 

  =  0 ,0





++4455,0<<1

0 ,0

_{1 ,≥1}

_{1 ,≥1}

_,0<<1

Lalu, Lalu,

 1144<<<<1122 == 1122  1144 == 99202017178080==19198080

Latihan 4:

Latihan 4:

Jumlah jam,

Jumlah jam, diukur dalam satuan 100 jam, diukur dalam satuan 100 jam, suatu ksuatu keluargeluargaa akan menggunakan mesin penghisap debu setahun

akan menggunakan mesin penghisap debu setahun berbentuk peubah acak kontinu

berbentuk peubah acak kontinu

  

 dengan fungsi padat dengan fungsi padat

    == ,0<<1

 ,0<<1

_{0 , lainnya}

_{0 , lainnya}

2,1<2

2,1<2

Cari peluangnya bahwa dalam setahun keluarga itu akan Cari peluangnya bahwa dalam setahun keluarga itu akan menggunakan mesin penghisap debu

menggunakan mesin penghisap debu a

a.. KKuurraanng dg daarri i 11220 0 jjaamm b

Latihan 5:

Latihan 5:

Pandang fungsi padat Pandang fungsi padat

    == 

_{00,,   llaaiinnnnyyaa}

_{ ,0<<1}



,0<<1

a

a.. HHiittuunngg



b

b.. CCaarrii

()()

 dan gunakan untuk menghitung dan gunakan untuk menghitung

0,3<<0,6.

0,3<<0,6.