1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005

(1)

1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 3

Januari Pekan Ke-3, 2005

Nomor Soal: 21-30

21. Garis 12x5y60 memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik A

dan B, sehingga OAB membentuk segitiga siku-siku. Sebuah lingkaran L dibuat sedemikian, sehingga menyinggung sumbu X, sumbu Y, dan garis tersebut. Tentukanlah luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga.

A. 34 B. 30 C. 26 D. 304 E. 304

Solusi: [E]

Menurut Pythagoras:

Setengah keliling OAB adalah

Luas OAB adalah

Jari-jari lingkaran dalam adalah

Luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga = luas segitiga – luas lingaran

22. Tentukan titik potong persamaan garis singgung pada lingkaran

2 2

12

8

7

0 x



y



x



y

 

di titik (3,2) dengan sumbu X.

A.





1, 0



B.





2, 0



C.





3, 0



D.

 

1, 0

E.

 

1, 0

Solusi: [A]

2 2

12

36

8

16 7 36 16

x



x



y



y



  





 

2



2

6 4 45

x  y 

Pusat lingkaran



6, 4





2

1

1 2 4

2 3 6

m

 







Persamaan garis singgungnya adalah

2

1 

3 

2 y

 

x





x



2 y

 

1

13 169 12

52 2  

 AB

15 ) 13 12 5 ( 2 1

    s





5 12 30

2

1_ _ _

  OAB L

2 15 30_

 

s L r

2

) 2 π( 12 5 2 1

  

 304π



6, 4





 

3, 2

1

m

2

m

X Y

B(0, 12)

A(5, 0) O

(2)

0 2 0

1

1 y

        

x

Koordinat titik potongnya adalah





1, 0



.

23. Jarak terdekat antara lingkaran-lingkaran 𝑥2+𝑦2+ 6𝑥 −2𝑦 −15 = 0 dan

𝑥2₊_𝑦2₋₁₀_𝑥_{+ 10}_𝑦_{+ 41 = 0}_{adalah ....}

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 E. 1

Solusi: [D]

𝑥2₊_𝑦2_{+ 6}_{𝑥 −}₂_{𝑦 −}_{15 = 0}_₍_𝑥_{+ 3)}2₊_{𝑦 −}₁ 2_{= 25}

𝑥2₊_𝑦2₋₁₀_𝑥_{+ 10}_𝑦_{+ 41 = 0}__{𝑥 −}₅ 2₊_𝑦_{+ 5} 2_{= 9}

Jarak kedua pusat lingkaran adalah −3−5 2₊ _{1 + 5} 2_{= 10}_.

Kurangkan dua jari-jari diperoleh 10−8 = 2

24. Persamaan lingkaran yang menyingung garis y = 0, x = 0, dan 15y + 8x = 120 adalah ....

A. x2 – 4x + y2 – 4y + 4 = 0 D. x2 + y2– 2x– 4y + 16 = 0 B. x2 + y2 = 9 E. x2 + y2 = 9

C. x2 + y2– 12x– 12y + 9 = 0

Solusi: [C]

Garis 20y + 21x = 420 memotong sumbu X dan sumbu Y di (21,0) dan (0,20).

Panjang sisi miringnya adalah

21

2



20

2



841 

29

.

Setengah keliling segitiga adalah

1 

20 21 29



35

2 s







.

Luas segitiga adalah

1 21 20

210

2 L

  



.

Jari-jari lingkaran dalamnya adalah

210

6

35 L

r

s

 



.

Sehingga pusat lingkaran adalah (6,6).

Jadi, persamaan lingkarannya adalah (𝑥 −6)2+ (𝑦 −6)2= 36, yang disederhanakan menjadi 𝑥2+𝑦2−12𝑥 −12𝑦+ 36 = 0

25. Persamaan lingkaran melalui titik-titik





2, 2



,

 

4, 2

, dan



2, 2





dinyatakan sebagai x2y2axby c 0. Tentukan nilai dari



abc



2 . 20

21 29

X Y

(3)

A. 1.024 B. 512 C. 256 D. 128 E. 64

Solusi: [A]



  

2 ₂

 

2, 2 2 2 a 2 b 2 c 0 2a 2b c 8

                …. (1)

 

2 2

4, 2



4 

2       

a

4 b

2 c

0

4 a



2 b c

  

20

…. (2)





2

 

2

 

2, 2 2  2       a 2 b 2 c 0 2a2b c  8 …. (3)

Persamaan (2) – persamaan (1) menghasilkan

6 a

 

12



a

 

2

Persamaan (2) – persamaan (3) menghasilkan

2 a



4 b

 

12  

2

4

12

2 a

    

b

    

b

   

2,

2

8

8 a

 

b

            

c

Jadi, nilai dari

 

abc

2

 

_



   

2 

8 

_

2

 



32 

2



1.024

26. Diberikan dua buah lingkaran.

Lingkaran I:

฀ 

x



1 



2





y



2 

2



9

Lingkaran II:

฀ 

x



3 



2





y



1 

2



16

Persamaan tali busur dari persekutuan dua lingkaran adalah axbyc.

Tentukan



a b c



2.

A. 16 B. 9 C. 4 D. 1 E. 0

Solusi: [C]

Titik-titik pada kedua lingkaran harus memenuhi suatu persamaan. Pengurangan kedua persamaan memberikan:

฀ 

x26_x9_y22_y1









x22_x1_y24_y4



169

8x 6y = 2 4x– 3y = 1

Persamaan tali busurnya adalah 4x– 3y = 1.

Karena a = 4, b = 3, dan c = 1, maka



a b c

 

2 4 3 1 



2 4

27. Carilah persamaan lingkaran yang pusatnya di



3,5



dan menyinggung garis

0 4 5

12x y  adalah x2y2axby c 0. Nilai dari a  b c .... A. 6 B. 9 C. 15 D. 25 E. 65

Solusi: [D]

Jarak titik



3,5



ke garis

12 x



5 y



4 

0

adalah jari-jari lingkaran(r):

   

5 13 65 169

65

5 12

4 5 5 3 12

2

2  

  

     r

Persamaan lingkaran yang diminta adalah

r

(3,5)

(4)

4 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005 (3,5), sehingga



 

2

 

2

 

2



2

Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:

1

Pusat lingkaran adalah (2, 2).

Jari-jari lingkaran adalah 10

10

Persamaan lingkaran yang diminta adalah

(5)

29. Tentukan jarak pusat dari kedua lingkaran kemudian hitung rasio luasnya

0

0 dan jari-jarinya adalah

3

Jarak pusat lingkaran L₁ke lingkaran L₂adalah

(6)

Jelaslah bahwa titik (5,1) terletak pada lingkaran x2y24x6y120,

karena: 52124561120adalah pernyataan yang bernilai benar.

Persamaan garis singgungnya pada lingkaran x2y22ax2byc0di titik



x1,y1



adalahx1xy1ya



xx1

 

b yy1



c0

 

2 5

  

3 1



12 0

1

5x y  x  y  

0 12 3 3 10 2

5xy x  y  

0 19 4

3x y  ,

Solusi 2: [A]

Persamaan lingkaran dengan titik pusat (5,1) adalah



x5

 

2 y1



2 0

0 1 2 25

10 2

2_ _x_ __y _ _y_ _ x

0 26 2 10

2

2_ _ _ _ _

y x y x

Persamaan garis singgung melalui titik (5, 1) pada lingkaran pertama adalah:

12 6 4

2

2__y _ _x_ _y_

x x2y210x2y26

0 38 8

6x y 

0 19 4